Este documento presenta un resumen de conceptos fundamentales de la teoría de probabilidad como probabilidad condicional, teorema de multiplicación de probabilidad, sucesos independientes, teorema de Bayes y variables aleatorias. El objetivo es despertar la capacidad investigativa de los estudiantes en problemas de probabilidad. Se escogió literatura disponible en Internet para realizar el trabajo.

1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DE LA DEFENSA
UNIVERSIDAD EXPERIMENTAL POLITECNICA
DE LA FUERZA ARMADA
U.N.E.F.A. NUCLEO VARGAS
CATEDRA: PROBABILIDADES Y ESTADISTICA
PROF. DÍAZ, ALAYS
ALUMNOS: C.I.
CASTILLO CH., JOHHNY E. 6.799.969
ELIETT, JUAN 7.991.131
GONZALEZ, NORELYS 6.499.268
IRIARTE, JUAN PABLO 9.994.112
JIMENEZ, STEAWART 19.246.818
PIÑANGO, LILA 11.060.955
SECCIÓN: 10
Catia La Mar, octubre 2.008
Introducción

2. El trabajo que se presenta a continuación consiste en estudiar los
conceptos fundamentales de la teoría de probabilidad, como son las de
probabilidad Condicional, Teorema de multiplicación de Probabilidad,
Sucesos Independientes, Teorema de Bayes y la Definición de Variable
Aleatorias.
El objetivo que se persigue es el de despertar, en el estudiante, la
capacidad investigativa en problemas relacionados con el campo de las
probabilidades, cónsonos con la formación del Ingeniero reflexivo, critico e
investigador.
Para la realización del trabajo se escogió la literatura disponible en
Internet, el cual cuenta con una biblioteca virtual disponible las veinte
cuatro horas, en la que podemos encontrar definiciones y ejercicios
prácticos.
En el cálculo de las Probabilidades, podemos realizar operaciones
aplicadas a situaciones que generalmente tienen una relación entre todos
los valores involucrados.
Probabilidad condicional.

3. Probabilidad condicionada es la probabilidad de que ocurra un
evento A, sabiendo que también sucede otro evento B. La probabilidad
condicional se escribe P(A|B), y se lee «la probabilidad de A dado B.
No tiene por qué haber una relación causal o temporal entre A y B.
A puede preceder en el tiempo a B, sucederlo o pueden ocurrir
simultáneamente. A puede causar B, viceversa o pueden no tener
relación causal. Las relaciones causales o temporales son nociones que
no pertenecen al ámbito de la probabilidad. Pueden desempeñar un papel
o no dependiendo de la interpretación que se le dé a los eventos.
Definición:
Dado un espacio de probabilidad (Ω,F,P) y dos eventos (o sucesos)
A,B є F con P(B) > 0, la probabilidad condicional de A dado B esta
definida como:
P(A B) P(A ∩ B)
P(B)
Interpretación:
P(A B) se puede interpretar como, tomando los mundos en los
que B se cumple, la fracción en los que también se cumple A. Si el evento
B es, por ejemplo, tener la gripe, y el evento A es tener dolor de cabeza,
P(A B) sería la probabilidad de tener dolor de cabeza cuando se está
enfermo de gripe.
Gráficamente, si se interpreta el espacio de la ilustración como el
espacio de todos los mundos posibles, A serían los mundos en los que se
tiene dolor de cabeza y B el espacio en el que se tiene gripe. La zona

4. verde de la intersección representaría los mundos en los que se tiene
gripe y dolor de cabeza P(A ∩ B). En este caso P(A B) , es decir, la
probabilidad de que alguien tenga dolor de cabeza sabiendo que tiene
gripe, sería la proporción de mundos con gripe y dolor de cabeza (color
verde) de todos los mundos con gripe: El área verde dividida por el área
de B. Como el área verde representa P(A ∩ B) y el área de B representa a
P(B), formalmente se tiene que:
P(A B) P(A ∩ B)
P(B)
Propiedades
1. P(A B) + P(A B) = 1
2. A B P(A B) = 1
Pero NO es cierto que:
P(A B) + P(A B) = 1
Independencia de sucesos:
La proporción de zona verde dentro de B es la misma que la de A
en todo el espacio y, de la misma forma, la proporción de la zona verde
dentro de A es la misma que la de B en todo el espacio. Son sucesos
independientes.

5. Dos sucesos aleatorios A y B son independientes si y sólo si:
P (A ∩ B) = P(A)P(B)
O sea que si A y B son independientes, su probabilidad conjunta,
P(A ∩ B) ó P(AB) puede ser expresada como el producto de las
probabilidades individuales. Equivalentemente:
P(A B) = P(A)
P(B A) = P(B)
En otras palabras, si A y B son independientes, la probabilidad
condicional de A dado B es simplemente la probabilidad de A y viceversa.
Exclusividad mutua:
Los conjuntos A y B no intersectan. Son mutuamente excluyentes
Dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes si y sólo si A ∩ B
= 0 Entonces, P(A ∩ B) = 0.
Además, si P(B) > 0 entonces P(A B) es igual a 0.

6. Ejemplos:
1) De un paquete de 20 cigarrillos se marcan 5 con una cruz. Se los
coloca en una caja y se escoge uno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de
que tenga una cruz?
Solución:
n = 20
L: lote
C: cruz
P = {L,C} = {20,5}
P(C) = C/L
P(C) = 5/20
P(C) = 0,25
2) Halle la probabilidad de obtener exactamente una espada en 4
extracciones de una baraja española de 40 cartas, cuando las
extracciones se hacen:
a) con reemplazamiento.
b) sin reemplazamiento.
Solución:
n = 20
E: espada
P(E) = 10/40 = ¼
P(E) = 30/40 = ¾
Las posibilidades son:
1 E E E E
2 E E E E
3 E E E E

7. 4 E E E E
a) P(Ë) = P(E).P(E).P(E).P(E) + P(E).P(E).P(E).P(E) +
P(E).P(E).P(E).P(E) + P(E).P(E).P(E).P(E)
P(Ë) = 4.P(E).P(E)³
P(Ë) = 4.¼.(¾)³
P(Ë) = 108/256
P(Ë) = 27/64
b)
P(Ë) = (10/40).(30/39).(29/38).(28/37) + (30/40).(29/39).(28/38).(10/37) +
(30/40).(10/39).(29/38).(28/37) + (30/40).(29/39).(10/38).(28/37)
P(Ë) = 4.243.600 / 2.193.360 = 1,934785
P(Ë) = (5).(10.609) / (3).(9.139)
3 ) Sean A y B dos sucesos tales que P(A) = 0,375, P(B) = 0,908 y P(A È
B) = 0,989. Hallar:
a) P(A/B)
b) P(B/A)
Solución:
P(A U B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
P(A ∩ B) = P(A) + P(B) - P(A U B)
P(A ∩ B) = 0,375 + 0,908 - 0,989
P(A ∩ B) = 0,294
a) P(A ∩ B) = P(B).P(A/B)
P(A/B) = P(A ∩ B)/P(B)
P(A/B) = 0,294/0,908
P(A/B) = 0,32379

8. b) P(B/A) = P(A ∩ B)/P(A)
P(B/A) = 0,294/0,375
P(B/A) = 0,784
4) De 300 estudiantes de Ciencias Económicas, 100 cursan Estadística y
80 cursan Historia Económica I. Estas cifras incluyen 30 estudiantes que
cursan ambas materias.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante elegido aleatoriamente
curse Estadística o Historia Económica I?
b) Igual al anterior pero que no curse ninguna de esas dos materias.
c) ¿Qué probabilidad hay de que al elegir un estudiante al azar curse
Historia Económica I, dado que cursa Estadística?
d) ¿Qué probabilidad hay de que al elegir un estudiante al azar curse
Estadística, dado que cursa Historia Económica I?
e) Pruebe si el hecho de cursar Estadística es independiente de cursar
Historia Económica I.
Llamamos:
E: Estadística.
HE: Historia Económica I.
X: Ni Estadística ni Historia Económica I.
Armamos la tabla:
HE HE
E 30 100
E 200
80 220 300

9. Completamos los lugares vacíos:
HE HE
E 30 70 100
E 50 150 200
80 220 300
a) Se pide P(E) o P(HE), es decir P(E U HE).
P(E U HE) = P(E) + P(HE) - P(E ∩ HE)
P(E) = 100/300 = 0,333
P(HE) = 80/300 = 0,267
P(E ∩ HE) = 30/300 = 0,100
P(E U HE) = 0,333 + 0,267 - 0,100 = 0,500
b) Se pide P(E / HE).
P(E / HE) = P(E) + P(HE) - P(E ∩ HE)
P(E) = 200/300 = 0,667
P(HE) = 220/300 = 0,733
P(E ∩ HE) = 270/300 = 0,900
P(E U HE) = 0,667 + 0,733 - 0,900 = 0,500
c) Se pide P(HE/E).
P(HE/E) = P(E ∩ HE)/P(E) = 0,100/0,333 = 0,3003
d) Se pide P(E/HE).
P(E/HE) = P(E ∩ HE)/P(HE) = 0,100/0,267 = 0,3745
e) Se pide P(E ∩ HE) = P(E).P(HE).
0,100 ≠ 0,333.0,267 No son independientes

10. 5) Se lanzan dos dados. Si la suma ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de
que alguno de los dados haya salido un tres?
Sean los sucesos:
A = quot;la suma de los puntos es sietequot; y
B = quot;en alguno de los dados ha salido un tresquot;
El suceso B A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7.
Observamos que esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por
tanto al observar la grafica vemos las posibles combinaciones de 7 y en
donde se forma con las parejas del enunciado.,
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
P(B A) = 2 / 6 = 1 / 3
Teorema de multiplicación de probabilidad.
Reglas de Multiplicación
Regla de multiplicación para eventos independientes.
Dos eventos son independientes si la ocurrencia de uno no altera la
probabilidad de que suceda el otro.

11. Para dos eventos independientes A y B, la probabilidad de que
ambos eventos sucedan es encontrada mediante la multiplicación de sus
dos probabilidades.
P( A∩ B ) = P( A ) P( B )
Ejemplo:
Una maquina empaca vegetales en una bolsa de plástico.
Experiencias anteriores revelan que en ocasiones los paquetes tienen
menos del peso correcto, y en otras más, pero la mayoría de las veces
tiene el peso satisfactorio. Como muestra la siguiente tabla:
Peso Probabilidad
debajo del correcto .025
correcto .900
arriba del correcto .075
Supongamos que queremos saber la probabilidad de que al
inspeccionar tres paquetes, los tres pesen correctamente. Establezcamos
los siguientes eventos:
A = { quot;el primer paquete pesa correctamentequot; }
B = { quot;el segundo paquete pesa correctamentequot; }
C = { quot;el tercer paquete pesa correctamentequot; }
La probabilidad de cada uno de estos eventos independientes es:
P(A) = .900
P(B) = .900
P(C) = .900
Según el teorema de multiplicación la probabilidad de que los tres
eventos ocurran es:
P(A ∩ B ∩ C) = P(A)P(B)P(C)

12. P(A ∩ B ∩ C) = (.900)(.900)(.900) = .729
Regla de multiplicación para probabilidad condicional
Para dos eventos A y B, donde A depende de la ocurrencia de B, la
probabilidad de que sucedan ambos eventos está dada por la fórmula:
P( A ∩ B ) = P( B ) P( A|B )
Ejemplo:
Cierto departamento de una compañía esta compuesto por 8
hombres y 4 mujeres, de entre ellos se va elegir al nuevo jefe del
departamento, para lo cual se entrevistará a dos de ellos. Si todos tienen
la misma probabilidad de ser elegidos, ¿cual es la probabilidad de que las
dos personas entrevistadas sean mujeres?
A = { quot;el primer entrevistado es mujerquot; }
B = { quot;el segundo entrevistado es mujerquot; }
La probabilidad de que suceda el evento A = { quot;el primer
entrevistado es mujerquot; } es:
P(A) = 4 / 12 = 0.33
La probabilidad de que suceda el evento B = { quot;el segundo entrevistado es
mujerquot; } dado que ya sucedió A, y solo hay tres mujeres de 11 elementos:
P(B|A) = 3 / 11 = 0.27
Según el teorema de multiplicación la probabilidad de que los dos eventos
ocurran es:
P( A ∩ B ) = P( A ) P( B|A ) = (0.33)(0.27) = .089
Sucesos independientes
Dos sucesos son independientes entre sí, si la ocurrencia de uno
de ellos no afecta para nada a la ocurrencia del otro:
Ejemplos:

13. 1) El suceso estatura de los alumnos de una clase y el color del pelo
son independientes: el que un alumno sea más o menos alto no va a
influir en el color de su cabello, ni viceversa.
Para que dos sucesos sean independientes tienen que verificar al
menos una de las siguientes condiciones:
P (B/A) = P (B) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso
B, condicionada a que previamente se haya dado el suceso A, es
exactamente igual a la probabilidad de B.
2) La probabilidad de que al tirar una moneda salga cara (suceso B),
condicionada a que haga buen tiempo (suceso A), es igual a la propia
probabilidad del suceso B.
P (A/B) = P (A) es decir, que la probabilidad de que se de el suceso
A, condicionada a que previamente se haya dado el suceso B, es
exactamente igual a la probabilidad de A.
3) La probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A), condicionada
a que al tirar una moneda salga cara (suceso B), es igual a la propia
probabilidad del suceso A.
P (A ∩ B) = P (A) * P (B) es decir, que la probabilidad de que se de
el suceso conjunto A y B es exactamente igual a la probabilidad del
suceso A multiplicada por la probabilidad del suceso B.
4) La probabilidad de que haga buen tiempo (suceso A) y salga cara
al tirar una moneda (suceso B), es igual a la probabilidad del suceso A
multiplicada por la probabilidad del suceso B
Si el suceso A es independiente del suceso B, entonces el suceso
B también es independiente del suceso A.
Vamos analizar este ejemplo en dos partes:
Parte 1: analicemos dos sucesos con las siguientes condiciones:
Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4
Suceso B: la probabilidad de tener un accidente es del 0,1

14. Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y
tener un accidente es del 0,08
Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas:
P (B/A) = P (A ∩ B) / P (A) = 0,08 / 0,4 = 0,2 (que no es igual a P (B))
P (A/B) = P (A ∩ B) / P (B) = 0,08 / 0,6 = 0,133 (que no es igual a P (A))
P (A ∩ B) = 0,08 (que no es igual a P (A) multiplicado por P (B))
Por lo tanto, no se cumple ninguna de las tres condiciones
señaladas por lo que estos dos sucesos no son independientes, sino que
existe algún grado de dependencia entre ellos.
Parte 2: analicemos dos sucesos:
Suceso A: la probabilidad de que haga buen tiempo es del 0,4
Suceso B: la probabilidad de salir cara al lanzar una moneda es del
0,5
Suceso intersección: la probabilidad de que haga buen tiempo y
que salga cara es 0,2
Veamos si se cumple alguna de las condiciones señaladas:
P (B/A) = P (A ∩ B) / P (A) = 0,2 / 0,4 = 0,5 (igual que P (B))
P (A/B) = P (A ∩ B) / P (B) = 0,2 / 0,6 = 0,4 (igual que P (A))
P (A ∩ B) = 0,2 (igual a P (A) multiplicado por P (B))
Por lo tanto, estos dos sucesos sí son independientes.
Teorema de Bayes
En el siglo XVIII el reverendo Thomas Bayes, un ministro
presbiteriano inglés, se hizo esta pregunta: ¿realmente existe Dios?.
Siendo el, un entusiasta matemático se avocó a desarrollar una fórmula
para encontrar la probabilidad de que Dios existe, basándose en la
evidencia disponible sobre la tierra.

15. Años después de la muerte de Bayes, Laplace desarrolló el trabajo
del reverendo, y por vez primera, se logra la determinación de la
probabilidad de las causas a partir de los efectos que han podido ser
observados. El cálculo de dichas probabilidades recibe el nombre de
teorema de Bayes.
El Teorema de Bayes que a partir de que ha ocurrido el suceso B
(ha ocurrido un accidente) deducimos las probabilidades del suceso A
(¿estaba lloviendo o hacía buen tiempo?).
La fórmula del teorema de Bayes es:
P(Ai/b) P(Ai) P(B/Ai)
∑ P(Ai) P(B/Ai)
Que es lo mismo que:
P(A1)P(B|A1)
P(A1|B) =
P(A1)P(B|A1) + P(A2)P(B|A2) + ... + P(An)P(B|An)
Ejemplo:
1) Don Pepe tiene una tienda, en el trabajan 3 cajeras, Andrea,
Bianca, y Consuelo. Andrea realiza el 50% de los cobros, Bianca el 30% y
Consuelo el 20%. Cuando cobra Andrea hay un 1% de probabilidad de
que lo haga mal, cuando lo hace Bianca hay un 2% de que cobre mal, y si
cobra Consuelo hay un 3% de probabilidad de que se equivoque.
Un cliente se quejó con Don Pepe porque le cobraron mal. ¿Cual
es la probabilidad de que el mal cobro lo hizo Andrea?
Vamos a considerar los siguientes eventos:
M = {se hizo un mal cobro}
A= {el cobro fue hecho por Andrea}

16. B= {el cobro fue hecho por Bianca}
C= {el cobro fue hecho por Consuelo}
De los eventos anteriores podemos obtener las siguientes probabilidades:
P(A)=.5
P(B)=.3
P(C)=.2
P(M|A)=.01
P(M|B)=.02
P(M|C)=.03
Utilizando el teorema de Bayes para encontrar la probabilidad de
que el cobro lo hizo Andrea dado que fue un mal cobro:
P(A)P(M|A)
P(A|M) =
P(A)P(M|A) + P(B)P(M|B) + P(C)P(M|C)
Sustituyendo los valores:
(.5)(.01) .005
P(A|M) = = = .2941
(.5)(.01) + (.3)(.02) + (.2)(.03) .005 + .006 + .006
2) El parte meteorológico ha anunciado tres posibilidades para el fin
de semana:
a) Que llueva: probabilidad del 50%.
b) Que nieve: probabilidad del 30%
c) Que haya niebla: probabilidad del 20%.
Según estos posibles estados meteorológicos, la posibilidad de que
ocurra un accidente es la siguiente:
a) Si llueve: probabilidad de accidente del 10%.
b) Si nieva: probabilidad de accidente del 20%

17. c) Si hay niebla: probabilidad de accidente del 5%.
Resulta que efectivamente ocurre un accidente y como no
estábamos en la ciudad no sabemos que tiempo hizo (nevó, llovió o hubo
niebla). El teorema de Bayes nos permite calcular estas probabilidades:
Las probabilidades que manejamos antes de conocer que ha
ocurrido un accidente se denominan quot;probabilidades a prioriquot; (lluvia con el
60%, nieve con el 30% y niebla con el 10%).
Una vez que incorporamos la información de que ha ocurrido un
accidente, las probabilidades del suceso A cambian: son probabilidades
condicionadas P (A/B), que se denominan quot;probabilidades a posterioriquot;.
Vamos a aplicar la fórmula:
P(Ai/b) P(Ai) P(B/Ai)
∑ P(Ai) P(B/Ai)
a) Probabilidad de que estuviera lloviendo:
P(Ai/b) 0,50 * 0,20 0,714
(0,50*0,20) + (0,30*0,10) + (0,20*0,05)
La probabilidad de que efectivamente estuviera lloviendo el día del
accidente (probabilidad a posteriori) es del 71,4%.
b) Probabilidad de que estuviera nevando:
P(Ai/b) 0,30 * 0,10 0,214

18. (0,50*0,20) + (0,30*0,10) + (0,20*0,05)
La probabilidad de que estuviera nevando es del 21,4%.
c) Probabilidad de que hubiera niebla:
P(Ai/b) 0,20 * 0,005 0,071
(0,50*0,20) + (0,30*0,10) + (0,20*0,05)
La probabilidad de que hubiera niebla es del 7,1%.
Variable aleatoria:
Variable aleatoria: Es un conjunto o subconjunto de datos agrupados
para poder obtener datos tales como la media de la modo en una
estadística de un muestreo que funciona con una regla de
correspondencia, función que asigna un único numero real a cada
resultado de un espacio muestral en un experimento. variable que
cuantifica los resultados de un experimento aleatorio. Variable que toma
diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Categoría
cuantificable que puede tomar diferentes valores cada vez que sucede un
experimento o suceso, el valor sólo se conocerá deterministamente una
vez acaecido el suceso. La materia manejada por el estadístico son
variables aleatorias o sea fenómenos de interés, cuyos resultados (datos)
observados pueden diferir entre una respuesta y otra. Si Ω es un conjunto,
y sus elementos son características (por ejemplo: edad, Nº de hijos,
sexo), una variable Aleatoria X es una función X : w Ω X(w) Rm.
En realidad son funciones deterministicas aunque tengan el nombre
quot;aleatorioquot;.
Las variables aleatorias pueden ser:

19.  Variable aleatoria Discreta: una variable aleatoria es discreta si su
conjunto de valores posibles es un conjunto discreto, toma un
número finito de valores numerables.
 Variable aleatoria Continua. Variable que toma un valor infinito de
valores no numerables. Una variable aleatoria es continua si su
conjunto de posibles valores es todo un intervalo de números; esto
es, si para algún a < b, cualquier número x entre a y b es posible.
Ejemplos:
Clasificar como discretas o continuas las siguientes variables
aleatorias:
a) Nº de páginas de un libro → discreta
b) Tiempo que tarda en fundirse una bombilla → continua
c) Nº de preguntas en una clase de una hora → discreta
d) Cantidad de agua consumida en un mes → continua
En la práctica se consideran discretas aquellas variables para las
que merece la pena asignar probabilidades a todos los posibles
sucesos elementales.

20. CONCLUSIÓN
La realización del presente trabajo ha sido muy provechosa, nos ha
permitido poner en práctica los conocimientos vistos a lo largo de la
carrera, además de despertar la capacidad de investigación y análisis que
serán las herramientas que dispondré para hacerle frente a las muchas
situaciones que puedo encontrar en mi rol como docente.
La principal debilidad del trabajo fue la brevedad del tiempo
disponible, que no hizo permitió un análisis mas completo.
Finalmente creo que a pesar de la poca pericia en el tema fuimos
abordando cada paso con la intención de aprender, de adquirir nuevas
herramientas que nos permitan desenvolvernos con seguridad y saber
identificar cuales situaciones que se nos puedan presentar en un futuro y
cuales requieren de una investigación para poder solucionarlas.
Consideramos que aunque no lo sabemos todo, estamos
preparados psicológicamente y capacitados para dar inicio a una nueva
faceta como es el calculo de probabilidades.

21. Para finalizar, queremos decir que fue de gran enriquecimiento la
elaboración de este trabajo, ya que dependiendo del tipo de operación a
realizar, tenemos diferentes maneras de realizar los cálculos
probabilisticos.
BIBLIOGRAFÍA
http://www.fisicanet.com.ar/matematica/estadisticas/resueltos/tp01_proba
bilidades02.php
http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Probabilidad_co
ndicional
http://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad_condicionada
quot;http://portales.educared.net/wikiEducared/index.php?title=Probabilidad_c
ondicionalquot;
Universidad Nacional Abierta (2003). Probabilidades y estadísticas
Caracas.
http://www.aulafacil.com/CursoEstadistica/Lecc-25-est.htm

22. ANEXOS
Axiomas y Teoremas de Probabilidad
1. Operaciones básicas con eventos
2. Axiomas de Probabilidad
3. Teorema 1:Regla de Adición
4. Teorema 2:Regla de Complementación
5. Teorema 3:Regla de Diferenciación
Operaciones básicas con eventos:
Intersección:
Intersección de dos eventos es el conjunto de resultados de un
experimento que pertenece a los dos eventos dados. El operador de la
intersección es

23. Unión:
Unión de dos eventos es el conjunto de resultados de un experimento que
pertenece a alguno de los dos eventos dados. El operador de la unión es
U
Complemento:
El complemento de un evento es el conjunto de resultados de un
experimento que no pertenece a un evento dado.

24. Diferencia:
Diferencia de dos eventos es el conjunto de resultados de un evento dado
que no pertenece a otro evento dado. El operador de la diferencia es el
signo “menos” (-)
Axiomas de Probabilidad:
Para el cálculo de probabilidades hay que tomar en cuenta los Axiomas y
Teoremas que a continuación se enumeran.
Axioma 1
La probabilidad de que ocurra un evento A cualquiera se encuentra entre
cero y uno.
0 > P(A) > 1
Axioma 2
La probabilidad de que ocurra el espacio muestral es 1.
P(S) = 1
Axioma 3

25. Si A y B son eventos mutuamente exclusivos, es decir que no tienen
elementos en común, entonces:
P(A B) = P(A) + P(B)
Si se tienen n eventos mutuamente exclusivos A1, A2, A3,.....An,
entonces:
P(A1 A2 ... An) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An)
Teorema 1: Regla de Adición
La probabilidad de que alguno de dos eventos pertenecientes a un mismo
espacio muestral ocurra se determina mediante la siguiente ecuación:
P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A B )
Ejemplo:
Si el experimento es lanzar un dado una vez, el espacio muestral es:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Si el evento A es cae un número par
A = { 2, 4, 6 }
Si el evento B es cae un número menor de 3
B = { 1, 2 }
¿Cuál será la probabilidad de que suceda alguno de estos dos eventos?
La probabilidad de A y la probabilidad de B es:
3 2
P(A) = = 0.50 P(B) = = 0.33
6 6
Para aplicar este teorema es necesario conocer la probabilidad de la
intersección de estos dos eventos si se quiere conocer la probabilidad de
la unión, o de manera inversa, conocer la probabilidad de la unión para
calcular la probabilidad de la intersección.

26. En este caso queremos saber la unión, entonces es necesario conocer la
intersección, que es quot; número par y menor de 3quot;.
2
A B={2} entonces P(A B)= = 0.33
6
Si aplicamos la regla de adición:
P( A U B ) = P( A ) + P( B ) – P( A B )
P( A U B ) = 0.50 + 0.33 – 0.16 = 0.67
Teorema 2: Regla de Complementación
La probabilidad de que el complemento de un evento ocurra está dada
por la siguiente ecuación:
P( A ) = 1 – P ( A )
Si A es cae un seis, entonces la probabilidad de que no caiga seis es:
P( A ) = 1 – 0.16 = 0.84
Teorema 3: Regla de Diferenciación
La probabilidad de que un evento dado ocurra pero no ocurra otro evento
dado pertenecientes al mismo espacio muestral está dada por
P(A - B) = P(A) – P(A B)
Si el evento A es cae un número par y si el evento B es cae un número
menor de 3, entonces la probabilidad de que caiga par pero no menor de
tres es:
P(A - B) = P(A) – P(A B)
P(A - B) = 0.50 – 0.16 = 0.33
Y la probabilidad de que caiga menor de tres pero no par es:
P(B - A) = P(B) – P(A B)
P(A - B) = 0.33 – 0.16 = 0.17