El documento presenta los conceptos fundamentales sobre rectas y planos en el espacio tridimensional R3. Introduce las ecuaciones vectorial, paramétrica y simétrica para representar una recta, y métodos para calcular la distancia entre puntos y rectas o entre dos rectas. Incluye ejemplos resueltos y ejercicios propuestos sobre estas temáticas.
Cambio de variables de las integrales multipleswalterabel03
Libro de calculo de varias variables con aplicaciones de integrales dobles y triples para la ingenierias industrial civil mecanicos, con aplicaciones sencillas que permitan se de facil comprecion para el estudiante, aqui les dejo una parte de los ejercicios donde consta las integrales triples y dobles y sus aplicaciones, espero que sea de su agrado
Cambio de variables de las integrales multipleswalterabel03
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Ecuación de la recta
- Distancia entre dos puntos
- Punto medio de un segmento
- Pendiente de un segmento
- Puntos colineales
- Ecuación de la recta (forma general, principal y simétrica)
- Posiciones relativas de dos rectas
- Ejercicios de desarrollo
- Ejercicios con alternativas tipo PSU
Documento creado con LaTeX y las figuras de forma nativa con TikZ
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LIBRO DE CONTABILIDAD FINANCIERA, ESTE TE AYUDARA PARA EL AVANCE DE TU CARRERA EN LA CONTABILIDAD FINANCIERA.
SI ERES INGENIERO EN GESTION ESTE LIBRO TE AYUDARA A COMPRENDER MEJOR EL FUNCIONAMIENTO DE LA CONTABLIDAD FINANCIERA, EN AREAS ADMINISTRATIVAS ENLA CARREARA DE INGENERIA EN GESTION EMPRESARIAL, ESTE LIBRO FUE UTILIZADO PARA ALUMNOS DE SEGUNDO SEMESTRE
1º Caso Practico Lubricacion Rodamiento Motor 10CVCarlosAroeira1
Caso pratico análise analise de vibrações em rolamento de HVAC para resolver problema de lubrificação apresentado durante a 1ª reuniao do Vibration Institute em Lisboa em 24 de maio de 2024
Criterios de la primera y segunda derivadaYoverOlivares
Criterios de la primera derivada.
Criterios de la segunda derivada.
Función creciente y decreciente.
Puntos máximos y mínimos.
Puntos de inflexión.
3 Ejemplos para graficar funciones utilizando los criterios de la primera y segunda derivada.
1. Capítulo 5
RECTAS Y PLANOS EN R3
Divide las dificultades
que examinas en tantas
partes como sea posible
para su mejor solución.
RENÉ
DESCARTES
LOGRO DE LA SESIÓN:
“Al finalizar la unidad, el estudiante reconoce la posición entre dos rectas en el espacio de-
terminando si son paralelas u ortogonales, halla el ,angulo entre rectas y resuelve problemas de
aplicación entre rectas”
5.1. La Recta
5.1.1. Ecuación Vectorial de la Recta
Una recta en el espacio está bien determi-
nada, si se especifica su dirección y uno de sus
puntos; es así que podemos denotar la ecuación
de una recta L como aquella que pasa por un
punto P0 y en la dirección de un vector −→v pa-
ralelo a ella, está dada por:
L : P = P0 + t−→v t ∈ R
Donde:
P : punto cualquiera (x, y, z)
P0 : punto de paso (x0, y0, z0)
t : parametro t ∈ R
−→v : vector director (a, b, c)
5.1.2. Ecuaciones Paramétricas de la
Recta
En la ecuación vectorial tenemos: (x, y, z) =
(x0, y0, z0) + t (a, b, c), de donde:
L :
x = x0 + ta
y = y0 + tb
z = z0 + tc
; t ∈ R
5.1.3. Ecuación Simétrica de la Rec-
ta
Es aquella ecuación que resulta de despejar
el parámetro t en cada una de las ecuaciones
parámetricas e igualarlas, se tiene:
L : x−x0
a
= y−y0
b
= z−z0
c
77
2. RECTAS Y PLANOS EN R3
Ejemplo 58. Determine la ecuación vectorial,
paramétrica y simétrica de la recta que pasa
por los puntos A (2, −2, −3) y B (−1, 4, −2).
Solución. :
5.2. Distancia de un Punto a
una Recta en el Espacio
La distancia de un punto Q (x1 , y1 , z1 ) ∈
R3a la recta L : P = P0 + t−→v , se determina
mediante la fórmula:
d (Q, L) =
−−→
P0Q
2
−
−−→
P0Q·−→v
−→v
2
Ejemplo 59. :Hallar la distancia desde el pun-
to Q (3, 2, 0) ∈ R3 a la recta x−2
3 = y−1
4 = 2−z
5
Solución. :
5.3. Distancia entre dos Rectas
Paralelas
Dadas la rectas L1 : P = P1 + t−→v ;
L2 : P = P2 + t−→w paralelas, la distancia en-
tre ambas rectas está determina por la fórmula
anterior, considerando un punto de una de las
recta (en este caso P2 ∈ L2 ), es decir:
d (P2 , L) =
−−−→
P1P2
2
−
−−−→
P1P2·−→v
−→v
2
5.4. Distancia entre dos rectas
No Paralelas
Dadas la rectas L1 : P = P1 + t−→v ;
L2 : P = P2 + t−→w NO paralelas, la distancia
entre ambas rectas está determina por:
d (L1 , L2 ) =
−−−→
P1P2·(−→v ×−→w )
−→v ×−→w
Ejemplo 60. Hallar la distancia perpendicu-
lar entre las rectas L1 : x+2
2 = y−1
3 = z+1
−1 y
L2 : x−1
−1 = y+1
2 = z−2
4
Solución. :
.
UTP Sede Arequipa Página 78
3. RECTAS Y PLANOS EN R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA INGENIERÍA
Semana 9 Sesión 01
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
1. Hallar todas las ecuaciones de la rec-
ta que pasa por los puntos A (1, 0, 2)y
B −1, 1
3 , −2
3 y encuentre otros dos pun-
tos.
Solución. :
Respuesta:
2. Hallar la ecuación vectorial de la
recta L1 : x = −4; y + z = 6 y
la distancia entre las rectas L1 y
L2 : P = (1, 2, −2) + t (0, 2, 1)
Solución. :
Respuesta:
3. Determine si los puntos A(2, 1, 0);
B(3, −3, 1) perteneces a la recta
L1 :x−3
5 = 1 − y = 2z − 1
Solución. :
Respuesta:
4. Determine las ecuaciones paramétricas de
las rectas L1 :8x−5
4 = y − 3; z = 3;
L2 :3z = 4−3y; x = t; L3 :x = y; z =
3;
Solución. :
Respuesta:
UTP Sede Arequipa Página 79
4. RECTAS Y PLANOS EN R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Hallar todas las ecuaciones de la recta
que pasa por los puntos A (−1, 3, −2)y
B (−1, 4, 5) y encuentre otros dos pun-
tos
Solución. :
Respuesta:
2. Hallar la distancia de la recta L1 :x =
2, y−3
2 = z+1
−2 a la recta L2 que pasa por
los puntos A (2, 1, 3) y B (1, 1, 2)
Solución. :
Respuesta:
3. Hallar la distancia desde el pun-
to Q (4, −3, −4) a la recta
L1 : P = (2, 3, 2) + t (2, −1, 0)
Solución. :
Respuesta:
4. Hallar la ecuación paramétrica y simétri-
ca de la recta que pasa por A (−3, 2, 3)
y B (4, 3, 3)y determine los puntos de in-
tersección de está recta con los planos XY
; YZ
Solución. :
Respuesta:
UTP Sede Arequipa Página 80
5. RECTAS Y PLANOS EN R3
INTRODUCCIÓN A LA MATEMÁTICA PARA LA INGENIERÍA
TAREA DOMICILIARIA
1. Determine la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por los puntos
A (5, 1, −1) y B (4, −2, 3)
2. Determine la ecuación vectorial, paramétrica y simétrica de la recta que pasa por los puntos
A (10, 3, 1) y B (5, 6, −3) y determine dos puntos más
3. Determine la ecuación paramétrica y simétrica de la recta que pasa por (1, −1, 1) y es
paralela a la recta L2 :x−3
1 = 2y−7
2 = 3−z
−3
4. Determine la ecuación vectorial y paramétrica de la recta que pasa por el punto (0, 14, −10)
y el paralela a la recta L : x = −1 + 2t; y = 6 − 3t; z = 3 + 9t
5. Determine la distancia del punto (0, 14, −10) a la recta L :
x = −1 + 2t
y = 6 − 3t
z = 3 + 9t
6. Hallar la ecuación paramétrica y simétrica de la recta que pasa por A (2, −1, 4) y B (4, 6, 1)y
determine los puntos de intersección de está recta con los planos XY ; XZ
7. Determine la distancia entre las rectas L1 que pasa por (3, 4, 0) y (5, 0, 3) y la recta L2 que
pasa por (0, 4, −1) y (−1, −1, −1)
UTP Sede Arequipa Página 81