Este documento presenta el problema de maximización del gasto gubernamental a lo largo del tiempo. 1) Se obtiene una ecuación que define la evolución del consumo cuando el gasto gubernamental depende solo del producto. 2) Al considerar que el gasto depende también del producto acumulado, se obtiene un nuevo sistema de ecuaciones diferenciales que rige la evolución conjunta del consumo y el producto acumulado. 3) La tasa de crecimiento del consumo resultante es ahora mayor que la obtenida originalmente, dado que

1. Equipo T-Económica
Lomelí y Rumbos (2003) Métodos Dinámicos en Economía
Problema 12.19 Gasto Gubernamental
1
Sea la función de producción , = . El problema del planeador social
es:
max lim
⟶ 1 −
(1)
sujeto a:
1 − = + ′
a. Encontrar la ecuación que define la evolución del consumo
La función de Lagrange es:
ℒ , , , $
, % =
1 −
+ % $
+ − 1 − (2)
Sean las condiciones de primer orden (Principio del Máximo)
&ℒ
&
= + % = 0 (3)
&ℒ
&
= (
&ℒ
& ′
) ⟹ −% 1 − + 1 − = %′ (4)
&ℒ
&%
= $
+ − 1 − = 0 (5)
a partir de (3) obtenemos que:
% = ⟹ %$
= $
+ , (6)
remplazando (6) en (4) obtenemos la ecuación que define la evolución del con-
sumo:
- =
′
=
1
. 1 − + 1 − ( ) − ,/ (7)
b. Remplazar la restricción presupuestaria del gobierno = , .
Sea =
= ⟺ 1 − = 0
= 0 ∨ 1 − = 1 − ( ) = 0

2. Equipo T-Económica
Lomelí y Rumbos (2003) Métodos Dinámicos en Economía
Problema 12.19 Gasto Gubernamental
2
= = , (8)
y remplazando (8) en (7) se tiene:
- =
′
=
1
3 1 − + 1 − − ,4 (9)
c. Encontrar que maximiza -.
El problema planteado es el siguiente:
max
5
- =
1
3 1 − + 1 − − ,4 (10)
Para simplificar el álgebra haremos el siguiente cambio en la notación 6 =
,
entonces, las condiciones de primer orden son:
-$
=
1
1 − + 7− 8
+ 6 1 − 8
9 = 0
expresión que podemos reducir a:
8
(−1 + 6
1 −
) = 0
como 8
≠ 0 entonces:
−1 + 6
1 −
= 0
despejando tenemos:
∗
=
6
1 + 6
= +
d. Ahora = + + ′.
El nuevo problema a resolver es:
max lim
⟶ 1 −
(11)
sujeto a:
= + + ′
siendo la función de Lagrange:

3. Equipo T-Económica
Lomelí y Rumbos (2003) Métodos Dinámicos en Economía
Problema 12.19 Gasto Gubernamental
3
ℒ , , , $
, % =
1 −
+ % $
+ + −
y las condiciones de primer orden:
&ℒ
&
= + % = 0 (12)
&ℒ
&
= % 1 − + = 0 (13)
&ℒ
&
= (
&ℒ
& ′
) ⟹ −% 1 − + = %′ (14)
&ℒ
&%
= $
+ + − = 0 (15)
de (12) obtenemos
% = − ⟹ %$
= $
+ , (16)
remplazando (16) en (14) obtenemos la nueva evolución del consumo (17).
- =
′
=
1
. 1 − + ( ) − ,/ (17)
que junto con la ecuación (15) obtenemos el siguiente sistema diferencial:
′ = . 1 − + ( ) − ,/
(18)
$
= − −
e. Obtener como antes - ¿es ésta menor o mayor que la tasa obtenida anterior-
mente? Interpretar.
Por simple inspección, puede observarse que la expresión (17) es mayor que la
obtenida en (7) por la presencia del factor 1 −