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1. Modelación Financiera
Docente: Andrea Misas Vélez

2. Agenda
Concepto y análisis de riesgos
Volatilidad
Distribución normal: características
Modelo EWMA
VaR: interpretación y mediciones

3. Concepto de riesgo

4. Concepto de riesgo

12. Reflexión Riesgo
Aunque la clasificación de riesgos ha mejorado la visibilidad de los mismos, en algunos casos incentiva la creación de
silos: cada riesgo es administrado sin tener en cuenta la interacción con otros riesgos o la posibilidad de mejorar los
cubrimientos a través de una administración mucho más integral.
Por otro lado, esta creación de silos en algunas ocasiones incentiva la falta de responsabilidad en la administración
de algunos riesgos.
La inclusión de medidas como el VaR y el capital económico, acompañado de metodologías como ERM (Enterprise
Risk Management) han permitido avanzar hacia una gestión mucho más integral del riesgo.
Sin embargo, hay que tener en cuenta sus limitaciones: en las últimas crisis se ha demostrado que el VaR no es
suficiente para contener situaciones adversas derivadas de problemas operativos o mercados en crisis.

13. Volatilidad
𝜎𝑎ñ𝑜 = 𝜎𝑑𝑖𝑎 252

14. Volatilidad
Medición del riesgo
Una distribución de frecuencias muestra como los rendimientos de un activo se han comportado en el pasado, la
más empleada es la distribución normal ya que los rendimientos de los instrumentos financieros presentan por lo
general una distribución de este tipo.
Los parámetros más importantes son la media y la desviación estándar. Es posible demostrar que aun cuando la
muestra no es suficientemente grande, la distribución de la muestra es aproximadamente normal.

15. Volatilidad
Distribución normal
El área dentro de una desviación estándar cubre aproximadamente el 68% de los rendimientos posibles, dos
desviaciones cubren el 98% de los rendimientos posibles y tres desviaciones cubren aproximadamente el 99.8%.

16. Volatilidad
Parámetros
Primer momento: Media: µ =
1
𝑇
σ 𝑥𝑖
La media aritmética, o promedio, de un conjunto de datos es la suma de los valores de estos dividido
entre número de observaciones.
Segundo momento: Desviación: σ =
1
𝑇−1
σ (𝑥𝑖 − µ)2
La volatilidad de un activo se define como la desviación estándar de los rendimientos del activo, y se
considera como una medida del riesgo financiero.

17. Volatilidad
Parámetros
Tercer momento: Sesgo o simetría: ϒ2
=
1
𝑇−1
σ
𝑥𝑖−µ 3
σ3 (Simetría de la curva)
Si una distribución es simétrica, si existe el mismo número de valores a la derecha que a la izquierda de la media.
Se dice que hay asimetría negativa (o a la izquierda) si la "cola" a la izquierda de la media es más larga que la de la
derecha, es decir, si hay valores más separados de la media a la izquierda.
Se dice que hay asimetría positiva (o a la derecha) si la "cola" a la derecha de la media es más larga que la de la
izquierda, es decir, si hay valores más separados de la media a la derecha.

18. Volatilidad
Parámetros
Curtosis: δ2=
1
𝑇−1
σ
𝑥𝑖−µ 4
σ4 (Nivel de Elevamiento)
La curtosis, o apuntamiento, es una medida que sirve para analizar el grado de concentración que
presentan los valores de una variable analizada alrededor de la media.
Este coeficiente indica entonces la cantidad de datos que hay cercanos a la media, de manera que, a
mayor grado de curtosis, más apuntada será la forma de la curva.

19. Volatilidad
Modelo EWMA
Varianza
actual
Varianza
periodo
anterior
Media
periodo
anterior
0 ≤ 𝜆 ≤ 1
El modelo EWMA tiene dos características particulares:
1. Pocos requerimientos de memoria. Solo es necesario el
estimado actual de la varianza y la última observación
disponible.
2. 𝜆 gobierna el peso que se le da a las observaciones más
recientes. Un parámetro 𝜆 cercano a 0 da más peso a la última
observación. Por otra parte, un parámetro 𝜆 cercano a 1
responde más lentamente a la nueva información disponible.

20. Volatilidad
Modelo EWMA
Varianza
actual
Varianza
periodo
anterior
Media
periodo
anterior
0 ≤ 𝜆 ≤ 1
Para encontrar los parámetros de la función, usamos el método de
máxima verosimilitud, es decir, maximizamos el estimador que
aumente la probabilidad de obtener los datos históricos
observados. Para nuestro caso, el estimador es:
** Podemos organizar la data usando el siguiente formato (ver Excel)

21. Volatilidad
Value at Risk (VaR)
Aunque la volatilidad es conceptualmente interesante, no era una medida que resumiera en general el nivel de riesgo de
una posición. El VaR es un primer esfuerzo para resumir una exposición bajo un concepto así:
“Con una confianza de X, la pérdida no superará más de ν en un horizonte de tiempo T’”
El VaR se define en función de dos parámetros:
• X: nivel de confianza
• T: horizonte de tiempo

22. Volatilidad
Value at Risk (VaR)
Gráficamente, dada una función de pérdidas, el VaR representa el percentil X de la distribución de pérdidas. En
el caso de una función de ganancias, el VaR representa el percentil 1 − X de la distribución.

23. Volatilidad
Value at Risk (VaR)
Aunque el VaR es una medida interesante (dado que resume la exposición en un número), no dice nada de lo peor que
puede pasar en caso de materializarse un escenario adverso.
El VaR no otorga certidumbre
respecto a las pérdidas que podría
sufrir una inversión, sino una
expectativa basada en la estadística.

24. Volatilidad
Value at Risk (VaR)
MÉTODO NO PARAMÉTRICO
Simulación Histórica: Consiste en simular posibles valores futuros para una variable aleatoria basados en el
comportamiento pasado de la misma:
Con la base de datos histórica de los precios diarios 𝑝 = 𝑝1, 𝑝2, … 𝑝𝑡−1, 𝑝𝑡, realizamos el siguiente procedimiento:
✓Calculamos la rentabilidad
✓Hallamos 𝑉𝐹 = 𝑉𝑃 ∗ (1 + 𝑟𝑡)
✓Calculamos la ganancia o pérdida en cada periodo 𝑉𝐹 − 𝑉𝑃
✓Calculamos la máxima perdida (VaR) como el X percentil con un nivel de confianza dado. En Excel = PERCENTIL()
Interpretación: con una confianza de “%” la pérdida diaria no va a superar los “$$”

25. Volatilidad
Value at Risk (VaR)
MÉTODO PARAMÉTRICO:
Tiene como característica el supuesto de que los rendimientos siguen una distribución normal, aunque en la práctica los
activos se aproximan a este tipo de distribución los resultados obtenidos al medir el valor en riesgo riesgo son una
aproximación.
Supuesto de normalidad o Volatilidad estática (VaR normal)
El VaR de un activo individual se calcula con la expresión:
𝑽𝒂𝑹 = 𝒁 × 𝑽𝒐 × 𝝈 × 𝒕
Importante: Al multiplicar por 𝑡 se está cambiando el periodo a la desviación así:
σ𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = σ𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎 252 𝑜
1
252
σ𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = σ𝑑𝑖𝑎𝑟𝑖𝑎
σ𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = σ𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙 12 𝑜
1
12
σ𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = σ𝑚𝑒𝑛𝑠𝑢𝑎𝑙
σ𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = σ𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 4 𝑜
1
4
σ𝑎𝑛𝑢𝑎𝑙 = σ𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙

26. Volatilidad
Value at Risk (VaR)
MÉTODO PARAMÉTRICO:
𝑽𝒂𝑹 = 𝒁 × 𝑽𝒐 × 𝝈 × 𝒕
Z: 𝐹𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎 𝑒𝑙 𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 1 − α
Para un nivel significancia del 5%: Z= DISTR.NORM.ESTAND.INV Z(5%) = -1.6448
Para un nivel significancia del 1% Z = Z= DISTR.NORM.ESTAND.INV Z(1%)= -2.3263
𝑽𝒐: 𝑀𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑛𝑣𝑒𝑟𝑡𝑖𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜
𝒕: 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜
𝝈: 𝐷𝑒𝑠𝑣𝑖𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑜 𝑣𝑜𝑙𝑎𝑡𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑚𝑖𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜
𝑒𝑛 𝑒𝑥𝑐𝑒𝑙 = 𝑑𝑒𝑠𝑣𝑒𝑠𝑡()
En este método todas las observaciones tienen el mismo peso específico y el cálculo se basa en observaciones
históricas.

27. Volatilidad
Value at Risk (VaR)
MÉTODO PARAMÉTRICO:
Para analizar bajo el método paramétrico es necesario que los rendimientos sigan una distribución normal y para el
análisis, se tiene:
ESTADÍSTICO DE JARQUE Y BERA (1987)
El estadístico de Jarque-Bera es una prueba de bondad de ajuste que permite comprobar si una serie de datos tiene
la asimetría y la curtosis de una distribución normal. Esta prueba recibe el nombre de Carlos Jarque y Anil Bera.
Este estadístico se distribuye como una distribución chi cuadrado con dos grados de libertad y se usa para analizar la
hipótesis nula de que la serie de datos pertenecen a una distribución normal.

28. Volatilidad
Value at Risk (VaR)
MÉTODO PARAMÉTRICO:
ESTADÍSTICO DE JARQUE Y BERA (1987)
El estadístico de prueba se calcula con la siguiente expresión:
𝐽𝐵 =
𝑛
6
𝑠2
+
𝐾2
4
Donde:
S: Sesgo o coeficiente de asimetría
K: Curtosis
n: número de datos.
Para el análisis actual, se tiene que:
𝐻𝑜 = 𝐿𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑠𝑖𝑔𝑢𝑒𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙.
𝐻𝑎 = 𝐿𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑜 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑜𝑣𝑖𝑒𝑛𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑐𝑖ó𝑛 𝑛𝑜𝑟𝑚𝑎𝑙.

29. Volatilidad
Value at Risk (VaR)
MÉTODO PARAMÉTRICO:
ESTADÍSTICO DE JARQUE Y BERA (1987)
En general, un valor JB grande indica que los errores no se distribuyen normalmente. Sin embargo, es necesario:
Prueba de normalidad:
1. Si el estadístico es inferior al valor critico 𝐽𝐵 < 𝑉𝐶 no se rechaza la hipótesis nula, es decir, se puede afirmar que la
serie de datos se ajusta a una distribución normal. El valor critico se calcula con: Valor critico (VC) = INV.CHICUAD.CD
(probabilidad o nivel de confianza 1 − 𝛼, grados de libertad)
✓ Si 1 − 𝛼 = 99% 𝑉𝐶 = 𝐼𝑛𝑣. 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑢𝑑. 𝑐𝑑 1%, 2 = 9.21
✓ Si 1 − 𝛼 = 95% 𝑉𝐶 = 𝐼𝑛𝑣. 𝑐ℎ𝑖𝑐𝑢𝑑. 𝑐𝑑 5%, 2 = 5.99
2. Valor p: = DISTR.CHICUAD.CD (estadístico de prueba JB, 2)
Recordar que el valor P, se interpreta como el mínimo valor al cual se rechaza 𝐻0, por ende, si valor p < α, se rechaza
la hipótesis nula y se concluye que los retornos del activo no siguen una distribución normal.

30. Volatilidad
Value at Risk (VaR)
SIMULACIÓN MONTECARLO:
Es una técnica que combina conceptos estadísticos con la capacidad que tienen los ordenadores para generar números
aleatorios y realizar cálculos iterativos. Los orígenes de esta técnica están ligados al trabajo desarrollado por Stan Ulam y
John Von .
El nombre de Monte Carlo proviene de la famosa ciudad de Mónaco, donde abundan los casinos de juego y donde el
azar, la probabilidad y el comportamiento aleatorio conforman todo un estilo de vida.

31. Volatilidad
Value at Risk (VaR)
SIMULACIÓN MONTECARLO:
El VaR del activo se obtiene generando 1000, 10.000 escenarios se procediendo así:
a) Generar números aleatorios normalizados 𝜀 = DISTR.NORM.ESTAND.INV(ALEATORIO())
b) Calcular la media (µ) y la desviación (σ) de los retornos
c) Se halla 𝑉𝐹=𝑉𝑃(1+𝜇+𝜀𝜎)
d) Calcular la ganancia o pérdida del periodo 𝑉𝐹−𝑉𝑃
e) Calcular la máxima perdida con PERCENTIL(Matriz anterior; α)

32. Recursos Bibliográficos
• Wooldridge, J. (2013) Introducción a la Econometría, Un Enfoque Moderno. 4ª Edición. Cengage Learning
• Benninga, S. (2014). Financial modeling (4 Ed.). Cambridge, MIT press
• Wayne, W. (2001) Financial Models using simulation and optimization. A step by step guide with excel and
Palisade´s Decision Tools. Palisade Corporation.
• Ross, S. Westerfield, R. Jordan, B. (2007). Fundamentos de FInanzas Corporativas. 7a Edición. McGraw-Hill.
• [5] Bodmer, E. (2015). Corporate and Project Finance Modeling – Theory and Practice. Wiley.
• Bodie,Zvi. Kane, A. Marcus, A. (2008) Investments. 8a Edición. McGraw-Hill.
• Mun, J. (2006) Modeling Risk: Applying Monte Carlo Simulation, Real Options Analysis, Forecasting and
Optimization Techniques. John Wiley & Sons.
• Mun, J. (2002). Real Options Analysis, Tools and Techniques for Valuing Strategic Investments and Decisions.
John Wiley & Sons.
• Goodwin, P. Wright G. (2004) Decision Analysis for Management Judgement. 3d Edition. John Wiley & Sons.