SlideShare una empresa de Scribd logo
TEMA 2. CÁLCULO DE
PROBABILIDADES

2.1. Introducción
2.2. Conceptos básicos
2.2.1. Espacio muestral. Sucesos
2.2.2. Operaciones con sucesos
2.3. Concepto de Probabilidad. Propiedades
2.3.1. Definición clásica de la Probabilidad
2.3.2. Diagramas de árbol
2.3.3. Definición axiomática de la
Probabilidad
2.3.4. Propiedades de la Probabilidad
2.4. Probabilidad condicionada. Independencia de
Sucesos
2.4.1. Probabilidad condicionada
2.4.2. Independencia de sucesos
2.5. Teorema de la probabilidad total. Teorema de
Bayes
2.5.1. Teorema de la probabilidad total
2.5.2. Teorema de Bayes

55
TEMA 2. CÁLCULO DE
PROBABILIDADES

2.1 Introducción

La probabilidad refleja las expectativas de que un
suceso determinado ocurra

Fenómeno determinista: Se conoce con certeza el
resultado del experimento

Fenómeno aleatorio: No se puede predecir el
resultado del experimento

La probabilidad de un suceso es un número
comprendido entre 0 y 1 (ambos incluidos)

56
2.2. Conceptos básicos

2.2.1. Espacio muestral. Sucesos
Suceso elemental: Cada uno de los posibles
resultados, que no se pueden descomponer en otros más
simples, de un experimento aleatorio

Espacio muestral, E: Conjunto de los sucesos
elementales

Suceso: Subconjunto del espacio muestral

Suceso seguro: Es el suceso formado por todos los
sucesos elementales
Suceso imposible, ∅ : Es el suceso que no contiene
ningún suceso elemental

57
2.2.2. Operaciones con sucesos

a
b

c
d

f
e

A

g
B

A = {a, b, c, d} , B = {c, d, e, f, g}

Unión de sucesos
A

B: Todos los sucesos elementales de A ó B
A

B = {a, b, c, d, e, f, g}

A∪B

58
a
b

c
d

f
e

A

g
B

A = {a, b, c, d} , B = {c, d, e, f, g}

Intersección de sucesos

A
B: Sucesos elementales que
simultáneamente a A y a B
A

pertenecen

B = {c, d}

A∩B

59
Diferencia de sucesos
A – B: Sucesos elementales que pertenecen al suceso
A pero no al B
A = {a, b, c, d} ; B = {c, d, e, f, g}
A – B = {a, b}

a

c
d

b

f
e
g

A

B

♦ Ejemplo: Se están utilizando 7 árboles, numerados del 1
al 7, para un experimento.
Definir el Espacio muestral:
E
A
4

1
5

3

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

2
7

B
6

Sean A y B los sucesos: A = {1,3, 5}, B = {2, 3, 7}
Obtener los sucesos: A
B, A
B, A – B
A
B = {1, 2, 3, 5, 7}; A
B = {3}; A – B = {1, 5}
60
Sucesos Complementarios
AC : Es el suceso formado por todos los sucesos de E
que no están en A
AC = E − A
E = {a, b, c, d, e}, A = {b, c}, AC = {a, d, e}

E
a
AC

A
b

d

c

e

♦ Ejemplo: A : “Tener el grupo sanguíneo O”
AC : “Tener el grupo sanguíneo A, B, ó AB”

EC =

o,
/

o C= E
/

61
Sucesos Incompatibles

Los sucesos A y B son incompatibles o mutuamente
excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente
A = {a, b}, B = {d, e}

E
a
b
A

d

c

e
B

♦ Ejemplo: A : “Ser un reptil”, B : “Ser un león”

62
Propiedades de la unión de sucesos

Asociativa: A
(B
C) = (A
Conmutativa: A
B=B
A
A
A=A, A
AC = E

B)

C

Propiedades de la intersección de sucesos

Asociativa: A
(B
C) = (A
Conmutativa: A
B=B
A
A
A=A, A
AC =

B)

C

63
Propiedades conjuntas de la unión e
intersección de sucesos

Distributiva: A
C)
A
C)

(B

C) = (A

B)

(A

(B

C) = (A

B)

(A

♦ Ejemplo

E

B
d
b

e

c

a

g

A

C

♦ A = {a, b, c},
A
(A

(B
B)

f

B = {b, c, d, e},

C) = {a, b, c}
(A

C = {c, e, f, g}

{b, c, d, e, f, g} = {b, c}

C) = {b, c}

{c} = {b, c}

64
2.3. Concepto de Probabilidad. Propiedades

2. 3.1. Definición clásica de la probabilidad

Espacio muestral equiprobable: “Todos los sucesos
Espacio muestral equiprobable: “Todos los sucesos
elementales tienen igual probabilidad de ocurrir”
elementales tienen igual probabilidad de ocurrir”

En estas condiciones se define la probabilidad del suceso
A como:
P (A) =

Nº Casos Favorables al Suceso A
Nº Total de Casos Posibles

=

C F
C P

65
♦ Ejemplo

En una pareja, cada uno de sus miembros posee genes
para ojos castaños y azules. Teniendo en cuenta que cada
uno tiene la misma probabilidad de aportar un gen para
ojos castaños que para ojos azules y que el gen para ojos
castaños es dominante, obtener la probabilidad de que un
hijo nacido de esta pareja tenga los ojos castaños.
Solución

Gen de la madre

Gen del padre

E = {C C, C A, A C, A A}
Casos favorables = {C C, C A, A C}
Casos posibles = {C C, C A, A C, A A}
P ( Ojos Castaños ) =

CF 3
=
CP 4

66
2. 3.2. Diagramas de árbol
El diagrama de árbol es un método para obtener los
El diagrama de árbol es un método para obtener los
resultados posibles de un experimento cuando éste se
resultados posibles de un experimento cuando éste se
produce en unas pocas etapas.
produce en unas pocas etapas.
Cada paso del experimento se representa como una
Cada paso del experimento se representa como una
ramificación del árbol.
ramificación del árbol.

Trayectorias
A
A
B
A
B
B

A

AAA

B

AAB

A
B

ABA
ABB

A

BAA

B

BAB

A

BBA

B

BBB

67
♦ Ejemplo
“Una mujer es portadora de hemofilia. Aunque la mujer
no tenga la enfermedad, puede transmitirla a sus 3 hijos.
Obtener las trayectorias para este experimento mediante un
diagrama de árbol”.
Primer
hijo

Segundo
hijo

Tercer
hijo

S
S
N
S
N
N

Trayectoria

S

SSS

N

SSN

S
N

SNS
SNN

S

NSS

N

NSN

S

NNS

N

NNN ♦

Suponiendo que es igualmente probable que se trasmita o no
la enfermedad.
Obtener las probabilidades de los siguientes sucesos:
1.- Ningún hijo tenga la enfermedad, (suceso A)
2.- Dos hijos tengan la enfermedad, (suceso B)
P( A ) =

CF 1
=
CP 8

P( B ) =

CF 3
=
CP 8
68
2.3.3. Definición axiomática de la probabilidad
Álgebra de sucesos, β : “Es el conjunto de todos los
sucesos del Espacio Muestral”
Axiomas de la probabilidad
Consideremos una aplicación, P, del álgebra de
sucesos en el conjunto de los números reales.
P

β

∀A ∈ β ,

A

P

R

P(A) ∈R

Esta aplicación es una probabilidad si verifica los
tres axiomas siguientes:
Axioma 1
A ∈ β,

0 ≤ P(A)

Axioma 2
P(E)=1
Axioma 3
Sean A1, A2, ... ,An, sucesos mutuamente incompatibles,
Ai
Aj =
para i ≠ j. Entonces se verifica
P ( A1
A2
...
An ) =
P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... +P ( An )
69
♦ Ejemplo

Tres caballos, A, B, y C están siendo tratados con tres
métodos experimentales distintos para aumentar la
velocidad con la que pueden correr. Después del
tratamiento intervienen en una carrera. El caballo C tiene
doble probabilidad de ganar que B, y B doble que A.
Calcular las probabilidades de que gane cada uno.
Solución
E = { A, B, C }

P(A)=k

P ( B ) = 2k

Ax. 3

P ( C ) = 4k
Ax. 2

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) = P (E) = 1 =
= k + 2k + 4k = 7k =1 ⇒ k = 1 7
P ( A ) =1 7

P(B)=2 7

P(C)=4 7

70
Si suponemos que el espacio muestral es
equiprobable, la definición axiomática de la
probabilidad coincide con la definición clásica

En el ejemplo anterior, supongamos que los tres
caballos tienen la misma probabilidad de ganar
Solución:
E = { A, B, C }

P(A)=P(B)=P(C)=k

Ax. 3

Ax. 2

P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) = P (E) = 1 =
= k + k + k = 3k = 1 ⇒ k = 1 3
P(A)=P(B)=P(C)= 1 3

71
2.3.4. Propiedades de la probabilidad
♦ 1. ∀ A ∈ β ,

P ( AC ) = 1 - P ( A )

Ejemplo. Se sabe que la probabilidad de curar la
leucemia infantil es de 1/3. Por lo tanto, la probabilidad
de que no se cure la enfermedad será de 1 − 1 / 3 = 2 / 3
♦ 2.

P(

)=0

Ejemplo. Consideramos el experimento de lanzar un
dado. La probabilidad de obtener 9 en una cara es igual a
cero
♦ 3. Si A ⊂ B ⇒ P

( A ) ≤ P( B )

E
Β

Α

Ejemplo. En el experimento anterior, sea A el suceso
obtener un numero mayor que 4, y B obtener un número
mayor que 2
P(A) =

CF
CP

=

2
,
6

P (B) =

CF
CP

=

4
6

72
♦ 4. P ( A – B ) = P ( A ) – P ( A ∩ B )

E
A–B

A∩B

Α

Β

Ejemplo. “En el experimento anterior, sea A el suceso
obtener un numero menor que 5 y B el suceso obtener un
numero par”
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6}, A - B = {1, 3}, A

P (A− B ) = P (A)− P (A ∩ B ) =

♦ 5. P (A

B = {2, 4}

4 2 2
− =
6 6 6

B)=P(A)+P(B)–P(A

B)

E

A∪B

73
Ejemplo. En una población el 4% de las personas son
daltónicas, el 18% hipertensas y el 0.5% daltónicas e
hipertensas. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona
sea daltónica ó hipertensa?
Α = { Daltónico }, B = { Hipertenso }
P ( A) =

4
18
0.5
, P(B) =
, P(A ∩ B ) =
100
100
100

P (A

B) = P(A)+P(B)–P(A
4
18 0.5
+
−
= 0.215
100 100 100

=

♦ 6.- P ( A

B) =

B

C)=P(A)+P(B)+P(C)

–
–P(A

B) –P(A

+P(A

B

C)–P(B

C)+

C)

E
B
A∩B
A

A∩B∩C

B∩C
C

A∩C

74
Ejemplo. En un parque natural se detectan tres plagas. El
25% de los árboles tienen la enfermedad A, el 20% la B y el
30% la C. El 12% la A y la B, el 10% la A y la C, el 11% la
B y la C y el 5% tienen las tres enfermedades. Calcular las
probabilidades siguientes:
1. Un árbol tenga alguna de las enfermedades
2. Un árbol tenga la enfermedad A pero no la B
3. Un árbol tenga la enfermedad B y C pero no la A
P ( A ) = 0.25;

P ( B ) = 0.2;

P ( C ) = 0.3;

P(A

B ) = 0.12;

P(A

C ) = 0.1;

P(B

C ) = 0.11;

P(A

B

0.05;
1. P ( A
B

C)=

C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(A

B)
–P(A

C)–P(B

C)+P(A

B

C)=

= 0.25 + 0,2 + 0.3 – 0.12 – 0,1 – 0.11 + 0.05 = 0.47
B

E

A

A

B

C

C

75
P ( A ) = 0.25;

P ( B ) = 0.2;

P ( C ) = 0.3;

P(A

B ) = 0.12;

P(A

C ) = 0.1;

P(B

C ) = 0.11;

P(A

B

C)=

0.05;
2. Un árbol tenga la enfermedad A pero no la B
P ( A – B ) = P ( A ) – P ( A ∩ B ) = 0.25 – 0.12 = 0.13

B

E

(B∩C)–A

A–B
A

C

3.- Un árbol tenga la enfermedad B y C pero no la A
P((B

C)–A)=P(B
C)–P(A
= 0.11 – 0.05 = 0.06

B

C)=

76
2.4. Probabilidad condicionada.
Independencia de Sucesos
2.4.1. Probabilidad condicionada
“Probabilidad de que ocurra el suceso A, condicionado
a que el suceso B haya ocurrido ya”
Sean dos sucesos A y B ∈ β, con P ( B ) > 0
P (A / B)=

Si P ( A ) > 0
P ( B / A) =

P ( A∩ B )
P (B)
P ( A∩ B )
P ( A)

( A / B )C = ( AC / B ) ⇒ P ( AC / B ) = 1 – P ( A / B )

P(A

B ) = P (A ) P ( B / A) = P ( B ) P (A / B )

P ( A1

A2

A3 ) =

P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P (A3 / A1

A2 )

77
Ejemplo. Una familia tiene tres hijos. Construir un
diagrama de árbol y calcular las siguientes probabilidades:
1. El primer hijo sea niña, A, (♦)
2. Exactamente dos sean niñas, B, ( )
3. Se cumplan ambas condiciones
4. Exactamente dos sean niñas, si el primero es niña

1º
hijo

2º
hijo

3º
hijo

Trayectoria

M
H

M
H
H

P ( A ) = 4 / 8,

P ( B ) = 3 / 8,

MMM

♦

H

♦

M

MMH
MHM

H

MHH

♦

M

HMM

H

HMH

M

HHM

H

M

M

HHH

P(A

♦

B)=2/8

P ( A ∩ B ) 28
1
=
=
P (B / A) =
P ( A)
2
4
8
78
2.4.2. Independencia de sucesos
El suceso A es independiente del suceso B si y sólo si
se verifica:
P(A/B) = P(A)
Si P ( A / B ) ≠ P ( A ) el suceso A es dependiente de B
La independencia es una propiedad recíproca
El suceso A es independiente del suceso B
El suceso B es independiente del suceso A
Dos sucesos son independientes sii
P(A
B)=P(A)P(B)
Si los sucesos A y B son independientes, se verifica:
Los sucesos A y BC son independientes
Los sucesos AC y B son independientes
Los sucesos A C y BC son independientes
Decimos que n sucesos son independientes si se verifica:
P ( A1

A2

...

An ) = P ( A1 ) P ( A2 )...P ( An )

79
Ejemplo. Se analizan muestras de agua para detectar
plomo y mercurio. El 38% de las muestras presentan niveles
tóxicos de plomo o mercurio, el 32% de plomo y el 10% de
ambos metales.
a. ¿Son independientes los sucesos: “Nivel tóxico de
plomo” y “Nivél tóxico de mercurio”
b. Calcular las probabilidades de que una muestra tenga:
1. Niveles tóxicos de mercurio si tiene niveles tóxicos de
plomo
2. Niveles tóxicos solamente de plomo
A : ”Nivel tóxico plomo”, B: “Nivel tóxico mercurio”
P(A

B ) = 0.38; P ( A ) = 0.32; P ( A

A

A–B

A∩B

B–A
B

A∪B

a.

P (A

B ) = 0.10

B) = P(A)+P(B)–P(A

P ( B ) = P (A
B)– P(A)+ P(A
= 0.38 – 0.32 + 0.10 = 0.16

B) ⇒
B)=

P ( A ) P ( B ) = 0.32 x 0.16 = 0.051 ≠ 0.10 = P ( A
B)
⇒ Los sucesos A y B no son independientes
b 1.
P ( B / A ) = P ( A ∩ B ) / P ( A ) = 0.10 / 0.32 = 0.3125
b 2.
P(A–B)=P(A)–P(A
0.22

B ) = 0.32 – 0.10 =
80
Ejemplo. “Se están estudiando tres mutaciones no
relacionadas, A, B y C, en un grupo de monos. La
probabilidad de tener la mutación A es 0.13, la B es 0.11 y la
C es 0.14. Calcular las probabilidades:
1. Un mono no tenga ninguna de las mutaciones
2. Un mono tenga alguna de las mutaciones
3. Un mono tenga la mutación A y C, pero no la B
P ( A ) = 0.13; P ( B ) = 0.11; P ( C ) = 0.14
Los sucesos A, B y C son independientes
1.

2.

CC ) = P ( AC ) P ( BC ) P ( CC ) =
P ( AC BC
= (1 – P ( A )) (1 – P ( B )) (1 – P ( C )) =
= 0.87 x 0.89 x 0.86 = 0.665898
C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(A
P(A B
B) – P ( A
C)–P(B
C)+P(A
B
C)=
= 0.13 + 0.11 + 0.14 – 0.13 x 0.11 – 0.13 x 0.14 –
0.11 x 0.14 + 0.13 x 0.11 x 0.14 = 0.334102
P(A

3.

B

P(A

BC

C ) = 1 – P ( AC

BC

CC ) = 1 − 0.66589

C ) = P ( A ) P ( BC ) P ( C ) =

= P ( A ) (1 – P ( B )) P ( C ) =
= 0.13 x 0.89 x 0.14 = 0.016198
81
2.5. Teorema de la probabilidad total.
Teorema de Bayes
2.5.1. Teorema de la probabilidad total
Sean los sucesos A1, A2, ... ,An, que verifican:
Ai ∩ A j = θ si i ≠ j

A1 ∪ A2 ∪ .... ∪ An = E

〉

Los sucesos Ai, para i = 1, … , n son incompatibles dos a
dos y exhaustivos
Sea un suceso B, con P ( B ) > 0
Se conocen: P ( Ai ) y P ( B / Ai ), i = 1,..., n

An

An

B
A1

B

A2

B
A2

A1

En las condiciones anteriores, este teorema nos
proporciona la probabilidad total de que ocurra el suceso B:
n

P( B) = ∑ P(A i) P( B / A i)
i =1

82
2.5.2. Teorema Bayes
Sean los sucesos A1, A2,...,An, que verifican:
Ai ∩ A j = θ si i ≠ j

A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = E

〉

Los sucesos Ai, para i = 1, … ,n, son incompatibles dos a
dos y exhaustivos
Sea un suceso B, con P ( B ) > 0
Se conocen: P ( Ai ) y P ( B / Ai ), i = 1,..., n
El Teorema de Bayes nos expresa la probabilidad de
que ocurra un suceso determinado, Aj , condicionado a
que el suceso B ya ha ocurrido

(

)

( ) ( )
( ) ( )

P Aj ∩ B
P Aj P B / Aj
P Aj / B =
=
n
P( B)
∑i =1 P A i P B / A i

(

)

Las probabilidades P ( Aj ) se designan probabilidades a
“priori”, o probabilidades de las causas. Las
probabilidades P ( Aj / B ) se designan probabilidades a
“posteriori”, si el suceso B ya ha ocurrido, probabilidad
de que sea debido a la causa
83
Ejemplo. Una empresa farmacéutica tiene tres
delegaciones, Madrid, Barcelona y Granada. De un
determinado fármaco se produce el 45% en la delegación
de Madrid, el 30% en Barcelona, y el 25% en Granada. Del
total de los fármacos, son defectuosos el 5% de los
producidos en Madrid, el 3% en Barcelona y el 4% en
Granada. Calcular:
1. Probabilidad de que un fármaco sea defectuoso
2. Si un fármaco es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de
que haya sido producido por la delegación de Granada?
A1 : “Producido Madrid”, A2 : “Producido Barcelona”
A3 : “Producido Granada”, B : “Defectuoso”
P ( A1 ) = 0.45; P ( A2 ) = 0.30; P ( A3 ) = 0.25
P ( B / A1 ) = 0.05; P ( B / A2 ) = 0.03; P ( B / A3 ) = 0.04

A3

A3 ∩ B

A1

A1 ∩ B
A2 ∩ B

A2

1.
P ( B ) = P ( A1) P ( B / A1) + P( A2 ) P( B / A2 ) + P( A3 ) P( B / A3 )
= 0.45 × 0.05 + 0.30 × 0.03 + 0.25 × 0.04 = 0.0415
2.

P ( A3 / B ) =

P ( A3 ) P ( B / A3 )
P( B)

=

0.25 × 0.04
= 0.241
0.0415
84
Ejemplo. En una población el 51% de las personas son
mujeres, el 18% tienen la tensión alta y el 10% ambas
cosas. Obtener:
1. Probabilidad de que una persona tenga la tensión alta si
es mujer
2. Probabilidad de ser hombre si se tiene la tensión alta
3. Probabilidad de ser mujer si no se tiene la tensión alta
A : “Ser Mujer”, B : “Tener la tensión alta”
P ( A ) = 0.51; P ( B ) = 0.18; P ( A

B ) = 0.10

1.

P ( A ∩ B)
0.10
P ( B /A ) =
=
= 0.19
P (A)
0.51

2.

P A C / B = 1 – P ( A / B ) = 1 − 0.555 = 0.445

(

)

P ( A ∩ B ) 0.10
=
= 0.555
P ( B)
0.18

P ( A / B) =

3.

(

C

P A /B

(

P A ∩ BC

)=

(

P A ∩ BC

) = 0.4131 = 0.5037

0.82
( )
) = P ( A ) P ( B / A ) = P ( A ) (1–P ( B / A )) =
P BC

C

= 0.51 × ( 1– 0.19 ) = 0.4131
85

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

Analisis de decisiones i apoyo
Analisis de decisiones i apoyoAnalisis de decisiones i apoyo
Analisis de decisiones i apoyo
Maestros en Linea
 
Ejercicios muestreo estadistica
Ejercicios muestreo estadisticaEjercicios muestreo estadistica
Ejercicios muestreo estadistica
dilmer hernandez
 
Cálculo del tamaño de la muestra jontxu pardo
Cálculo del tamaño de la muestra jontxu pardoCálculo del tamaño de la muestra jontxu pardo
Cálculo del tamaño de la muestra jontxu pardo
Jontxu Pardo
 
ESTADISTICA.Tabla tstudent
ESTADISTICA.Tabla tstudentESTADISTICA.Tabla tstudent
ESTADISTICA.Tabla tstudent
Ana Ingrid
 
Presentación estadistica
Presentación estadisticaPresentación estadistica
Presentación estadistica
felix3300
 
02 de frebreo 2011
02 de frebreo 201102 de frebreo 2011
02 de frebreo 2011
MANUEL GARCIA
 
Razonamiento matemático
Razonamiento matemáticoRazonamiento matemático
Razonamiento matemático
giussd
 
Resolucion problemas vi
Resolucion problemas viResolucion problemas vi
Resolucion problemas vi
lineal
 
Tabla z
Tabla zTabla z
Estadistica practic
Estadistica practicEstadistica practic
Estadistica practic
christian villar
 
cap.ii;1,2 PARKIN
cap.ii;1,2 PARKINcap.ii;1,2 PARKIN
cap.ii;1,2 PARKIN
Cesar Rebaza Peñafiel
 
Distribución
Distribución Distribución
Distribución
Juan Karlos Pc
 
Matemática I - Relaciones y Funciones
Matemática I - Relaciones y FuncionesMatemática I - Relaciones y Funciones
Matemática I - Relaciones y Funciones
Joe Arroyo Suárez
 
Probabilidades - Karen Peralta
Probabilidades - Karen PeraltaProbabilidades - Karen Peralta
Probabilidades - Karen Peralta
karenpf03
 
Problema programación lineal SOLVER
Problema programación lineal SOLVERProblema programación lineal SOLVER
Problema programación lineal SOLVER
Profesor Hugo
 
1. leyes de exponentes
1. leyes de exponentes1. leyes de exponentes
1. leyes de exponentes
lifevdani
 
Ejercicios bernoulli binomial
Ejercicios bernoulli binomialEjercicios bernoulli binomial
Ejercicios bernoulli binomial
Carol Ramos
 
Estadistica
EstadisticaEstadistica
Estadistica
Renato Contreras
 
Pie
PiePie

La actualidad más candente (20)

Tabla z
Tabla zTabla z
Tabla z
 
Analisis de decisiones i apoyo
Analisis de decisiones i apoyoAnalisis de decisiones i apoyo
Analisis de decisiones i apoyo
 
Ejercicios muestreo estadistica
Ejercicios muestreo estadisticaEjercicios muestreo estadistica
Ejercicios muestreo estadistica
 
Cálculo del tamaño de la muestra jontxu pardo
Cálculo del tamaño de la muestra jontxu pardoCálculo del tamaño de la muestra jontxu pardo
Cálculo del tamaño de la muestra jontxu pardo
 
ESTADISTICA.Tabla tstudent
ESTADISTICA.Tabla tstudentESTADISTICA.Tabla tstudent
ESTADISTICA.Tabla tstudent
 
Presentación estadistica
Presentación estadisticaPresentación estadistica
Presentación estadistica
 
02 de frebreo 2011
02 de frebreo 201102 de frebreo 2011
02 de frebreo 2011
 
Razonamiento matemático
Razonamiento matemáticoRazonamiento matemático
Razonamiento matemático
 
Resolucion problemas vi
Resolucion problemas viResolucion problemas vi
Resolucion problemas vi
 
Tabla z
Tabla zTabla z
Tabla z
 
Estadistica practic
Estadistica practicEstadistica practic
Estadistica practic
 
cap.ii;1,2 PARKIN
cap.ii;1,2 PARKINcap.ii;1,2 PARKIN
cap.ii;1,2 PARKIN
 
Distribución
Distribución Distribución
Distribución
 
Matemática I - Relaciones y Funciones
Matemática I - Relaciones y FuncionesMatemática I - Relaciones y Funciones
Matemática I - Relaciones y Funciones
 
Probabilidades - Karen Peralta
Probabilidades - Karen PeraltaProbabilidades - Karen Peralta
Probabilidades - Karen Peralta
 
Problema programación lineal SOLVER
Problema programación lineal SOLVERProblema programación lineal SOLVER
Problema programación lineal SOLVER
 
1. leyes de exponentes
1. leyes de exponentes1. leyes de exponentes
1. leyes de exponentes
 
Ejercicios bernoulli binomial
Ejercicios bernoulli binomialEjercicios bernoulli binomial
Ejercicios bernoulli binomial
 
Estadistica
EstadisticaEstadistica
Estadistica
 
Pie
PiePie
Pie
 

Destacado

Lasdos habanas
Lasdos habanasLasdos habanas
Lasdos habanas
Delfino Castro Monroy
 
Nuoren seksuaalisuus seinäjoki_15 4 2015
Nuoren seksuaalisuus seinäjoki_15 4 2015Nuoren seksuaalisuus seinäjoki_15 4 2015
Nuoren seksuaalisuus seinäjoki_15 4 2015
Allianssi ry
 
нижняя саксония
нижняя саксониянижняя саксония
нижняя саксония
dinara1t
 
Navidad 2009
Navidad 2009Navidad 2009
Navidad 2009
benjumea
 
C ensayo
C ensayoC ensayo
Las TICE en la formación de futuros maestros en la UCLM
Las TICE en la formación de futuros maestros en la UCLMLas TICE en la formación de futuros maestros en la UCLM
Las TICE en la formación de futuros maestros en la UCLM
Ricardo Fernández
 
Comprendemos lo que_leemos estudio comportamiento lector gob chile
Comprendemos lo que_leemos estudio comportamiento lector gob chileComprendemos lo que_leemos estudio comportamiento lector gob chile
Comprendemos lo que_leemos estudio comportamiento lector gob chile
Orlando Nieto
 
Giới thiệu dự án các món xiên que
Giới thiệu dự án các món xiên queGiới thiệu dự án các món xiên que
Giới thiệu dự án các món xiên que
VN Capro
 
Proyecto Lazos
Proyecto  LazosProyecto  Lazos
Proyecto Lazos
Margari León
 
Guía de uso portal informativo RedCOLSI
Guía de uso portal informativo RedCOLSIGuía de uso portal informativo RedCOLSI
Guía de uso portal informativo RedCOLSI
Eliana Santos
 
Guía de uso software de eventos-Registro de semillleros , participantes y pro...
Guía de uso software de eventos-Registro de semillleros , participantes y pro...Guía de uso software de eventos-Registro de semillleros , participantes y pro...
Guía de uso software de eventos-Registro de semillleros , participantes y pro...
Eliana Santos
 
Graduado multimedia
Graduado multimediaGraduado multimedia
Graduado multimedia
mjvivancos
 
Unidad 13
Unidad 13Unidad 13
Unidad 13
mjvivancos
 
BIR Music Group
BIR Music GroupBIR Music Group
BIR Music Group
Christian Maya
 
Lectura congreso niños y adolescentes, adolescentes y sistema educativo en pr...
Lectura congreso niños y adolescentes, adolescentes y sistema educativo en pr...Lectura congreso niños y adolescentes, adolescentes y sistema educativo en pr...
Lectura congreso niños y adolescentes, adolescentes y sistema educativo en pr...
Monica Peisajovich
 
WAVEPORT - Construcción proyecto Energías Renovables Marinas. Power Buoy Cons...
WAVEPORT - Construcción proyecto Energías Renovables Marinas. Power Buoy Cons...WAVEPORT - Construcción proyecto Energías Renovables Marinas. Power Buoy Cons...
WAVEPORT - Construcción proyecto Energías Renovables Marinas. Power Buoy Cons...
Javier Cantera
 
nestadistica
nestadisticanestadistica
nestadistica
dfgdarquea
 
11 Sep Usa
11 Sep Usa11 Sep Usa
11 Sep Usa
guestf220da
 
Литературная викторина «Военные писатели и поэты»
Литературная викторина «Военные писатели и поэты»Литературная викторина «Военные писатели и поэты»
Литературная викторина «Военные писатели и поэты»
sch426media
 

Destacado (19)

Lasdos habanas
Lasdos habanasLasdos habanas
Lasdos habanas
 
Nuoren seksuaalisuus seinäjoki_15 4 2015
Nuoren seksuaalisuus seinäjoki_15 4 2015Nuoren seksuaalisuus seinäjoki_15 4 2015
Nuoren seksuaalisuus seinäjoki_15 4 2015
 
нижняя саксония
нижняя саксониянижняя саксония
нижняя саксония
 
Navidad 2009
Navidad 2009Navidad 2009
Navidad 2009
 
C ensayo
C ensayoC ensayo
C ensayo
 
Las TICE en la formación de futuros maestros en la UCLM
Las TICE en la formación de futuros maestros en la UCLMLas TICE en la formación de futuros maestros en la UCLM
Las TICE en la formación de futuros maestros en la UCLM
 
Comprendemos lo que_leemos estudio comportamiento lector gob chile
Comprendemos lo que_leemos estudio comportamiento lector gob chileComprendemos lo que_leemos estudio comportamiento lector gob chile
Comprendemos lo que_leemos estudio comportamiento lector gob chile
 
Giới thiệu dự án các món xiên que
Giới thiệu dự án các món xiên queGiới thiệu dự án các món xiên que
Giới thiệu dự án các món xiên que
 
Proyecto Lazos
Proyecto  LazosProyecto  Lazos
Proyecto Lazos
 
Guía de uso portal informativo RedCOLSI
Guía de uso portal informativo RedCOLSIGuía de uso portal informativo RedCOLSI
Guía de uso portal informativo RedCOLSI
 
Guía de uso software de eventos-Registro de semillleros , participantes y pro...
Guía de uso software de eventos-Registro de semillleros , participantes y pro...Guía de uso software de eventos-Registro de semillleros , participantes y pro...
Guía de uso software de eventos-Registro de semillleros , participantes y pro...
 
Graduado multimedia
Graduado multimediaGraduado multimedia
Graduado multimedia
 
Unidad 13
Unidad 13Unidad 13
Unidad 13
 
BIR Music Group
BIR Music GroupBIR Music Group
BIR Music Group
 
Lectura congreso niños y adolescentes, adolescentes y sistema educativo en pr...
Lectura congreso niños y adolescentes, adolescentes y sistema educativo en pr...Lectura congreso niños y adolescentes, adolescentes y sistema educativo en pr...
Lectura congreso niños y adolescentes, adolescentes y sistema educativo en pr...
 
WAVEPORT - Construcción proyecto Energías Renovables Marinas. Power Buoy Cons...
WAVEPORT - Construcción proyecto Energías Renovables Marinas. Power Buoy Cons...WAVEPORT - Construcción proyecto Energías Renovables Marinas. Power Buoy Cons...
WAVEPORT - Construcción proyecto Energías Renovables Marinas. Power Buoy Cons...
 
nestadistica
nestadisticanestadistica
nestadistica
 
11 Sep Usa
11 Sep Usa11 Sep Usa
11 Sep Usa
 
Литературная викторина «Военные писатели и поэты»
Литературная викторина «Военные писатели и поэты»Литературная викторина «Военные писатели и поэты»
Литературная викторина «Военные писатели и поэты»
 

Similar a Tema 2 colorprobabilidades

probabilidad completo conceptos básicos
probabilidad completo conceptos básicos probabilidad completo conceptos básicos
probabilidad completo conceptos básicos
Griselda Mejia Ledesma
 
Trabajo A Entregar Unidad I 15 10 2008
Trabajo A Entregar Unidad I 15 10 2008Trabajo A Entregar Unidad I 15 10 2008
Trabajo A Entregar Unidad I 15 10 2008
paolojpim
 
Experimentos aleatorios, espacio muestral y eventos o sucesos.
Experimentos aleatorios,  espacio muestral y eventos o sucesos.Experimentos aleatorios,  espacio muestral y eventos o sucesos.
Experimentos aleatorios, espacio muestral y eventos o sucesos.
Elkin J. Navarro
 
Probabilidad Condicional
Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional
Probabilidad Condicional
Fabyann Zambrano
 
Tarea 3
Tarea 3Tarea 3
Teoría y problemas de Calculo de Probabilidades ccesa007
Teoría y problemas de Calculo de Probabilidades  ccesa007Teoría y problemas de Calculo de Probabilidades  ccesa007
Teoría y problemas de Calculo de Probabilidades ccesa007
Demetrio Ccesa Rayme
 
LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD
LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD
LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD
NancyPazGonzlez
 
5 resumen probabilidad pdf
5  resumen probabilidad pdf5  resumen probabilidad pdf
5 resumen probabilidad pdf
Jose Angel Martinez Sanchez
 
T2 teoria de-la_probabilidad
T2 teoria de-la_probabilidadT2 teoria de-la_probabilidad
T2 teoria de-la_probabilidad
alexray100
 
estadistica unico.pptx
estadistica unico.pptxestadistica unico.pptx
estadistica unico.pptx
ANGELGABRIEL75681
 
Probabilidad matemáticas, aprende estadistica
Probabilidad matemáticas, aprende estadisticaProbabilidad matemáticas, aprende estadistica
Probabilidad matemáticas, aprende estadistica
AllisonArancibia
 
Apoyo para unidad 4
Apoyo para unidad 4Apoyo para unidad 4
Apoyo para unidad 4
matedivliss
 
4 calculo de probabilidades
4 calculo de probabilidades4 calculo de probabilidades
4 calculo de probabilidades
Ourentermal Ourense Termal
 
Doc. Probabilidad.
Doc. Probabilidad.Doc. Probabilidad.
Doc. Probabilidad.
fr5026funes
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
Hugo Valdez Caldas
 
2.4. probabilidad con tecnicas de conteo
2.4.  probabilidad con tecnicas de conteo2.4.  probabilidad con tecnicas de conteo
2.4. probabilidad con tecnicas de conteo
ITCM
 
ACT_04_Tema_06_Resumen.ppt
ACT_04_Tema_06_Resumen.pptACT_04_Tema_06_Resumen.ppt
ACT_04_Tema_06_Resumen.ppt
MariaHernan5
 
Probabilidad y estadística
Probabilidad y estadística Probabilidad y estadística
Probabilidad y estadística
ErnestoFern
 
Conceptos básicos de probabilidad. PPT clase
Conceptos básicos de probabilidad. PPT claseConceptos básicos de probabilidad. PPT clase
Conceptos básicos de probabilidad. PPT clase
ClaudioCifuentesMarc
 
Probab
ProbabProbab
Probab
jose gomez
 

Similar a Tema 2 colorprobabilidades (20)

probabilidad completo conceptos básicos
probabilidad completo conceptos básicos probabilidad completo conceptos básicos
probabilidad completo conceptos básicos
 
Trabajo A Entregar Unidad I 15 10 2008
Trabajo A Entregar Unidad I 15 10 2008Trabajo A Entregar Unidad I 15 10 2008
Trabajo A Entregar Unidad I 15 10 2008
 
Experimentos aleatorios, espacio muestral y eventos o sucesos.
Experimentos aleatorios,  espacio muestral y eventos o sucesos.Experimentos aleatorios,  espacio muestral y eventos o sucesos.
Experimentos aleatorios, espacio muestral y eventos o sucesos.
 
Probabilidad Condicional
Probabilidad CondicionalProbabilidad Condicional
Probabilidad Condicional
 
Tarea 3
Tarea 3Tarea 3
Tarea 3
 
Teoría y problemas de Calculo de Probabilidades ccesa007
Teoría y problemas de Calculo de Probabilidades  ccesa007Teoría y problemas de Calculo de Probabilidades  ccesa007
Teoría y problemas de Calculo de Probabilidades ccesa007
 
LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD
LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD
LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD
 
5 resumen probabilidad pdf
5  resumen probabilidad pdf5  resumen probabilidad pdf
5 resumen probabilidad pdf
 
T2 teoria de-la_probabilidad
T2 teoria de-la_probabilidadT2 teoria de-la_probabilidad
T2 teoria de-la_probabilidad
 
estadistica unico.pptx
estadistica unico.pptxestadistica unico.pptx
estadistica unico.pptx
 
Probabilidad matemáticas, aprende estadistica
Probabilidad matemáticas, aprende estadisticaProbabilidad matemáticas, aprende estadistica
Probabilidad matemáticas, aprende estadistica
 
Apoyo para unidad 4
Apoyo para unidad 4Apoyo para unidad 4
Apoyo para unidad 4
 
4 calculo de probabilidades
4 calculo de probabilidades4 calculo de probabilidades
4 calculo de probabilidades
 
Doc. Probabilidad.
Doc. Probabilidad.Doc. Probabilidad.
Doc. Probabilidad.
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
 
2.4. probabilidad con tecnicas de conteo
2.4.  probabilidad con tecnicas de conteo2.4.  probabilidad con tecnicas de conteo
2.4. probabilidad con tecnicas de conteo
 
ACT_04_Tema_06_Resumen.ppt
ACT_04_Tema_06_Resumen.pptACT_04_Tema_06_Resumen.ppt
ACT_04_Tema_06_Resumen.ppt
 
Probabilidad y estadística
Probabilidad y estadística Probabilidad y estadística
Probabilidad y estadística
 
Conceptos básicos de probabilidad. PPT clase
Conceptos básicos de probabilidad. PPT claseConceptos básicos de probabilidad. PPT clase
Conceptos básicos de probabilidad. PPT clase
 
Probab
ProbabProbab
Probab
 

Más de Christian Infante

Regla mezcla-aleación
Regla mezcla-aleaciónRegla mezcla-aleación
Regla mezcla-aleación
Christian Infante
 
Regla de mezcla ii
Regla de mezcla iiRegla de mezcla ii
Regla de mezcla ii
Christian Infante
 
Regla de mezcla
Regla de mezclaRegla de mezcla
Regla de mezcla
Christian Infante
 
Regla de interés seminario
Regla de interés seminarioRegla de interés seminario
Regla de interés seminario
Christian Infante
 
Regla de interés guia anual uni
Regla de interés guia anual uniRegla de interés guia anual uni
Regla de interés guia anual uni
Christian Infante
 
Regla de descuento
Regla de descuentoRegla de descuento
Regla de descuento
Christian Infante
 
Regla interés
Regla interésRegla interés
Regla interés
Christian Infante
 
Probabilidad y estadistica elementales
Probabilidad y estadistica elementalesProbabilidad y estadistica elementales
Probabilidad y estadistica elementales
Christian Infante
 
Clasesprobabilidades
ClasesprobabilidadesClasesprobabilidades
Clasesprobabilidades
Christian Infante
 
Tema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidadesTema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidades
Christian Infante
 
T4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidadesT4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidades
Christian Infante
 
T4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidadesT4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidades
Christian Infante
 
Recuper probabilidadesyestad
Recuper probabilidadesyestadRecuper probabilidadesyestad
Recuper probabilidadesyestad
Christian Infante
 
Cfgs probabilidad-problemas resueltos
Cfgs probabilidad-problemas resueltosCfgs probabilidad-problemas resueltos
Cfgs probabilidad-problemas resueltos
Christian Infante
 
Problemas ccs ssolprobabilidades
Problemas ccs ssolprobabilidadesProblemas ccs ssolprobabilidades
Problemas ccs ssolprobabilidades
Christian Infante
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
Christian Infante
 
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
Christian Infante
 
Teoria conjuntos-2
Teoria conjuntos-2Teoria conjuntos-2
Teoria conjuntos-2
Christian Infante
 
Razones proporciones
Razones proporcionesRazones proporciones
Razones proporciones
Christian Infante
 
Planteo ecuaciones-5
Planteo ecuaciones-5Planteo ecuaciones-5
Planteo ecuaciones-5
Christian Infante
 

Más de Christian Infante (20)

Regla mezcla-aleación
Regla mezcla-aleaciónRegla mezcla-aleación
Regla mezcla-aleación
 
Regla de mezcla ii
Regla de mezcla iiRegla de mezcla ii
Regla de mezcla ii
 
Regla de mezcla
Regla de mezclaRegla de mezcla
Regla de mezcla
 
Regla de interés seminario
Regla de interés seminarioRegla de interés seminario
Regla de interés seminario
 
Regla de interés guia anual uni
Regla de interés guia anual uniRegla de interés guia anual uni
Regla de interés guia anual uni
 
Regla de descuento
Regla de descuentoRegla de descuento
Regla de descuento
 
Regla interés
Regla interésRegla interés
Regla interés
 
Probabilidad y estadistica elementales
Probabilidad y estadistica elementalesProbabilidad y estadistica elementales
Probabilidad y estadistica elementales
 
Clasesprobabilidades
ClasesprobabilidadesClasesprobabilidades
Clasesprobabilidades
 
Tema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidadesTema 2 colorprobabilidades
Tema 2 colorprobabilidades
 
T4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidadesT4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidades
 
T4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidadesT4 alumnosprobabilidades
T4 alumnosprobabilidades
 
Recuper probabilidadesyestad
Recuper probabilidadesyestadRecuper probabilidadesyestad
Recuper probabilidadesyestad
 
Cfgs probabilidad-problemas resueltos
Cfgs probabilidad-problemas resueltosCfgs probabilidad-problemas resueltos
Cfgs probabilidad-problemas resueltos
 
Problemas ccs ssolprobabilidades
Problemas ccs ssolprobabilidadesProblemas ccs ssolprobabilidades
Problemas ccs ssolprobabilidades
 
Probabilidades
ProbabilidadesProbabilidades
Probabilidades
 
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
Analisiscombinatorioprobabilidades 130603213333-phpapp01
 
Teoria conjuntos-2
Teoria conjuntos-2Teoria conjuntos-2
Teoria conjuntos-2
 
Razones proporciones
Razones proporcionesRazones proporciones
Razones proporciones
 
Planteo ecuaciones-5
Planteo ecuaciones-5Planteo ecuaciones-5
Planteo ecuaciones-5
 

Último

Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
SergioAlfrediMontoya
 
Introducción a los Sistemas Integrados de Gestión
Introducción a los Sistemas Integrados de GestiónIntroducción a los Sistemas Integrados de Gestión
Introducción a los Sistemas Integrados de Gestión
JonathanCovena1
 
biografia de padre carlos pozzo circa.pptx
biografia de padre carlos pozzo circa.pptxbiografia de padre carlos pozzo circa.pptx
biografia de padre carlos pozzo circa.pptx
renejara5
 
ENFERMERIA TECNICA-FUNDAMENTOS DE SALUD.
ENFERMERIA TECNICA-FUNDAMENTOS DE SALUD.ENFERMERIA TECNICA-FUNDAMENTOS DE SALUD.
ENFERMERIA TECNICA-FUNDAMENTOS DE SALUD.
marluzsagar
 
SEMANAS DE GESTION 2024 para trabajo escolar
SEMANAS DE GESTION 2024 para trabajo escolarSEMANAS DE GESTION 2024 para trabajo escolar
SEMANAS DE GESTION 2024 para trabajo escolar
JuanPabloII10
 
El mensaje en la psicopedagogía.........
El mensaje en la psicopedagogía.........El mensaje en la psicopedagogía.........
El mensaje en la psicopedagogía.........
DenisseGonzalez805225
 
🔴 (AC-S18) Semana 18 - Tema 1 Informe sobre un tema del curso.docx
🔴 (AC-S18) Semana 18 - Tema 1 Informe sobre un tema del curso.docx🔴 (AC-S18) Semana 18 - Tema 1 Informe sobre un tema del curso.docx
🔴 (AC-S18) Semana 18 - Tema 1 Informe sobre un tema del curso.docx
FernandoEstebanLlont
 
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docxLecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Alejandrino Halire Ccahuana
 
Recursos Educativos en Abierto (1 de julio de 2024)
Recursos Educativos en Abierto (1 de julio de 2024)Recursos Educativos en Abierto (1 de julio de 2024)
Recursos Educativos en Abierto (1 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Juan Luis Cunya Vicente
 
Filigramma #17, revista literaria del Círculo de Escritores Sabersinfin
Filigramma #17, revista literaria del Círculo de Escritores SabersinfinFiligramma #17, revista literaria del Círculo de Escritores Sabersinfin
Filigramma #17, revista literaria del Círculo de Escritores Sabersinfin
Sabersinfin Portal
 
678778595-Examen-Final-Innovacion-Social.pptx
678778595-Examen-Final-Innovacion-Social.pptx678778595-Examen-Final-Innovacion-Social.pptx
678778595-Examen-Final-Innovacion-Social.pptx
VALERIOPEREZBORDA
 
Taller Intensivo de Formación Continua para Docentes_24_Julio.pdf
Taller Intensivo de Formación Continua para Docentes_24_Julio.pdfTaller Intensivo de Formación Continua para Docentes_24_Julio.pdf
Taller Intensivo de Formación Continua para Docentes_24_Julio.pdf
htebazileahcug
 
Taller intensivo de formación continua. Puebla.
Taller intensivo de formación continua. Puebla.Taller intensivo de formación continua. Puebla.
Taller intensivo de formación continua. Puebla.
OscarCruzyCruz
 
Revista Universidad de Deusto - Número 155 / Año 2024
Revista Universidad de Deusto - Número 155 / Año 2024Revista Universidad de Deusto - Número 155 / Año 2024
Revista Universidad de Deusto - Número 155 / Año 2024
Universidad de Deusto - Deustuko Unibertsitatea - University of Deusto
 
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Cátedra Banco Santander
 
Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdfInforme de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Matriz de relación mixta DO - Adaptación
Matriz de relación mixta DO - AdaptaciónMatriz de relación mixta DO - Adaptación
Matriz de relación mixta DO - Adaptación
JonathanCovena1
 
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
nelsontobontrujillo
 
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANAEJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
dairatuctocastro
 

Último (20)

Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
Semana 1 Derecho a interponer recursos y reparación.
 
Introducción a los Sistemas Integrados de Gestión
Introducción a los Sistemas Integrados de GestiónIntroducción a los Sistemas Integrados de Gestión
Introducción a los Sistemas Integrados de Gestión
 
biografia de padre carlos pozzo circa.pptx
biografia de padre carlos pozzo circa.pptxbiografia de padre carlos pozzo circa.pptx
biografia de padre carlos pozzo circa.pptx
 
ENFERMERIA TECNICA-FUNDAMENTOS DE SALUD.
ENFERMERIA TECNICA-FUNDAMENTOS DE SALUD.ENFERMERIA TECNICA-FUNDAMENTOS DE SALUD.
ENFERMERIA TECNICA-FUNDAMENTOS DE SALUD.
 
SEMANAS DE GESTION 2024 para trabajo escolar
SEMANAS DE GESTION 2024 para trabajo escolarSEMANAS DE GESTION 2024 para trabajo escolar
SEMANAS DE GESTION 2024 para trabajo escolar
 
El mensaje en la psicopedagogía.........
El mensaje en la psicopedagogía.........El mensaje en la psicopedagogía.........
El mensaje en la psicopedagogía.........
 
🔴 (AC-S18) Semana 18 - Tema 1 Informe sobre un tema del curso.docx
🔴 (AC-S18) Semana 18 - Tema 1 Informe sobre un tema del curso.docx🔴 (AC-S18) Semana 18 - Tema 1 Informe sobre un tema del curso.docx
🔴 (AC-S18) Semana 18 - Tema 1 Informe sobre un tema del curso.docx
 
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docxLecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
Lecciones 02 Un día en el ministerio de Jesús.docx
 
Recursos Educativos en Abierto (1 de julio de 2024)
Recursos Educativos en Abierto (1 de julio de 2024)Recursos Educativos en Abierto (1 de julio de 2024)
Recursos Educativos en Abierto (1 de julio de 2024)
 
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.Presentación  sobré la culturas Lima,  la  cultura Paracas y la cultura Vicús.
Presentación sobré la culturas Lima, la cultura Paracas y la cultura Vicús.
 
Filigramma #17, revista literaria del Círculo de Escritores Sabersinfin
Filigramma #17, revista literaria del Círculo de Escritores SabersinfinFiligramma #17, revista literaria del Círculo de Escritores Sabersinfin
Filigramma #17, revista literaria del Círculo de Escritores Sabersinfin
 
678778595-Examen-Final-Innovacion-Social.pptx
678778595-Examen-Final-Innovacion-Social.pptx678778595-Examen-Final-Innovacion-Social.pptx
678778595-Examen-Final-Innovacion-Social.pptx
 
Taller Intensivo de Formación Continua para Docentes_24_Julio.pdf
Taller Intensivo de Formación Continua para Docentes_24_Julio.pdfTaller Intensivo de Formación Continua para Docentes_24_Julio.pdf
Taller Intensivo de Formación Continua para Docentes_24_Julio.pdf
 
Taller intensivo de formación continua. Puebla.
Taller intensivo de formación continua. Puebla.Taller intensivo de formación continua. Puebla.
Taller intensivo de formación continua. Puebla.
 
Revista Universidad de Deusto - Número 155 / Año 2024
Revista Universidad de Deusto - Número 155 / Año 2024Revista Universidad de Deusto - Número 155 / Año 2024
Revista Universidad de Deusto - Número 155 / Año 2024
 
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
Introducción a las herramientas de Google Apps (3 de julio de 2024)
 
Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdfInforme de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
Informe de Evaluacion Diagnostica de Matematica 1-5 Ccesa007.pdf
 
Matriz de relación mixta DO - Adaptación
Matriz de relación mixta DO - AdaptaciónMatriz de relación mixta DO - Adaptación
Matriz de relación mixta DO - Adaptación
 
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
1. QUE ES UNA ESTRUCTURAOCTAVOASANTA TERESA .pptx
 
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANAEJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
EJEMPLOS DE FLORA Y FAUNA DE LA COSTA PERUANA
 

Tema 2 colorprobabilidades

  • 1. TEMA 2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES 2.1. Introducción 2.2. Conceptos básicos 2.2.1. Espacio muestral. Sucesos 2.2.2. Operaciones con sucesos 2.3. Concepto de Probabilidad. Propiedades 2.3.1. Definición clásica de la Probabilidad 2.3.2. Diagramas de árbol 2.3.3. Definición axiomática de la Probabilidad 2.3.4. Propiedades de la Probabilidad 2.4. Probabilidad condicionada. Independencia de Sucesos 2.4.1. Probabilidad condicionada 2.4.2. Independencia de sucesos 2.5. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes 2.5.1. Teorema de la probabilidad total 2.5.2. Teorema de Bayes 55
  • 2. TEMA 2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES 2.1 Introducción La probabilidad refleja las expectativas de que un suceso determinado ocurra Fenómeno determinista: Se conoce con certeza el resultado del experimento Fenómeno aleatorio: No se puede predecir el resultado del experimento La probabilidad de un suceso es un número comprendido entre 0 y 1 (ambos incluidos) 56
  • 3. 2.2. Conceptos básicos 2.2.1. Espacio muestral. Sucesos Suceso elemental: Cada uno de los posibles resultados, que no se pueden descomponer en otros más simples, de un experimento aleatorio Espacio muestral, E: Conjunto de los sucesos elementales Suceso: Subconjunto del espacio muestral Suceso seguro: Es el suceso formado por todos los sucesos elementales Suceso imposible, ∅ : Es el suceso que no contiene ningún suceso elemental 57
  • 4. 2.2.2. Operaciones con sucesos a b c d f e A g B A = {a, b, c, d} , B = {c, d, e, f, g} Unión de sucesos A B: Todos los sucesos elementales de A ó B A B = {a, b, c, d, e, f, g} A∪B 58
  • 5. a b c d f e A g B A = {a, b, c, d} , B = {c, d, e, f, g} Intersección de sucesos A B: Sucesos elementales que simultáneamente a A y a B A pertenecen B = {c, d} A∩B 59
  • 6. Diferencia de sucesos A – B: Sucesos elementales que pertenecen al suceso A pero no al B A = {a, b, c, d} ; B = {c, d, e, f, g} A – B = {a, b} a c d b f e g A B ♦ Ejemplo: Se están utilizando 7 árboles, numerados del 1 al 7, para un experimento. Definir el Espacio muestral: E A 4 1 5 3 E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 2 7 B 6 Sean A y B los sucesos: A = {1,3, 5}, B = {2, 3, 7} Obtener los sucesos: A B, A B, A – B A B = {1, 2, 3, 5, 7}; A B = {3}; A – B = {1, 5} 60
  • 7. Sucesos Complementarios AC : Es el suceso formado por todos los sucesos de E que no están en A AC = E − A E = {a, b, c, d, e}, A = {b, c}, AC = {a, d, e} E a AC A b d c e ♦ Ejemplo: A : “Tener el grupo sanguíneo O” AC : “Tener el grupo sanguíneo A, B, ó AB” EC = o, / o C= E / 61
  • 8. Sucesos Incompatibles Los sucesos A y B son incompatibles o mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente A = {a, b}, B = {d, e} E a b A d c e B ♦ Ejemplo: A : “Ser un reptil”, B : “Ser un león” 62
  • 9. Propiedades de la unión de sucesos Asociativa: A (B C) = (A Conmutativa: A B=B A A A=A, A AC = E B) C Propiedades de la intersección de sucesos Asociativa: A (B C) = (A Conmutativa: A B=B A A A=A, A AC = B) C 63
  • 10. Propiedades conjuntas de la unión e intersección de sucesos Distributiva: A C) A C) (B C) = (A B) (A (B C) = (A B) (A ♦ Ejemplo E B d b e c a g A C ♦ A = {a, b, c}, A (A (B B) f B = {b, c, d, e}, C) = {a, b, c} (A C = {c, e, f, g} {b, c, d, e, f, g} = {b, c} C) = {b, c} {c} = {b, c} 64
  • 11. 2.3. Concepto de Probabilidad. Propiedades 2. 3.1. Definición clásica de la probabilidad Espacio muestral equiprobable: “Todos los sucesos Espacio muestral equiprobable: “Todos los sucesos elementales tienen igual probabilidad de ocurrir” elementales tienen igual probabilidad de ocurrir” En estas condiciones se define la probabilidad del suceso A como: P (A) = Nº Casos Favorables al Suceso A Nº Total de Casos Posibles = C F C P 65
  • 12. ♦ Ejemplo En una pareja, cada uno de sus miembros posee genes para ojos castaños y azules. Teniendo en cuenta que cada uno tiene la misma probabilidad de aportar un gen para ojos castaños que para ojos azules y que el gen para ojos castaños es dominante, obtener la probabilidad de que un hijo nacido de esta pareja tenga los ojos castaños. Solución Gen de la madre Gen del padre E = {C C, C A, A C, A A} Casos favorables = {C C, C A, A C} Casos posibles = {C C, C A, A C, A A} P ( Ojos Castaños ) = CF 3 = CP 4 66
  • 13. 2. 3.2. Diagramas de árbol El diagrama de árbol es un método para obtener los El diagrama de árbol es un método para obtener los resultados posibles de un experimento cuando éste se resultados posibles de un experimento cuando éste se produce en unas pocas etapas. produce en unas pocas etapas. Cada paso del experimento se representa como una Cada paso del experimento se representa como una ramificación del árbol. ramificación del árbol. Trayectorias A A B A B B A AAA B AAB A B ABA ABB A BAA B BAB A BBA B BBB 67
  • 14. ♦ Ejemplo “Una mujer es portadora de hemofilia. Aunque la mujer no tenga la enfermedad, puede transmitirla a sus 3 hijos. Obtener las trayectorias para este experimento mediante un diagrama de árbol”. Primer hijo Segundo hijo Tercer hijo S S N S N N Trayectoria S SSS N SSN S N SNS SNN S NSS N NSN S NNS N NNN ♦ Suponiendo que es igualmente probable que se trasmita o no la enfermedad. Obtener las probabilidades de los siguientes sucesos: 1.- Ningún hijo tenga la enfermedad, (suceso A) 2.- Dos hijos tengan la enfermedad, (suceso B) P( A ) = CF 1 = CP 8 P( B ) = CF 3 = CP 8 68
  • 15. 2.3.3. Definición axiomática de la probabilidad Álgebra de sucesos, β : “Es el conjunto de todos los sucesos del Espacio Muestral” Axiomas de la probabilidad Consideremos una aplicación, P, del álgebra de sucesos en el conjunto de los números reales. P β ∀A ∈ β , A P R P(A) ∈R Esta aplicación es una probabilidad si verifica los tres axiomas siguientes: Axioma 1 A ∈ β, 0 ≤ P(A) Axioma 2 P(E)=1 Axioma 3 Sean A1, A2, ... ,An, sucesos mutuamente incompatibles, Ai Aj = para i ≠ j. Entonces se verifica P ( A1 A2 ... An ) = P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... +P ( An ) 69
  • 16. ♦ Ejemplo Tres caballos, A, B, y C están siendo tratados con tres métodos experimentales distintos para aumentar la velocidad con la que pueden correr. Después del tratamiento intervienen en una carrera. El caballo C tiene doble probabilidad de ganar que B, y B doble que A. Calcular las probabilidades de que gane cada uno. Solución E = { A, B, C } P(A)=k P ( B ) = 2k Ax. 3 P ( C ) = 4k Ax. 2 P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) = P (E) = 1 = = k + 2k + 4k = 7k =1 ⇒ k = 1 7 P ( A ) =1 7 P(B)=2 7 P(C)=4 7 70
  • 17. Si suponemos que el espacio muestral es equiprobable, la definición axiomática de la probabilidad coincide con la definición clásica En el ejemplo anterior, supongamos que los tres caballos tienen la misma probabilidad de ganar Solución: E = { A, B, C } P(A)=P(B)=P(C)=k Ax. 3 Ax. 2 P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) = P (E) = 1 = = k + k + k = 3k = 1 ⇒ k = 1 3 P(A)=P(B)=P(C)= 1 3 71
  • 18. 2.3.4. Propiedades de la probabilidad ♦ 1. ∀ A ∈ β , P ( AC ) = 1 - P ( A ) Ejemplo. Se sabe que la probabilidad de curar la leucemia infantil es de 1/3. Por lo tanto, la probabilidad de que no se cure la enfermedad será de 1 − 1 / 3 = 2 / 3 ♦ 2. P( )=0 Ejemplo. Consideramos el experimento de lanzar un dado. La probabilidad de obtener 9 en una cara es igual a cero ♦ 3. Si A ⊂ B ⇒ P ( A ) ≤ P( B ) E Β Α Ejemplo. En el experimento anterior, sea A el suceso obtener un numero mayor que 4, y B obtener un número mayor que 2 P(A) = CF CP = 2 , 6 P (B) = CF CP = 4 6 72
  • 19. ♦ 4. P ( A – B ) = P ( A ) – P ( A ∩ B ) E A–B A∩B Α Β Ejemplo. “En el experimento anterior, sea A el suceso obtener un numero menor que 5 y B el suceso obtener un numero par” A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6}, A - B = {1, 3}, A P (A− B ) = P (A)− P (A ∩ B ) = ♦ 5. P (A B = {2, 4} 4 2 2 − = 6 6 6 B)=P(A)+P(B)–P(A B) E A∪B 73
  • 20. Ejemplo. En una población el 4% de las personas son daltónicas, el 18% hipertensas y el 0.5% daltónicas e hipertensas. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona sea daltónica ó hipertensa? Α = { Daltónico }, B = { Hipertenso } P ( A) = 4 18 0.5 , P(B) = , P(A ∩ B ) = 100 100 100 P (A B) = P(A)+P(B)–P(A 4 18 0.5 + − = 0.215 100 100 100 = ♦ 6.- P ( A B) = B C)=P(A)+P(B)+P(C) – –P(A B) –P(A +P(A B C)–P(B C)+ C) E B A∩B A A∩B∩C B∩C C A∩C 74
  • 21. Ejemplo. En un parque natural se detectan tres plagas. El 25% de los árboles tienen la enfermedad A, el 20% la B y el 30% la C. El 12% la A y la B, el 10% la A y la C, el 11% la B y la C y el 5% tienen las tres enfermedades. Calcular las probabilidades siguientes: 1. Un árbol tenga alguna de las enfermedades 2. Un árbol tenga la enfermedad A pero no la B 3. Un árbol tenga la enfermedad B y C pero no la A P ( A ) = 0.25; P ( B ) = 0.2; P ( C ) = 0.3; P(A B ) = 0.12; P(A C ) = 0.1; P(B C ) = 0.11; P(A B 0.05; 1. P ( A B C)= C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(A B) –P(A C)–P(B C)+P(A B C)= = 0.25 + 0,2 + 0.3 – 0.12 – 0,1 – 0.11 + 0.05 = 0.47 B E A A B C C 75
  • 22. P ( A ) = 0.25; P ( B ) = 0.2; P ( C ) = 0.3; P(A B ) = 0.12; P(A C ) = 0.1; P(B C ) = 0.11; P(A B C)= 0.05; 2. Un árbol tenga la enfermedad A pero no la B P ( A – B ) = P ( A ) – P ( A ∩ B ) = 0.25 – 0.12 = 0.13 B E (B∩C)–A A–B A C 3.- Un árbol tenga la enfermedad B y C pero no la A P((B C)–A)=P(B C)–P(A = 0.11 – 0.05 = 0.06 B C)= 76
  • 23. 2.4. Probabilidad condicionada. Independencia de Sucesos 2.4.1. Probabilidad condicionada “Probabilidad de que ocurra el suceso A, condicionado a que el suceso B haya ocurrido ya” Sean dos sucesos A y B ∈ β, con P ( B ) > 0 P (A / B)= Si P ( A ) > 0 P ( B / A) = P ( A∩ B ) P (B) P ( A∩ B ) P ( A) ( A / B )C = ( AC / B ) ⇒ P ( AC / B ) = 1 – P ( A / B ) P(A B ) = P (A ) P ( B / A) = P ( B ) P (A / B ) P ( A1 A2 A3 ) = P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P (A3 / A1 A2 ) 77
  • 24. Ejemplo. Una familia tiene tres hijos. Construir un diagrama de árbol y calcular las siguientes probabilidades: 1. El primer hijo sea niña, A, (♦) 2. Exactamente dos sean niñas, B, ( ) 3. Se cumplan ambas condiciones 4. Exactamente dos sean niñas, si el primero es niña 1º hijo 2º hijo 3º hijo Trayectoria M H M H H P ( A ) = 4 / 8, P ( B ) = 3 / 8, MMM ♦ H ♦ M MMH MHM H MHH ♦ M HMM H HMH M HHM H M M HHH P(A ♦ B)=2/8 P ( A ∩ B ) 28 1 = = P (B / A) = P ( A) 2 4 8 78
  • 25. 2.4.2. Independencia de sucesos El suceso A es independiente del suceso B si y sólo si se verifica: P(A/B) = P(A) Si P ( A / B ) ≠ P ( A ) el suceso A es dependiente de B La independencia es una propiedad recíproca El suceso A es independiente del suceso B El suceso B es independiente del suceso A Dos sucesos son independientes sii P(A B)=P(A)P(B) Si los sucesos A y B son independientes, se verifica: Los sucesos A y BC son independientes Los sucesos AC y B son independientes Los sucesos A C y BC son independientes Decimos que n sucesos son independientes si se verifica: P ( A1 A2 ... An ) = P ( A1 ) P ( A2 )...P ( An ) 79
  • 26. Ejemplo. Se analizan muestras de agua para detectar plomo y mercurio. El 38% de las muestras presentan niveles tóxicos de plomo o mercurio, el 32% de plomo y el 10% de ambos metales. a. ¿Son independientes los sucesos: “Nivel tóxico de plomo” y “Nivél tóxico de mercurio” b. Calcular las probabilidades de que una muestra tenga: 1. Niveles tóxicos de mercurio si tiene niveles tóxicos de plomo 2. Niveles tóxicos solamente de plomo A : ”Nivel tóxico plomo”, B: “Nivel tóxico mercurio” P(A B ) = 0.38; P ( A ) = 0.32; P ( A A A–B A∩B B–A B A∪B a. P (A B ) = 0.10 B) = P(A)+P(B)–P(A P ( B ) = P (A B)– P(A)+ P(A = 0.38 – 0.32 + 0.10 = 0.16 B) ⇒ B)= P ( A ) P ( B ) = 0.32 x 0.16 = 0.051 ≠ 0.10 = P ( A B) ⇒ Los sucesos A y B no son independientes b 1. P ( B / A ) = P ( A ∩ B ) / P ( A ) = 0.10 / 0.32 = 0.3125 b 2. P(A–B)=P(A)–P(A 0.22 B ) = 0.32 – 0.10 = 80
  • 27. Ejemplo. “Se están estudiando tres mutaciones no relacionadas, A, B y C, en un grupo de monos. La probabilidad de tener la mutación A es 0.13, la B es 0.11 y la C es 0.14. Calcular las probabilidades: 1. Un mono no tenga ninguna de las mutaciones 2. Un mono tenga alguna de las mutaciones 3. Un mono tenga la mutación A y C, pero no la B P ( A ) = 0.13; P ( B ) = 0.11; P ( C ) = 0.14 Los sucesos A, B y C son independientes 1. 2. CC ) = P ( AC ) P ( BC ) P ( CC ) = P ( AC BC = (1 – P ( A )) (1 – P ( B )) (1 – P ( C )) = = 0.87 x 0.89 x 0.86 = 0.665898 C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(A P(A B B) – P ( A C)–P(B C)+P(A B C)= = 0.13 + 0.11 + 0.14 – 0.13 x 0.11 – 0.13 x 0.14 – 0.11 x 0.14 + 0.13 x 0.11 x 0.14 = 0.334102 P(A 3. B P(A BC C ) = 1 – P ( AC BC CC ) = 1 − 0.66589 C ) = P ( A ) P ( BC ) P ( C ) = = P ( A ) (1 – P ( B )) P ( C ) = = 0.13 x 0.89 x 0.14 = 0.016198 81
  • 28. 2.5. Teorema de la probabilidad total. Teorema de Bayes 2.5.1. Teorema de la probabilidad total Sean los sucesos A1, A2, ... ,An, que verifican: Ai ∩ A j = θ si i ≠ j A1 ∪ A2 ∪ .... ∪ An = E 〉 Los sucesos Ai, para i = 1, … , n son incompatibles dos a dos y exhaustivos Sea un suceso B, con P ( B ) > 0 Se conocen: P ( Ai ) y P ( B / Ai ), i = 1,..., n An An B A1 B A2 B A2 A1 En las condiciones anteriores, este teorema nos proporciona la probabilidad total de que ocurra el suceso B: n P( B) = ∑ P(A i) P( B / A i) i =1 82
  • 29. 2.5.2. Teorema Bayes Sean los sucesos A1, A2,...,An, que verifican: Ai ∩ A j = θ si i ≠ j A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = E 〉 Los sucesos Ai, para i = 1, … ,n, son incompatibles dos a dos y exhaustivos Sea un suceso B, con P ( B ) > 0 Se conocen: P ( Ai ) y P ( B / Ai ), i = 1,..., n El Teorema de Bayes nos expresa la probabilidad de que ocurra un suceso determinado, Aj , condicionado a que el suceso B ya ha ocurrido ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P Aj ∩ B P Aj P B / Aj P Aj / B = = n P( B) ∑i =1 P A i P B / A i ( ) Las probabilidades P ( Aj ) se designan probabilidades a “priori”, o probabilidades de las causas. Las probabilidades P ( Aj / B ) se designan probabilidades a “posteriori”, si el suceso B ya ha ocurrido, probabilidad de que sea debido a la causa 83
  • 30. Ejemplo. Una empresa farmacéutica tiene tres delegaciones, Madrid, Barcelona y Granada. De un determinado fármaco se produce el 45% en la delegación de Madrid, el 30% en Barcelona, y el 25% en Granada. Del total de los fármacos, son defectuosos el 5% de los producidos en Madrid, el 3% en Barcelona y el 4% en Granada. Calcular: 1. Probabilidad de que un fármaco sea defectuoso 2. Si un fármaco es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido producido por la delegación de Granada? A1 : “Producido Madrid”, A2 : “Producido Barcelona” A3 : “Producido Granada”, B : “Defectuoso” P ( A1 ) = 0.45; P ( A2 ) = 0.30; P ( A3 ) = 0.25 P ( B / A1 ) = 0.05; P ( B / A2 ) = 0.03; P ( B / A3 ) = 0.04 A3 A3 ∩ B A1 A1 ∩ B A2 ∩ B A2 1. P ( B ) = P ( A1) P ( B / A1) + P( A2 ) P( B / A2 ) + P( A3 ) P( B / A3 ) = 0.45 × 0.05 + 0.30 × 0.03 + 0.25 × 0.04 = 0.0415 2. P ( A3 / B ) = P ( A3 ) P ( B / A3 ) P( B) = 0.25 × 0.04 = 0.241 0.0415 84
  • 31. Ejemplo. En una población el 51% de las personas son mujeres, el 18% tienen la tensión alta y el 10% ambas cosas. Obtener: 1. Probabilidad de que una persona tenga la tensión alta si es mujer 2. Probabilidad de ser hombre si se tiene la tensión alta 3. Probabilidad de ser mujer si no se tiene la tensión alta A : “Ser Mujer”, B : “Tener la tensión alta” P ( A ) = 0.51; P ( B ) = 0.18; P ( A B ) = 0.10 1. P ( A ∩ B) 0.10 P ( B /A ) = = = 0.19 P (A) 0.51 2. P A C / B = 1 – P ( A / B ) = 1 − 0.555 = 0.445 ( ) P ( A ∩ B ) 0.10 = = 0.555 P ( B) 0.18 P ( A / B) = 3. ( C P A /B ( P A ∩ BC )= ( P A ∩ BC ) = 0.4131 = 0.5037 0.82 ( ) ) = P ( A ) P ( B / A ) = P ( A ) (1–P ( B / A )) = P BC C = 0.51 × ( 1– 0.19 ) = 0.4131 85