Este documento presenta información sobre sistemas de coordenadas cartesianas, fórmulas para calcular distancias entre puntos y puntos medios, ecuaciones de rectas en diferentes formas (punto-pendiente, general, explicita), conceptos de pendiente, rectas paralelas y perpendiculares, y ejercicios para practicar el cálculo de distancias, ecuaciones y clasificación de rectas. Explica de manera concisa pero completa los principales temas relacionados con rectas en el plano cartesiano.

1. Universidad Simón
Bolívar, Sede
Litoral
Tema 3
•Sistemas de coordenadas
•Ecuación de la recta

2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
y
abscisa
I
II
ordenada
O
-x
III
x
IV
-y
P(x, y)

3. FÓRMULA DE LA DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
Y
X

4. PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA
Y
X

5. Ejemplos:
x1 y1
x2 y2
a) La distancia entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
d2 = (9 – (-3))2 + (-1 – 4)2
d2 = (9 + 3)2 + (-5)2
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
d2 = 144 + 25
d2 = 169
x1 y1
x2 y2
d = 13 u.d
b) El punto medio entre los puntos (-3,4) y (9,-1) es:
Pm =
-3 + 9 , 4 + -1
2
2
Pm =
x1 + x 2 y1 + y 2
,
2
2

6. Veamos la distancia directamente en el plano:
B
80
4
A
8
42 82
16 64

7. Ejercicios:
Calcule las distancias y puntos medios de:
1.
A(-2,3) y B(6,-1)
d2 = (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2
2.
A(-3,6) y B(1,2)
3.
A(-2,3) y B(2,0)
4.
1
A(- ,3) y B(1,5)
2
5.
A( 2 ,- 7 ) y B(2 2 ,0)
Pm =
x1 + x2 y1 + y2
,
2
2

8. Significado de la recta:
La recta es una de las curvas de mayor estudio
realizado en las matemáticas por la enorme cantidad
de aplicaciones que presenta y por estar vinculada a
una ecuación de primer grado o lineal, dentro de sus
aplicaciones se tienen: problemas de costosingresos y ganancia, la oferta y demanda, la
valoración de un activo a lo largo del tiempo, etc.
P. E.
20
40
60
80

9. ¿Qué significan estas señales de tránsito?

10. Pendiente de una recta l
y
• ¿Cuál de las
rectas está más
inclinada?
L1
• ¿Cómo medimos
esa inclinación?
L2
0
x
La pendiente m de la recta l es:

11. Cálculo de la pendiente de una recta
Sea l una recta no vertical que pasa por los puntos
P1(x1;y1) y P2(x2; y2).
Y
X

12. Ejemplo:
1. Hallar la pendiente entre los puntos:
x1 y1 x2 y2
(-4, -2) y (1, 7) es:
m=
7 – (-2)
1 – (-4)
m=
9
5
2. Calcular la pendiente entre los puntos:
x1 y1
x2 y2
(8, 5) y (8, 10) es:
m=
10 – 5
8–8
m=
5
0
Como el denominador es
cero, la pendiente NO existe.
Además, la recta que pasa por los puntos
(8,5) y (8,10), es paralela al eje Y, y es
de la forma: x = 8, la recta NO es
función.

13. Ejemplos
Ubique los puntos en el plano y determine la pendiente de
estos segmentos
a) A(-6,1) y B(1,2)
b) C(-1,4) y D(3,1)
c) E(3,2) y F(8,2)
d) G(2,1) y H(2,-3)

14. mCD = -3/4
mAB = 1/7
mEF = 0
mGH = ¿?

15. Conclusiones
y
1. Si m>0 la recta l es creciente
x
y
2. Si m<0 la recta l es decreciente
x
y
3. Toda recta horizontal tiene m = 0
x
y
4. Las rectas verticales no tienen pendiente definida.
x

16. La recta
Geométricamente podemos decir que una
línea recta es una sucesión continua e infinita de
puntos
alineados en
una misma dirección;
analíticamente, una recta en el plano está
representada por una ecuación de primer grado con
dos variables, x e y.
Además es el lugar geométrico de todos los
puntos que tomados de dos en dos, poseen la misma
pendiente.
Ejemplos:
1.
5x + 6y + 8 = 0
2.
y = 4x + 7
3.
6x + 4y = 7

17. Ecuación de la recta (Punto – Pendiente)
La ecuación de la recta de pendiente m, y
punto de paso (x1, y1) es:
Y
(x1, y1)
y - y1 = m(x - x1)
X

18. Ecuación general o implícita de la recta
Es de la forma: ax + by + c = 0, con a, b y c
reales.
Ejemplos:
1.
2.
3.
5x + 6y + 8 = 0
2x - 4y + 7 = 0
-x + 12y - 9 = 0
Obs. m=
a
b
c
b= b

19. Ecuación explicita de la recta
La gráfica de una recta de pendiente m y
ordenada en el origen b, es:
Y
y = mx + b
b
X

20. Ecuación explicita de la recta
Es de la forma:
y = mx + b
m : pendiente
b : punto de corte con el eje y
El coeficiente de posición (b), es la ordenada del punto
donde la recta intersecta al eje Y.
Corresponde al punto de coordenadas (0,b).
Ejemplo:
1) y= 2x -3
2) y= 3x – 4
2
m=2
b=-3
y=3 x – 2
2
m=
3
2
b=2

21. Ejemplos:
1. Hallar la ecuación de la recta de pendiente m =
-6, que pasa por el punto (3,-2) es:
y – (-2) = -6 (x – 3)
y + 2 = -6x + 18
y = -6x + 16
6x + y – 16 = 0
2. Calcular la ecuación de la recta que pasa por los puntos
x1 y1
x2
y2
( 2, -3 ) y ( 5 , 6 ) es:
y – y1 =
y2 – y1
x2 – x1
(x – x1)
y – (-3) = 6 – (-3) (x – 2)
5–2
y + 3 = 9 (x – 2)
3
y + 3 = 3 (x – 2)
y = 3x – 9
y + 3 = 3x – 6
y = 3x – 6 - 3
3x – y – 9 = 0

22. Ejercicios:
1. Determine la ecuación de la recta que pasa por
(-5/2; 5) y tiene pendiente 1/3.
2. Determine la ecuación de la recta que pasa por (6;1) y (1;4).
3. Determine la pendiente y la intersección con el eje y
de la recta determinada por la ecuación
x- 9 = 5y+3.
4. Determine la ecuación general de la
recta que pasa por (3; -1) y (-2;-9).
y - y1 = m(x - x1)
y = mx + b

23. RECTA HORIZONTAL Y VERTICAL
recta
horizontal
recta //
al eje X
ecuación
y=b
y=b
b
a
x=a
recta
vertical
recta //
al eje Y
ecuación
x=a

24. Ejemplos:
1. En las siguientes ecuaciones identificar m y b:
a)
y=x–8
m = 1 y b = -8
b)
y = 4x
m=4 y b=0
c)
6x – y+ 13 = 8
Para determinar m y b, ordenamos primero la ecuación y utilizamos las
fórmulas dadas para m y b:
6x – y + 5=0
m = -6/-1 = 6
Obs. m=
b = -5/-1 = 5
a
b
c
b= b
Luego, m = 6 y b = 5.
2. ¿Cuál será la pendiente y el punto de corte en el eje y en
ecuaciones como: y = 5
y x=2?

25. Ejemplos:
3. Dada la gráfica de la
recta, encontrar su ecuación
principal.
-2 -1
-1
-2
b = 3. Con (0,3) y (1,5) encontraremos su pendiente
m=
5–3
1– 0
m=
2
1
= 2
Por lo tanto, la pendiente (m) de la recta es 2, y el coeficiente de
posición (b) es 3 (ordenada del punto donde la recta intersecta al
eje Y), de modo que su ecuación principal es y = 2x + 3.

26. En resumen:
Formas de la ecuación de una recta:
• Forma punto pendiente:
• Forma pendiente ordenada
al origen
• Forma general
y-y1=m(x-x1)
y = mx+b
ax + by + c = 0
• Recta vertical
x=a
• Recta horizontal
y=b

27. Rectas paralelas
Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 ,
son paralelas (l1 // l2) si y sólo si tienen la misma
pendiente o si ambas son verticales .
Es decir:
m 1 = m2

28. Rectas paralelas
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son paralelas si tienen igual pendiente
y distinto coeficiente de posición o puntos de corte con y.
Ejemplo:
Determine si L1: y = 5x +3
(m = 5)
(m = 5)
y
L2: y = 5x – 10 son paralelas

29. Rectas perpendiculares
Dos rectas l1 y l2 cuyas pendientes son m1 y m2 , son
perpendiculares (l1 l2) si y sólo si el producto de sus
pendientes es -1.
Es decir:
m1 . m2 = -1
Además, una recta horizontal y una vertical son
perpendiculares entre sí.

30. Rectas perpendiculares
Se dice que dos rectas, L1 y L2 son perpendiculares si el
producto de sus pendientes es igual a -1.
Ejemplo: Compruebe que L1: y = -5x +3
2
Son perpendiculares
(m = -5 )
2
(m = 2 )
5
y
L2: y = 2x – 10
5

31. Ejercicios:
Determine la ecuación de la recta
que satisfaga:
1. Pasa por (3;-4) y es paralela a
y= 3+ 2x.
2. Pasa por (3; -4) y es perpendicular
a y = 3 + 2x

32. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
 Sea
la ecuación de una
recta y
un punto que NO
pertenece a ella, entonces:
Note la perpendicularidad de
la recta que representa la
distancia

33. EJERCICIOS:
Calcule las distancias desde el punto A hasta la
recta R:
1.
A(1,2) y R : 4x - 3y - 8 0
2.
A(-1,2) y R : y -2x -1
3.
A(0,-2) y R : 3x 4y - 3 0
4.
1
A(- ,3) y R : 3x - 2y 1
2

34. DISTANCIA ENTRE DOS RECTAS PARALELAS
 Sea
la ecuación de una recta
y S : ax by c 0 otra recta paralela ya que
A
M
M
sus pendientes son iguales
B
R : ax by c1
0
2
R
d
S
C2 C1
A
2
B
2

35. EJERCICIOS:
Calcule las distancias entre las siguientes rectas
si son paralelas:
1.
R : 6x - 2y 3 0
S : 3x - y 4 0
2.
R : 2x - 3y 1 0
S : 4x - 6y 1 0
d
C2 C1
A
3.
R : y -3x 2
S : 3x y 8 0
2
B
2

36. Universidad Simón
Bolívar, Sede
Litoral
Elaborado por:
Dorenis Mota (dorenismota@usb.ve
Ricardo Valles (revalles@usb.ve)
•Sistemas de coordenadas
•Ecuación de la recta