El documento proporciona información sobre el cálculo integral, incluyendo su historia, definiciones de integral definida e indefinida, métodos de integración como la sustitución y por partes, y teoremas como el fundamental del cálculo y de existencia. Explica conceptos clave del cálculo integral como la función primitiva y el uso de integrales para calcular áreas.

1. Calculo integral
Mtro. César O. Martínez Padilla
Entre más dificultades tenga un él, la
satisfacción que queda es haber
disfrutado y aprender a que existen
formas de salir adelante sin caerse ni
de voltear a hacia atrás sino más
bien mirar hacia adelante. Vas en la
dirección correcta!!!!
Centro de Enseñanza Técnica
Industrial
Registro: 11310166
Nombre del Alumno: Alan Francisco Gonzalez
Diaz

2. HISTORIA DEL CALCULO INTEGRAL
• El origen del cálculo integral se remonta a la época de Arquímedes (287-
212 a.C.), matemático griego de la antigüedad, que obtuvo resultados tan
importantes como el valor del área encerrada por un segmento parabólico.
La derivada apareció veinte siglos después para resolver otros problemas
que en principio no tenían nada en común con el cálculo integral.
• El descubrimiento más importante del cálculo infinitesimal (creado por
Barrow, Newton y Leibniz) es la íntima relación entre la derivada y la
integral definida, a pesar de haber seguido caminos diferentes durante
veinte siglos.
• Introducir el cálculo integral, se logro con el estudio de J.Bernoulli, quien
escribió el primer curso sistemático de cálculo integral en 1742. Sin
embargo, fue Euler quien llevó la integración hasta sus últimas
consecuencias, de tal forma que los métodos de integración indefinida
alcanzaron prácticamente su nivel actual.

3. • Los logros principales en la construcción del Cálculo
Integral inicialmente pertenecieron a J. Bernoulli y después
a Euler, cuyo aporte fue inusitadamente grande. La
integración llevada por este último todavía constituyen el
marco de todos los cursos y tratados modernos sobre
Cálculo Integral, cuyos textos actuales son sólo
modificaciones de los tratados de Euler en lo relativo al
lenguaje.
• El cálculo integral, encuadrado en el cálculo infinitesimal,
es una rama de las matemáticas en la que se estudia el
proceso de integración o antiderivación, es muy común en
la ingeniería y en la matemática en general y se utiliza
principalmente para el cálculo de áreas y volúmenes de
regiones y sólidos de revolución.

4. Teorema fundamental del cálculo
integral
• El teorema fundamental del cálculo consiste en la afirmación de que
la derivación e integración de una función son operaciones inversas. Esto
significa que toda función continua integrable verifica que la derivada de su
integral es igual a ella misma.
• El teorema de fue descubierto independientemente por Isaac Newton
(1630-1677) y Gottfried Leibniz (1646-1716).

5. Integral Definida E Indefinida
Básicamente, una integral es una suma de infinitos
sumandos, infinitamente pequeños.
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de
una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ =
f.
Bueno, la integral es la antiderivada de una
función, ósea, cuando derivas una función te da otra
función, llamada la función derivada, y cuando se integra la
derivada se obtiene la función original.

6. Integral Definida
• Sea f una función continua definida para a x b. Dividimos el intervalo [a, b] en n
subintervalos de igual ancho x . Sean x0 a y xn b y además x0, x1, ...., xn los puntos
extremos de cada subintervalo. Elegimos un punto ti en estos subintervalos de modo tal que
ti se encuentra en el i-ésimo subintervalo [xi 1, xi] con i 1, .., n.
La integral definida se representa por .
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.

7. • Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se
permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida
vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral
definida se descompone como una suma de dos integrales
extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la
suma de integrales·
5. La integral del producto de una constante por una función
es igual a la constante por la integral de la función.

8. Integral indefinida
• Integral indefinida es el conjunto de las infinitas primitivas que puede tener una función.
Se representa por ∫ f(x) dx.
Se lee: integral de x diferencial de x.
∫ es el signo de integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
C es la constante de integración y puede tomar cualquier valor numérico real.
Si F(x) es una primitiva de f(x) se tiene que:
∫ f(x) dx = F(x) + C
Para comprobar que la primitiva de una función es correcta basta con derivar.
• Propiedades de la integral indefinida
1. La integral de una suma de funciones es igual a la suma de las integrales de esas
funciones.
∫[f(x) + g(x)] dx =∫ f(x) dx +∫ g(x) dx
2. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral de
la función.
• ∫ k f(x) dx = k ∫f(x) dx

9. Suma de Riemann
• La suma de Riemann es un método de integración numérica que
nos sirve para calcular el valor de una integral definida, es decir, el
área bajo una curva, este método es muy útil cuando no es posible
utilizar el Teorema Fundamental del Cálculo. consiste básicamente
en trazar un número finito de rectangulos dentro de un área
irregular, calcular el área de cada uno de los rectangulos y
sumarlos. El problema de este método de integración numérica es
que al sumar las áreas se obtiene un margen de error muy grande.

10. Teorema de existencia
• Un teorema de existencia es un teorema que
prueba la existencia de una entidad o de
entidades sin decir son cuántas entidades allí o
cómo encontrarlas. En ejemplo de la existencia
un teorema es ése para todos los polinomios, si
un valor del polinomio es positivo para un valor
de x, y la negativa para otro valor de x, después
el valor del polinomio debe ser cero en alguna
parte entre los dos valores del x.

11. Teorema de existencia
• Sea una función real y = f (x) , que es continua en un
intervalo [a, b]. Entonces se puede afirmar que existe al
menos un punto c perteneciente a dicho intervalo, para el
que se verifica:
• Que el valor de f (c) es el valor medio de la función f (x) en el
intervalo [a, b].
• Quizá sea interesante hacer varias observaciones:
• 1) El punto c , puede no ser único. El teorema asegura la
existencia de por lomenos un punto con esa propiedad.
• 2) El valor medio de la función f (x) no se refiere a la tasa de
variación media enel intervalo considerado. Se trata de un
concepto diferente.
• 3) El cálculo de dicho valor medio y el del punto c en el que
se alcanza , presupone el cálculo de una integral definida.

12. Funcion primitiva
• Una funcion primitiva es aquella que despues
de haber sido derivada pasando por su
diferencial ypor el proceso de integracion no
vuelve exactamente a su funcion original.
• Ejemplo.
• Y =3x^2+2x+18
• Dy/dx = 6x+2
• Dy= 6x+2 (dx)
• Integral =3x^2+2x+c

13. Integracion directa
• En ocasiones es posible aplicar la relación dada
por el teorema fundamental del cálculo de forma
directa. Esto es, si se conoce de antemano una
función cuya derivada sea igual a f(x) (ya sea por
disponer de una tabla de integrales o por
haberse calculado previamente), entonces tal
función es el resultado de la antiderivada. La
integración directa requiere confeccionar una
tabla de funciones y sus antiderivadas o
funciones primitivas.

14. • Calcular la integral indefinida
•
• En una tabla de derivadas se puede comprobar
que la derivada de es .
Por tanto:

15. Integracion cambio de variable o
sustitucion
• El método de integración por
sustitución o por cambio de variable se
basa en realizar un reemplazo de variables
adecuado que permita convertir el integrando en
algo sencillo con unaintegral o antiderivada
simple. En muchos casos, donde las integrales
no son triviales, se puede llevar a una integral de
tabla para encontrar fácilmente su primitiva.
Este método realiza lo opuesto a la regla de la
cadena en la derivación.

16. Integracion por partes
• El método de integración por partes es el que resulta
de aplicar el siguiente teorema:
• Eligiendo adecuadamente los valores
de y , puede simplificarse mucho la
resolución de la integral.
• Un buen orden para escoger la u según la función es este:
• 1. Trigonométrica Inversa 2. Logarítmica 3. Algebraica o
polinómica 4. Trigonométrica 5. Exponencial.