Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo de probabilidades. Introduce los conceptos de espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos, definiciones de probabilidad clásica y axiomática, diagramas de árbol, probabilidad condicionada e independencia de sucesos, y teoremas como el de la probabilidad total y Bayes. Explica las propiedades de la probabilidad como la suma de probabilidades condicionales, relaciones entre probabilidades de sucesos complementarios y probabilidades de sucesos mutuamente excluyentes.
Este documento presenta una introducción a la teoría de probabilidades. Explica los tres enfoques conceptuales para definir la probabilidad: el enfoque clásico, el enfoque de frecuencia relativa y el enfoque subjetivo. También define conceptos como sucesos mutuamente excluyentes, sucesos compatibles e independientes y cómo calcular la probabilidad de cada uno. Finalmente, incluye ejercicios de aplicación de estos conceptos.
Este documento trata sobre análisis combinatorio. Explica conceptos como permutaciones, combinaciones y probabilidades. Define el espacio muestral y los sucesos como subconjuntos del espacio muestral. Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular permutaciones y combinaciones de diferentes maneras.
El documento presenta los fundamentos de la probabilidad y las variables aleatorias. Introduce conceptos como la probabilidad de un suceso, la probabilidad condicionada, y las variables aleatorias discretas y continuas. Explica las distribuciones más importantes como la normal, exponencial, chi-cuadrado, t-student y F de Snedecor.
La distribución binomial describe el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. El documento presenta 5 ejercicios que aplican la distribución binomial para calcular probabilidades de diferentes escenarios, como lanzar una moneda o seleccionar llantas de un cargamento. Se calculan medidas como la media, varianza y desviación estándar para cuantificar los resultados.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad e introduce los diagramas de Venn. Explica la definición de espacio muestral, eventos, probabilidad de eventos, uniones e intersecciones de conjuntos, y cómo los diagramas de Venn ilustran gráficamente las relaciones entre conjuntos mediante círculos que se superponen.
Este documento presenta una introducción a la teoría de probabilidad. Define conceptos básicos como experimento, suceso elemental, espacio muestral y eventos. Explica experimentos determinísticos y aleatorios, y tipos de espacios muestrales y eventos. También cubre operaciones con eventos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, introduce el conteo de puntos muestrales y el principio de multiplicación para experimentos compuestos.
Este documento introduce conceptos básicos de la teoría de probabilidad e inferencia estadística. Explica que la probabilidad es una medida cuantitativa del grado de certeza o incertidumbre de un evento. Define términos como experimento, resultado, evento y espacio muestral. También describe reglas para calcular probabilidades como la regla de adición y complemento. Finalmente, presenta axiomas fundamentales de la probabilidad.
Este documento presenta varios ejemplos y problemas resueltos sobre distribuciones de probabilidad discretas y continuas como la binomial, Poisson y normal. Explica conceptos como media, desviación estándar y probabilidades para estas distribuciones y aplica aproximaciones normales a la binomial. Resuelve 10 problemas ilustrando cálculos y gráficas de las diferentes distribuciones.
Este documento presenta una introducción a la teoría de probabilidades. Explica los tres enfoques conceptuales para definir la probabilidad: el enfoque clásico, el enfoque de frecuencia relativa y el enfoque subjetivo. También define conceptos como sucesos mutuamente excluyentes, sucesos compatibles e independientes y cómo calcular la probabilidad de cada uno. Finalmente, incluye ejercicios de aplicación de estos conceptos.
Este documento trata sobre análisis combinatorio. Explica conceptos como permutaciones, combinaciones y probabilidades. Define el espacio muestral y los sucesos como subconjuntos del espacio muestral. Incluye ejemplos para ilustrar cómo calcular permutaciones y combinaciones de diferentes maneras.
El documento presenta los fundamentos de la probabilidad y las variables aleatorias. Introduce conceptos como la probabilidad de un suceso, la probabilidad condicionada, y las variables aleatorias discretas y continuas. Explica las distribuciones más importantes como la normal, exponencial, chi-cuadrado, t-student y F de Snedecor.
La distribución binomial describe el número de éxitos en una secuencia de ensayos de Bernoulli independientes. El documento presenta 5 ejercicios que aplican la distribución binomial para calcular probabilidades de diferentes escenarios, como lanzar una moneda o seleccionar llantas de un cargamento. Se calculan medidas como la media, varianza y desviación estándar para cuantificar los resultados.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad e introduce los diagramas de Venn. Explica la definición de espacio muestral, eventos, probabilidad de eventos, uniones e intersecciones de conjuntos, y cómo los diagramas de Venn ilustran gráficamente las relaciones entre conjuntos mediante círculos que se superponen.
Este documento presenta una introducción a la teoría de probabilidad. Define conceptos básicos como experimento, suceso elemental, espacio muestral y eventos. Explica experimentos determinísticos y aleatorios, y tipos de espacios muestrales y eventos. También cubre operaciones con eventos como unión, intersección y diferencia. Finalmente, introduce el conteo de puntos muestrales y el principio de multiplicación para experimentos compuestos.
Este documento introduce conceptos básicos de la teoría de probabilidad e inferencia estadística. Explica que la probabilidad es una medida cuantitativa del grado de certeza o incertidumbre de un evento. Define términos como experimento, resultado, evento y espacio muestral. También describe reglas para calcular probabilidades como la regla de adición y complemento. Finalmente, presenta axiomas fundamentales de la probabilidad.
Este documento presenta varios ejemplos y problemas resueltos sobre distribuciones de probabilidad discretas y continuas como la binomial, Poisson y normal. Explica conceptos como media, desviación estándar y probabilidades para estas distribuciones y aplica aproximaciones normales a la binomial. Resuelve 10 problemas ilustrando cálculos y gráficas de las diferentes distribuciones.
Este documento presenta información sobre espacios vectoriales. Define un espacio vectorial como un conjunto con dos operaciones de suma y producto por escalares que cumplen ciertas propiedades. Explica que los espacios vectoriales tienen aplicaciones en áreas como series de Fourier y resolución de ecuaciones diferenciales. Finalmente, resume las propiedades de subespacios vectoriales, combinaciones lineales, independencia lineal, bases y dimensión de un espacio vectorial.
El documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística resueltos. En el primer problema, se calcula la probabilidad de que a lo más uno de seis personas prefiera la opción A y la probabilidad de que al menos tres personas prefieran A. En el segundo problema, se analiza la probabilidad de obtener un número defectuoso de tarjetas de circuito en muestras de 25 tarjetas.
Este documento trata sobre los números reales. Explica que los números reales incluyen tanto los números racionales como los irracionales. Luego presenta la historia del desarrollo de los diferentes tipos de números como naturales, racionales e irracionales por diferentes civilizaciones. Finalmente, define los principales axiomas y teoremas relacionados con los números reales.
Este documento describe la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación. La distribución geométrica modela procesos de prueba repetitiva donde se busca el primer éxito. Se define mediante la probabilidad p de éxito y q de fracaso, siendo la probabilidad de x ensayos para el primer éxito q^(x-1)p. Se resuelven seis ejemplos calculando estas probabilidades para procesos como lanzar una moneda o inspeccionar productos.
Este documento presenta varios ejemplos de problemas de probabilidad total y teorema de Bayes resueltos. El primer ejemplo involucra la probabilidad de que un paciente infantil sea menor de 24 meses en un hospital. El segundo ejemplo calcula la probabilidad de que un paciente de cirugía estética sea masculino. El tercer ejemplo determina la probabilidad de que se haya usado el primer equipo de ultrasonido si se detecta un error.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria y ofrece varios ejemplos para ilustrarlo. Una variable aleatoria asigna números reales a los resultados de un experimento aleatorio para expresarlos numéricamente. Se definen variables aleatorias discretas y continuas. También se explican conceptos como distribución de probabilidad, esperanza matemática, varianza y desviación estándar para variables aleatorias.
TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICESelisancar
Este documento trata sobre matrices. Define una matriz, sus elementos, dimensión y orden. Explica los diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, nulas, etc. Describe operaciones con matrices como suma, producto por escalar y producto entre matrices. También cubre cálculo de matriz inversa mediante el método de Gauss y el concepto de rango de una matriz.
Este documento describe las propiedades de la distribución normal multivariante. Explica que la densidad de probabilidad conjunta de un vector aleatorio que sigue una distribución normal p-dimensional depende de su media y matriz de covarianza. También describe cómo transformaciones lineales de un vector normal preservan la normalidad y cómo calcular distribuciones marginales y condicionales.
tarea 1, ejercicios de probabilidad con respuestasIPN
Este documento presenta 19 ejercicios sobre probabilidad y teoría de conjuntos. Los ejercicios involucran la definición y descripción de espacios muestrales y eventos, así como el cálculo de intersecciones y uniones de eventos. Algunos ejercicios piden listar los elementos de diferentes eventos, mientras que otros solicitan diagramas de Venn o árboles para ilustrar las relaciones entre eventos. El documento proporciona múltiples ejemplos detallados sobre cómo modelar problemas probabilísticos utilizando la teor
El documento presenta 14 problemas resueltos relacionados con la ley de Coulomb y el campo eléctrico. Los problemas involucran calcular la magnitud y dirección de la fuerza entre cargas puntuales, determinar el valor de cargas desconocidas, y calcular el campo eléctrico en diferentes puntos del espacio dado la ubicación y valor de cargas puntuales. El último problema analiza el campo eléctrico generado por una varilla cargada uniformemente.
Este documento presenta 20 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios cubren temas como probabilidad simple, probabilidad condicional, eventos mutuamente excluyentes y probabilidad con y sin reemplazamiento. El documento fue preparado por la alumna Lucía Regalado Montenegro para su curso de Estadística II dictado por el profesor Ing. Francisco Bahamonde en la Carrera de Contabilidad y Auditoría de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador.
Este documento presenta las distribuciones geométrica e hipergeométrica. La distribución geométrica describe experimentos de ensayo y error donde el primer éxito ocurre en el último ensayo. Se usa para calcular la probabilidad de que el sexto o quinto dispositivo muestre una desviación. La distribución hipergeométrica se aplica cuando hay dos tipos de resultados posibles y cada ensayo no es independiente; se usa para calcular la probabilidad de que un viajero sea arrestado por narcóticos al seleccionar 3
Este documento presenta 5 ejercicios que utilizan la distribución de Poisson para calcular probabilidades relacionadas con procesos industriales y de inspección. En cada ejercicio, se da la probabilidad p de un defecto, el número n de artículos inspeccionados, y se pide calcular la probabilidad de que x artículos estén defectuosos. Las soluciones utilizan la función de distribución de Poisson en Excel.
This table summarizes the derivatives of common elementary and composite functions. For elementary functions, the derivative is given. For composite functions f(u) with u = u(x), the derivative is the derivative of the inner function u' multiplied by the derivative of the outer function evaluated at u.
Este documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística. En el primer problema, se pide determinar qué pares de sucesos son mutuamente excluyentes. Los problemas siguientes involucran calcular probabilidades condicionales e incondicionales para diferentes escenarios, como complicaciones en embarazos diabéticos y resultados de pruebas médicas. El documento también incluye diagramas de árbol y tablas de probabilidad para ilustrar diferentes posibles resultados.
Este documento introduce la aproximación normal a la distribución binomial. Explica que cuando el tamaño de la muestra (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) no está extremadamente cerca de 0 o 1, la distribución normal proporciona una buena aproximación. Presenta ejemplos para ilustrar cómo la distribución binomial se aproxima a la normal a medida que n aumenta o p se acerca a 1/2. También muestra cómo calcular probabilidades binomiales usando áreas bajo la curva normal.
Los teoremas de Pappus describen cómo calcular el área superficial y el volumen de un cuerpo generado por la rotación de una curva alrededor de un eje. El primer teorema establece que el área superficial es igual al producto de la longitud de la curva generatriz y la distancia recorrida por el centroide de la curva. El segundo teorema establece que el volumen es igual al producto del área generatriz y la distancia recorrida por el centroide del área. El documento proporciona ejemplos de cómo aplicar
Este documento resume tres distribuciones de probabilidad discretas importantes: la distribución de Bernoulli, la distribución de Poisson y la distribución binomial. Explica que una distribución de probabilidad indica los posibles resultados de un experimento aleatorio junto con sus probabilidades. Luego describe cada distribución, incluidas sus características y fórmulas, y proporciona ejemplos ilustrativos.
Este documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística relacionados con distribuciones normales. Incluye cálculos de áreas bajo la curva normal, valores-z, probabilidades y porcentajes. Los problemas abarcan temas como máquinas expendedoras, tiempos de viaje, resistencia de materiales y control de calidad.
Guía de uso software de eventos-Registro de semillleros , participantes y pro...Eliana Santos
Este documento proporciona instrucciones paso a paso para el registro de semilleros, participantes y proyectos en el sistema de registro de RedColsi. Explica cómo crear nuevos semilleros e integrantes, editar información existente, registrar proyectos para eventos, y agregar nuevos proyectos al sistema. También incluye consideraciones generales sobre el proceso de registro y recomendaciones finales.
Este documento presenta información sobre espacios vectoriales. Define un espacio vectorial como un conjunto con dos operaciones de suma y producto por escalares que cumplen ciertas propiedades. Explica que los espacios vectoriales tienen aplicaciones en áreas como series de Fourier y resolución de ecuaciones diferenciales. Finalmente, resume las propiedades de subespacios vectoriales, combinaciones lineales, independencia lineal, bases y dimensión de un espacio vectorial.
El documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística resueltos. En el primer problema, se calcula la probabilidad de que a lo más uno de seis personas prefiera la opción A y la probabilidad de que al menos tres personas prefieran A. En el segundo problema, se analiza la probabilidad de obtener un número defectuoso de tarjetas de circuito en muestras de 25 tarjetas.
Este documento trata sobre los números reales. Explica que los números reales incluyen tanto los números racionales como los irracionales. Luego presenta la historia del desarrollo de los diferentes tipos de números como naturales, racionales e irracionales por diferentes civilizaciones. Finalmente, define los principales axiomas y teoremas relacionados con los números reales.
Este documento describe la distribución geométrica y proporciona ejemplos de su aplicación. La distribución geométrica modela procesos de prueba repetitiva donde se busca el primer éxito. Se define mediante la probabilidad p de éxito y q de fracaso, siendo la probabilidad de x ensayos para el primer éxito q^(x-1)p. Se resuelven seis ejemplos calculando estas probabilidades para procesos como lanzar una moneda o inspeccionar productos.
Este documento presenta varios ejemplos de problemas de probabilidad total y teorema de Bayes resueltos. El primer ejemplo involucra la probabilidad de que un paciente infantil sea menor de 24 meses en un hospital. El segundo ejemplo calcula la probabilidad de que un paciente de cirugía estética sea masculino. El tercer ejemplo determina la probabilidad de que se haya usado el primer equipo de ultrasonido si se detecta un error.
Este documento introduce el concepto de variable aleatoria y ofrece varios ejemplos para ilustrarlo. Una variable aleatoria asigna números reales a los resultados de un experimento aleatorio para expresarlos numéricamente. Se definen variables aleatorias discretas y continuas. También se explican conceptos como distribución de probabilidad, esperanza matemática, varianza y desviación estándar para variables aleatorias.
TEMA 1: MATRICES. OPERACIONES CON MATRICESelisancar
Este documento trata sobre matrices. Define una matriz, sus elementos, dimensión y orden. Explica los diferentes tipos de matrices como cuadradas, rectangulares, nulas, etc. Describe operaciones con matrices como suma, producto por escalar y producto entre matrices. También cubre cálculo de matriz inversa mediante el método de Gauss y el concepto de rango de una matriz.
Este documento describe las propiedades de la distribución normal multivariante. Explica que la densidad de probabilidad conjunta de un vector aleatorio que sigue una distribución normal p-dimensional depende de su media y matriz de covarianza. También describe cómo transformaciones lineales de un vector normal preservan la normalidad y cómo calcular distribuciones marginales y condicionales.
tarea 1, ejercicios de probabilidad con respuestasIPN
Este documento presenta 19 ejercicios sobre probabilidad y teoría de conjuntos. Los ejercicios involucran la definición y descripción de espacios muestrales y eventos, así como el cálculo de intersecciones y uniones de eventos. Algunos ejercicios piden listar los elementos de diferentes eventos, mientras que otros solicitan diagramas de Venn o árboles para ilustrar las relaciones entre eventos. El documento proporciona múltiples ejemplos detallados sobre cómo modelar problemas probabilísticos utilizando la teor
El documento presenta 14 problemas resueltos relacionados con la ley de Coulomb y el campo eléctrico. Los problemas involucran calcular la magnitud y dirección de la fuerza entre cargas puntuales, determinar el valor de cargas desconocidas, y calcular el campo eléctrico en diferentes puntos del espacio dado la ubicación y valor de cargas puntuales. El último problema analiza el campo eléctrico generado por una varilla cargada uniformemente.
Este documento presenta 20 ejercicios de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los ejercicios cubren temas como probabilidad simple, probabilidad condicional, eventos mutuamente excluyentes y probabilidad con y sin reemplazamiento. El documento fue preparado por la alumna Lucía Regalado Montenegro para su curso de Estadística II dictado por el profesor Ing. Francisco Bahamonde en la Carrera de Contabilidad y Auditoría de la Facultad de Ciencias Administrativas de la Universidad Central del Ecuador.
Este documento presenta las distribuciones geométrica e hipergeométrica. La distribución geométrica describe experimentos de ensayo y error donde el primer éxito ocurre en el último ensayo. Se usa para calcular la probabilidad de que el sexto o quinto dispositivo muestre una desviación. La distribución hipergeométrica se aplica cuando hay dos tipos de resultados posibles y cada ensayo no es independiente; se usa para calcular la probabilidad de que un viajero sea arrestado por narcóticos al seleccionar 3
Este documento presenta 5 ejercicios que utilizan la distribución de Poisson para calcular probabilidades relacionadas con procesos industriales y de inspección. En cada ejercicio, se da la probabilidad p de un defecto, el número n de artículos inspeccionados, y se pide calcular la probabilidad de que x artículos estén defectuosos. Las soluciones utilizan la función de distribución de Poisson en Excel.
This table summarizes the derivatives of common elementary and composite functions. For elementary functions, the derivative is given. For composite functions f(u) with u = u(x), the derivative is the derivative of the inner function u' multiplied by the derivative of the outer function evaluated at u.
Este documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística. En el primer problema, se pide determinar qué pares de sucesos son mutuamente excluyentes. Los problemas siguientes involucran calcular probabilidades condicionales e incondicionales para diferentes escenarios, como complicaciones en embarazos diabéticos y resultados de pruebas médicas. El documento también incluye diagramas de árbol y tablas de probabilidad para ilustrar diferentes posibles resultados.
Este documento introduce la aproximación normal a la distribución binomial. Explica que cuando el tamaño de la muestra (n) es grande y la probabilidad de éxito (p) no está extremadamente cerca de 0 o 1, la distribución normal proporciona una buena aproximación. Presenta ejemplos para ilustrar cómo la distribución binomial se aproxima a la normal a medida que n aumenta o p se acerca a 1/2. También muestra cómo calcular probabilidades binomiales usando áreas bajo la curva normal.
Los teoremas de Pappus describen cómo calcular el área superficial y el volumen de un cuerpo generado por la rotación de una curva alrededor de un eje. El primer teorema establece que el área superficial es igual al producto de la longitud de la curva generatriz y la distancia recorrida por el centroide de la curva. El segundo teorema establece que el volumen es igual al producto del área generatriz y la distancia recorrida por el centroide del área. El documento proporciona ejemplos de cómo aplicar
Este documento resume tres distribuciones de probabilidad discretas importantes: la distribución de Bernoulli, la distribución de Poisson y la distribución binomial. Explica que una distribución de probabilidad indica los posibles resultados de un experimento aleatorio junto con sus probabilidades. Luego describe cada distribución, incluidas sus características y fórmulas, y proporciona ejemplos ilustrativos.
Este documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística relacionados con distribuciones normales. Incluye cálculos de áreas bajo la curva normal, valores-z, probabilidades y porcentajes. Los problemas abarcan temas como máquinas expendedoras, tiempos de viaje, resistencia de materiales y control de calidad.
Guía de uso software de eventos-Registro de semillleros , participantes y pro...Eliana Santos
Este documento proporciona instrucciones paso a paso para el registro de semilleros, participantes y proyectos en el sistema de registro de RedColsi. Explica cómo crear nuevos semilleros e integrantes, editar información existente, registrar proyectos para eventos, y agregar nuevos proyectos al sistema. También incluye consideraciones generales sobre el proceso de registro y recomendaciones finales.
El documento describe las diferentes formas en que el autor encontró a su amada. La encontró en la luz de la mañana, en una melodía que lo inspiró a escribir una canción, en la mirada dulce de un bebé que le hizo entender la ternura, en una caricia que lo hizo estremecer, en una sonrisa que se grabó en su mente, mientras llovía y la lluvia cesó, en una rosa de la que se imaginó tener alas, y en un beso tierno que le trajo el amor.
El documento habla sobre los riesgos que conllevan expresar sentimientos, exponer sueños, amar y adelantarse ante adversidades, y cómo evitar riesgos lleva a una vida sin aprendizaje, cambio o amor. También menciona que el mayor peligro es no arriesgarse y que solo quien toma riesgos es libre.
Las redes sociales como MySpace y Facebook conectan a las personas con amigos y conocidos de manera interactiva a través de blogs, fotos, videos y actualizaciones de perfiles personales. Estas plataformas ofrecen beneficios educativos como foros, grupos y eventos. Un aspecto importante es la privacidad de los datos personales, la cual se puede configurar en los ajustes de cada cuenta.
El lago Chapala en México se está enfrentando a tres problemas principales: 1) la desecación debido a la extracción de más agua de la que ingresa, 2) la gran contaminación del agua por residuos industriales, químicos agrícolas y aguas negras, y 3) la acumulación excesiva de sedimentos de los afluentes que degrada la calidad del agua.
1. Dokumen ini membahaskan tentang menyemai benih Firman Tuhan dengan menghafalnya.
2. Menyemai benih dalam diri sendiri dilakukan dengan menghafal Firman Tuhan, yang memberi faedah seperti kemungkinan mentaati perintah Allah meningkat, pertahanan terhadap dosa, dan senjata melawan Iblis.
3. Beberapa kaedah menghafal yang dianjurkan adalah membaca dengan suara, menulis berulang
SMS 2003 es un sistema de gestión que ayuda a distribuir aplicaciones de forma fiable, gestionar inventarios de hardware y software, distribuir actualizaciones de seguridad, y dar soporte a usuarios móviles. Integra estrechamente con Windows y aprovecha capacidades como Active Directory, Windows Installer, y WMI para reducir costes y mejorar la gestión del entorno TI de una organización.
El taller para padres se celebrará el 28 de marzo de 2008 a las 9:00 a.m. y tratará sobre cómo desarrollar hijos positivos en un mundo negativo. Fomentar lo positivo en los niños y resaltar lo positivo en uno mismo ayudará a los hijos a tener éxito en el futuro.
El documento resume los conceptos generales sobre el cáncer de piel. Explica que el cáncer de piel es el más común en el mundo y representa la mitad de todos los cánceres en Estados Unidos. Los tres tipos principales son el carcinoma basocelular, el carcinoma espinocelular y el melanoma maligno. La incidencia del cáncer de piel está aumentando rápidamente debido al mayor tiempo de exposición solar y la disminución de la capa de ozono, lo que requiere una mejor protección solar.
Este documento describe un museo dedicado al jamón, alabando sus esculturas de jamón perfectamente esculpidas y resaltando su belleza, así como a sus consumidores.
Internet es una red mundial de redes de ordenadores interconectadas que permite el intercambio de información entre ellas. Para conectarse a Internet se necesita un ordenador, un módem o router, una conexión como línea telefónica, cable o fibra óptica y un proveedor de servicios de Internet. Internet ofrece varios servicios como la World Wide Web para informarse y comunicarse, correo electrónico y chats.
El documento resume los servicios de una agencia de marketing digital enfocada en redes sociales, incluyendo estrategia, administración, desarrollo de contenido, publicidad y análisis de datos. Explica que las principales razones por las que las marcas participan en redes sociales son la influencia y humanización. También describe algunos proyectos exitosos de la agencia para marcas como Cencosud, AkzoNobel y Grupo Campari.
Este documento discute la importancia de encontrar información de calidad y curar contenidos en educación. Explora quién cura el contenido, para quién y con qué fin, y propone que los estudiantes puedan desempeñar un papel como curadores de contenido.
Este documento describe brevemente cómo se determina el sexo en los seres humanos a través de los cromosomas sexuales X e Y. Explica que las mujeres son XX y los hombres son XY. También enumera varios genes individuales que, cuando faltan o están defectuosos, pueden causar diferentes enfermedades como la enfermedad de Gaucher, el síndrome de Waardenburg, la enfermedad de Von Hippel-Lindau y la fibrosis quística, entre otras.
Este documento presenta el Plan de Emergencia Escolar del Centro Escolar Caserío Santa Adelaida. El plan fue desarrollado con fondos de USAID para fortalecer la preparación ante desastres. Contiene 4 capítulos que describen la infraestructura escolar, la estructura organizativa del comité de emergencia y sus brigadas, un análisis de riesgos y amenazas, y una estrategia de respuesta ante diferentes tipos de emergencias. El objetivo es dar una respuesta inmediata y coordinada para proteger a la comunidad escolar
El documento describe el lugar llamado Preikestolen en Noruega, una plataforma rocosa de 600 metros sobre un fiordo. Llegar a Preikestolen requiere una caminata de 2 1/2 horas con desniveles y piedras, pero la vista desde la cima vale la pena. La plataforma mide 25x25 metros y ofrece una sensación de vértigo al estar tan alto sobre el fiordo con una gran grieta.
Este documento presenta un resumen de los conceptos básicos del cálculo de probabilidades. Introduce los conceptos de espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos, definiciones de probabilidad clásica y axiomática, probabilidad condicionada e independencia de sucesos, y los teoremas de la probabilidad total y Bayes. Explica estos conceptos a través de ejemplos y propiedades matemáticas.
Este documento presenta un resumen de conceptos fundamentales de la teoría de probabilidad como probabilidad condicional, teorema de multiplicación de probabilidad, sucesos independientes, teorema de Bayes y variables aleatorias. El objetivo es despertar la capacidad investigativa de los estudiantes en problemas de probabilidad. Se escogió literatura disponible en Internet para realizar el trabajo.
Este documento trata sobre la teoría de probabilidad. Explica que la probabilidad es el estudio de fenómenos aleatorios y define experimento aleatorio y espacio muestral. También define evento o suceso y explica cómo se pueden combinar eventos usando la teoría de conjuntos. Por último, introduce la noción de probabilidad condicional y cómo se calcula.
DEBER DE MATEMATICAS TEMA: EXPLICA LOS ELEMENTOS DE LA PROBABILIDAD EN FUNCIÓN DE CADA UNO DE ELLOS, -IDENTIFICA LOS ENFOQUES DE PROBABILIDAD DE ACUERDO A LOS DIFERENTES EXPERIMENTOS ALEATORIOS, -COMPRENDE LA RELACIÓN ENTRE SUCESOS SUS CARACTERÍSTICAS Y TIPOS, -RELACIONA EL CÁLCULO DE PROBABILIDAD, LA REGLA DE LAPLACE, Y LOS DIFERENTES EJERCICIOS QUE SE DESARROLLAN.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad como experimentos aleatorios, espacio muestral, eventos y sucesos. Explica que un experimento aleatorio es aquel cuyo resultado no puede predecirse al repetirlo en las mismas condiciones. Define el espacio muestral como el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio y los eventos o sucesos como cualquier subconjunto del espacio muestral. Además, introduce las reglas básicas de probabilidad como la suma, intersección y complemento de sucesos.
Este documento resume los elementos básicos de la probabilidad, incluyendo los enfoques de probabilidad clásica y axiomática, variables aleatorias, y probabilidad discreta y continua. Explica conceptos como espacio muestral, eventos, regla de Laplace para calcular probabilidades cuando todos los resultados son equiprobables, y operaciones con conjuntos como uniones e intersecciones para obtener nuevos eventos.
Este documento presenta un esquema sobre probabilidad que incluye: 1) conceptos como experimento aleatorio, suceso y espacio muestral, 2) definiciones de probabilidad desde enfoques clásico y frecuencial, 3) probabilidad condicional, y 4) teoremas de la suma y del producto. Finalmente, propone dos ejercicios para aplicar estos conceptos al cálculo de probabilidades condicionales e independencia de sucesos.
Este documento presenta los conceptos fundamentales de la teoría de probabilidad, incluyendo: (1) la definición de experimento aleatorio, suceso y espacio muestral, (2) operaciones con sucesos como unión e intersección, (3) los axiomas de probabilidad y la asignación de probabilidades a sucesos, y (4) teoremas importantes como el teorema del producto y la probabilidad total. El documento provee numerosos ejemplos para ilustrar estos conceptos teóricos.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad como experimentos aleatorios, espacio muestral, sucesos aleatorios, definición clásica de probabilidad, propiedades de la probabilidad, operaciones con sucesos, probabilidad condicionada, probabilidades dependientes e independientes, tablas de contingencia, diagrama de árbol, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes. Incluye ejemplos y ejercicios resueltos para ilustrar los conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad, incluyendo experimentos determinísticos y aleatorios, espacio muestral, sucesos, reglas de probabilidad como adición, multiplicación y propiedades de conjuntos. Explica cómo calcular probabilidades usando interpretaciones de frecuencia y clásica, y provee ejemplos y actividades para practicar estos conceptos.
Este documento introduce los conceptos básicos de probabilidad y estadística. Explica que la probabilidad surgió originalmente del estudio de los juegos de azar. Define experimentos aleatorios, sucesos elementales, espacio muestral y sucesos. Describe operaciones con sucesos como la unión, intersección y diferencia. Finalmente, presenta los axiomas de la probabilidad y el concepto de espacio probabilístico asociado a un experimento aleatorio.
Este documento presenta conceptos clave sobre probabilidad, incluyendo:
1) Cómo calcular la probabilidad de la unión y la intersección de sucesos.
2) La definición y cálculo de probabilidad condicionada.
3) La regla de multiplicación y cómo determinar la independencia o dependencia de sucesos.
Este documento presenta definiciones básicas de probabilidad, incluyendo experimento, resultado, espacio muestral y evento. Explica cómo calcular la probabilidad de eventos discretos y los axiomas de probabilidad. También cubre eventos mutuamente excluyentes, eventos independientes, probabilidad condicional y el teorema de Bayes, el cual permite calcular probabilidades a posteriori. Por último, menciona cómo se aplica el teorema de Bayes en tests diagnósticos médicos.
Este documento trata sobre probabilidades. Explica conceptos como experimento aleatorio, espacio muestral, sucesos o eventos, y define la probabilidad de un suceso como la razón entre el número de resultados favorables y el número total de resultados posibles. Incluye ejemplos para ilustrar estos conceptos y presenta algunos teoremas sobre probabilidades.
1) El documento presenta conceptos básicos de probabilidad clásica como aplicaciones, permutaciones, combinaciones, axiomas y teoremas. 2) Explica cómo se calculan las probabilidades de eventos mutuamente excluyentes y provee ejemplos numéricos de cálculos de permutaciones y combinaciones. 3) Resume cinco teoremas fundamentales de probabilidad como la probabilidad del complemento de un evento y la probabilidad de la unión de dos eventos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre probabilidad. Explica qué es la probabilidad y define conceptos como experimento aleatorio, suceso elemental, espacio muestral y regla de Laplace para calcular probabilidades. También cubre relaciones entre sucesos como unión, intersección y sucesos independientes, así como propiedades de la probabilidad y diferencias entre probabilidad con y sin reposición.
Este documento describe conceptos básicos de probabilidad y estadística. Introduce las nociones de experiencias deterministas y aleatorias, espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos, frecuencia absoluta y relativa, propiedades y teoremas de probabilidad, ley de Laplace, probabilidad condicionada y sucesos independientes. Finalmente, explica las nociones de pruebas compuestas, experiencias independientes y dependientes.
Este documento presenta conceptos básicos de probabilidad. Define probabilidad y diferentes enfoques como clásico, frecuencial, subjetivo y axiomático. Explica conceptos como experimento aleatorio, espacio muestral, eventos y cómo calcular probabilidades usando reglas de suma y multiplicación. También cubre probabilidad condicional y total, y cómo dividir un espacio muestral en particiones mutuamente excluyentes.
Este documento explica conceptos relacionados con mezclas y aleaciones. Define mezcla como la reunión de dos o más ingredientes sin interacción química. Explica cómo calcular el precio medio de una mezcla y presenta la regla del aspa para determinar las proporciones de mezcla. También define aleación como la mezcla de metales mediante fundición, y conceptos como ley y kilates para cuantificar el contenido de metales en una aleación. Finalmente incluye ejercicios de aplicación sobre estos temas.
Este documento presenta varios problemas relacionados con la regla de mezcla y mezclas alcohólicas. Los problemas incluyen mezclar sustancias de diferentes precios y densidades para obtener una mezcla con un precio o densidad determinada. También involucran agregar diferentes volúmenes de alcohol y agua para lograr un grado alcohólico específico en la mezcla final.
Este documento presenta 34 problemas relacionados con la regla de mezcla y cálculos de densidades, volúmenes, pesos y concentraciones de sustancias al ser mezcladas. Los problemas involucran conceptos como mezclar diferentes tipos y cantidades de sustancias, determinar precios de venta para obtener ganancias, y calcular propiedades como densidad y concentración de las mezclas resultantes.
Este documento contiene 32 preguntas de aritmética sobre reglas de interés, tasas de interés compuestas y simples, capitalización continua y periódica, préstamos e inversiones. Las preguntas abarcan conceptos como capital inicial, intereses ganados, letras de pago, tasas nominales y efectivas, plazos fijos, entre otros.
Este documento contiene 32 preguntas de problemas de interés simple y compuesto. Las preguntas cubren temas como determinar tasas de interés, calcular montos finales dados capitales iniciales y tasas de interés, y comparar alternativas de inversión dadas diferentes tasas y periodos de capitalización.
El documento presenta 37 problemas relacionados con la regla de descuento y el cálculo de valores actuales, nominales y de descuentos de letras de cambio. Los problemas involucran el cálculo de tasas de descuento, fechas de vencimiento, valores pagados al momento de cancelación de deudas y la sustitución de varias letras por una sola.
El documento explica el concepto de interés compuesto y cómo el capital crece más rápido cuanto más frecuente es la capitalización de intereses. Define términos como capital, interés, tasa de interés, tiempo, monto e introduce los tipos de interés simple y compuesto. Proporciona fórmulas para calcular el interés en diferentes escenarios y varios ejercicios de aplicación.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones del libro "Probabilidad y Estadística Elementales para Estudiantes de Ciencias" de Ricardo A. Maronna. El libro introduce conceptos básicos de teoría de probabilidad y estadística para estudiantes de ciencias con conocimientos de álgebra y análisis. El libro explica los conceptos de una manera intuitiva con énfasis en la comprensión correcta de los problemas más que en fórmulas. Incluye ejemplos y ejercicios para practicar la aplicación de los concept
Este documento presenta un curso sobre probabilidad y estadística. Incluye secciones sobre nociones básicas de probabilidad, variables aleatorias, distribuciones de probabilidad, inferencia estadística, estimación e intervalos de confianza, pruebas de hipótesis y otros temas relacionados con la probabilidad y la estadística. El documento proporciona una introducción general a estos conceptos y métodos estadísticos.
Este documento presenta los conceptos básicos del cálculo de probabilidades. Introduce los conceptos de espacio muestral, sucesos, operaciones con sucesos, definiciones de probabilidad clásica y axiomática, diagramas de árbol, probabilidad condicionada e independencia de sucesos, y teoremas como el de la probabilidad total y Bayes. Explica las propiedades de la probabilidad y ofrece ejemplos ilustrativos de cada tema.
1. El documento presenta nueve ejercicios resueltos sobre probabilidades y variables aleatorias. Los ejercicios involucran conceptos como distribuciones binomial, Poisson, hipergeométrica y Bernoulli. Se calculan probabilidades para diferentes escenarios como líneas de ensamblaje, reservas de restaurantes y fallas de componentes electrónicos.
2. Se resuelven problemas de probabilidad con variables aleatorias discretas y continuas. Se determinan funciones de probabilidad y distribución para calcular la probabilidad de diferentes eventos.
3. Los ejercicios cubren
1. El documento presenta nueve ejercicios resueltos sobre probabilidades y variables aleatorias. Los ejercicios involucran conceptos como distribuciones binomial, Poisson, hipergeométrica y Bernoulli. Se calculan probabilidades para diferentes escenarios como líneas de ensamblaje, reservas de restaurantes y fallas de componentes electrónicos.
2. Se resuelven problemas de probabilidad con variables aleatorias discretas y continuas. Se determinan funciones de probabilidad y distribución para calcular la probabilidad de diferentes eventos.
3. Los ejercicios abar
La probabilidad de A.
II) La probabilidad de B sabiendo que ocurre A.
1) El documento presenta varios problemas de probabilidad y estadística con sus respectivas soluciones. 2) Incluye problemas que involucran cálculos de probabilidades con dados, fichas de estudiantes y bolas extraídas de una bolsa. 3) Los problemas se resuelven usando conceptos como espacio muestral, diagramas de árbol, fórmula de Bayes y teorema de probabilidades totales.
Este documento presenta una serie de problemas de probabilidad resueltos. Los problemas incluyen calcular la probabilidad de eventos al lanzar monedas, dados, extraer bolas de una urna y otros escenarios de azar. Se proporcionan detalles sobre cómo determinar los casos favorables y posibles para cada problema y llegar a una solución.
Este documento presenta 13 problemas de probabilidad con sus respectivas soluciones. Los problemas involucran calcular probabilidades de eventos como sacar determinadas cartas o bolas de una baraja/bolsa, estimar probabilidades basadas en porcentajes de poblaciones, y determinar si eventos son independientes o no. Las soluciones definen los eventos relevantes y aplican la fórmula de probabilidad total o la fórmula de probabilidad condicional según corresponda al problema.
Este documento presenta 139 ejercicios resueltos de probabilidad organizados en 7 capítulos. El primer capítulo cubre conceptos básicos de combinatoria. El segundo capítulo introduce los fundamentos de probabilidad y probabilidad condicional. Los capítulos siguientes tratan sobre variables aleatorias discretas y continuas, bidimensionales, convergencia, regresión y correlación. El objetivo es ayudar a estudiantes a practicar y comprender los conceptos de probabilidad de manera gradual a través de la resolución de ejercicios de diferentes niveles de dific
El documento presenta dos principios fundamentales de conteo: el principio de adición y el principio de multiplicación. El principio de adición establece que si un evento A puede ocurrir de n maneras y un evento B puede ocurrir de m maneras, entonces el número de maneras en que pueden ocurrir A o B es n + m. El principio de multiplicación establece que si un evento A puede ocurrir de n maneras y es seguido por un evento B que puede ocurrir de m maneras, entonces el número de maneras en que pueden ocurrir
Este documento presenta una introducción a la teoría de conjuntos, definiendo conceptos fundamentales como conjunto, pertenencia, cardinalidad, determinación de conjuntos, relaciones entre conjuntos, operaciones con conjuntos y propiedades de los conjuntos. Se describen los conjuntos numéricos y se proveen ejemplos para ilustrar los conceptos. Finalmente, se incluyen ejercicios propuestos relacionados con la teoría de conjuntos.
El documento introduce las magnitudes escalares, que son cantidades que pueden ser medidas o contadas numéricamente, como edades, volúmenes y dinero. Explica que una razón compara dos cantidades de una magnitud a través de sustracción y división, mientras que una proporción establece la igualdad entre dos razones de la misma especie. Finalmente, presenta algunos ejemplos y propiedades de razones y proporciones aritméticas y geométricas.
Este documento presenta información sobre la resolución de ecuaciones, incluyendo definiciones de ecuaciones y pasos para plantear y resolver ecuaciones. También incluye ejemplos de traducción de expresiones verbales a lenguaje simbólico y problemas resueltos como ejercicios de práctica.
José Luis Jiménez Rodríguez
Junio 2024.
“La pedagogía es la metodología de la educación. Constituye una problemática de medios y fines, y en esa problemática estudia las situaciones educativas, las selecciona y luego organiza y asegura su explotación situacional”. Louis Not. 1993.
1. TEMA 2. CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
2.1. Introducción
2.2. Conceptos básicos
2.2.1. Espacio muestral. Sucesos
2.2.2. Operaciones con sucesos
2.3. Concepto de Probabilidad. Propiedades
2.3.1. Definición clásica de la Probabilidad
2.3.2. Diagramas de árbol
2.3.3. Definición axiomática de la
Probabilidad
2.3.4. Propiedades de la Probabilidad
2.4. Probabilidad condicionada. Independencia de
Sucesos
2.4.1. Probabilidad condicionada
2.4.2. Independencia de sucesos
2.5. Teorema de la probabilidad total. Teorema de
Bayes
2.5.1. Teorema de la probabilidad total
2.5.2. Teorema de Bayes
55
2. TEMA 2. CÁLCULO DE
PROBABILIDADES
2.1 Introducción
La probabilidad refleja las expectativas de que un
suceso determinado ocurra
Fenómeno determinista: Se conoce con certeza el
resultado del experimento
Fenómeno aleatorio: No se puede predecir el
resultado del experimento
La probabilidad de un suceso es un número
comprendido entre 0 y 1 (ambos incluidos)
56
3. 2.2. Conceptos básicos
2.2.1. Espacio muestral. Sucesos
Suceso elemental: Cada uno de los posibles
resultados, que no se pueden descomponer en otros más
simples, de un experimento aleatorio
Espacio muestral, E: Conjunto de los sucesos
elementales
Suceso: Subconjunto del espacio muestral
Suceso seguro: Es el suceso formado por todos los
sucesos elementales
Suceso imposible, ∅ : Es el suceso que no contiene
ningún suceso elemental
57
4. 2.2.2. Operaciones con sucesos
a
b
c
d
f
e
A
g
B
A = {a, b, c, d} , B = {c, d, e, f, g}
Unión de sucesos
A
B: Todos los sucesos elementales de A ó B
A
B = {a, b, c, d, e, f, g}
A∪B
58
5. a
b
c
d
f
e
A
g
B
A = {a, b, c, d} , B = {c, d, e, f, g}
Intersección de sucesos
A
B: Sucesos elementales que
simultáneamente a A y a B
A
pertenecen
B = {c, d}
A∩B
59
6. Diferencia de sucesos
A – B: Sucesos elementales que pertenecen al suceso
A pero no al B
A = {a, b, c, d} ; B = {c, d, e, f, g}
A – B = {a, b}
a
c
d
b
f
e
g
A
B
♦ Ejemplo: Se están utilizando 7 árboles, numerados del 1
al 7, para un experimento.
Definir el Espacio muestral:
E
A
4
1
5
3
E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
2
7
B
6
Sean A y B los sucesos: A = {1,3, 5}, B = {2, 3, 7}
Obtener los sucesos: A
B, A
B, A – B
A
B = {1, 2, 3, 5, 7}; A
B = {3}; A – B = {1, 5}
60
7. Sucesos Complementarios
AC : Es el suceso formado por todos los sucesos de E
que no están en A
AC = E − A
E = {a, b, c, d, e}, A = {b, c}, AC = {a, d, e}
E
a
AC
A
b
d
c
e
♦ Ejemplo: A : “Tener el grupo sanguíneo O”
AC : “Tener el grupo sanguíneo A, B, ó AB”
EC =
o,
/
o C= E
/
61
8. Sucesos Incompatibles
Los sucesos A y B son incompatibles o mutuamente
excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente
A = {a, b}, B = {d, e}
E
a
b
A
d
c
e
B
♦ Ejemplo: A : “Ser un reptil”, B : “Ser un león”
62
9. Propiedades de la unión de sucesos
Asociativa: A
(B
C) = (A
Conmutativa: A
B=B
A
A
A=A, A
AC = E
B)
C
Propiedades de la intersección de sucesos
Asociativa: A
(B
C) = (A
Conmutativa: A
B=B
A
A
A=A, A
AC =
B)
C
63
10. Propiedades conjuntas de la unión e
intersección de sucesos
Distributiva: A
C)
A
C)
(B
C) = (A
B)
(A
(B
C) = (A
B)
(A
♦ Ejemplo
E
B
d
b
e
c
a
g
A
C
♦ A = {a, b, c},
A
(A
(B
B)
f
B = {b, c, d, e},
C) = {a, b, c}
(A
C = {c, e, f, g}
{b, c, d, e, f, g} = {b, c}
C) = {b, c}
{c} = {b, c}
64
11. 2.3. Concepto de Probabilidad. Propiedades
2. 3.1. Definición clásica de la probabilidad
Espacio muestral equiprobable: “Todos los sucesos
Espacio muestral equiprobable: “Todos los sucesos
elementales tienen igual probabilidad de ocurrir”
elementales tienen igual probabilidad de ocurrir”
En estas condiciones se define la probabilidad del suceso
A como:
P (A) =
Nº Casos Favorables al Suceso A
Nº Total de Casos Posibles
=
C F
C P
65
12. ♦ Ejemplo
En una pareja, cada uno de sus miembros posee genes
para ojos castaños y azules. Teniendo en cuenta que cada
uno tiene la misma probabilidad de aportar un gen para
ojos castaños que para ojos azules y que el gen para ojos
castaños es dominante, obtener la probabilidad de que un
hijo nacido de esta pareja tenga los ojos castaños.
Solución
Gen de la madre
Gen del padre
E = {C C, C A, A C, A A}
Casos favorables = {C C, C A, A C}
Casos posibles = {C C, C A, A C, A A}
P ( Ojos Castaños ) =
CF 3
=
CP 4
66
13. 2. 3.2. Diagramas de árbol
El diagrama de árbol es un método para obtener los
El diagrama de árbol es un método para obtener los
resultados posibles de un experimento cuando éste se
resultados posibles de un experimento cuando éste se
produce en unas pocas etapas.
produce en unas pocas etapas.
Cada paso del experimento se representa como una
Cada paso del experimento se representa como una
ramificación del árbol.
ramificación del árbol.
Trayectorias
A
A
B
A
B
B
A
AAA
B
AAB
A
B
ABA
ABB
A
BAA
B
BAB
A
BBA
B
BBB
67
14. ♦ Ejemplo
“Una mujer es portadora de hemofilia. Aunque la mujer
no tenga la enfermedad, puede transmitirla a sus 3 hijos.
Obtener las trayectorias para este experimento mediante un
diagrama de árbol”.
Primer
hijo
Segundo
hijo
Tercer
hijo
S
S
N
S
N
N
Trayectoria
S
SSS
N
SSN
S
N
SNS
SNN
S
NSS
N
NSN
S
NNS
N
NNN ♦
Suponiendo que es igualmente probable que se trasmita o no
la enfermedad.
Obtener las probabilidades de los siguientes sucesos:
1.- Ningún hijo tenga la enfermedad, (suceso A)
2.- Dos hijos tengan la enfermedad, (suceso B)
P( A ) =
CF 1
=
CP 8
P( B ) =
CF 3
=
CP 8
68
15. 2.3.3. Definición axiomática de la probabilidad
Álgebra de sucesos, β : “Es el conjunto de todos los
sucesos del Espacio Muestral”
Axiomas de la probabilidad
Consideremos una aplicación, P, del álgebra de
sucesos en el conjunto de los números reales.
P
β
∀A ∈ β ,
A
P
R
P(A) ∈R
Esta aplicación es una probabilidad si verifica los
tres axiomas siguientes:
Axioma 1
A ∈ β,
0 ≤ P(A)
Axioma 2
P(E)=1
Axioma 3
Sean A1, A2, ... ,An, sucesos mutuamente incompatibles,
Ai
Aj =
para i ≠ j. Entonces se verifica
P ( A1
A2
...
An ) =
P ( A1 ) + P ( A2 ) + ... +P ( An )
69
16. ♦ Ejemplo
Tres caballos, A, B, y C están siendo tratados con tres
métodos experimentales distintos para aumentar la
velocidad con la que pueden correr. Después del
tratamiento intervienen en una carrera. El caballo C tiene
doble probabilidad de ganar que B, y B doble que A.
Calcular las probabilidades de que gane cada uno.
Solución
E = { A, B, C }
P(A)=k
P ( B ) = 2k
Ax. 3
P ( C ) = 4k
Ax. 2
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) = P (E) = 1 =
= k + 2k + 4k = 7k =1 ⇒ k = 1 7
P ( A ) =1 7
P(B)=2 7
P(C)=4 7
70
17. Si suponemos que el espacio muestral es
equiprobable, la definición axiomática de la
probabilidad coincide con la definición clásica
En el ejemplo anterior, supongamos que los tres
caballos tienen la misma probabilidad de ganar
Solución:
E = { A, B, C }
P(A)=P(B)=P(C)=k
Ax. 3
Ax. 2
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) = P (E) = 1 =
= k + k + k = 3k = 1 ⇒ k = 1 3
P(A)=P(B)=P(C)= 1 3
71
18. 2.3.4. Propiedades de la probabilidad
♦ 1. ∀ A ∈ β ,
P ( AC ) = 1 - P ( A )
Ejemplo. Se sabe que la probabilidad de curar la
leucemia infantil es de 1/3. Por lo tanto, la probabilidad
de que no se cure la enfermedad será de 1 − 1 / 3 = 2 / 3
♦ 2.
P(
)=0
Ejemplo. Consideramos el experimento de lanzar un
dado. La probabilidad de obtener 9 en una cara es igual a
cero
♦ 3. Si A ⊂ B ⇒ P
( A ) ≤ P( B )
E
Β
Α
Ejemplo. En el experimento anterior, sea A el suceso
obtener un numero mayor que 4, y B obtener un número
mayor que 2
P(A) =
CF
CP
=
2
,
6
P (B) =
CF
CP
=
4
6
72
19. ♦ 4. P ( A – B ) = P ( A ) – P ( A ∩ B )
E
A–B
A∩B
Α
Β
Ejemplo. “En el experimento anterior, sea A el suceso
obtener un numero menor que 5 y B el suceso obtener un
numero par”
A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 4, 6}, A - B = {1, 3}, A
P (A− B ) = P (A)− P (A ∩ B ) =
♦ 5. P (A
B = {2, 4}
4 2 2
− =
6 6 6
B)=P(A)+P(B)–P(A
B)
E
A∪B
73
20. Ejemplo. En una población el 4% de las personas son
daltónicas, el 18% hipertensas y el 0.5% daltónicas e
hipertensas. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona
sea daltónica ó hipertensa?
Α = { Daltónico }, B = { Hipertenso }
P ( A) =
4
18
0.5
, P(B) =
, P(A ∩ B ) =
100
100
100
P (A
B) = P(A)+P(B)–P(A
4
18 0.5
+
−
= 0.215
100 100 100
=
♦ 6.- P ( A
B) =
B
C)=P(A)+P(B)+P(C)
–
–P(A
B) –P(A
+P(A
B
C)–P(B
C)+
C)
E
B
A∩B
A
A∩B∩C
B∩C
C
A∩C
74
21. Ejemplo. En un parque natural se detectan tres plagas. El
25% de los árboles tienen la enfermedad A, el 20% la B y el
30% la C. El 12% la A y la B, el 10% la A y la C, el 11% la
B y la C y el 5% tienen las tres enfermedades. Calcular las
probabilidades siguientes:
1. Un árbol tenga alguna de las enfermedades
2. Un árbol tenga la enfermedad A pero no la B
3. Un árbol tenga la enfermedad B y C pero no la A
P ( A ) = 0.25;
P ( B ) = 0.2;
P ( C ) = 0.3;
P(A
B ) = 0.12;
P(A
C ) = 0.1;
P(B
C ) = 0.11;
P(A
B
0.05;
1. P ( A
B
C)=
C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(A
B)
–P(A
C)–P(B
C)+P(A
B
C)=
= 0.25 + 0,2 + 0.3 – 0.12 – 0,1 – 0.11 + 0.05 = 0.47
B
E
A
A
B
C
C
75
22. P ( A ) = 0.25;
P ( B ) = 0.2;
P ( C ) = 0.3;
P(A
B ) = 0.12;
P(A
C ) = 0.1;
P(B
C ) = 0.11;
P(A
B
C)=
0.05;
2. Un árbol tenga la enfermedad A pero no la B
P ( A – B ) = P ( A ) – P ( A ∩ B ) = 0.25 – 0.12 = 0.13
B
E
(B∩C)–A
A–B
A
C
3.- Un árbol tenga la enfermedad B y C pero no la A
P((B
C)–A)=P(B
C)–P(A
= 0.11 – 0.05 = 0.06
B
C)=
76
23. 2.4. Probabilidad condicionada.
Independencia de Sucesos
2.4.1. Probabilidad condicionada
“Probabilidad de que ocurra el suceso A, condicionado
a que el suceso B haya ocurrido ya”
Sean dos sucesos A y B ∈ β, con P ( B ) > 0
P (A / B)=
Si P ( A ) > 0
P ( B / A) =
P ( A∩ B )
P (B)
P ( A∩ B )
P ( A)
( A / B )C = ( AC / B ) ⇒ P ( AC / B ) = 1 – P ( A / B )
P(A
B ) = P (A ) P ( B / A) = P ( B ) P (A / B )
P ( A1
A2
A3 ) =
P ( A1 ) P ( A2 / A1 ) P (A3 / A1
A2 )
77
24. Ejemplo. Una familia tiene tres hijos. Construir un
diagrama de árbol y calcular las siguientes probabilidades:
1. El primer hijo sea niña, A, (♦)
2. Exactamente dos sean niñas, B, ( )
3. Se cumplan ambas condiciones
4. Exactamente dos sean niñas, si el primero es niña
1º
hijo
2º
hijo
3º
hijo
Trayectoria
M
H
M
H
H
P ( A ) = 4 / 8,
P ( B ) = 3 / 8,
MMM
♦
H
♦
M
MMH
MHM
H
MHH
♦
M
HMM
H
HMH
M
HHM
H
M
M
HHH
P(A
♦
B)=2/8
P ( A ∩ B ) 28
1
=
=
P (B / A) =
P ( A)
2
4
8
78
25. 2.4.2. Independencia de sucesos
El suceso A es independiente del suceso B si y sólo si
se verifica:
P(A/B) = P(A)
Si P ( A / B ) ≠ P ( A ) el suceso A es dependiente de B
La independencia es una propiedad recíproca
El suceso A es independiente del suceso B
El suceso B es independiente del suceso A
Dos sucesos son independientes sii
P(A
B)=P(A)P(B)
Si los sucesos A y B son independientes, se verifica:
Los sucesos A y BC son independientes
Los sucesos AC y B son independientes
Los sucesos A C y BC son independientes
Decimos que n sucesos son independientes si se verifica:
P ( A1
A2
...
An ) = P ( A1 ) P ( A2 )...P ( An )
79
26. Ejemplo. Se analizan muestras de agua para detectar
plomo y mercurio. El 38% de las muestras presentan niveles
tóxicos de plomo o mercurio, el 32% de plomo y el 10% de
ambos metales.
a. ¿Son independientes los sucesos: “Nivel tóxico de
plomo” y “Nivél tóxico de mercurio”
b. Calcular las probabilidades de que una muestra tenga:
1. Niveles tóxicos de mercurio si tiene niveles tóxicos de
plomo
2. Niveles tóxicos solamente de plomo
A : ”Nivel tóxico plomo”, B: “Nivel tóxico mercurio”
P(A
B ) = 0.38; P ( A ) = 0.32; P ( A
A
A–B
A∩B
B–A
B
A∪B
a.
P (A
B ) = 0.10
B) = P(A)+P(B)–P(A
P ( B ) = P (A
B)– P(A)+ P(A
= 0.38 – 0.32 + 0.10 = 0.16
B) ⇒
B)=
P ( A ) P ( B ) = 0.32 x 0.16 = 0.051 ≠ 0.10 = P ( A
B)
⇒ Los sucesos A y B no son independientes
b 1.
P ( B / A ) = P ( A ∩ B ) / P ( A ) = 0.10 / 0.32 = 0.3125
b 2.
P(A–B)=P(A)–P(A
0.22
B ) = 0.32 – 0.10 =
80
27. Ejemplo. “Se están estudiando tres mutaciones no
relacionadas, A, B y C, en un grupo de monos. La
probabilidad de tener la mutación A es 0.13, la B es 0.11 y la
C es 0.14. Calcular las probabilidades:
1. Un mono no tenga ninguna de las mutaciones
2. Un mono tenga alguna de las mutaciones
3. Un mono tenga la mutación A y C, pero no la B
P ( A ) = 0.13; P ( B ) = 0.11; P ( C ) = 0.14
Los sucesos A, B y C son independientes
1.
2.
CC ) = P ( AC ) P ( BC ) P ( CC ) =
P ( AC BC
= (1 – P ( A )) (1 – P ( B )) (1 – P ( C )) =
= 0.87 x 0.89 x 0.86 = 0.665898
C)=P(A)+P(B)+P(C)–P(A
P(A B
B) – P ( A
C)–P(B
C)+P(A
B
C)=
= 0.13 + 0.11 + 0.14 – 0.13 x 0.11 – 0.13 x 0.14 –
0.11 x 0.14 + 0.13 x 0.11 x 0.14 = 0.334102
P(A
3.
B
P(A
BC
C ) = 1 – P ( AC
BC
CC ) = 1 − 0.66589
C ) = P ( A ) P ( BC ) P ( C ) =
= P ( A ) (1 – P ( B )) P ( C ) =
= 0.13 x 0.89 x 0.14 = 0.016198
81
28. 2.5. Teorema de la probabilidad total.
Teorema de Bayes
2.5.1. Teorema de la probabilidad total
Sean los sucesos A1, A2, ... ,An, que verifican:
Ai ∩ A j = θ si i ≠ j
A1 ∪ A2 ∪ .... ∪ An = E
〉
Los sucesos Ai, para i = 1, … , n son incompatibles dos a
dos y exhaustivos
Sea un suceso B, con P ( B ) > 0
Se conocen: P ( Ai ) y P ( B / Ai ), i = 1,..., n
An
An
B
A1
B
A2
B
A2
A1
En las condiciones anteriores, este teorema nos
proporciona la probabilidad total de que ocurra el suceso B:
n
P( B) = ∑ P(A i) P( B / A i)
i =1
82
29. 2.5.2. Teorema Bayes
Sean los sucesos A1, A2,...,An, que verifican:
Ai ∩ A j = θ si i ≠ j
A1 ∪ A2 ∪ ... ∪ An = E
〉
Los sucesos Ai, para i = 1, … ,n, son incompatibles dos a
dos y exhaustivos
Sea un suceso B, con P ( B ) > 0
Se conocen: P ( Ai ) y P ( B / Ai ), i = 1,..., n
El Teorema de Bayes nos expresa la probabilidad de
que ocurra un suceso determinado, Aj , condicionado a
que el suceso B ya ha ocurrido
(
)
( ) ( )
( ) ( )
P Aj ∩ B
P Aj P B / Aj
P Aj / B =
=
n
P( B)
∑i =1 P A i P B / A i
(
)
Las probabilidades P ( Aj ) se designan probabilidades a
“priori”, o probabilidades de las causas. Las
probabilidades P ( Aj / B ) se designan probabilidades a
“posteriori”, si el suceso B ya ha ocurrido, probabilidad
de que sea debido a la causa
83
30. Ejemplo. Una empresa farmacéutica tiene tres
delegaciones, Madrid, Barcelona y Granada. De un
determinado fármaco se produce el 45% en la delegación
de Madrid, el 30% en Barcelona, y el 25% en Granada. Del
total de los fármacos, son defectuosos el 5% de los
producidos en Madrid, el 3% en Barcelona y el 4% en
Granada. Calcular:
1. Probabilidad de que un fármaco sea defectuoso
2. Si un fármaco es defectuoso, ¿cuál es la probabilidad de
que haya sido producido por la delegación de Granada?
A1 : “Producido Madrid”, A2 : “Producido Barcelona”
A3 : “Producido Granada”, B : “Defectuoso”
P ( A1 ) = 0.45; P ( A2 ) = 0.30; P ( A3 ) = 0.25
P ( B / A1 ) = 0.05; P ( B / A2 ) = 0.03; P ( B / A3 ) = 0.04
A3
A3 ∩ B
A1
A1 ∩ B
A2 ∩ B
A2
1.
P ( B ) = P ( A1) P ( B / A1) + P( A2 ) P( B / A2 ) + P( A3 ) P( B / A3 )
= 0.45 × 0.05 + 0.30 × 0.03 + 0.25 × 0.04 = 0.0415
2.
P ( A3 / B ) =
P ( A3 ) P ( B / A3 )
P( B)
=
0.25 × 0.04
= 0.241
0.0415
84
31. Ejemplo. En una población el 51% de las personas son
mujeres, el 18% tienen la tensión alta y el 10% ambas
cosas. Obtener:
1. Probabilidad de que una persona tenga la tensión alta si
es mujer
2. Probabilidad de ser hombre si se tiene la tensión alta
3. Probabilidad de ser mujer si no se tiene la tensión alta
A : “Ser Mujer”, B : “Tener la tensión alta”
P ( A ) = 0.51; P ( B ) = 0.18; P ( A
B ) = 0.10
1.
P ( A ∩ B)
0.10
P ( B /A ) =
=
= 0.19
P (A)
0.51
2.
P A C / B = 1 – P ( A / B ) = 1 − 0.555 = 0.445
(
)
P ( A ∩ B ) 0.10
=
= 0.555
P ( B)
0.18
P ( A / B) =
3.
(
C
P A /B
(
P A ∩ BC
)=
(
P A ∩ BC
) = 0.4131 = 0.5037
0.82
( )
) = P ( A ) P ( B / A ) = P ( A ) (1–P ( B / A )) =
P BC
C
= 0.51 × ( 1– 0.19 ) = 0.4131
85