El documento presenta el problema de un planeador social que busca maximizar el consumo a largo plazo sujeto a una restricción presupuestaria. Se resuelve el problema y se grafica el diagrama de fase, mostrando la relación positiva entre el consumo y la producción. Existen tres casos posibles para el estado estacionario dependiendo de si el ingreso esperado es mayor, igual o menor que los pagos por depreciación e impuestos. Finalmente, se discute cómo afectarían diferentes formas de financiamiento del gasto público a la trayectoria del consumo.

1. Equipo T-Económica
José de Gregorio (2007) Macroeconomía
Ejercicio 14.3
1
El problema del planeador social es:
max lim
⟶
− 1
1 −
(1)
sujeto a:
= + + ! + "
a. Interprete la restricción presupuestaria.
El lado derecho de la restricción puede ser interpretado como un ingreso espe-
rado. El lado izquierdo + + ! + " y recordando que # = + ! , no es más que los
usos de dicho ingreso esperado, esto es + # + en un contexto en el que = ".
b. Resolver el problema y graficar el diagrama de fase.
La función de Lagrange es:
ℒ , , , , & =
− 1
1 −
+ & + + ! + " − (2)
la condición de primer orden o Principio del Máximo1 es:
'ℒ
'
= + & = 0 (3)
'ℒ
'
= )
'ℒ
' ′
+ ⟹ &-! − . = &′ (4)
'ℒ
'&
= + + ! + " − = 0 (5)
de (3) se tiene:
& = − ⟹ & = / + (6)
de (6) en (4) y reduciendo, obtenemos la evolución del consumo:
0 =
′
=
1
− / − ! (7)
que junto con (5) forman el diagrama de fase del problema planteado:
′ = − / − ! (8)
1 Véase Galéev y Tijomírov (1991) Breve curso de la Teoría de Problemas Extremales, Editorial MIR.

2. Equipo T-Económica
José de Gregorio (2007) Macroeconomía
Ejercicio 14.3
2
= − − ! − "
Figura 1.- Diagrama de fase del Ejercicio 14.3
c. Del sistema (8) tenemos:
= 0 ⟹ = 0 ∨ − ! − / = 0
Γ , , !, / = 0
por el teorema de funciones implícitas, si Γ3 =
45
43
6 0 entonces existirá:
∗
= Γ8 , !, / (9)
En efecto, Γ3 = 9 0 por lo que existirá una función del tipo (9). Por el mismo
teorema de funciones implícitas2 tenemos lo siguiente:
' ∗
'
= −
Γ:
Γ3
= − ; 0 (10)
el resultado (10) establece sin ambigüedad que la relación entre ∗
y es positiva.
Ahora para = 0:
2 Lázaro (2012) Análisis Matemático, Tomo III. Editorial Moshera.

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José de Gregorio (2007) Macroeconomía
Ejercicio 14.3
3
= 0 ⟹ − − ! − " = 0 ⟺ = − ! − " (11)
por lo que el estado estacionario para , resultará de remplazar (9) en (11), resultando:
∗
= ∗
− ! ∗
− " (12)
recordemos que " por condición del problema, " está sujeto a un presupuesto equilibrado,
esto es: " = " con " = 1 o " = . Entonces, derivando (12) y aplicando la regla
de la cadena3, dado (9), tenemos:
' ∗
'
= ∗
+
' ∗
'
− ! − 1 (13)
Este resultado, a diferencia de (10) es ambiguo, es decir, no puede establecerse de manera
unívoca el signo del resultado. Reordenando (13) convenientemente, tenemos:
' ∗
'
= ∗
+ ∗
' ∗
'
− )!
' ∗
'
+ "′ + (14)
siendo:
∗
+ ∗
' ∗
'
(15)
la variación del ingreso esperado debido al cambio en , siendo adicionalmente:
!
' ∗
'
+ "′ (16)
la variación de la depreciación e impuestos respectivamente. A partir de la comparación
(15) y (16) pueden presentarse tres casos:
i.
4=∗
4:
; 0 ⟺ ∗
+ ∗ 43∗
4:
; !
43∗
4:
+ "
en el margen, el ingreso esperado es mayor al pago de depreciación e impuestos
(Figura 2).
3 Lázaro (1999) Cálculo diferencial, Editorial Moshera.

4. Equipo T-Económica
José de Gregorio (2007) Macroeconomía
Ejercicio 14.3
4
Figura 2.- Caso i.
ii.
4=∗
4:
9 0 ⟺ ∗
+ ∗ 43∗
4:
9 !
43∗
4:
+ "′
En este caso, el ingreso esperado no alcanza para reponer el capital utilizado (depre-
ciación) y el pago de impuestos (Figura 3).
Figura 3.- Caso ii.

5. Equipo T-Económica
José de Gregorio (2007) Macroeconomía
Ejercicio 14.3
5
iii.
4=∗
4:
= 0 ⟺ ∗
+ ∗ 43∗
4:
= !
43∗
4:
+ "′
Al igual que el caso anterior, el ingreso esperado compensa exactamente el pago de de-
preciación e impuestos (Figura 4).
Figura 4.- Caso iii.
d. Se considera los dos aspectos de la pregunta:
i. Se financia el aumento del gasto público con deuda, no debería cambiar la trayectoria
del consumo, pues si se financia con deuda, esta deuda deberá ser cancelada por au-
mentos futuros de los impuestos, esto es, opera la equivalencia ricardiana.
ii. Si el impuesto fuera a los ingresos -1 − ">. , este sí es distorsionante, pues al-
tera la estructura de la ecuación de evolución del consumo, alterando su trayectoria.