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Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 1
Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436
(1) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 96 Tema 2
1. Hallar los valores de a, b, c y d para que el conjunto de soluciones de S sea un plano que pasa por el
punto (1, – 2, 1) si S:





−=−++−−
=+−
=++
8)4()8(
3
22
321
321
321
dxacxbx
dcxbxx
axxx
2. Sea S = {x ∈ R2x2
/ x11 + x22 = x21 = 0} Hallar un subespacio T de R2x2
tal que S + T = R2x2
y
S ∩T= >





<
20
02
3. Si S: – x1 + x2 – x3 + 2 x4 = 0 y Π = <(– 2, 1, 0, 1); (– 5, 2, 1, 1); (– 5, 2, 1, 1)>. Hallar, si es posible,
una base de S que contenga una base de Π Expresar v = (2, 2, 2, 1) en la base hallada.
4. En R3
sean P = (2, 1, 1) y Π :x1 + x2 – x3 = 0. Encontrar A y B en Π de modo que los vectores
v =
→
PA y w=
→
PB sean ortogonales.
(2) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 96 Tema 3
1. Sea L la recta que pasa por (0,–1, 2) y (2,1,1). Hallar dos rectas alabeadas, ambas perpendiculares a
L y que además la corten. (Aclaración: dos rectas son alabeadas si no son paralelas, ni se cortan.)
2. Si










1
1
2
y










3
0
2
son soluciones de A . x =










1
1
4
y










−
1
2
1
es solución de A . x =










2
3
1
. Hallar tres solu-
ciones de A. x =










3
4
5
.
3. Sean B = {(1, 1, – 1), (0, 1, 2), (2, 1, 0)} y B’ = {(–1, 3, 2), (1, 4, 2)}. Hallar v para que exista algún
vector no nulo de R3
cuyas coordenadas en la base B’ coincidan con sus coordenadas en la base B.
4. Sean en R2x3
los subespacios S = {a ∈ R2x3
/a11 + a22 = a12} y S’ = {a ∈ R2x3
/a12 – a21 = a13 = 0}.
Hallar un subespacio Π, tal que Π ⊂ S’ y S ⊕ Π = R2x3
.
(3) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 96 Tema 4
1. Hallar los valores de a, b, c y d para el conjunto de soluciones de S, sea un plano que pasa por
(1,1,1) si:





−=+−−+
=−+
=+−
12)2()2(
3
6
:
321
321
321
dxcxnbx
dcxbxx
xaxx
S
2. Sea S = {x ∈ R2x2
/ x11 + x12 + x21 = 0}. Hallar un subespacio Π de R2x2
y S ∪ Π = < 




 −
00
22
>
Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 2
Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436
3. Si S: x1 + x2 + x3 – 2x4 = 0 y Π = <(–1, 0, – 1, 1), (2, – 3, 2, 1)> hallar si es posible, una base de S
que contenga una base de Π⊥
. Expresar v = (2, 1, –1, 1) en la base hallada.
4. En R3
sean P = (1, – 1, 2) y Π: 2x1 – x2 + x3 = 0. Encontrar A y B en Π de modo que los vectores v
=
→
PAy u =
→
PBsean ortogonales.
(4) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 96 Tema 1
1) Sean Π: 2x + y = 1 y L : x = t (1, 1, 1) + (1, 0, 0). Hallar los puntos P y Q ∈ L, tales que, L ∩ Π sea
el punto medio del segmento PQ y la longitud del segmento PQ sea igual a 4 3
2) Si el sistema A. X = 0 (con A∈ R3x3
y X∈ R3x1
) admite a la recta L: x = t (1,–1,0) como solución.
Hallar tres soluciones no triviales del sistema A.B.X = 0 que no sean coloniales siendo B =










−
−
−
103
011
112
3) Sean



=++
=+−
=
0
0
431
421
xkxx
xxx
S y L: X = α (4, – 2, 1, 4). Hallar todos los valores de k ∈ R para los
cuales L ⊂ S⊥
.
4) Encontrar una base de R4
, B = {v1, v2, v3, v4} que verifique {v1, v2, v3} sea una base de {x ∈ R4
: x4 =
0} ; {v2, v3, v4} sea base de {x ∈ R4
:x2 = 0} y [(1,– 2, 1, 2)]B = (1, 0, 0, 1).
(5) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1er
Cuat. 96 Tema 1
1. a) Determinar la ecuación del plano Π cuyo punto más próximo al origen sea (-1, 2, 3) b) Determi-
nar la ecuación de un plano Π’ que verifique: Π ∩ Π’ y d(Π’, 0) = d(Π,0) donde 0 = (0,0,0)
2. Hallar los valores de a y b para que el conjunto de soluciones del sistema





=−+
+−=−+
=−+
122
5
0
321
321
321
xxx
axbxbx
xxx
sea igual a




















=










∈
3
3
1
.
100
03
011
: xaRx
3. Si S = >(1,1,0,0); (0,1,1,0); (–1,0,1,0)> y v = (1, 3, 2, 1), hallar v1, v2 tales que v1 ⊥ v2 ,
v = v1 + v2,y v1 ∈ S.
4. Si B = {v1, v2, v3} y B’ = { v1 – v2, v1 + v2 + v3, w} son bases de un espacio vectorial V sobre R y:
(w1)B’ = (1, 0, 0) (w2)B’ = (0, 1, 1) (w3)B’ = (1, 0, 3).
Hallar w si sabemos que (w1 – w2 + w3)B’ = (– 2, – 3, 2).
Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 3
Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436
(6) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1er
Cuat. 97 Tema 4
1) Sean L: x = (1,2, –1) + λ(1,1,1); P = (1,2,0) y Q = (0,1, –2). Encontrar todos los puntos A ∈ L tales
que el triángulo PAQ sea rectángulo en A.
2) Sean





=−
−=++
=++
1
12
12
:
31
432
321
xx
xxx
xxx
S y w = <(0, 1, – 1, 0); (1, 0, 0, – 1)>. Decidir si el conjunto de
soluciones de S está contenido en W. Justificar.
3) Sea S = <(1, – 2, 0); (– 2, 4, k2
– 1); (k, 2, 0)>. Determinar todos los valores de k para los cuales
existe un subespacio W tal que: dim. W = 1 y S ⊕ W = R3
. Para algunos de los valores de k hallados,
encontrar W.
4) Sean B = {v1, v2, v3} y B` = { v1 – v2, 2v1 + v2, v3} bases de un espacio vectorial V y v ∈ V un vec-
tor cuyas coordenadas en las base B con (1, 2, 4). Hallar las coordenadas de v en la base B’.
(7) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 97 Tema 3
1. Las rectas L1: λ(2, 0, 1) + (1, 2, 1) y L2: λ(1, – 1, 2) + (1, – 2, a) están contenidas en un plano Π.
Determinar el valor de a y hallar la ecuación del plano Π.
2. Dadas A =










−−
−
231
120
142
B =










−
α
−
701
10
323
2
C =










α
−
3
2
1
, encontrar α para que existan al menos
dos vectores x ∈ R3 x 1
tales que A x = B x + C
3. Dados S = <(1, 0, 1, 2); (2, 1, – 1, 1)> y Π = <(1, 0, – 1, 0); (0, 1, 2, 1); (0, 1, 0, 1) >
Encontrar una base de R4
que contenga a una base de S ⊥
∩ Π.
4. Hallar una base B = {v1, v2, v3} de R3
tal que para todo v = (x, y, z) ∈ R3
. Las coordenadas de v en la
base B son (x + y,x,y + 2z).
(8) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 97 (Recuperatorio – Diferido) Tema 2
1. Hallar todos los puntos P de R3
tales que dist.(P, Π) = dist.(P, Π’) siendo Π = x1 + 4x2 – x3 = 9 y Π’
= x1 + 4x2 – x3 = 11.
2. Hallar todos los puntos del plano P: 3x1 + x2 + x3 = 1 que son solución del sistema





=+−
=+−
=+
42
3
22
32
321
31
xx
xxx
xx
3. Hallar, si existe, α ∈ R tal que B = {(2,–2,1,0); (1,–1,3,0)} sea base de (S ∩ Π) si
S: x1 + x2 – 3x3 = 0 y Π: < (3, – 3, 2α, 0); (–1, 1, 2, 0); (1, – 2, 1, – 2α)>
4. Si W = {(aij) ∈R
3x3
/ aij = 0 si i < j} y S = {(aij) ∈ R
3x3
/ ∑
=
=+
2
1
23 0
j
ij aa }.
Buscar Π en R3x3
de modo que W + Π = S.
(9) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1er
Cuat. 98 Tema 4
Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 4
Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436
1. Sean las rectas L: λ(–1, 1, 2) + (2, 1, 3) y L’: t(2, –1, 1) +(0, 2, 3). Encontrar la ecuación de un pla-
no Π que contenga a L y que todos los puntos de L´ estén a igual distancia de Π.
2. Determinar todos los valores de α y β para los cuales el sistema A. X = 





β
α
0
tiene infinitas solucio-
nes siendo A =










−
−
310
513
α
ααα
3. Hallar una base B de R3
de manera que las coordenadas del vector (–1,3,2) en la base B sean
(4,–1,0), y las coordenadas del vector (– 2, – 3, 1) en la base B sean (–1, 1, 0).
4. Sean W = {x ∈ R4
/ x1 – 2x2 + 2x4 = x3 + x4 = 0} y Π = <(1,0,– 1,0); (2,1,1,–1); (2, 0, 1, – 3)>. Hallar
dos subespacios de R4
, S1 y S2, tales que S1 ⊂ W; S1 ⊕ S2 = Π y S1 ≠ 0
(10) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 98 Tema 1
1. Sea Π el plano que pasa por los puntos A = (1, – 1, 2), B = (0, 1, 3) y C = (1, 1, 0). Determinar
todos los puntos de R3
que están a una distancia de 11 de Π.
2. De todas las rectas de R3
que pasan por el punto (2, 1, 0), ¿Cuáles pueden ser el conjunto de solu-
ción del sistema S, para algún valor dea y b?.





=−
=−+
=+−
252
3
222
zy
bzyx
zayx
S
3. Sean en R4
los subespacios S = {x ∈ R4
/ x1 + x2 – x3 – x4 = 0} y Π = <(1,1,1,0); (2,3,2,1); (0,2,1,2)>.
Hallar una base de R4
que contenga simultáneamente a una base de S y una base de Π.
4. Sean B = {v1, v2, v3} y B’ = {v1 + v2 – v3, 2v2 – v3, v1 + v3}, bases de V. Sea S el subespacio de to-
dos los vectores de V que tienen las mismas coordenadas en la base B y B’.
Decidir si S está contenido en <v1 – v2; v3>.
(11) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 98 Tema 2
1. Sea Π el plano que contiene a los puntos A = (0, 3, 0); B = (2, 0, −1); C = (2, 1, 0) , hallar todos los
x∈ Π que estén a igual distancia de A, de B y de C.
2. Sea en R2 x 2












=
10
13
;
00
12
S . Encontrar todas las matrices x de R 2 x 2
que verifiquen x . s = s .
x para toda matriz s de S.
3. Sean B = {(1,1,1,1);(1,1,1,0);(-1,1,0,0);(0,0,-1,1)} una base de R4
y v el vector cuyas coordenadas
en la base B son (2,1,5,0). Encontrar un sistema de ecuaciones cuyas soluciones sean las cuatreñas
(x1, x2, x3,x4) ortogonales a v.
4. Si S1: 2x1 + x2 + a x3 – x4 = 0 y S2: x1 + x2 + x3 + b x4 = 0 , hallar a y b para que los vectores v =
(1, –1, 3, 0) y w = (2, 1, 0, 5) pertenezcan a S1 ∩ S2. Para los valores de a y b determinados extender
(v,w) a una base de S1, a una base deS2 y a una base de S1 ∩ S2. Justificar.
Primer Parcial Álgebra: CBC (U.B.A.)
Si necesitas clases puedes llamar al011-15-67625436 o ir a soko.com.ar por los cursos online.
(1) Primer Parcial: 1999
1. Hallar, si es posible, las ecuaciones de los planos con normal N = (4, - 2, 4) que están a 5 del pun-
to P = (0, 1, -1)
2. Determinar los valores de k para los cuales el siguiente sistema tiene solución única:





=−+++
=++++
=−+
0)2()1(
0)1()2(
02
321
321
321
xxkxk
xkxkxk
xxx
3. Sea S = {x ∈ R4
/ x1 + 2 x2 – x3 = 0; x1 + x2 – x3 + x4 = 0} y sea B = {(-1, 1, 1, 1);(-3, 1, -1,-1); ;(1,-
1,-3,-1);(-2, 1, 0, 1)}. Hallar, si es posible, un conjunto B´⊂ B tal que B´ sea base de S. Justificar.
4. Sea B = {v1, v2, v3} una base de R3
. Si S = < v1 + 2 v2, v2 – v3, v1 + v2 + v3 >
a) Hallar una base del subespacio Π ⊂ R3
tal que S ⊕ Π = R3
. b) Si v1 = (1,-1, 1); v2 = (-1, 1, 0) y v3
= (1, 0, 0), dar las coordenadas de los elementos de la base hallada en a) en la base B y en la base ca-
nónica.
Rta: 1) 2x – y +2z = 12; 2) k ∈ R – {– 1, 0}; 3) B’= <(– 1, 1, 1, 1);(– 1, – 1, – 3, – 1);( – 2, 1, 0, 1)> ;
4) a) Π = < v1 – 2 v2 , v2 + v3 , v3 – v1 – v2 >. b) ármenla.
(2) Primer Parcial: 1998
1) Sea S = {x ∈ R4
/ 3x1 + x2 – x3 = 0 y x4 = 0}. Hallar un subespacio Π ⊂ R4
tal que
(1, 0, – 1, 2) ∈ Π y R4
= S ⊕ Π.
2) Sea S ⊆ R3
; S = < (a, 1, a); (3ª, a, – a)>. Hallar la dimensión de S ∀a ∈ R. Justificar la respuesta.
3) Hallar todas las matrices A ∈ R2 x 2
que verifican: 





=





30
12
.AA.
30
12
4) Sean L, la recta de dirección (1,2,– 2) que pasa por el punto P = (a, b, c) y sea Q el punto
Q = (1,2,– 2) + (a, b, c). Si Π es el plano perpendicular a L que pasa por P, probar que d(Q,Π) =
||(1,2,– 2)||.
Rta: 1) Π = {x ∈ R4
/ x1 + x2 + x3 = 0 y x2 – 2x3 = x4}; 2) Dim: 2; 3) A es canónica; 4) Q es un punto
de la recta L ⇒ d ||Q Π|| = d ||P Q|| = || Q – P || = || (1, 2, – 2) + (a, b, c) – (a, b, c) || =
= ||(1, 2, – 2) ||.
(3) Primer Parcial: 1997 Tema 3
1. Sea Π en el plano que pasa por los puntos A = (1,−1,0), B = (2,0, −1) y C = (3,−2,1)
( )1,2,3 −=C y sea β = {(1,−1,1);(1,1,0);(−1,0,0)}. Encontrar un punto P del plano Π, cuyas coor-
denadas en la base β sean de la forma: (P)β = (λ + 1, λ + 1, λ − 1), con λ ∈ R.
2. Si el determinante de la matriz 





dc
ba
es igual a 6, calcular el determinante de la matriz














−−
ba
dc
300
300
0011
0053
3. Sean S y T los subespacios de R4
definidos por




=++
=+−



=++++−
=+−
02)3(
02)9(
:T
0)2(2
02
:S
43
42
2
4321
321
xxa
xxa
xxaxx
xxx
Calcular la dimensión de S ∩ T para todos los valores de a ∈ R.
4. En R4
, sean S = <(1, -1,1,0);(1,-2,0,1)> y sea H = {x/x ∈ R, x1 – x2 + x3 = 0}. Hallar, si es posi-
ble, una base de H que contenga a una base de ⊥
S .
Respuestas: 1) ( )1,0,2=P ; 2) 126 ; 3) Dim S ∩ T = 0 ; 4) <(1,1,0,1);(-1,0,1,1);(0,0,0,1)>
Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 1
Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436
Primer Parcial de Álgebra 03/10/01
1) Sean L: X : λ (1, 2, 1) + (1, – 1, 0) y Π1: plano que contiene el eje “y” y al eje “z”; Π2: plano que
contiene el eje “x” y al eje “z”. Hallar todos los B ∈ R tales que d(B Π1) = d(B Π2).
Estamos buscando un punto de la recta, llamado B, que se encuentre a igual distancia de ambos
planos. El plano Π1, y – z = 0; mientras que Π2, al tener coordenada y = 0, su ecuación es x – z = 0.
La recta posee ecuación (x, y, z) = λ (1, 2, 1) + (1, – 1, 0)
Desarrollándola paramétricamente tenemos:





λ=
−λ=
+λ=
z
y
x
12
1
Aplicamos la ecuación para hallar la distancia entre un punto B a cada
uno de los planos
d(B, Π1) =
2
1
)1(10
)(12
222
−λ
=
−++
λ−−λ
d(B, Π2) =
2
1
)1(01
)(1
222
=
−++
λ−+λ
Las igualamos para hallar λ:



=λ⇒−=−λ
=λ⇒=−λ
⇒=
−λ
011
211
2
1
2
1
Si λ = 2, el punto es (3, 3, 2) (reemplazar en la recta).
Si λ = 0, el punto es (1, – 1, 0)
2) Dada










−−
−=
5111
3331
1211
A , sea T = {b ∈ R3x1
/ el sistema de la matriz ampliada (A; b) es
compatible}. Hallar b1 y b2 ∈ T, no nulos, tales que b1 ⊥ b2.
b es un matriz de 3x1 así que podemos escribirlo como










=
z
y
x
b
( )










−−
−=
z
y
x
bA
5111
3331
1211
, Triangulemos para hallar el valor de x, y, z.
B
Π1
Π2
Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 2
Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436










+−
−− →










+
−− →










−−
−
=−
=+
=−
zyx
xy
x
xz
xy
x
z
y
x
210000
4120
1211
6120
4120
1211
5111
3331
1211
323
313
212
FFF
FFF
FFF
Para todo vector de T T
: b = (x, y – x, 2x – y + z) (se elige la traspuesta por que es más fácil de
trabajar).
Buscamos dos vectores perpendiculares, o sea que su producto escalar sea cero.
b1 . b2 = (x1, y1 – x1, 2x1 – y1 + z1) . (x2, y2 – x2, 2x2 – y2 + z2) = 0
x1. x2 + (y1 – x1).( y2 – x2) + (2x1 – y1 + z1).( 2x2 – y2 + z2) = 0
x1x2 + y1y2 – y1x2 – x1y2 + x1x2 + 4x1x2 – 2x1y2 + 2x1z2 – 2x2y1 + y1y2 – y1z2 + 2x2 z1– y2 z1 + z1z2 = 0
6 x1x2 + 2 y1y2 + z1z2 – 3 y1x2 – 3 x1y2 + 2x1z2 – y1z2 + 2x2 z1– y2 z1 + z1z2 = 0
x1 (6x2 – 3y2 + 2z2) + y1 (– 3x2 + 2y2 – z2) + z1 (2x2 – y2 + z2) = 0
Para facilitar la operación suponemos que x1 = 1, y1 = 1, z1 = 1
b1 = (1, 1 – 1, 2.1 – 1 + 1) = (1, 0, 2)
Queda
6x2 – 3y2 + 2z2 – 3x2 + 2y2 – z2 + 2x2 – y2 + z2 = 0
5x2 – 2 y2 + 2 z2 = 0
Hay varios puntos que dan cero:
a) x2 = 0, y2 = 1, z2 = 1 → b2 =










0
1
0
b) x2 = – 2, y2 = 0, z2 = 5 → b2 =









−
1
2
2
. . .
Queda en ustedes verificar que son perpendiculares (en el parcial es la verificación lo que te asegura
que no te hayas equivocado).
3) Sean T = {A ∈ R3x3
/ a11 + a22 + a33 = 0}; S ⊂ R3x3
/ S = < I >, calcular dim. S + T.
SiB =










−−
−
311
221
021
hallar: s∈ S y t ∈ T / B = s + t
Los elementos de T son matrices de 3x3 cuya diagonal principal debe dar cero, una base puede ser:
Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 3
Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436
T =
































































−
−
001
000
000
,
000
000
100
,
000
001
000
,
000
100
000
,
000
000
010
,
010
000
000
100
000
001
,
100
010
000
,
S =










100
010
001
Para calcular la dimensión de S + T sumamos la cantidad de vectores, 1 de S y 8 de T, así que:
Dim. (S + T) = 9










+










λ=










−−
−
−−
hgf
edc
bahd
100
010
001
311
221
021
(recordar que la diagonal debe dar cero).










+










λ
λ
λ
=










−−
−
−−
hgf
edc
bahd
00
00
00
311
221
021










+λ==−=−
=+λ==−
==−−λ=
hgf
edc
bahd
311
221
021









 −−
 →









 −−
⇒





=++λ
=++λ
=−−λ
1
1
1
100
120
111
3
2
1
101
011
111
30
20
1
ostriangulam
hd
hd
hd
h = 1
2d + 1 = 1 → d = 0
λ – 0 – 1 = 1 → λ = 2










−−
−
−
+










=










−−
−
111
201
021
200
020
002
311
221
021
t s
4) Sea B = {v1, v2, v3, v4} base de un espacio vectorial V. Sean S = < v1+ v2 – 2v3 + 2v4; v2 – v3 + v4>
T = < v1+ v2 +2 v3; v1 + v4>, hallar el subespacio W ⊂ V, tal que W ⊕ (S ∩ T) = V.
Busquemos un vector que pertenezca a la intersección de S y T.
Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 4
Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436
S ∩ T =
( )



+λ++++γ=
+−β++−+α=
)()2(
)(22
31321
4324321
vvvvvu
vvvvvvvu
r
r
α v1+ α v2 – 2 α v3 + 2 α v4+ β v2 – β v3 + β v4 = γ v1+ γ v2 +2 γ v3 + λ v1 + λ v4
v1 (α − γ − λ) + v2 (α+ β – γ ) + v3 (2α – β − 2 γ)+ v4 (2 α + β − λ) = 0














−−
−−
 →














−
−−
−
−
⇒







=λ−β+α
=γ−β−α
=γ−β+α
=λ−γ−α
00000
02400
01010
01101
00112
02012
01011
00101
02
022
0
0
dotriangulan
− 4 λ − 2γ = 0 → γ = − 2λ
β = − λ
α − λ − γ = 0 → α − λ + 2λ = 0 → α = − λ
u
r
= λ (v1 + v2 + 2v3) – 2 λ (v1 + v3) = λ ( − v1 + v2) intersección entre S y T.
Estamos buscando a W de manera que sumado a S ∩ T da V. Los vectores deben ser linealmente
independientes.
W = {v2, v3, v4}
Si necesitas Ayuda para aprobar las materias que cursas o adeudas
Puedes llamar al 011-15-67625436 o ir a soko.com.ar
Algebra – Exactas – Primer parcial – Cátedra Gutiérrez
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  • 1. Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 1 Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436 (1) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do Cuat. 96 Tema 2 1. Hallar los valores de a, b, c y d para que el conjunto de soluciones de S sea un plano que pasa por el punto (1, – 2, 1) si S:      −=−++−− =+− =++ 8)4()8( 3 22 321 321 321 dxacxbx dcxbxx axxx 2. Sea S = {x ∈ R2x2 / x11 + x22 = x21 = 0} Hallar un subespacio T de R2x2 tal que S + T = R2x2 y S ∩T= >      < 20 02 3. Si S: – x1 + x2 – x3 + 2 x4 = 0 y Π = <(– 2, 1, 0, 1); (– 5, 2, 1, 1); (– 5, 2, 1, 1)>. Hallar, si es posible, una base de S que contenga una base de Π Expresar v = (2, 2, 2, 1) en la base hallada. 4. En R3 sean P = (2, 1, 1) y Π :x1 + x2 – x3 = 0. Encontrar A y B en Π de modo que los vectores v = → PA y w= → PB sean ortogonales. (2) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do Cuat. 96 Tema 3 1. Sea L la recta que pasa por (0,–1, 2) y (2,1,1). Hallar dos rectas alabeadas, ambas perpendiculares a L y que además la corten. (Aclaración: dos rectas son alabeadas si no son paralelas, ni se cortan.) 2. Si           1 1 2 y           3 0 2 son soluciones de A . x =           1 1 4 y           − 1 2 1 es solución de A . x =           2 3 1 . Hallar tres solu- ciones de A. x =           3 4 5 . 3. Sean B = {(1, 1, – 1), (0, 1, 2), (2, 1, 0)} y B’ = {(–1, 3, 2), (1, 4, 2)}. Hallar v para que exista algún vector no nulo de R3 cuyas coordenadas en la base B’ coincidan con sus coordenadas en la base B. 4. Sean en R2x3 los subespacios S = {a ∈ R2x3 /a11 + a22 = a12} y S’ = {a ∈ R2x3 /a12 – a21 = a13 = 0}. Hallar un subespacio Π, tal que Π ⊂ S’ y S ⊕ Π = R2x3 . (3) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do Cuat. 96 Tema 4 1. Hallar los valores de a, b, c y d para el conjunto de soluciones de S, sea un plano que pasa por (1,1,1) si:      −=+−−+ =−+ =+− 12)2()2( 3 6 : 321 321 321 dxcxnbx dcxbxx xaxx S 2. Sea S = {x ∈ R2x2 / x11 + x12 + x21 = 0}. Hallar un subespacio Π de R2x2 y S ∪ Π = <       − 00 22 >
  • 2. Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 2 Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436 3. Si S: x1 + x2 + x3 – 2x4 = 0 y Π = <(–1, 0, – 1, 1), (2, – 3, 2, 1)> hallar si es posible, una base de S que contenga una base de Π⊥ . Expresar v = (2, 1, –1, 1) en la base hallada. 4. En R3 sean P = (1, – 1, 2) y Π: 2x1 – x2 + x3 = 0. Encontrar A y B en Π de modo que los vectores v = → PAy u = → PBsean ortogonales. (4) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do Cuat. 96 Tema 1 1) Sean Π: 2x + y = 1 y L : x = t (1, 1, 1) + (1, 0, 0). Hallar los puntos P y Q ∈ L, tales que, L ∩ Π sea el punto medio del segmento PQ y la longitud del segmento PQ sea igual a 4 3 2) Si el sistema A. X = 0 (con A∈ R3x3 y X∈ R3x1 ) admite a la recta L: x = t (1,–1,0) como solución. Hallar tres soluciones no triviales del sistema A.B.X = 0 que no sean coloniales siendo B =           − − − 103 011 112 3) Sean    =++ =+− = 0 0 431 421 xkxx xxx S y L: X = α (4, – 2, 1, 4). Hallar todos los valores de k ∈ R para los cuales L ⊂ S⊥ . 4) Encontrar una base de R4 , B = {v1, v2, v3, v4} que verifique {v1, v2, v3} sea una base de {x ∈ R4 : x4 = 0} ; {v2, v3, v4} sea base de {x ∈ R4 :x2 = 0} y [(1,– 2, 1, 2)]B = (1, 0, 0, 1). (5) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1er Cuat. 96 Tema 1 1. a) Determinar la ecuación del plano Π cuyo punto más próximo al origen sea (-1, 2, 3) b) Determi- nar la ecuación de un plano Π’ que verifique: Π ∩ Π’ y d(Π’, 0) = d(Π,0) donde 0 = (0,0,0) 2. Hallar los valores de a y b para que el conjunto de soluciones del sistema      =−+ +−=−+ =−+ 122 5 0 321 321 321 xxx axbxbx xxx sea igual a                     =           ∈ 3 3 1 . 100 03 011 : xaRx 3. Si S = >(1,1,0,0); (0,1,1,0); (–1,0,1,0)> y v = (1, 3, 2, 1), hallar v1, v2 tales que v1 ⊥ v2 , v = v1 + v2,y v1 ∈ S. 4. Si B = {v1, v2, v3} y B’ = { v1 – v2, v1 + v2 + v3, w} son bases de un espacio vectorial V sobre R y: (w1)B’ = (1, 0, 0) (w2)B’ = (0, 1, 1) (w3)B’ = (1, 0, 3). Hallar w si sabemos que (w1 – w2 + w3)B’ = (– 2, – 3, 2).
  • 3. Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 3 Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436 (6) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1er Cuat. 97 Tema 4 1) Sean L: x = (1,2, –1) + λ(1,1,1); P = (1,2,0) y Q = (0,1, –2). Encontrar todos los puntos A ∈ L tales que el triángulo PAQ sea rectángulo en A. 2) Sean      =− −=++ =++ 1 12 12 : 31 432 321 xx xxx xxx S y w = <(0, 1, – 1, 0); (1, 0, 0, – 1)>. Decidir si el conjunto de soluciones de S está contenido en W. Justificar. 3) Sea S = <(1, – 2, 0); (– 2, 4, k2 – 1); (k, 2, 0)>. Determinar todos los valores de k para los cuales existe un subespacio W tal que: dim. W = 1 y S ⊕ W = R3 . Para algunos de los valores de k hallados, encontrar W. 4) Sean B = {v1, v2, v3} y B` = { v1 – v2, 2v1 + v2, v3} bases de un espacio vectorial V y v ∈ V un vec- tor cuyas coordenadas en las base B con (1, 2, 4). Hallar las coordenadas de v en la base B’. (7) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do Cuat. 97 Tema 3 1. Las rectas L1: λ(2, 0, 1) + (1, 2, 1) y L2: λ(1, – 1, 2) + (1, – 2, a) están contenidas en un plano Π. Determinar el valor de a y hallar la ecuación del plano Π. 2. Dadas A =           −− − 231 120 142 B =           − α − 701 10 323 2 C =           α − 3 2 1 , encontrar α para que existan al menos dos vectores x ∈ R3 x 1 tales que A x = B x + C 3. Dados S = <(1, 0, 1, 2); (2, 1, – 1, 1)> y Π = <(1, 0, – 1, 0); (0, 1, 2, 1); (0, 1, 0, 1) > Encontrar una base de R4 que contenga a una base de S ⊥ ∩ Π. 4. Hallar una base B = {v1, v2, v3} de R3 tal que para todo v = (x, y, z) ∈ R3 . Las coordenadas de v en la base B son (x + y,x,y + 2z). (8) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do Cuat. 97 (Recuperatorio – Diferido) Tema 2 1. Hallar todos los puntos P de R3 tales que dist.(P, Π) = dist.(P, Π’) siendo Π = x1 + 4x2 – x3 = 9 y Π’ = x1 + 4x2 – x3 = 11. 2. Hallar todos los puntos del plano P: 3x1 + x2 + x3 = 1 que son solución del sistema      =+− =+− =+ 42 3 22 32 321 31 xx xxx xx 3. Hallar, si existe, α ∈ R tal que B = {(2,–2,1,0); (1,–1,3,0)} sea base de (S ∩ Π) si S: x1 + x2 – 3x3 = 0 y Π: < (3, – 3, 2α, 0); (–1, 1, 2, 0); (1, – 2, 1, – 2α)> 4. Si W = {(aij) ∈R 3x3 / aij = 0 si i < j} y S = {(aij) ∈ R 3x3 / ∑ = =+ 2 1 23 0 j ij aa }. Buscar Π en R3x3 de modo que W + Π = S. (9) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1er Cuat. 98 Tema 4
  • 4. Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 4 Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436 1. Sean las rectas L: λ(–1, 1, 2) + (2, 1, 3) y L’: t(2, –1, 1) +(0, 2, 3). Encontrar la ecuación de un pla- no Π que contenga a L y que todos los puntos de L´ estén a igual distancia de Π. 2. Determinar todos los valores de α y β para los cuales el sistema A. X =       β α 0 tiene infinitas solucio- nes siendo A =           − − 310 513 α ααα 3. Hallar una base B de R3 de manera que las coordenadas del vector (–1,3,2) en la base B sean (4,–1,0), y las coordenadas del vector (– 2, – 3, 1) en la base B sean (–1, 1, 0). 4. Sean W = {x ∈ R4 / x1 – 2x2 + 2x4 = x3 + x4 = 0} y Π = <(1,0,– 1,0); (2,1,1,–1); (2, 0, 1, – 3)>. Hallar dos subespacios de R4 , S1 y S2, tales que S1 ⊂ W; S1 ⊕ S2 = Π y S1 ≠ 0 (10) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do Cuat. 98 Tema 1 1. Sea Π el plano que pasa por los puntos A = (1, – 1, 2), B = (0, 1, 3) y C = (1, 1, 0). Determinar todos los puntos de R3 que están a una distancia de 11 de Π. 2. De todas las rectas de R3 que pasan por el punto (2, 1, 0), ¿Cuáles pueden ser el conjunto de solu- ción del sistema S, para algún valor dea y b?.      =− =−+ =+− 252 3 222 zy bzyx zayx S 3. Sean en R4 los subespacios S = {x ∈ R4 / x1 + x2 – x3 – x4 = 0} y Π = <(1,1,1,0); (2,3,2,1); (0,2,1,2)>. Hallar una base de R4 que contenga simultáneamente a una base de S y una base de Π. 4. Sean B = {v1, v2, v3} y B’ = {v1 + v2 – v3, 2v2 – v3, v1 + v3}, bases de V. Sea S el subespacio de to- dos los vectores de V que tienen las mismas coordenadas en la base B y B’. Decidir si S está contenido en <v1 – v2; v3>. (11) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do Cuat. 98 Tema 2 1. Sea Π el plano que contiene a los puntos A = (0, 3, 0); B = (2, 0, −1); C = (2, 1, 0) , hallar todos los x∈ Π que estén a igual distancia de A, de B y de C. 2. Sea en R2 x 2             = 10 13 ; 00 12 S . Encontrar todas las matrices x de R 2 x 2 que verifiquen x . s = s . x para toda matriz s de S. 3. Sean B = {(1,1,1,1);(1,1,1,0);(-1,1,0,0);(0,0,-1,1)} una base de R4 y v el vector cuyas coordenadas en la base B son (2,1,5,0). Encontrar un sistema de ecuaciones cuyas soluciones sean las cuatreñas (x1, x2, x3,x4) ortogonales a v. 4. Si S1: 2x1 + x2 + a x3 – x4 = 0 y S2: x1 + x2 + x3 + b x4 = 0 , hallar a y b para que los vectores v = (1, –1, 3, 0) y w = (2, 1, 0, 5) pertenezcan a S1 ∩ S2. Para los valores de a y b determinados extender (v,w) a una base de S1, a una base deS2 y a una base de S1 ∩ S2. Justificar.
  • 5. Primer Parcial Álgebra: CBC (U.B.A.) Si necesitas clases puedes llamar al011-15-67625436 o ir a soko.com.ar por los cursos online. (1) Primer Parcial: 1999 1. Hallar, si es posible, las ecuaciones de los planos con normal N = (4, - 2, 4) que están a 5 del pun- to P = (0, 1, -1) 2. Determinar los valores de k para los cuales el siguiente sistema tiene solución única:      =−+++ =++++ =−+ 0)2()1( 0)1()2( 02 321 321 321 xxkxk xkxkxk xxx 3. Sea S = {x ∈ R4 / x1 + 2 x2 – x3 = 0; x1 + x2 – x3 + x4 = 0} y sea B = {(-1, 1, 1, 1);(-3, 1, -1,-1); ;(1,- 1,-3,-1);(-2, 1, 0, 1)}. Hallar, si es posible, un conjunto B´⊂ B tal que B´ sea base de S. Justificar. 4. Sea B = {v1, v2, v3} una base de R3 . Si S = < v1 + 2 v2, v2 – v3, v1 + v2 + v3 > a) Hallar una base del subespacio Π ⊂ R3 tal que S ⊕ Π = R3 . b) Si v1 = (1,-1, 1); v2 = (-1, 1, 0) y v3 = (1, 0, 0), dar las coordenadas de los elementos de la base hallada en a) en la base B y en la base ca- nónica. Rta: 1) 2x – y +2z = 12; 2) k ∈ R – {– 1, 0}; 3) B’= <(– 1, 1, 1, 1);(– 1, – 1, – 3, – 1);( – 2, 1, 0, 1)> ; 4) a) Π = < v1 – 2 v2 , v2 + v3 , v3 – v1 – v2 >. b) ármenla. (2) Primer Parcial: 1998 1) Sea S = {x ∈ R4 / 3x1 + x2 – x3 = 0 y x4 = 0}. Hallar un subespacio Π ⊂ R4 tal que (1, 0, – 1, 2) ∈ Π y R4 = S ⊕ Π. 2) Sea S ⊆ R3 ; S = < (a, 1, a); (3ª, a, – a)>. Hallar la dimensión de S ∀a ∈ R. Justificar la respuesta. 3) Hallar todas las matrices A ∈ R2 x 2 que verifican:       =      30 12 .AA. 30 12 4) Sean L, la recta de dirección (1,2,– 2) que pasa por el punto P = (a, b, c) y sea Q el punto Q = (1,2,– 2) + (a, b, c). Si Π es el plano perpendicular a L que pasa por P, probar que d(Q,Π) = ||(1,2,– 2)||. Rta: 1) Π = {x ∈ R4 / x1 + x2 + x3 = 0 y x2 – 2x3 = x4}; 2) Dim: 2; 3) A es canónica; 4) Q es un punto de la recta L ⇒ d ||Q Π|| = d ||P Q|| = || Q – P || = || (1, 2, – 2) + (a, b, c) – (a, b, c) || = = ||(1, 2, – 2) ||. (3) Primer Parcial: 1997 Tema 3 1. Sea Π en el plano que pasa por los puntos A = (1,−1,0), B = (2,0, −1) y C = (3,−2,1) ( )1,2,3 −=C y sea β = {(1,−1,1);(1,1,0);(−1,0,0)}. Encontrar un punto P del plano Π, cuyas coor- denadas en la base β sean de la forma: (P)β = (λ + 1, λ + 1, λ − 1), con λ ∈ R. 2. Si el determinante de la matriz       dc ba es igual a 6, calcular el determinante de la matriz               −− ba dc 300 300 0011 0053 3. Sean S y T los subespacios de R4 definidos por     =++ =+−    =++++− =+− 02)3( 02)9( :T 0)2(2 02 :S 43 42 2 4321 321 xxa xxa xxaxx xxx Calcular la dimensión de S ∩ T para todos los valores de a ∈ R. 4. En R4 , sean S = <(1, -1,1,0);(1,-2,0,1)> y sea H = {x/x ∈ R, x1 – x2 + x3 = 0}. Hallar, si es posi- ble, una base de H que contenga a una base de ⊥ S . Respuestas: 1) ( )1,0,2=P ; 2) 126 ; 3) Dim S ∩ T = 0 ; 4) <(1,1,0,1);(-1,0,1,1);(0,0,0,1)>
  • 6. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 1 Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436 Primer Parcial de Álgebra 03/10/01 1) Sean L: X : λ (1, 2, 1) + (1, – 1, 0) y Π1: plano que contiene el eje “y” y al eje “z”; Π2: plano que contiene el eje “x” y al eje “z”. Hallar todos los B ∈ R tales que d(B Π1) = d(B Π2). Estamos buscando un punto de la recta, llamado B, que se encuentre a igual distancia de ambos planos. El plano Π1, y – z = 0; mientras que Π2, al tener coordenada y = 0, su ecuación es x – z = 0. La recta posee ecuación (x, y, z) = λ (1, 2, 1) + (1, – 1, 0) Desarrollándola paramétricamente tenemos:      λ= −λ= +λ= z y x 12 1 Aplicamos la ecuación para hallar la distancia entre un punto B a cada uno de los planos d(B, Π1) = 2 1 )1(10 )(12 222 −λ = −++ λ−−λ d(B, Π2) = 2 1 )1(01 )(1 222 = −++ λ−+λ Las igualamos para hallar λ:    =λ⇒−=−λ =λ⇒=−λ ⇒= −λ 011 211 2 1 2 1 Si λ = 2, el punto es (3, 3, 2) (reemplazar en la recta). Si λ = 0, el punto es (1, – 1, 0) 2) Dada           −− −= 5111 3331 1211 A , sea T = {b ∈ R3x1 / el sistema de la matriz ampliada (A; b) es compatible}. Hallar b1 y b2 ∈ T, no nulos, tales que b1 ⊥ b2. b es un matriz de 3x1 así que podemos escribirlo como           = z y x b ( )           −− −= z y x bA 5111 3331 1211 , Triangulemos para hallar el valor de x, y, z. B Π1 Π2
  • 7. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 2 Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436           +− −− →           + −− →           −− − =− =+ =− zyx xy x xz xy x z y x 210000 4120 1211 6120 4120 1211 5111 3331 1211 323 313 212 FFF FFF FFF Para todo vector de T T : b = (x, y – x, 2x – y + z) (se elige la traspuesta por que es más fácil de trabajar). Buscamos dos vectores perpendiculares, o sea que su producto escalar sea cero. b1 . b2 = (x1, y1 – x1, 2x1 – y1 + z1) . (x2, y2 – x2, 2x2 – y2 + z2) = 0 x1. x2 + (y1 – x1).( y2 – x2) + (2x1 – y1 + z1).( 2x2 – y2 + z2) = 0 x1x2 + y1y2 – y1x2 – x1y2 + x1x2 + 4x1x2 – 2x1y2 + 2x1z2 – 2x2y1 + y1y2 – y1z2 + 2x2 z1– y2 z1 + z1z2 = 0 6 x1x2 + 2 y1y2 + z1z2 – 3 y1x2 – 3 x1y2 + 2x1z2 – y1z2 + 2x2 z1– y2 z1 + z1z2 = 0 x1 (6x2 – 3y2 + 2z2) + y1 (– 3x2 + 2y2 – z2) + z1 (2x2 – y2 + z2) = 0 Para facilitar la operación suponemos que x1 = 1, y1 = 1, z1 = 1 b1 = (1, 1 – 1, 2.1 – 1 + 1) = (1, 0, 2) Queda 6x2 – 3y2 + 2z2 – 3x2 + 2y2 – z2 + 2x2 – y2 + z2 = 0 5x2 – 2 y2 + 2 z2 = 0 Hay varios puntos que dan cero: a) x2 = 0, y2 = 1, z2 = 1 → b2 =           0 1 0 b) x2 = – 2, y2 = 0, z2 = 5 → b2 =          − 1 2 2 . . . Queda en ustedes verificar que son perpendiculares (en el parcial es la verificación lo que te asegura que no te hayas equivocado). 3) Sean T = {A ∈ R3x3 / a11 + a22 + a33 = 0}; S ⊂ R3x3 / S = < I >, calcular dim. S + T. SiB =           −− − 311 221 021 hallar: s∈ S y t ∈ T / B = s + t Los elementos de T son matrices de 3x3 cuya diagonal principal debe dar cero, una base puede ser:
  • 8. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 3 Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436 T =                                                                 − − 001 000 000 , 000 000 100 , 000 001 000 , 000 100 000 , 000 000 010 , 010 000 000 100 000 001 , 100 010 000 , S =           100 010 001 Para calcular la dimensión de S + T sumamos la cantidad de vectores, 1 de S y 8 de T, así que: Dim. (S + T) = 9           +           λ=           −− − −− hgf edc bahd 100 010 001 311 221 021 (recordar que la diagonal debe dar cero).           +           λ λ λ =           −− − −− hgf edc bahd 00 00 00 311 221 021           +λ==−=− =+λ==− ==−−λ= hgf edc bahd 311 221 021           −−  →           −− ⇒      =++λ =++λ =−−λ 1 1 1 100 120 111 3 2 1 101 011 111 30 20 1 ostriangulam hd hd hd h = 1 2d + 1 = 1 → d = 0 λ – 0 – 1 = 1 → λ = 2           −− − − +           =           −− − 111 201 021 200 020 002 311 221 021 t s 4) Sea B = {v1, v2, v3, v4} base de un espacio vectorial V. Sean S = < v1+ v2 – 2v3 + 2v4; v2 – v3 + v4> T = < v1+ v2 +2 v3; v1 + v4>, hallar el subespacio W ⊂ V, tal que W ⊕ (S ∩ T) = V. Busquemos un vector que pertenezca a la intersección de S y T.
  • 9. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 4 Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436 S ∩ T = ( )    +λ++++γ= +−β++−+α= )()2( )(22 31321 4324321 vvvvvu vvvvvvvu r r α v1+ α v2 – 2 α v3 + 2 α v4+ β v2 – β v3 + β v4 = γ v1+ γ v2 +2 γ v3 + λ v1 + λ v4 v1 (α − γ − λ) + v2 (α+ β – γ ) + v3 (2α – β − 2 γ)+ v4 (2 α + β − λ) = 0               −− −−  →               − −− − − ⇒        =λ−β+α =γ−β−α =γ−β+α =λ−γ−α 00000 02400 01010 01101 00112 02012 01011 00101 02 022 0 0 dotriangulan − 4 λ − 2γ = 0 → γ = − 2λ β = − λ α − λ − γ = 0 → α − λ + 2λ = 0 → α = − λ u r = λ (v1 + v2 + 2v3) – 2 λ (v1 + v3) = λ ( − v1 + v2) intersección entre S y T. Estamos buscando a W de manera que sumado a S ∩ T da V. Los vectores deben ser linealmente independientes. W = {v2, v3, v4} Si necesitas Ayuda para aprobar las materias que cursas o adeudas Puedes llamar al 011-15-67625436 o ir a soko.com.ar
  • 10. Algebra – Exactas – Primer parcial – Cátedra Gutiérrez Si necesitas preparar tu parcial, final o libre puedes llamar al 011–15–67625436 (Lujan)