Ejercicios de Leyes de Conjuntos

1. EJERCICIOS DE
LEYES DE
CONJUNTOS
República Bolivariana De Venezuela
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Sede Barcelona
Asignatura: Estructuras Discretas y Grafos
Sección SV
Bachiller:
Matiguán Rosalba
C.I. 17733145
Profesor:
Asdrúbal Rodríguez

2. NOTACIONES A UTILIZAR
 Mayúsculas como A,B para denotar conjuntos. El conjunto
vacío es ∅.
 Minúsculas como a,b para denotar elementos de un conjunto
A. La pertenencia de a se indica a∈A.El número de elementos
del conjunto A se denota n(A).
 El subconjunto Y del conjunto X se denota Y⊂X.
 Las operaciones de Unión e Intersección entre los conjuntos A
y B se denotan A∪B y A∩B respectivamente.
 El complemento del conjunto A se denota A 𝐶

3. RESUMEN DE ALGUNAS LEYES
 De Idempotencia: A ∪ A = A ∩ A= A.
 Asociativa: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C )
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
 Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
 De Involución: ((A 𝐶
) 𝐶
= A
 De Morgan: (A∪B) 𝐶 = A 𝐶
∩ B 𝐶
(A∩B) 𝐶 = A 𝐶
∪ B 𝐶
 Principio de conteo: n(A ∪ B) = n(A) + n(B) - n(A ∩ B)

4. EJERCICIO 1
Sean A y B subconjuntos de X, tales que A∩B = ∅ y
A∪B = X. Compare A y B con el complemento de B y
A respectivamente, en X.
Respuesta:
Sea x un elemento cualquiera de A, y se tiene que A∩B = ∅. Al no
existir elementos en común entre A y B entonces x no pertenece a B y
por lo tanto, x∈ Bc. Con esto se demuestra que A⊂ Bc y
recíprocamente 𝐁 ⊂ Ac.
De acuerdo a la premisa A∪B = X, como x∈A, x∉B y x∈X, entonces se
deduce que Bc ⊂A. Como A⊂ Bc, finalmente se tiene que A = Bc , y
por recíproco B = Ac

5. EJERCICIO 2
Qué puede concluirse de los conjuntos P y Q si :
a) P∩ Q
C
= ∅
b) P∩(Q∪P) = P
Respuesta:
a) Si x∈P es un elemento cualquiera, y x∈ Q
C
entonces x∈ (P ∩ Q
C
),
pero como esto no es verdadero de acuerdo a la premisa, entonces
se tiene que x∉ Q
C
sino que x∈Q, y como x∈P, se concluye que
𝐏 ⊂Q.
b) Usando distribución e idempotencia se tiene:
P∩(Q∪P) = (P∪Q)∩(P∪P) = (Q∩P)∪P, es decir que P∩(Q∪P) =
P∪(Q∩P). Debido a que P∩(Q∪P)⊂ P, P⊂P y P⊂(Q∪P) entonces
se deduce que P⊂ P∩(Q∪P) por lo tanto, P=(Q∪P).

6. EJERCICIO 3
Sean A y B conjuntos finitos, n(A) es el número de
elementos del conjunto A y de acuerdo al principio del
conteo se tiene que n(A∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩B).
Hallar una fórmula para n(A∪B∪C).
Respuesta:
Utilizando el principio del conteo se tiene que
n(A∪B∪C) = n(A ∪(B∪C)) = n(A) + n(B∪C) – n(A∩(B∪C)) = n(A) +
n(B) + n(C) - n(B∩C) – n((A∩B)∪(A∩C)) =
n(A) + n(B) + n(C) - n(B∩C) – [n(A∩B) + n(A∩C) - n(A∩B ∩C)]
Finalmente, la fórmula queda:
n(A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) – n(A∩C) - n(𝐁 ∩C) +
n(A∩B ∩C)

7. EJERCICIO 4
Demostrar las Leyes de Morgan.
Respuesta:
a) Se va a demostrar que (A ∩ B)C = AC ∪ BC. Primero se tiene que un
elemento cualquiera x ∈ (A ∩ B)C y por ser complemento se tiene
que x ∉ (A ∩ B) de esto se deduce que x ∉ A o x ∉ B y por lo tanto, x∈
AC o x∈ BC , lo cual implica una unión AC ∪ BC, que es lo que ser
quería demostrar.
b) Se tiene (A ∪ B)C = AC ∩ BC. De manera similar al anterior, se tiene que
un elemento cualquiera x ∈ (A ∪ B)C y por ser complemento se tiene
que x ∉ (A ∪ B) de esto se deduce que x ∉ A ni x ∉ B, o sea no
pertenece a ninguno de los dos conjuntos y por lo tanto, x∈ AC y x∈ BC ,
lo cual implica una intersección AC ∩ BC, que es lo que se quería
demostrar.

8. EJERCICIO 5
Sean X e Y subconjuntos de A. Demostrar que si el
conjunto Y = (X∩ YC)∪(XC ∩Y) entonces Y = (Y∪X).
Respuesta:
Utilizando las propiedades y leyes conocidas se tiene:
Y = Y ∪(X∩Y) = ((X∩ YC)∪(XC ∩Y))∪(X∩Y)) (por absorción y definición de Y)
Aplicando ley distributiva se tiene:
Y = (X∩ YC)∪((XC ∩Y)∪(X∩Y)) =(X∩ YC)∪[((XC ∩Y)∪X)∩((XC ∩Y)∪Y)]
Usando ley de absorción y distributiva:
Y = (X∩ YC)∪[(XC∪X) ∩(Y∪ X)∩Y)] (ley de identidad (XC∪X) = A)
Y = (X∩ YC)∪[(Y∪ X)∩Y)] = (X∩ YC) ∪Y = (X ∪Y)∩(YC ∪ Y)
Finalmente, usando ley de absorción e identidad (YC ∪ Y) = A
Y = (X ∪Y)∩A = X ∪Y que es lo que se quería demostrar