El documento trata sobre lógica matemática. Explica que la lógica matemática estudia los sistemas formales y cómo representan conceptos matemáticos como conjuntos y números usando lenguaje formal. También describe brevemente las contribuciones clave de figuras como Boole, Frege y Russell a los fundamentos de la lógica matemática moderna.
Este documento presenta las contribuciones de Leonhard Euler a la teoría de números, incluyendo demostrar el pequeño teorema de Fermat, generalizar el teorema de Euler, definir la función φ de Euler, y avanzar la investigación de los números primos y su conexión con la función zeta de Riemann. También describe brevemente la vida y obra de Euler, reconocido como uno de los matemáticos más grandes de la historia.
Este documento describe conceptos fundamentales sobre sucesiones, progresiones, series y límites de funciones. Explica que una sucesión es un conjunto de números dispuestos secuencialmente y define diferentes tipos de sucesiones como aritméticas, cuadráticas y constantes. También define progresiones aritméticas y geométricas, y explica cómo calcular el término general y la suma de una serie. Por último, introduce la noción de límite de una función y cómo calcular límites laterales.
Este documento contiene 20 problemas de algoritmos resueltos mediante pseudocódigo. Cada problema presenta un breve enunciado seguido de la solución implementada como un programa en pseudocódigo, con entornos, algoritmos y en algunos casos subprogramas. Los problemas abarcan diferentes temas como bucles, toma de decisiones, números naturales, pares e impares, múltiplos, mayor y menor de una serie, y factoriales.
Este documento presenta los objetivos y contenidos de una unidad sobre lógica matemática. Introduce conceptos como proposiciones, valor de verdad, proposiciones simples y compuestas. Explica que una proposición es una expresión que puede ser calificada como verdadera o falsa, e incluye ejemplos. También incluye actividades para que los estudiantes identifiquen y clasifiquen diferentes tipos de expresiones y determinen su valor de verdad.
Este documento presenta los axiomas y propiedades fundamentales de los números reales, incluyendo las operaciones de adición, multiplicación, división y relaciones de orden. También describe las propiedades de las fracciones y ecuaciones de primer y segundo grado, proporcionando las definiciones y reglas necesarias para trabajar con estos conceptos numéricos básicos.
El documento resume conceptos básicos de lógica proposicional, incluyendo definiciones de proposición, conectivos lógicos (negación, conjunción, disyunción, implicación, bicondicional), tablas de verdad, y tipos de proposiciones (atómicas, moleculares). También explica cómo formalizar proposiciones usando símbolos lógicos y cómo construir tablas de verdad para evaluar proposiciones compuestas.
Este documento describe las leyes de la lógica proposicional. Explica que las proposiciones equivalentes se convierten en leyes lógicas y que las proposiciones se pueden representar simbólicamente usando letras como p, q, r. También define proposiciones simples y compuestas y los conectivos lógicos como la conjunción y la disyunción que se usan para unir proposiciones.
Este documento explica conceptos lógicos como tautología, contradicción y contingencia. Una tautología es una expresión lógica que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de sus componentes. Una contradicción es siempre falsa. Una contingencia puede ser verdadera o falsa dependiendo de los valores de verdad. Para determinar si una expresión es una de estas, se construye una tabla de verdad.
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Este documento presenta los axiomas y propiedades fundamentales de los números reales, incluyendo las operaciones de adición, multiplicación, división y relaciones de orden. También describe las propiedades de las fracciones y ecuaciones de primer y segundo grado, proporcionando las definiciones y reglas necesarias para trabajar con estos conceptos numéricos básicos.
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Este documento explica conceptos lógicos como tautología, contradicción y contingencia. Una tautología es una expresión lógica que es siempre verdadera independientemente de los valores de verdad de sus componentes. Una contradicción es siempre falsa. Una contingencia puede ser verdadera o falsa dependiendo de los valores de verdad. Para determinar si una expresión es una de estas, se construye una tabla de verdad.
Este documento presenta conceptos básicos sobre la lógica proposicional, incluyendo:
1) Las negaciones conjuntiva y alternativa y la disyunción exclusiva.
2) Simbolización de varias proposiciones.
3) Uso de tablas de verdad para evaluar la veracidad de proposiciones compuestas.
Este documento presenta una introducción al lenguaje de programación LPP. Explica cómo instalar LPP, escribir el primer programa "Hola Mundo", declarar variables, usar operadores matemáticos, instrucciones condicionales como si, si anidado, caso, y ciclos como mientras, para, repita, entre otros. También cubre procedimientos, funciones, registros y arreglos unidimensionales y bidimensionales.
Este documento presenta los números complejos, incluyendo su definición, representación y operaciones. Introduce la unidad imaginaria i, define los números complejos como pares ordenados de la forma a + bi, y explica cómo representarlos gráficamente en el plano complejo. Además, describe cómo convertir entre las formas binómica y polar de los números complejos, y cómo realizar sumas y restas en forma binómica.
Este documento describe las proposiciones lógicas y los conectivos lógicos. Explica que una proposición lógica es una expresión que puede ser verdadera o falsa pero no ambas al mismo tiempo. También describe proposiciones simples y compuestas y los conectivos lógicos como "y", "o", "entonces", "si y solo si". Finalmente, presenta tablas de verdad para los conectivos lógicos negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional.
El documento repite el nombre e información profesional de "Ing. Hernan Carrill, Docente de Cálculo" en múltiples páginas y proporciona instrucciones sobre el uso de diagramas de Venn.
Leonhard Euler fue un destacado matemático y físico suizo del siglo XVIII. Vivió la mayor parte de su vida en Rusia y Alemania, donde realizó importantes contribuciones al cálculo y la teoría de grafos. Fue uno de los matemáticos más prolíficos de la historia, escribiendo cientos de documentos sobre una amplia gama de temas matemáticos y científicos.
Este documento contiene una guía de actividades para la semana dos de un curso de programación en C++ de nivel uno. Incluye tres secciones: 1) Resolver expresiones matemáticas en C++ y obtener el valor de la variable x. 2) Determinar el valor final de las variables a y b después de ejecutar expresiones individualmente donde a = 15 y b = 3 inicialmente. 3) Construir expresiones matemáticas justificando la respuesta.
Este documento presenta 20 problemas de conjuntos resueltos. Cada problema contiene la definición de los conjuntos involucrados, los datos numéricos proporcionados y los pasos de solución para determinar el resultado requerido. Los problemas involucran operaciones básicas de conjuntos como unión, intersección y diferencia.
Este documento presenta ejercicios de derivadas e integrales con sus respectivas soluciones. Incluye reglas básicas de derivación de funciones como suma, producto, cociente, potencias y funciones trigonométricas, exponenciales y logarítmicas. También presenta ejemplos numéricos de derivación de funciones compuestas de varias variables.
Este documento describe las funciones proposicionales y los cuantificadores. Una función proposicional es un enunciado abierto con una variable que se convierte en una proposición al especificar el valor de la variable. Los cuantificadores son expresiones como "para todo" o "algunos" que se anteponen a funciones proposicionales para convertirlas en proposiciones universales o existenciales. Existen dos tipos de cuantificadores: el universal, que es verdadero si todos los valores de la variable son verdaderos, y el existencial, que es
El documento trata sobre la pendiente de una recta. Explica que la pendiente es un parámetro importante en la vida cotidiana para trazar carreteras, vías férreas y otros elementos constructivos. Luego, ofrece ejemplos de cómo calcular la pendiente dados dos puntos y muestra diferentes clases de pendientes. Por último, incluye ejercicios prácticos para encontrar la pendiente y ángulo de rectas.
Este documento trata sobre lógica matemática. Explica brevemente qué es la lógica, su clasificación en lógica natural, científica, formal, material y matemática. También define qué es un argumento, su objetivo principal y los enfoques lógicos para analizar argumentos, incluyendo inferencias y falacias.
El documento describe los operadores o conectores lógicos, incluyendo la negación, conjunción, disyunción, condicional y bicondicional. Explica las reglas y prioridades de cada operador a través de ejemplos y tablas de verdad.
Este documento introduce la lógica proposicional y cubre temas como expresiones lógicas, tablas de verdad, conectores lógicos, leyes del cálculo proposicional y aplicaciones de la lógica en el diseño de circuitos electrónicos utilizando compuertas lógicas como AND y OR.
1. El documento define conceptos básicos de teoría de relaciones como pares ordenados, producto cartesiano, relaciones y sus propiedades. 2. Explica cómo representar relaciones mediante matrices y define operaciones booleanas entre ellas como unión, intersección y composición. 3. Introduce el concepto de relaciones binarias y propiedades como reflexividad y simetría.
Ejercicios de programación - enunciados en programacion NetBeansBenHoobson
Este documento proporciona instrucciones para 33 programas de Python que resuelven problemas matemáticos y lógicos comunes. Los programas incluyen determinar si un número es par o impar, encontrar el mayor de tres números, verificar si un año es bisiesto, calcular salarios y descuentos, y realizar operaciones en vectores y matrices.
Técnicas de conteo.
Principio fundamental del conteo
Notación factorial
Permutaciones
Combinaciones
Diferencias entre permutación y combinación
Diagramas de árbol
Introducción a la Probabilidad.
Operaciones
Axiomas de Probabilidad
Este documento resume los inicios de la lógica proposicional y los principales pensadores que contribuyeron a su desarrollo, incluyendo a Aristóteles, George Boole, Augustus De Morgan y Jan Lukasiewicz. Explica brevemente las contribuciones de cada uno, como la lógica silogística de Aristóteles, el álgebra booleana de Boole y las leyes de De Morgan. También describe los primeros capítulos de un escrito sobre lógica proposicional que incluye la historia y conceptos básicos
Este documento trata sobre el cálculo proposicional. Explica los antecedentes históricos de la lógica a través de pensadores como Aristóteles, Boole, De Morgan y Lukasiewicz. Luego define los conceptos clave de la lógica proposicional y cálculo de predicados, las dos ramas principales de la lógica matemática. Finalmente, describe brevemente el significado de la lógica formal en las ciencias de la computación.
Este documento presenta conceptos básicos sobre la lógica proposicional, incluyendo:
1) Las negaciones conjuntiva y alternativa y la disyunción exclusiva.
2) Simbolización de varias proposiciones.
3) Uso de tablas de verdad para evaluar la veracidad de proposiciones compuestas.
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Leonhard Euler fue un destacado matemático y físico suizo del siglo XVIII. Vivió la mayor parte de su vida en Rusia y Alemania, donde realizó importantes contribuciones al cálculo y la teoría de grafos. Fue uno de los matemáticos más prolíficos de la historia, escribiendo cientos de documentos sobre una amplia gama de temas matemáticos y científicos.
Este documento contiene una guía de actividades para la semana dos de un curso de programación en C++ de nivel uno. Incluye tres secciones: 1) Resolver expresiones matemáticas en C++ y obtener el valor de la variable x. 2) Determinar el valor final de las variables a y b después de ejecutar expresiones individualmente donde a = 15 y b = 3 inicialmente. 3) Construir expresiones matemáticas justificando la respuesta.
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El documento trata sobre la pendiente de una recta. Explica que la pendiente es un parámetro importante en la vida cotidiana para trazar carreteras, vías férreas y otros elementos constructivos. Luego, ofrece ejemplos de cómo calcular la pendiente dados dos puntos y muestra diferentes clases de pendientes. Por último, incluye ejercicios prácticos para encontrar la pendiente y ángulo de rectas.
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1. El documento define conceptos básicos de teoría de relaciones como pares ordenados, producto cartesiano, relaciones y sus propiedades. 2. Explica cómo representar relaciones mediante matrices y define operaciones booleanas entre ellas como unión, intersección y composición. 3. Introduce el concepto de relaciones binarias y propiedades como reflexividad y simetría.
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Este documento resume los inicios de la lógica proposicional y los principales pensadores que contribuyeron a su desarrollo, incluyendo a Aristóteles, George Boole, Augustus De Morgan y Jan Lukasiewicz. Explica brevemente las contribuciones de cada uno, como la lógica silogística de Aristóteles, el álgebra booleana de Boole y las leyes de De Morgan. También describe los primeros capítulos de un escrito sobre lógica proposicional que incluye la historia y conceptos básicos
Este documento trata sobre el cálculo proposicional. Explica los antecedentes históricos de la lógica a través de pensadores como Aristóteles, Boole, De Morgan y Lukasiewicz. Luego define los conceptos clave de la lógica proposicional y cálculo de predicados, las dos ramas principales de la lógica matemática. Finalmente, describe brevemente el significado de la lógica formal en las ciencias de la computación.
La lógica matemática estudia los sistemas formales y cómo representan conceptos matemáticos intuitivos como conjuntos, números, demostraciones y computación. Se divide en cuatro subcampos principales: teoría de modelos, teoría de la demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica matemática ha sido fundamental para el estudio de los fundamentos de las matemáticas.
Este documento presenta una introducción a la lógica. Explica brevemente la historia de la lógica desde Aristóteles hasta el siglo XX, destacando las contribuciones de pensadores como Leibniz, Boole, Frege y Russell. Define la lógica como la ciencia que estudia las reglas de la deducción y la implicación entre proposiciones, sin importar su verdad. Finalmente, distingue entre ciencias formales y ciencias fácticas.
Este documento presenta una introducción a la lógica. Explica brevemente la historia de la lógica desde Aristóteles hasta el siglo XX, destacando las contribuciones de pensadores como Leibniz, Boole, Frege y Russell. Define la lógica como la ciencia que estudia las reglas de la deducción y la implicación entre proposiciones, sin importar su verdad fáctica. Finalmente, distingue entre ciencias formales y ciencias fácticas.
La lógica es una ciencia formal que estudia la validez de los argumentos independientemente del contenido, examinando su estructura lógica. Tradicionalmente ha sido parte de la filosofía pero en el siglo XX se formalizó como lógica simbólica con aplicaciones en informática. Las matemáticas estudian las propiedades y relaciones cuantitativas entre entes abstractos usando axiomas, deducciones lógicas y abstracción. Se usan en ciencias naturales, ingeniería y más. Las ciencias físicas incl
El documento trata sobre la historia de la lógica. Explica que la historia de la lógica estudia las contribuciones al desarrollo de esta disciplina desde la antigüedad hasta la actualidad, incluyendo contribuciones de filósofos como Platón, Aristóteles y Euclides en la Grecia clásica, y el desarrollo posterior de la lógica matemática y sus aplicaciones en las matemáticas y otras áreas.
Una pequeña reseña histórica sobre la lógica matemática tomando en cuenta los más importantes próceres que aportaron con ciertas ideas para formar un sistema completo sobre aquello.
La crisis de los fundamentos matemáticos a principios del siglo XX llevó a una investigación de los fundamentos de las matemáticas. Esto dio lugar a tres escuelas (logicismo, formalismo e intuicionismo) y al proceso de rigorización de las matemáticas mediante la definición precisa de conceptos y el uso de un lenguaje formal. Posteriormente, surgió el teorema de incompletitud de Gödel, que mostró los límites de las matemáticas.
Este documento presenta una introducción a la lógica, ofreciendo definiciones del término por parte de diferentes autores. Luego, describe brevemente la historia de la lógica, dividiéndola en cuatro etapas principales: la Revolución Matemática de los griegos, la Revolución Científica del Renacimiento, la Revolución Formal del siglo XIX y la Revolución Digital del siglo XX. Finalmente, resalta la importancia de estudiar lógica para desarrollar habilidades de razonamiento y
Este documento presenta una introducción general a la lógica. Explica que la lógica puede definirse como el estudio de la consecuencia y la consistencia, y que tiene un sentido amplio como herramienta de razonamiento y un sentido estricto como disciplina académica. También resume brevemente la historia de la lógica desde los filósofos griegos hasta las aplicaciones modernas en informática y las tres grandes ramas de la teoría de la prueba, la teoría de modelos y la teoría de la recursión.
Historia de la Teoria de la Computación.guestdf1874
El documento resume las principales revoluciones en el desarrollo de la lógica, incluyendo la revolución matemática, la revolución científica, la revolución formal y la revolución digital. También discute las contribuciones de figuras clave en el desarrollo de la lógica como Platón, Aristóteles, Euclides y Alan Turing.
El documento define la lógica como la ciencia que estudia los principios de la demostración e inferencia válida. Explica que la lógica ha evolucionado de una rama de la filosofía a una ciencia formal basada en símbolos y reglas de inferencia. También resume los diferentes tipos de sistemas lógicos como las lógicas clásicas, no clásicas, modales y la metalógica.
Dialnet la logicamatematicaunadisciplinaenbuscadeencuadre-3309806Camilo Tique
Este documento analiza las transformaciones disciplinares que ha experimentado la lógica matemática desde su surgimiento a finales del siglo XIX hasta la actualidad. Comenzó como un híbrido entre filosofía y matemáticas, luego maduró e institucionalizó bajo la rúbrica de "lógica y fundamentos". Desde 1975 ha establecido vínculos con las ciencias de la computación, la lingüística y otras áreas. Aunque se ha enfrentado a dificultades para encontrar su lugar dentro de las matemáticas, la
1. La lógica formal es la ciencia que estudia la validez de la inferencia, haciendo abstracción del contenido para centrarse en la estructura. Tuvo tres etapas principales de desarrollo: la antigua, la escolástica medieval y la moderna.
2. En la época antigua, Aristóteles elaboró la silogística y los estoicos se dedicaron a una lógica de proposiciones. En la escolástica medieval, destacaron Duns Escoto, Guillermo de Ockham, Alberto de
Reflexiones sobre la filosofia delas matematicasGerman Gamba
1) El documento discute diferentes concepciones filosóficas sobre la naturaleza de las matemáticas, incluyendo el platonismo, logicismo, formalismo, intuicionismo y constructivismo. 2) También explora cómo estas concepciones influyen en los modelos de enseñanza de las matemáticas y 3) Resalta la importancia de considerar las matemáticas como una construcción humana que surge para resolver problemas, en lugar de objetos abstractos e independientes.
El documento presenta una clase sobre lógica. Explica brevemente el concepto de lógica, su evolución histórica y algunos de los pensadores más importantes asociados con el desarrollo de esta disciplina, incluyendo a Aristóteles, Descartes, Boole y Gödel. Además, divide la historia de la lógica en cuatro revoluciones principales: la revolución matemática, la revolución científica, la revolución formal y la revolución digital.
El documento presenta un resumen de tres teorías geométricas no euclidianas:
1) La geometría hiperbólica de Lobachevski, donde por un punto exterior a una recta pasan infinitas paralelas.
2) La geometría elíptica de Riemann, donde por un punto exterior no pasa ninguna paralela.
3) Estas teorías generan una visión diferente del espacio, que ahora puede ser curvo en lugar de plano.
El documento habla sobre las matemáticas. Define las matemáticas como una ciencia formal que estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos utilizando el razonamiento lógico y siguiendo axiomas. También describe brevemente el origen de la palabra "matemática" en griego antiguo y cómo ha evolucionado su significado a través del tiempo. Finalmente, menciona que las matemáticas modernas se han desarrollado en estrecha conexión con las ciencias.
Las matemáticas es una ciencia formal que estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos utilizando axiomas y razonamiento lógico. La palabra "matemática" proviene del griego y significa "cosas que se aprenden", refiriéndose a áreas del conocimiento que sólo pueden entenderse tras haber sido instruido. Las matemáticas modernas se desarrollaron en el siglo XVIII con la introducción de notación por Euler, aunque el arte del cálculo existía antes de la escritura.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
1. UNIVERSIDAD REGIONAL AUTÓNOMA DE LOS ANDES “UNIANDES”
Alumnos: Juan Carlos Lozada Castillo
Santiago Ormaza
Adrián Guevara
Lógica matemática
La lógica matemática es una parte de la lógica y la matemática, que consiste en el estudio
matemático de la lógica, y en la aplicación de dicho estudio a otras áreas de la matemática
y de las ciencias. La lógica matemática tiene estrechas conexiones con las ciencias de la
computación y la lógica filosófica.
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que
codifican o definen nociones intuitivas de objetos matemáticos como conjuntos, números,
demostraciones, y algoritmos, utilizando un lenguaje formal.
La lógica matemática suele dividirse en cuatro subcampos: teoría de modelos, teoría de la
demostración, teoría de conjuntos y teoría de la recursión. La investigación en lógica
matemática ha jugado un papel fundamental en el estudio de los fundamentos de las
matemáticas. Actualmente se usan indiferentemente como sinónimos las expresiones:
lógica simbólica (o logística), lógica matemática, lógica teorética y lógica formal.1
La lógica matemática no es la «lógica de las matemáticas» sino la «matemática de la
lógica». Incluye aquellas partes de la lógica que pueden ser modeladas y estudiadas
matemáticamente.
Historia
Siglo XIX
Previamente ya se hicieron algunos intentos de tratar las operaciones lógicas formales de
una manera simbólica por parte de algunos filósofos matemáticos como Leibniz y Lambert,
pero su labor permaneció desconocida y aislada.
2. A partir de la segunda mitad del siglo XIX, la lógica sería revolucionada profundamente. En
1847, George Boole publicó un breve tratado titulado El análisis matemático de la lógica, y
en 1854 otro más importante titulado Las leyes del pensamiento. La idea de Boole fue
construir a la lógica como un cálculo en el que los valores de verdad se representan
mediante el 0 (falsedad) y el 1 (verdad), y a los que se les aplican operaciones
matemáticas como la suma y la multiplicación.
Al mismo tiempo, Augustus De Morgan publica en 1847 su obra Lógica formal, donde
introduce las leyes de De Morgan e intenta generalizar la noción de silogismo. Otro
importante contribuyente inglés fue John Venn, quien en 1881 publicó su libro Lógica
Simbólica, donde introdujo los famosos diagramas de Venn.
Charles Sanders Peirce y Ernst Schröder también hicieron importantes contribuciones.
Sin embargo, la verdadera revolución de la lógica vino de la mano de Gottlob Frege, quien
frecuentemente es considerado como el lógico más importante de la historia, junto con
Aristóteles. En su trabajo de 1879, la Conceptografía, Frege ofrece por primera vez un
sistema completo de lógica de predicados y cálculo proposicional. También desarrolla la
idea de unlenguaje formal y define la noción de prueba. Estas ideas constituyeron una base
teórica fundamental para el desarrollo de las computadoras y las ciencias de la
computación, entre otras cosas. Pese a esto, los contemporáneos de Frege pasaron por
alto sus contribuciones, probablemente a causa de la complicada notación que desarrolló
el autor. En 1893 y 1903, Frege publica en dos volúmenes Las leyes de la aritmética, donde
intenta deducir toda la matemática a partir de la lógica, en lo que se conoce como
el proyecto logicista. Su sistema y su aplicación a la teoría de conjuntos, sin embargo,
contenía una contradicción (la paradoja de Russell).
Lógica matemática fue el nombre dado por Giuseppe Peano para esta disciplina. En
esencia, es la lógica de Aristóteles, pero desde el punto de vista de una nueva notación,
más abstracta, tomada del álgebra.
Siglo XX
El siglo XX sería uno de enormes desarrollos en lógica. A partir del siglo XX, la lógica pasó
a estudiarse por su interés intrínseco, y no sólo por sus virtudes como propedéutica, por lo
que se estudió a niveles mucho más abstractos.
3. En 1910, Bertrand Russell y Alfred North Whitehead publican Principia mathematica, un
trabajo monumental en el que logran gran parte de la matemática a partir de la lógica,
evitando caer en las paradojas en las que cayó Frege. Los autores reconocen el mérito de
Frege en el prefacio. En contraste con el trabajo de Frege, Principia mathematica tuvo un
éxito rotundo, y llegó a considerarse uno de los trabajos de no ficción más importantes e
influyentes de todo el siglo XX. Principia mathematica utiliza una notación inspirada en la
de Giuseppe Peano, parte de la cual todavía es muy utilizada hoy en día.
En 1912 C. I. Lewis publica Conditionals and the Algebra of Logic, justo después de
los Principia Mathematica de Russell y Whitehead. En 1918 publica A Survey of Symbolic
Logic en donde propone un nuevo condicional más adecuado para recoger el significado
de la expresión "si... entonces" del lenguaje natural. Lewis lo llama implicación estricta. El
nuevo condicional requiere, para ser verdadero, una relación más fuerte entre el
antecedente y el consecuente que el condicional clásico.
En 1920 David Hilbert propuso de forma explícita un proyecto de investigación
(en metamatemática, como se llamó entonces) que acabó siendo conocido como programa
de Hilbert. Quería que la matemática fuese formulada sobre unas bases sólidas y
completamente lógicas.
El origen de los modelos abstractos de computación se encuadra en los años '30 (antes de
que existieran los ordenadores modernos), en el trabajo de los lógicos Alonzo Church, Kurt
Gödel, Stephen Kleene, Emil Leon Post, Haskell Curry y Alan Turing. Estos trabajos
iniciales han tenido una profunda influencia, tanto en el desarrollo teórico como en
abundantes aspectos de la práctica de la computación; previendo incluso la existencia de
ordenadores de propósito general, la posibilidad de interpretar programas, la dualidad
entre software y hardware, y la representación de lenguajes por estructuras formales
basados en reglas de producción.
La deducción natural fue introducida por Gerhard Gentzen en su trabajo Investigaciones
sobre la inferencia lógica (Untersuchungen über das logische Schliessen), publicado en
1934-1935.
En los años 40 Alfred Tarski comenzó a desarrollar junto a sus discípulos el álgebra
relacional, en la que pueden expresarse tanto la teoría axiomática de conjuntos como
la aritmética de Peano. También desarrolló junto a sus discípulos las álgebras cilíndricas,
que son a la lógica de primer orden lo que el álgebra booleana a la lógica proposicional. En
1941 publicó en inglés uno de los manuales de lógica más acreditados, Introduction to Logic
and to the Methodology of Deductive Sciences.
4. Noam Chomsky en 1956 propone una clasificación jerárquica de distintos tipos
de gramáticas formales que generan lenguajes formales llamada jerarquía de Chomsky.
Si bien a la luz de los sistemas contemporáneos la lógica aristotélica puede parecer
equivocada e incompleta, Jan Łukasiewicz mostró que, a pesar de sus grandes dificultades,
la lógica aristotélica era consistente, si bien había que interpretarse como lógica de clases,
lo cual no es pequeña modificación. Por ello la silogística prácticamente no tiene uso
actualmente.
Además de la lógica proposicional y la lógica de predicados, el siglo XX vio el desarrollo de
muchos otros sistemas lógicos; entre los que destacan las muchas lógicas modales.
Concepto de lógica matemática
La lógica matemática estudia los sistemas formales en relación con el modo en el que
codifican conceptos intuitivos de objetos matemáticos como conjuntos, números,
demostraciones y computación. La lógica estudia las reglas de deducción formales, las
capacidades expresivas de los diferentes lenguajes formales y las
propiedades metalógicas de los mismos.
En un nivel elemental, la lógica proporciona reglas y técnicas para determinar si es o no
válido un argumento dado dentro de un determinado sistema formal. En un nivel avanzado,
la lógica matemática se ocupa de la posibilidad de axiomatizar las teorías matemáticas, de
clasificar su capacidad expresiva, y desarrollar métodos computacionales útiles en sistemas
formales. La teoría de la demostración y la matemática inversa son dos de los
razonamientos más recientes de la lógica matemática abstracta. Debe señalarse que la
lógica matemática se ocupa de sistemas formales que pueden no ser equivalentes en todos
sus aspectos, por lo que la lógica matemática no es método de descubrir verdades del
mundo físico real, sino sólo una fuente posible de modelos lógicos aplicables a teorías
científicas, muy especialmente a la matemática convencional.
La lógica matemática no se encarga por otra parte del concepto de razonamiento humano
general o del proceso creativo de construcción de demostraciones matemáticas mediante
argumentos rigurosos pero hechas usando lenguaje informal con algunos signos o
diagramas, sino sólo de demostraciones y razonamientos que pueden ser completamente
formalizados en todos sus aspectos.
5. Sistemas lógicos
La lógica matemática se interesa por tres tipos de aspectos de los sistemas lógicos:
La sintaxis de los lenguajes formales, es decir, las reglas de formación de símbolos
interpretables construidos a partir de un determinado alfabeto, y las reglas de
inferencia. En concreto el conjunto de teoremas deducibles de un conjunto de
axiomas.
La semántica de los lenguajes formales, es decir, los significados atribuibles a un
conjunto de signos, así como el valor de verdad atribuible a algunas de las
proposiciones.
Los aspectos metalógicos de los lenguajes formales, como por ejemplo
la completitud semántica, la consistencia, la compacidad o la existencia de
modelos de cierto tipo, entre otros.
6. Lógica proposicional (Lógica de orden cero): En ella existe símbolos para variables
proposicionales (que pueden ser interpretados informalmente como enunciados que
pueden ser ciertos o falsos) además de símbolos para diversas conectivas. Estas
conectivas permiten formar expresiones complejas a partir de variables proposicionales
simples. Un sistema lógico puede incluir diversos tipos de conectivas, entre ellos, la lógica
clásica suele hacer uso de los siguientes:
¬ se lee “no”
∧ se lee “y”
∨ se lee “o”
→ se lee “…implica…” o “si,…entonces…,”
↔ se lee “…equivalente con…” o "…si, sólo sí…"
Dentro de la lógica proposicional pueden distinguirse varios tipos, por ejemplo
restringiendo las posibilidades de interpretación semántica se obtiene la lógica
intuicionista y ampliando la complejidad de las interpretaciones semánticas se obtienen
las lógicas modales.