Algebra Lineal

1. ESCUELA POLITÉCNICA
NACIONAL
“El bienestar del hombre proviene de la Ciencia”
Algebra Lineal
Jonathan Lopez

2. Es una matriz cuadrada
donde
los elementos ubicados en
la
parte inferior de la diagonal
son nulos.
Sea la Matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛
ssi:
Es una matriz cuadrada
donde
los elementos ubicados en
la
parte superior de la
diagonal
son nulos.
Sea la Matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛
ssi:
Matriz triangular
Superior
Matriz triangular
Inferior

3. Es una matriz de cualquier
orden que tiene todos sus
elementos nulos.
Sea la matriz ,
ssi:
𝑎𝑖𝑗 = 0
𝐴 =
0 0 0
0 0 0
0 0 0
Es una matriz cuadrada que
tiene todos sus elementos nulos
excepto los de la diagonal
principal.
Sea la matriz 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛
, ssi:
Nula Diagonal

4. Es una matriz diagonal en la que
los elementos de la diagonal
principal son iguales.
Sea la matriz
ssi
También se denomina matriz
unidad.
Es una matriz cuadrada que
tiene todos sus elementos nulos
excepto los de la diagonal
principal que son iguales a 1.
Sea la matriz.
ssi
Escalar Identidad
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛
I = 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛

5. Dada una matriz A, se llama
traspuesta de A a la matriz que se
obtiene cambiando ordenadamente
las filas por las columnas o
viceversa.
Se representa por At ó AT
Sea la matriz
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 2𝑥3
, ℎ𝑎𝑙𝑙𝑒 𝐴 𝑡
Es una matriz cuadrada
que es igual a su
traspuesta.
Sea la matriz
𝐴 =
1 9 −6
9 2 1
−6 1 5
A = At , a ij = a ji
Transpuesta Simétrica
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛

6. Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta
de su traspuesta.
A=(-1)At , aij=-aji
Necesariamente aii = 0 ∀ 𝑖 = 𝑗
Sea la matriz , 𝑎𝑖𝑗 = 0 , ∀ 𝑖 = 𝑗
Antisimétrica
A=
0 1 -2
1 0 5
-2 5 0
𝐴 𝑇
=
0 1 -2
1 0 5
-2 5 0
0 -1 2
-1 0 -5
2 -5 1
−𝐴 𝑇=
𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑛

7. Suma de matrices
Producto de un escalar por una
matriz
Producto entre matrices

8. Interna: La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz
dimensión m x n.
Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro: A + 0 = A, Donde O es la matriz nula de la misma
dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto: A + (−A) = O La matriz opuesta es aquella en que
todos los elementos están cambiados de signo.
Conmutativa: A + B = B + A
Propiedades
Suma de Matrices
Si las matrices A= (aij)mxn y B= (bij)mxn tienen el mismo orden, la matriz
suma es: A+B= (aij+bij)mxn
La matriz suma se obtiene sumando los elementos de las dos matrices que
ocupan la misma posición y la matriz resultante tiene el mismo orden de las
matrices iníciales, A y B.
Ejemplo:
𝐴 + 𝐵 =
3 0 2
4 2 1
6 2 1

9. Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz y un número real( ),
se define el producto de un número real por una matriz: a la
matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está
multiplicado por .
Propiedades:
∝∗ 𝐴 𝑚𝑋𝑛 =
∝∗ 𝑎11 ∝∗ 𝑎12 … ∝∗ 𝑎1𝑛
.
.
.
.
.
.
.
.
.
∝∗ 𝑎 𝑚1 ∝∗ 𝑎 𝑚2 … . . ∝∗ 𝑎 𝑚𝑛

10. Producto de un escalar por una matriz(ejemplo)

11. Producto de matrices
Dos matrices A y B son multiplicables; si y solo si, el
número de columnas de A coincide con el número de
columnas de filas de B. La matriz producto se obtiene
multiplicando cada elemento de la fila i de la fila A por cada
elemento de la columna j de la matriz B.
Recordar verificar:
Nº de columnas de A = Nº de filas de B
Nº de filas de AB= Nº de filas de A
Nº de columnas de AB = Nº de columnas de B
Propiedades:

12. -2 0 -1
3 5 5
0 8 4
-1 3 4 (-1*-2)+(3*3)+(4*0) (-1*0)+(3*5)+(4*8) (-1*-1)+(3*5)+(4*4)
0 5 -2 (0*-2)+(5*3)+(-2*0) (0*0)+(5*5)+(-2*8) (0*-1)+(5*5)+(-2*4)
Producto de matrices (ejemplo)
111 47 32
15 9 17