2. V W
u f(u)= w
f
• Sean V y W dos espacios vectoriales definidos sobre el mismo campo.
Una función (aplicación) f de V en W ( f : V W ) que se asigna a cada
vector v ∈ V, un vector f(u)= w ∈W es una transformación lineal, si y solo
si, ∀∝∈ K, ∀u,v∈V, satisface lo siguiente:
f : V W
u f(u)= w
Estas dos son condiciones semejantes
Nota: se escribe f : V W para
indicar que f transforma el espacio
vectorial V en el espacio vectorial W.
TRANFORMACIONES LINEALES
3. Propiedades
Sea f : V W una transformación lineal, entonces se cumple que:
1. f(0v)= 0w
2. f(u-v)= f(u) - f(v)
3. Si 𝑆 es un subespacio vectorial de V, entonces 𝑓(S) es subespacio vectorial
de W.
4. Si T es subespacio vectorial de W, entonces 𝑓−1
(𝑇)
es subespacio vectorial
de V.
Ejemplo:
V W
(x,y) f(x,y)= (a,b,c)
f
4. Núcleo
Sea una transformación lineal, entonces el núcleo de f ,
notado por N(f) , es el subconjunto de V, que contiene todos los elementos
de v ∈ V, tales que sus imágenes son igual al vector nulo de W.
f : V W
V W
0w
x
x
ov
f
N(f)
X
X
N(f)={ v∈V / f(v)= 0w}
5. Imagen de la función
• Sea una transformación lineal, entonces la imagen de f ,
notado por 𝐼𝑚𝑔(f) , es el subconjunto de W, que contiene todos los
elementos de w ∈ W, que son imágenes de vectores 𝑣 Є 𝑉 debidas a la
transformación f.
• A la imagen de f también se la conoce como rango o recorrido de f.
f : V W
V W
x
x
x
f
Img(f)
W
Ov
x
Img(f)={ w∈W / ∃ v∈V , f(u)= w}
6. N(f)={ v∈V / f(v)= 0w}
V W
(x,y) f(x,y)= (a,b,c)
f
𝑁𝑓 = 𝑥, 𝑦 /𝑓(𝑥,𝑦)= (0,0,0)