Este documento contiene 9 páginas con ejercicios de álgebra para un primer parcial. Los ejercicios abarcan diferentes temas como sistemas de ecuaciones, subespacios, bases de vectores, planos y rectas en el espacio tridimensional. El documento proporciona los enunciados de los ejercicios pero no las respuestas resueltas. Al final, incluye información de contacto para aquellos estudiantes que necesiten clases de apoyo.
Este documento contiene 8 ejercicios de álgebra lineal que involucran conceptos como subespacios vectoriales, bases, rangos de matrices y dependencia lineal de vectores. En general, los ejercicios piden determinar si ciertos conjuntos son subespacios, encontrar bases, expresar polinomios como combinaciones lineales y analizar la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta 7 ejercicios resueltos sobre espacios vectoriales. Los ejercicios involucran determinar si vectores pertenecen a subespacios, calcular bases de subespacios, y encontrar la dimensión de subespacios. El documento proporciona detalles sobre cómo resolver cada ejercicio paso a paso.
1) Se presentan 32 ejercicios sobre espacios vectoriales, subespacios vectoriales, dependencia lineal de vectores, y sumas de subespacios. 2) Los ejercicios incluyen determinar si conjuntos son espacios vectoriales o subespacios, calcular bases, dimensiones, ecuaciones paramétricas e implícitas, y sumas y intersecciones de subespacios. 3) Los ejercicios abarcan espacios y subespacios vectoriales en Rn, Pk(R) y matrices.
Este documento presenta 10 ejercicios sobre espacios vectoriales reales y complejos. Los ejercicios cubren temas como combinaciones lineales de vectores, dependencia lineal, subespacios vectoriales y polinomios. Adicionalmente, incluye 12 preguntas de prueba sobre estos mismos conceptos para evaluar la comprensión del estudiante.
La ecuación de la parábola horizontal que pasa por los puntos (1.5, 3), (3, 5) y (3, -3) es (y - 1)2 = 8x - 1. Para encontrar esta ecuación, se grafican los puntos, se asume una forma general para la ecuación de la parábola, y se sustituyen los puntos en la ecuación para resolverla y encontrar los valores de k e h.
I. El documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal incluyendo espacios vectoriales, subespacios, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal y bases.
II. Define un espacio vectorial como un conjunto con operaciones de adición y multiplicación por escalares que cumplen ciertas propiedades.
III. Explica que un subconjunto es un subespacio si también cumple dichas propiedades y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta 25 problemas relacionados con los conceptos de espacio vectorial, subespacio vectorial, bases y cambio de bases. Los problemas cubren temas como determinar si conjuntos de vectores generan espacios o subespacios vectoriales, encontrar bases, ecuaciones de cambio de base, sumas directas de subespacios, y propiedades de subespacios particulares.
Este documento describe el uso del software Geogebra para visualizar y animar conceptos topológicos como espacios métricos, distancias, bolas abiertas y cerradas. Incluye ejemplos interactivos de distancias euclídeas y no euclídeas en R2 y R, y muestra cómo Geogebra puede ayudar a comprender intuitivamente nociones abstractas a través de su materialización en un entorno virtual.
Este documento contiene 8 ejercicios de álgebra lineal que involucran conceptos como subespacios vectoriales, bases, rangos de matrices y dependencia lineal de vectores. En general, los ejercicios piden determinar si ciertos conjuntos son subespacios, encontrar bases, expresar polinomios como combinaciones lineales y analizar la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Este documento presenta 7 ejercicios resueltos sobre espacios vectoriales. Los ejercicios involucran determinar si vectores pertenecen a subespacios, calcular bases de subespacios, y encontrar la dimensión de subespacios. El documento proporciona detalles sobre cómo resolver cada ejercicio paso a paso.
1) Se presentan 32 ejercicios sobre espacios vectoriales, subespacios vectoriales, dependencia lineal de vectores, y sumas de subespacios. 2) Los ejercicios incluyen determinar si conjuntos son espacios vectoriales o subespacios, calcular bases, dimensiones, ecuaciones paramétricas e implícitas, y sumas y intersecciones de subespacios. 3) Los ejercicios abarcan espacios y subespacios vectoriales en Rn, Pk(R) y matrices.
Este documento presenta 10 ejercicios sobre espacios vectoriales reales y complejos. Los ejercicios cubren temas como combinaciones lineales de vectores, dependencia lineal, subespacios vectoriales y polinomios. Adicionalmente, incluye 12 preguntas de prueba sobre estos mismos conceptos para evaluar la comprensión del estudiante.
La ecuación de la parábola horizontal que pasa por los puntos (1.5, 3), (3, 5) y (3, -3) es (y - 1)2 = 8x - 1. Para encontrar esta ecuación, se grafican los puntos, se asume una forma general para la ecuación de la parábola, y se sustituyen los puntos en la ecuación para resolverla y encontrar los valores de k e h.
I. El documento presenta los conceptos básicos de álgebra lineal incluyendo espacios vectoriales, subespacios, combinaciones lineales, dependencia e independencia lineal y bases.
II. Define un espacio vectorial como un conjunto con operaciones de adición y multiplicación por escalares que cumplen ciertas propiedades.
III. Explica que un subconjunto es un subespacio si también cumple dichas propiedades y provee ejemplos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta 25 problemas relacionados con los conceptos de espacio vectorial, subespacio vectorial, bases y cambio de bases. Los problemas cubren temas como determinar si conjuntos de vectores generan espacios o subespacios vectoriales, encontrar bases, ecuaciones de cambio de base, sumas directas de subespacios, y propiedades de subespacios particulares.
Este documento describe el uso del software Geogebra para visualizar y animar conceptos topológicos como espacios métricos, distancias, bolas abiertas y cerradas. Incluye ejemplos interactivos de distancias euclídeas y no euclídeas en R2 y R, y muestra cómo Geogebra puede ayudar a comprender intuitivamente nociones abstractas a través de su materialización en un entorno virtual.
El documento proporciona soluciones detalladas a varios ejercicios de álgebra lineal. Resuelve cinco ejercicios encontrando bases y dimensiones de subespacios generados por conjuntos de vectores en diferentes espacios vectoriales. Explica cada paso con cuidado para justificar las respuestas.
El documento presenta ejemplos de rectas en el plano y en el espacio. Explica cómo determinar si puntos están alineados o no, y cómo hallar ecuaciones paramétricas e implícitas de rectas. También muestra cómo representar puntos en un sistema de coordenadas y calcular puntos medios y baricentros de triángulos.
Unidad 8 resolvamos con geometria analitica.matedivliss
Este documento trata sobre la geometría analítica de las circunferencias y parábolas. Explica la definición, elementos y ecuaciones de las circunferencias y parábolas, incluyendo cómo calcular el centro, radio, vértice, foco y directriz. También incluye ejemplos y actividades para practicar el cálculo de estas curvas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre rectas y planos en el espacio tridimensional. Explica cómo representar puntos, hallar ecuaciones de rectas, calcular puntos medios y baricentros de triángulos en 3D. Muestra ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos geométricos fundamentales del espacio.
Este documento presenta 30 preguntas de opción múltiple sobre relaciones binarias y conjuntos. Las preguntas involucran conceptos como dominio, rango, intersección de conjuntos, propiedades de relaciones (reflexividad, simetría, transitividad), gráficas de relaciones y áreas determinadas por relaciones.
El documento describe las cuatro curvas cónicas fundamentales: la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. Define cada una y presenta sus ecuaciones generales y elementos clave como el centro, radio, focos y ejes. También incluye ejemplos resueltos de cómo encontrar la ecuación de cada curva a partir de datos dados.
El documento presenta varios ejercicios sobre espacios vectoriales. En el primer ejercicio, se demuestra que el conjunto de todos los polinomios es un espacio vectorial. En el segundo ejercicio, se muestra que los elementos neutro y simétrico de un espacio vectorial son únicos. En el tercer ejercicio, se determina cuáles de varios subconjuntos de polinomios de grado 2 son subespacios de este espacio vectorial.
Apuntes de calculo_en_varias_variable_scompleto_usmVictor Gallardo
Este documento discute ecuaciones cuadráticas y cónicas en el plano y el espacio. Explica que las ecuaciones cuadráticas representan cónicas trasladadas y/o rotadas en el plano, y que mediante traslaciones y rotaciones pueden llevarse a formas canónicas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. También explica que las superficies cuadráticas en el espacio tridimensional pueden llevarse a formas canónicas mediante traslaciones
La parábola es el lugar geométrico de los puntos en un plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco. La ecuación general de una parábola es Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, donde B2 - 4AC = 0. El coeficiente angular de la directriz es m = B/2A o m = 2C/B.
Este documento describe las transformaciones de coordenadas, incluyendo traslación y rotación de ejes. La traslación mueve los ejes paralelamente a sí mismos, cambiando las coordenadas de un punto pero no su posición relativa. La rotación gira los ejes alrededor del origen, cambiando las coordenadas de un punto y su posición. Estas transformaciones pueden simplificar ecuaciones al eliminar términos o cambiar la forma de una curva. Se proveen ejemplos ilustrativos de aplicar traslaciones y rot
Este documento presenta 8 preguntas de matemáticas con sus respectivas resoluciones. Las preguntas incluyen temas como sistemas de ecuaciones, sucesiones, funciones, programación lineal e inecuaciones. Cada resolución explica detalladamente los pasos para llegar a la respuesta correcta.
El documento presenta conceptos básicos de geometría analítica en el plano y el espacio, incluyendo ecuaciones de rectas y planos, y cómo distinguir su posición relativa. También introduce el producto escalar y cómo este se puede usar para calcular longitudes y ángulos entre vectores. El documento contiene ejemplos y ejercicios para reforzar estos conceptos.
1) El documento describe operaciones con vectores como suma, resta, multiplicación por números y producto escalar.
2) Se proporcionan ejemplos de sumar y multiplicar vectores representados por pares de números.
3) También se explica cómo encontrar coordenadas de vectores respecto a una base dada.
Este documento describe las relaciones binarias y algunas de sus propiedades. Define relación binaria, dominio, rango y representación gráfica. Explica las clases de relaciones reflexivas, simétricas, transitivas, de equivalencia y de orden. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta fórmulas matemáticas para Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS. Incluye fórmulas para álgebra, funciones, trigonometría, vectores, estadística, probabilidad y otros temas. Está organizado en secciones como conocimientos previos, unidad 1 a unidad 10, y fórmulas para distribuciones. Proporciona fórmulas clave para cada tema de los cursos de matemáticas.
Tema iv v aplicacion de la integral y coordenadas polares utsJulio Barreto Garcia
Este documento presenta tres oraciones o menos:
1) El documento explica cómo calcular el área entre las gráficas de dos funciones f(x) y g(x) mediante el cálculo de la integral del área entre las funciones. 2) También explica cómo calcular el volumen de un sólido de revolución girando una región bajo la gráfica de una función f(x) alrededor del eje x. 3) Incluye ejemplos detallados de cómo calcular estas cantidades.
El documento presenta información sobre división de polinomios. Explica que al dividir un dividendo entre un divisor, el resto verdadero se obtiene multiplicando el resto por la cantidad por la cual se dividió el dividendo y divisor. También presenta ejemplos resueltos de hallar coeficientes, grado, divisibilidad y restos de polinomios.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos teóricos sobre este tipo de ecuaciones y presenta varios problemas resueltos como aplicaciones en áreas como desintegración radiactiva, mezclas y transferencia de calor, resolviendo cada uno paso a paso.
Este documento presenta varios problemas geométricos analíticos. Primero, muestra cómo encontrar las coordenadas del punto medio de un segmento a partir de las coordenadas de sus extremos. Luego, presenta cómo graficar una recta a partir de sus ecuaciones paramétricas y obtener su ecuación implícita. Finalmente, explica cómo calcular distancias entre puntos y rectas usando las coordenadas.
ejercicios resueltos de analisis del cbc guia 0apuntescbc
La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a los bancos rusos, la prohibición de exportaciones de alta tecnología a Rusia y la congelación de activos de oligarcas rusos. Los líderes de la UE esperan que estas medidas disuadan a Rusia de continuar su agresión militar contra Ucrania.
ejercicios resueltos de analisis del cbc guia 1apuntescbc
La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo. El embargo prohibiría las importaciones de petróleo ruso por mar y por oleoducto, aunque se concederían exenciones temporales a Hungría y Eslovaquia. El objetivo es aumentar la presión económica sobre Rusia para que ponga fin a su invasión de Ucrania.
El documento proporciona soluciones detalladas a varios ejercicios de álgebra lineal. Resuelve cinco ejercicios encontrando bases y dimensiones de subespacios generados por conjuntos de vectores en diferentes espacios vectoriales. Explica cada paso con cuidado para justificar las respuestas.
El documento presenta ejemplos de rectas en el plano y en el espacio. Explica cómo determinar si puntos están alineados o no, y cómo hallar ecuaciones paramétricas e implícitas de rectas. También muestra cómo representar puntos en un sistema de coordenadas y calcular puntos medios y baricentros de triángulos.
Unidad 8 resolvamos con geometria analitica.matedivliss
Este documento trata sobre la geometría analítica de las circunferencias y parábolas. Explica la definición, elementos y ecuaciones de las circunferencias y parábolas, incluyendo cómo calcular el centro, radio, vértice, foco y directriz. También incluye ejemplos y actividades para practicar el cálculo de estas curvas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre rectas y planos en el espacio tridimensional. Explica cómo representar puntos, hallar ecuaciones de rectas, calcular puntos medios y baricentros de triángulos en 3D. Muestra ejemplos numéricos para ilustrar estos conceptos geométricos fundamentales del espacio.
Este documento presenta 30 preguntas de opción múltiple sobre relaciones binarias y conjuntos. Las preguntas involucran conceptos como dominio, rango, intersección de conjuntos, propiedades de relaciones (reflexividad, simetría, transitividad), gráficas de relaciones y áreas determinadas por relaciones.
El documento describe las cuatro curvas cónicas fundamentales: la circunferencia, la elipse, la hipérbola y la parábola. Define cada una y presenta sus ecuaciones generales y elementos clave como el centro, radio, focos y ejes. También incluye ejemplos resueltos de cómo encontrar la ecuación de cada curva a partir de datos dados.
El documento presenta varios ejercicios sobre espacios vectoriales. En el primer ejercicio, se demuestra que el conjunto de todos los polinomios es un espacio vectorial. En el segundo ejercicio, se muestra que los elementos neutro y simétrico de un espacio vectorial son únicos. En el tercer ejercicio, se determina cuáles de varios subconjuntos de polinomios de grado 2 son subespacios de este espacio vectorial.
Apuntes de calculo_en_varias_variable_scompleto_usmVictor Gallardo
Este documento discute ecuaciones cuadráticas y cónicas en el plano y el espacio. Explica que las ecuaciones cuadráticas representan cónicas trasladadas y/o rotadas en el plano, y que mediante traslaciones y rotaciones pueden llevarse a formas canónicas como círculos, elipses, parábolas e hipérbolas. También explica que las superficies cuadráticas en el espacio tridimensional pueden llevarse a formas canónicas mediante traslaciones
La parábola es el lugar geométrico de los puntos en un plano que equidistan de una recta fija llamada directriz y de un punto fijo llamado foco. La ecuación general de una parábola es Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, donde B2 - 4AC = 0. El coeficiente angular de la directriz es m = B/2A o m = 2C/B.
Este documento describe las transformaciones de coordenadas, incluyendo traslación y rotación de ejes. La traslación mueve los ejes paralelamente a sí mismos, cambiando las coordenadas de un punto pero no su posición relativa. La rotación gira los ejes alrededor del origen, cambiando las coordenadas de un punto y su posición. Estas transformaciones pueden simplificar ecuaciones al eliminar términos o cambiar la forma de una curva. Se proveen ejemplos ilustrativos de aplicar traslaciones y rot
Este documento presenta 8 preguntas de matemáticas con sus respectivas resoluciones. Las preguntas incluyen temas como sistemas de ecuaciones, sucesiones, funciones, programación lineal e inecuaciones. Cada resolución explica detalladamente los pasos para llegar a la respuesta correcta.
El documento presenta conceptos básicos de geometría analítica en el plano y el espacio, incluyendo ecuaciones de rectas y planos, y cómo distinguir su posición relativa. También introduce el producto escalar y cómo este se puede usar para calcular longitudes y ángulos entre vectores. El documento contiene ejemplos y ejercicios para reforzar estos conceptos.
1) El documento describe operaciones con vectores como suma, resta, multiplicación por números y producto escalar.
2) Se proporcionan ejemplos de sumar y multiplicar vectores representados por pares de números.
3) También se explica cómo encontrar coordenadas de vectores respecto a una base dada.
Este documento describe las relaciones binarias y algunas de sus propiedades. Define relación binaria, dominio, rango y representación gráfica. Explica las clases de relaciones reflexivas, simétricas, transitivas, de equivalencia y de orden. Finalmente, presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento presenta fórmulas matemáticas para Matemáticas NS y Ampliación de Matemáticas NS. Incluye fórmulas para álgebra, funciones, trigonometría, vectores, estadística, probabilidad y otros temas. Está organizado en secciones como conocimientos previos, unidad 1 a unidad 10, y fórmulas para distribuciones. Proporciona fórmulas clave para cada tema de los cursos de matemáticas.
Tema iv v aplicacion de la integral y coordenadas polares utsJulio Barreto Garcia
Este documento presenta tres oraciones o menos:
1) El documento explica cómo calcular el área entre las gráficas de dos funciones f(x) y g(x) mediante el cálculo de la integral del área entre las funciones. 2) También explica cómo calcular el volumen de un sólido de revolución girando una región bajo la gráfica de una función f(x) alrededor del eje x. 3) Incluye ejemplos detallados de cómo calcular estas cantidades.
El documento presenta información sobre división de polinomios. Explica que al dividir un dividendo entre un divisor, el resto verdadero se obtiene multiplicando el resto por la cantidad por la cual se dividió el dividendo y divisor. También presenta ejemplos resueltos de hallar coeficientes, grado, divisibilidad y restos de polinomios.
Este documento trata sobre ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Explica conceptos teóricos sobre este tipo de ecuaciones y presenta varios problemas resueltos como aplicaciones en áreas como desintegración radiactiva, mezclas y transferencia de calor, resolviendo cada uno paso a paso.
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La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a los bancos rusos, la prohibición de exportaciones de alta tecnología a Rusia y la congelación de activos de oligarcas rusos. Los líderes de la UE esperan que estas medidas disuadan a Rusia de continuar su agresión militar contra Ucrania.
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La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo. El embargo prohibiría las importaciones de petróleo ruso por mar y por oleoducto, aunque se concederían exenciones temporales a Hungría y Eslovaquia. El objetivo es aumentar la presión económica sobre Rusia para que ponga fin a su invasión de Ucrania.
Este documento presenta un apunte de álgebra lineal que surge para enfrentar una forma encubierta de arancel en la universidad. Se denuncia el abuso en el precio con que se venden otras ediciones de apuntes, privatizando el trabajo docente. Este apunte se ofrece de forma gratuita en línea para mostrar que los estudiantes pueden encarar proyectos grandes de manera seria y luchar por la desarancelización completa de la universidad.
Este documento presenta la resolución de varios ejercicios relacionados con subespacios vectoriales. El primer ejercicio determina el valor de x para que un vector pertenezca a un subespacio, resolviendo x = 3. Los ejercicios siguientes calculan bases de diferentes subespacios y comprueban si conjuntos de vectores son bases.
final de algebra del cbc exactas e ingenieriaapuntescbc
1) El documento presenta 20 preguntas de un examen final de álgebra con respuestas. Las preguntas abarcan temas como sistemas de ecuaciones, transformaciones lineales, bases de espacios vectoriales, polinomios y raíces.
2) El examen final proporciona una guía de preguntas y respuestas tipo test sobre conceptos básicos de álgebra lineal y abstracta.
3) Además, al final del documento se incluye información de contacto para aquellos estudiantes que necesiten clases de preparación para
Este documento presenta la resolución de 18 ejercicios de geometría plana. Los ejercicios involucran hallar ecuaciones de rectas, puntos, ángulos y distancias. Se resuelven ejercicios sobre rectas perpendiculares, paralelas, bisectrices, mediatrices y alturas de triángulos.
Este documento presenta 25 ejercicios sobre vectores y geometría analítica en el espacio. Los ejercicios incluyen cálculos con vectores como suma, norma y producto escalar. También incluyen temas como rectas, planos, ángulos entre vectores, proyecciones de vectores, intersección de rectas y planos, y ecuaciones de rectas y planos.
Este documento presenta cuatro problemas de álgebra lineal resueltos. El primero determina el perímetro y área de un triángulo dado sus vértices. El segundo encuentra una recta y un plano dados puntos. El tercero relaciona un plano y una recta. El cuarto muestra que el conjunto de matrices 2x2 no es un espacio vectorial.
El documento presenta conceptos sobre planos en R3. Explica que un plano puede generarse geométricamente por tres puntos no colineales o vectorialmente por dos vectores no paralelos. Luego describe las ecuaciones vectorial, paramétrica, normal y general de un plano, y presenta ejercicios para aplicar estos conceptos.
Este documento presenta varios ejercicios de geometría analítica que involucran vectores y puntos en el plano cartesiano. En el primer ejercicio, se describe un itinerario usando vectores y coordenadas. En el segundo, se analizan viajes por un río descritos por una expresión vectorial. El documento continúa resolviendo ejercicios sobre sumas y diferencias de vectores, puntos medios de segmentos, y si puntos están alineados o no.
Este documento contiene varios problemas de álgebra que involucran ecuaciones de rectas y circunferencias. Se piden hallar ecuaciones de rectas dadas diferentes condiciones como puntos o pendientes, determinar si rectas son paralelas o perpendiculares, y encontrar ecuaciones y propiedades de circunferencias dadas puntos, centros o radios.
Este documento presenta las soluciones a varios problemas de álgebra lineal. En la primera pregunta, se demuestra que un conjunto de polinomios de orden 2 es linealmente independiente. En la segunda, se prueba que una matriz antisimétrica forma un subespacio vectorial. En la tercera, se determina que dos subconjuntos (uno de R2 y otro de matrices 2x3) son subespacios vectoriales. Finalmente, se encuentra una base y dimensión para un subespacio de R4.
El documento presenta una guía de cálculo I que incluye ejercicios resueltos sobre rectas, parábolas, elipses, hipérbolas y circunferencias. Los ejercicios involucran determinar ecuaciones de líneas y curvas dadas diferentes condiciones, calcular puntos y medidas geométricas, y graficar funciones.
2.2 vectores y geometria. problemas repaso.markuzdjs
El documento habla sobre vectores, rectas y planos. Explica cómo calcular el valor de m para que una recta r y un plano π sean paralelos dados sus ecuaciones. También calcula la ecuación de un plano que contiene una recta definida por un punto y un vector, y pasa por otro punto. Finalmente, verifica si cuatro puntos son coplanarios y calcula el volumen del tetraedro asociado.
El documento presenta varios ejercicios relacionados con rectas y planos en el espacio tridimensional. En el primer ejercicio, se comprueba que tres puntos dados no están alineados. En el segundo ejercicio, se piden las ecuaciones paramétricas y la ecuación implícita de una recta dada. En el tercer ejercicio, se localizan varios puntos en el espacio tridimensional.
El documento presenta varios ejercicios de álgebra lineal y geometría analítica en el espacio. En el primer ejercicio, se comprueba que dos vectores forman una base y se encuentran las componentes de un tercer vector en dicha base. En el segundo ejercicio, se halla el único valor de k para el que tres vectores dados no son linealmente independientes, y se calculan las componentes de un cuarto vector en función de esa base. En el tercer ejercicio, se demuestra que cierto vector es combinación lineal de dos bases dadas y se expresa uno
1. El documento presenta una serie de problemas de álgebra que incluyen ecuaciones polinomiales, sistemas de ecuaciones lineales, desigualdades y expresiones algebraicas. Se pide determinar valores numéricos, sumas de soluciones y otros resultados relacionados a la resolución de estos problemas.
2. Los problemas abarcan una variedad de temas como división de polinomios, raíces de ecuaciones cuadráticas, máximos y mínimos en funciones, sistemas compatibles e incompatibles, y desarrollo de binom
El documento presenta los conceptos fundamentales sobre rectas y planos en el espacio tridimensional R3. Introduce las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica para representar una recta, y métodos para calcular la distancia entre puntos y rectas o entre dos rectas. Incluye ejemplos resueltos y ejercicios propuestos sobre estas temáticas.
Este documento presenta varios ejemplos sobre planos en 3D. Explica cómo encontrar la ecuación de un plano dado un punto y un vector normal, y cómo hallar los interceptos de un plano con los ejes. También muestra cómo calcular la distancia entre puntos y planos, y entre planos paralelos.
Este documento presenta la solución de varios ejercicios de álgebra lineal. Resuelve cada ejercicio encontrando bases y dimensiones de subespacios a través de la descomposición de espacios vectoriales como productos de otros espacios.
Este documento presenta 12 ejercicios de álgebra. Los ejercicios cubren temas como calcular expresiones algebraicas, verificar igualdades, resolver ecuaciones, ordenar números, calcular fracciones, y representar puntos y conjuntos en el plano. El objetivo es que los estudiantes repasen estos conceptos básicos antes de comenzar el curso.
1. Se resuelven problemas relacionados a rectas en R3, incluyendo hallar ecuaciones de rectas, puntos de intersección y distancias.
2. Se explican conceptos como vectores directores, puntos pertenecientes a rectas, sistemas de ecuaciones y modelo punto-pendiente.
3. Se presentan diversos ejercicios y sus soluciones sobre rectas en el espacio tridimensional.
00020 ejercicios propuestos geometria analitica del espacioNelson Silvestre
Este documento presenta una serie de ejercicios de geometría analítica del espacio que incluyen determinar la posición relativa de planos, rectas y puntos; hallar ecuaciones de planos, rectas y haz de planos; y calcular distancias y ángulos entre planos, rectas y puntos. Los ejercicios abarcan temas como planos, rectas, puntos coplanarios, intersección de planos y rectas, y operaciones geométricas como simetrías y proyecciones.
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La Unión Europea ha acordado un paquete de sanciones contra Rusia por su invasión de Ucrania. Las sanciones incluyen restricciones a las importaciones de productos rusos clave como el acero y la madera, así como medidas contra bancos y funcionarios rusos. Los líderes de la UE esperan que las sanciones aumenten la presión económica sobre Rusia y la disuadan de continuar su agresión contra Ucrania.
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El documento habla sobre los desafíos que enfrentan las pequeñas empresas en la actualidad debido a la pandemia de COVID-19 y las medidas de confinamiento. Muchos negocios se han visto obligados a cerrar temporalmente o han experimentado una caída drástica en las ventas, lo que pone en riesgo miles de puestos de trabajo. Se necesitan medidas de estímulo económico por parte de los gobiernos para ayudar a las pequeñas empresas a sobrevivir a la crisis y seguir contribuyendo a la economía.
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El documento habla sobre la importancia de la educación y el aprendizaje continuo a lo largo de la vida. Señala que en un mundo en constante cambio es crucial seguir aprendiendo nuevas habilidades y actualizando los conocimientos para mantenerse relevante. También enfatiza que la educación no debería terminar una vez que se obtiene un título, sino que es un proceso de por vida.
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El documento habla sobre la importancia de la privacidad y la seguridad en línea. Explica que los usuarios deben tomar medidas para proteger su información personal en Internet, como usar contraseñas seguras y actualizadas, y estar atentos al phishing. También enfatiza que las empresas deben implementar medidas de seguridad sólidas para proteger los datos de los clientes.
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La Unión Europea ha propuesto un nuevo paquete de sanciones contra Rusia que incluye un embargo al petróleo ruso. El embargo se aplicaría gradualmente durante seis meses para el petróleo crudo y ocho meses para los productos refinados. Este paquete de sanciones requiere la aprobación unánime de los 27 estados miembros de la UE.
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La pandemia de COVID-19 ha tenido un impacto significativo en la economía mundial y las vidas de las personas. Muchos países han impuesto medidas de confinamiento que han cerrado negocios y escuelas, y han pedido a la gente que se quede en casa tanto como sea posible para frenar la propagación del virus. A medida que los países comienzan a reabrir gradualmente, los expertos advierten que es probable que se produzcan nuevos brotes a menos que se encuentre una vacuna o un tratamiento efectivo.
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El documento repite la frase "Ezelrengo para T!" más de 40 veces, sin proporcionar ninguna otra información o detalles. Parece ser un documento que contiene una sola oración repetida varias veces.
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El documento presenta un resumen de un examen de Biología que aborda diversos temas como las características de los seres vivos, los niveles de organización de la materia, las estructuras y funciones de moléculas orgánicas como proteínas, lípidos y glúcidos, los mecanismos de transporte a través de membranas, la transcripción y traducción del ADN, y procesos metabólicos como la respiración aeróbica y el ciclo de Krebs.
Este documento presenta un examen de biología dividido en tres preguntas. La primera pregunta trata sobre genética de poblaciones humanas y división celular. La segunda pregunta se refiere a la síntesis de hormonas. La tercera pregunta analiza la evolución de una población de conejos bajo selección natural. El resumen incluye las respuestas a cada pregunta con los conceptos clave.
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Este documento contiene 42 preguntas de opción múltiple para un examen de Biología. Las preguntas cubren diversos temas como la transcripción, replicación, traducción, operones, meiosis, genética mendeliana y más. El documento también incluye un enlace a un sitio web donde los estudiantes pueden encontrar materiales de estudio y exámenes pasados para prepararse para el examen.
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(1) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 96 Tema 2
1. Hallar los valores de a, b, c y d para que el conjunto de soluciones de S sea un plano que pasa por el
punto (1, – 2, 1) si S:
−=−++−−
=+−
=++
8)4()8(
3
22
321
321
321
dxacxbx
dcxbxx
axxx
2. Sea S = {x ∈ R2x2
/ x11 + x22 = x21 = 0} Hallar un subespacio T de R2x2
tal que S + T = R2x2
y
S ∩T= >
<
20
02
3. Si S: – x1 + x2 – x3 + 2 x4 = 0 y Π = <(– 2, 1, 0, 1); (– 5, 2, 1, 1); (– 5, 2, 1, 1)>. Hallar, si es posible,
una base de S que contenga una base de Π Expresar v = (2, 2, 2, 1) en la base hallada.
4. En R3
sean P = (2, 1, 1) y Π :x1 + x2 – x3 = 0. Encontrar A y B en Π de modo que los vectores
v =
→
PA y w=
→
PB sean ortogonales.
(2) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 96 Tema 3
1. Sea L la recta que pasa por (0,–1, 2) y (2,1,1). Hallar dos rectas alabeadas, ambas perpendiculares a
L y que además la corten. (Aclaración: dos rectas son alabeadas si no son paralelas, ni se cortan.)
2. Si
1
1
2
y
3
0
2
son soluciones de A . x =
1
1
4
y
−
1
2
1
es solución de A . x =
2
3
1
. Hallar tres solu-
ciones de A. x =
3
4
5
.
3. Sean B = {(1, 1, – 1), (0, 1, 2), (2, 1, 0)} y B’ = {(–1, 3, 2), (1, 4, 2)}. Hallar v para que exista algún
vector no nulo de R3
cuyas coordenadas en la base B’ coincidan con sus coordenadas en la base B.
4. Sean en R2x3
los subespacios S = {a ∈ R2x3
/a11 + a22 = a12} y S’ = {a ∈ R2x3
/a12 – a21 = a13 = 0}.
Hallar un subespacio Π, tal que Π ⊂ S’ y S ⊕ Π = R2x3
.
(3) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 96 Tema 4
1. Hallar los valores de a, b, c y d para el conjunto de soluciones de S, sea un plano que pasa por
(1,1,1) si:
−=+−−+
=−+
=+−
12)2()2(
3
6
:
321
321
321
dxcxnbx
dcxbxx
xaxx
S
2. Sea S = {x ∈ R2x2
/ x11 + x12 + x21 = 0}. Hallar un subespacio Π de R2x2
y S ∪ Π = <
−
00
22
>
2. Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 2
Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436
3. Si S: x1 + x2 + x3 – 2x4 = 0 y Π = <(–1, 0, – 1, 1), (2, – 3, 2, 1)> hallar si es posible, una base de S
que contenga una base de Π⊥
. Expresar v = (2, 1, –1, 1) en la base hallada.
4. En R3
sean P = (1, – 1, 2) y Π: 2x1 – x2 + x3 = 0. Encontrar A y B en Π de modo que los vectores v
=
→
PAy u =
→
PBsean ortogonales.
(4) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 96 Tema 1
1) Sean Π: 2x + y = 1 y L : x = t (1, 1, 1) + (1, 0, 0). Hallar los puntos P y Q ∈ L, tales que, L ∩ Π sea
el punto medio del segmento PQ y la longitud del segmento PQ sea igual a 4 3
2) Si el sistema A. X = 0 (con A∈ R3x3
y X∈ R3x1
) admite a la recta L: x = t (1,–1,0) como solución.
Hallar tres soluciones no triviales del sistema A.B.X = 0 que no sean coloniales siendo B =
−
−
−
103
011
112
3) Sean
=++
=+−
=
0
0
431
421
xkxx
xxx
S y L: X = α (4, – 2, 1, 4). Hallar todos los valores de k ∈ R para los
cuales L ⊂ S⊥
.
4) Encontrar una base de R4
, B = {v1, v2, v3, v4} que verifique {v1, v2, v3} sea una base de {x ∈ R4
: x4 =
0} ; {v2, v3, v4} sea base de {x ∈ R4
:x2 = 0} y [(1,– 2, 1, 2)]B = (1, 0, 0, 1).
(5) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1er
Cuat. 96 Tema 1
1. a) Determinar la ecuación del plano Π cuyo punto más próximo al origen sea (-1, 2, 3) b) Determi-
nar la ecuación de un plano Π’ que verifique: Π ∩ Π’ y d(Π’, 0) = d(Π,0) donde 0 = (0,0,0)
2. Hallar los valores de a y b para que el conjunto de soluciones del sistema
=−+
+−=−+
=−+
122
5
0
321
321
321
xxx
axbxbx
xxx
sea igual a
=
∈
3
3
1
.
100
03
011
: xaRx
3. Si S = >(1,1,0,0); (0,1,1,0); (–1,0,1,0)> y v = (1, 3, 2, 1), hallar v1, v2 tales que v1 ⊥ v2 ,
v = v1 + v2,y v1 ∈ S.
4. Si B = {v1, v2, v3} y B’ = { v1 – v2, v1 + v2 + v3, w} son bases de un espacio vectorial V sobre R y:
(w1)B’ = (1, 0, 0) (w2)B’ = (0, 1, 1) (w3)B’ = (1, 0, 3).
Hallar w si sabemos que (w1 – w2 + w3)B’ = (– 2, – 3, 2).
3. Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 3
Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436
(6) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1er
Cuat. 97 Tema 4
1) Sean L: x = (1,2, –1) + λ(1,1,1); P = (1,2,0) y Q = (0,1, –2). Encontrar todos los puntos A ∈ L tales
que el triángulo PAQ sea rectángulo en A.
2) Sean
=−
−=++
=++
1
12
12
:
31
432
321
xx
xxx
xxx
S y w = <(0, 1, – 1, 0); (1, 0, 0, – 1)>. Decidir si el conjunto de
soluciones de S está contenido en W. Justificar.
3) Sea S = <(1, – 2, 0); (– 2, 4, k2
– 1); (k, 2, 0)>. Determinar todos los valores de k para los cuales
existe un subespacio W tal que: dim. W = 1 y S ⊕ W = R3
. Para algunos de los valores de k hallados,
encontrar W.
4) Sean B = {v1, v2, v3} y B` = { v1 – v2, 2v1 + v2, v3} bases de un espacio vectorial V y v ∈ V un vec-
tor cuyas coordenadas en las base B con (1, 2, 4). Hallar las coordenadas de v en la base B’.
(7) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 97 Tema 3
1. Las rectas L1: λ(2, 0, 1) + (1, 2, 1) y L2: λ(1, – 1, 2) + (1, – 2, a) están contenidas en un plano Π.
Determinar el valor de a y hallar la ecuación del plano Π.
2. Dadas A =
−−
−
231
120
142
B =
−
α
−
701
10
323
2
C =
α
−
3
2
1
, encontrar α para que existan al menos
dos vectores x ∈ R3 x 1
tales que A x = B x + C
3. Dados S = <(1, 0, 1, 2); (2, 1, – 1, 1)> y Π = <(1, 0, – 1, 0); (0, 1, 2, 1); (0, 1, 0, 1) >
Encontrar una base de R4
que contenga a una base de S ⊥
∩ Π.
4. Hallar una base B = {v1, v2, v3} de R3
tal que para todo v = (x, y, z) ∈ R3
. Las coordenadas de v en la
base B son (x + y,x,y + 2z).
(8) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 97 (Recuperatorio – Diferido) Tema 2
1. Hallar todos los puntos P de R3
tales que dist.(P, Π) = dist.(P, Π’) siendo Π = x1 + 4x2 – x3 = 9 y Π’
= x1 + 4x2 – x3 = 11.
2. Hallar todos los puntos del plano P: 3x1 + x2 + x3 = 1 que son solución del sistema
=+−
=+−
=+
42
3
22
32
321
31
xx
xxx
xx
3. Hallar, si existe, α ∈ R tal que B = {(2,–2,1,0); (1,–1,3,0)} sea base de (S ∩ Π) si
S: x1 + x2 – 3x3 = 0 y Π: < (3, – 3, 2α, 0); (–1, 1, 2, 0); (1, – 2, 1, – 2α)>
4. Si W = {(aij) ∈R
3x3
/ aij = 0 si i < j} y S = {(aij) ∈ R
3x3
/ ∑
=
=+
2
1
23 0
j
ij aa }.
Buscar Π en R3x3
de modo que W + Π = S.
(9) Álgebra (27) – Primer Parcial: 1er
Cuat. 98 Tema 4
4. Primer Parcial – Álgebra – Exactas – CBC Pág. 4
Parciales resueltos para el CBC: http://soko.com.ar Si necesitas clases: 011-15-67625436
1. Sean las rectas L: λ(–1, 1, 2) + (2, 1, 3) y L’: t(2, –1, 1) +(0, 2, 3). Encontrar la ecuación de un pla-
no Π que contenga a L y que todos los puntos de L´ estén a igual distancia de Π.
2. Determinar todos los valores de α y β para los cuales el sistema A. X =
β
α
0
tiene infinitas solucio-
nes siendo A =
−
−
310
513
α
ααα
3. Hallar una base B de R3
de manera que las coordenadas del vector (–1,3,2) en la base B sean
(4,–1,0), y las coordenadas del vector (– 2, – 3, 1) en la base B sean (–1, 1, 0).
4. Sean W = {x ∈ R4
/ x1 – 2x2 + 2x4 = x3 + x4 = 0} y Π = <(1,0,– 1,0); (2,1,1,–1); (2, 0, 1, – 3)>. Hallar
dos subespacios de R4
, S1 y S2, tales que S1 ⊂ W; S1 ⊕ S2 = Π y S1 ≠ 0
(10) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 98 Tema 1
1. Sea Π el plano que pasa por los puntos A = (1, – 1, 2), B = (0, 1, 3) y C = (1, 1, 0). Determinar
todos los puntos de R3
que están a una distancia de 11 de Π.
2. De todas las rectas de R3
que pasan por el punto (2, 1, 0), ¿Cuáles pueden ser el conjunto de solu-
ción del sistema S, para algún valor dea y b?.
=−
=−+
=+−
252
3
222
zy
bzyx
zayx
S
3. Sean en R4
los subespacios S = {x ∈ R4
/ x1 + x2 – x3 – x4 = 0} y Π = <(1,1,1,0); (2,3,2,1); (0,2,1,2)>.
Hallar una base de R4
que contenga simultáneamente a una base de S y una base de Π.
4. Sean B = {v1, v2, v3} y B’ = {v1 + v2 – v3, 2v2 – v3, v1 + v3}, bases de V. Sea S el subespacio de to-
dos los vectores de V que tienen las mismas coordenadas en la base B y B’.
Decidir si S está contenido en <v1 – v2; v3>.
(11) Álgebra (27) – Primer Parcial: 2do
Cuat. 98 Tema 2
1. Sea Π el plano que contiene a los puntos A = (0, 3, 0); B = (2, 0, −1); C = (2, 1, 0) , hallar todos los
x∈ Π que estén a igual distancia de A, de B y de C.
2. Sea en R2 x 2
=
10
13
;
00
12
S . Encontrar todas las matrices x de R 2 x 2
que verifiquen x . s = s .
x para toda matriz s de S.
3. Sean B = {(1,1,1,1);(1,1,1,0);(-1,1,0,0);(0,0,-1,1)} una base de R4
y v el vector cuyas coordenadas
en la base B son (2,1,5,0). Encontrar un sistema de ecuaciones cuyas soluciones sean las cuatreñas
(x1, x2, x3,x4) ortogonales a v.
4. Si S1: 2x1 + x2 + a x3 – x4 = 0 y S2: x1 + x2 + x3 + b x4 = 0 , hallar a y b para que los vectores v =
(1, –1, 3, 0) y w = (2, 1, 0, 5) pertenezcan a S1 ∩ S2. Para los valores de a y b determinados extender
(v,w) a una base de S1, a una base deS2 y a una base de S1 ∩ S2. Justificar.
5. Primer Parcial Álgebra: CBC (U.B.A.)
Si necesitas clases puedes llamar al011-15-67625436 o ir a soko.com.ar por los cursos online.
(1) Primer Parcial: 1999
1. Hallar, si es posible, las ecuaciones de los planos con normal N = (4, - 2, 4) que están a 5 del pun-
to P = (0, 1, -1)
2. Determinar los valores de k para los cuales el siguiente sistema tiene solución única:
=−+++
=++++
=−+
0)2()1(
0)1()2(
02
321
321
321
xxkxk
xkxkxk
xxx
3. Sea S = {x ∈ R4
/ x1 + 2 x2 – x3 = 0; x1 + x2 – x3 + x4 = 0} y sea B = {(-1, 1, 1, 1);(-3, 1, -1,-1); ;(1,-
1,-3,-1);(-2, 1, 0, 1)}. Hallar, si es posible, un conjunto B´⊂ B tal que B´ sea base de S. Justificar.
4. Sea B = {v1, v2, v3} una base de R3
. Si S = < v1 + 2 v2, v2 – v3, v1 + v2 + v3 >
a) Hallar una base del subespacio Π ⊂ R3
tal que S ⊕ Π = R3
. b) Si v1 = (1,-1, 1); v2 = (-1, 1, 0) y v3
= (1, 0, 0), dar las coordenadas de los elementos de la base hallada en a) en la base B y en la base ca-
nónica.
Rta: 1) 2x – y +2z = 12; 2) k ∈ R – {– 1, 0}; 3) B’= <(– 1, 1, 1, 1);(– 1, – 1, – 3, – 1);( – 2, 1, 0, 1)> ;
4) a) Π = < v1 – 2 v2 , v2 + v3 , v3 – v1 – v2 >. b) ármenla.
(2) Primer Parcial: 1998
1) Sea S = {x ∈ R4
/ 3x1 + x2 – x3 = 0 y x4 = 0}. Hallar un subespacio Π ⊂ R4
tal que
(1, 0, – 1, 2) ∈ Π y R4
= S ⊕ Π.
2) Sea S ⊆ R3
; S = < (a, 1, a); (3ª, a, – a)>. Hallar la dimensión de S ∀a ∈ R. Justificar la respuesta.
3) Hallar todas las matrices A ∈ R2 x 2
que verifican:
=
30
12
.AA.
30
12
4) Sean L, la recta de dirección (1,2,– 2) que pasa por el punto P = (a, b, c) y sea Q el punto
Q = (1,2,– 2) + (a, b, c). Si Π es el plano perpendicular a L que pasa por P, probar que d(Q,Π) =
||(1,2,– 2)||.
Rta: 1) Π = {x ∈ R4
/ x1 + x2 + x3 = 0 y x2 – 2x3 = x4}; 2) Dim: 2; 3) A es canónica; 4) Q es un punto
de la recta L ⇒ d ||Q Π|| = d ||P Q|| = || Q – P || = || (1, 2, – 2) + (a, b, c) – (a, b, c) || =
= ||(1, 2, – 2) ||.
(3) Primer Parcial: 1997 Tema 3
1. Sea Π en el plano que pasa por los puntos A = (1,−1,0), B = (2,0, −1) y C = (3,−2,1)
( )1,2,3 −=C y sea β = {(1,−1,1);(1,1,0);(−1,0,0)}. Encontrar un punto P del plano Π, cuyas coor-
denadas en la base β sean de la forma: (P)β = (λ + 1, λ + 1, λ − 1), con λ ∈ R.
2. Si el determinante de la matriz
dc
ba
es igual a 6, calcular el determinante de la matriz
−−
ba
dc
300
300
0011
0053
3. Sean S y T los subespacios de R4
definidos por
=++
=+−
=++++−
=+−
02)3(
02)9(
:T
0)2(2
02
:S
43
42
2
4321
321
xxa
xxa
xxaxx
xxx
Calcular la dimensión de S ∩ T para todos los valores de a ∈ R.
4. En R4
, sean S = <(1, -1,1,0);(1,-2,0,1)> y sea H = {x/x ∈ R, x1 – x2 + x3 = 0}. Hallar, si es posi-
ble, una base de H que contenga a una base de ⊥
S .
Respuestas: 1) ( )1,0,2=P ; 2) 126 ; 3) Dim S ∩ T = 0 ; 4) <(1,1,0,1);(-1,0,1,1);(0,0,0,1)>
6. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 1
Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436
Primer Parcial de Álgebra 03/10/01
1) Sean L: X : λ (1, 2, 1) + (1, – 1, 0) y Π1: plano que contiene el eje “y” y al eje “z”; Π2: plano que
contiene el eje “x” y al eje “z”. Hallar todos los B ∈ R tales que d(B Π1) = d(B Π2).
Estamos buscando un punto de la recta, llamado B, que se encuentre a igual distancia de ambos
planos. El plano Π1, y – z = 0; mientras que Π2, al tener coordenada y = 0, su ecuación es x – z = 0.
La recta posee ecuación (x, y, z) = λ (1, 2, 1) + (1, – 1, 0)
Desarrollándola paramétricamente tenemos:
λ=
−λ=
+λ=
z
y
x
12
1
Aplicamos la ecuación para hallar la distancia entre un punto B a cada
uno de los planos
d(B, Π1) =
2
1
)1(10
)(12
222
−λ
=
−++
λ−−λ
d(B, Π2) =
2
1
)1(01
)(1
222
=
−++
λ−+λ
Las igualamos para hallar λ:
=λ⇒−=−λ
=λ⇒=−λ
⇒=
−λ
011
211
2
1
2
1
Si λ = 2, el punto es (3, 3, 2) (reemplazar en la recta).
Si λ = 0, el punto es (1, – 1, 0)
2) Dada
−−
−=
5111
3331
1211
A , sea T = {b ∈ R3x1
/ el sistema de la matriz ampliada (A; b) es
compatible}. Hallar b1 y b2 ∈ T, no nulos, tales que b1 ⊥ b2.
b es un matriz de 3x1 así que podemos escribirlo como
=
z
y
x
b
( )
−−
−=
z
y
x
bA
5111
3331
1211
, Triangulemos para hallar el valor de x, y, z.
B
Π1
Π2
7. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 2
Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436
+−
−− →
+
−− →
−−
−
=−
=+
=−
zyx
xy
x
xz
xy
x
z
y
x
210000
4120
1211
6120
4120
1211
5111
3331
1211
323
313
212
FFF
FFF
FFF
Para todo vector de T T
: b = (x, y – x, 2x – y + z) (se elige la traspuesta por que es más fácil de
trabajar).
Buscamos dos vectores perpendiculares, o sea que su producto escalar sea cero.
b1 . b2 = (x1, y1 – x1, 2x1 – y1 + z1) . (x2, y2 – x2, 2x2 – y2 + z2) = 0
x1. x2 + (y1 – x1).( y2 – x2) + (2x1 – y1 + z1).( 2x2 – y2 + z2) = 0
x1x2 + y1y2 – y1x2 – x1y2 + x1x2 + 4x1x2 – 2x1y2 + 2x1z2 – 2x2y1 + y1y2 – y1z2 + 2x2 z1– y2 z1 + z1z2 = 0
6 x1x2 + 2 y1y2 + z1z2 – 3 y1x2 – 3 x1y2 + 2x1z2 – y1z2 + 2x2 z1– y2 z1 + z1z2 = 0
x1 (6x2 – 3y2 + 2z2) + y1 (– 3x2 + 2y2 – z2) + z1 (2x2 – y2 + z2) = 0
Para facilitar la operación suponemos que x1 = 1, y1 = 1, z1 = 1
b1 = (1, 1 – 1, 2.1 – 1 + 1) = (1, 0, 2)
Queda
6x2 – 3y2 + 2z2 – 3x2 + 2y2 – z2 + 2x2 – y2 + z2 = 0
5x2 – 2 y2 + 2 z2 = 0
Hay varios puntos que dan cero:
a) x2 = 0, y2 = 1, z2 = 1 → b2 =
0
1
0
b) x2 = – 2, y2 = 0, z2 = 5 → b2 =
−
1
2
2
. . .
Queda en ustedes verificar que son perpendiculares (en el parcial es la verificación lo que te asegura
que no te hayas equivocado).
3) Sean T = {A ∈ R3x3
/ a11 + a22 + a33 = 0}; S ⊂ R3x3
/ S = < I >, calcular dim. S + T.
SiB =
−−
−
311
221
021
hallar: s∈ S y t ∈ T / B = s + t
Los elementos de T son matrices de 3x3 cuya diagonal principal debe dar cero, una base puede ser:
8. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 3
Si necesitas clases de apoyo puedes llamar al 011-15-67625436
T =
−
−
001
000
000
,
000
000
100
,
000
001
000
,
000
100
000
,
000
000
010
,
010
000
000
100
000
001
,
100
010
000
,
S =
100
010
001
Para calcular la dimensión de S + T sumamos la cantidad de vectores, 1 de S y 8 de T, así que:
Dim. (S + T) = 9
+
λ=
−−
−
−−
hgf
edc
bahd
100
010
001
311
221
021
(recordar que la diagonal debe dar cero).
+
λ
λ
λ
=
−−
−
−−
hgf
edc
bahd
00
00
00
311
221
021
+λ==−=−
=+λ==−
==−−λ=
hgf
edc
bahd
311
221
021
−−
→
−−
⇒
=++λ
=++λ
=−−λ
1
1
1
100
120
111
3
2
1
101
011
111
30
20
1
ostriangulam
hd
hd
hd
h = 1
2d + 1 = 1 → d = 0
λ – 0 – 1 = 1 → λ = 2
−−
−
−
+
=
−−
−
111
201
021
200
020
002
311
221
021
t s
4) Sea B = {v1, v2, v3, v4} base de un espacio vectorial V. Sean S = < v1+ v2 – 2v3 + 2v4; v2 – v3 + v4>
T = < v1+ v2 +2 v3; v1 + v4>, hallar el subespacio W ⊂ V, tal que W ⊕ (S ∩ T) = V.
Busquemos un vector que pertenezca a la intersección de S y T.
9. Primer Parcial – Álgebra – Ingeniería – CBC Pág. 4
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S ∩ T =
( )
+λ++++γ=
+−β++−+α=
)()2(
)(22
31321
4324321
vvvvvu
vvvvvvvu
r
r
α v1+ α v2 – 2 α v3 + 2 α v4+ β v2 – β v3 + β v4 = γ v1+ γ v2 +2 γ v3 + λ v1 + λ v4
v1 (α − γ − λ) + v2 (α+ β – γ ) + v3 (2α – β − 2 γ)+ v4 (2 α + β − λ) = 0
−−
−−
→
−
−−
−
−
⇒
=λ−β+α
=γ−β−α
=γ−β+α
=λ−γ−α
00000
02400
01010
01101
00112
02012
01011
00101
02
022
0
0
dotriangulan
− 4 λ − 2γ = 0 → γ = − 2λ
β = − λ
α − λ − γ = 0 → α − λ + 2λ = 0 → α = − λ
u
r
= λ (v1 + v2 + 2v3) – 2 λ (v1 + v3) = λ ( − v1 + v2) intersección entre S y T.
Estamos buscando a W de manera que sumado a S ∩ T da V. Los vectores deben ser linealmente
independientes.
W = {v2, v3, v4}
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10. Algebra – Exactas – Primer parcial – Cátedra Gutiérrez
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