El documento demuestra que en el punto de corte de dos hipérbolas equiláteras, las curvas forman un ángulo de 90°. Esto se logra derivando las ecuaciones de las curvas y multiplicando los valores de sus derivadas en el punto de corte, lo que da como resultado -1, indicando que las pendientes de las rectas tangentes son perpendiculares.

1. PUNTO DE CORTE
DE DOS
HIPÉRBOLAS
EQUILÁTERAS
Demuestra que en el punto de corte,
las hipérbolas equiláteras x2 – y2 = a2
y x·y = b forman un ángulo de 90º

2. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE
f '=
df
= lim
f (x + h ) − f ( x ) LA DERIVADA
dx h →0 h f (x + h 1 ) − f ( x )
Y B tg α = 1
h1
1
f(x+h1) B2
f(x+h2) Si h → 0 vamos a hacerlo más
B3 pequeño
f(x+h3) f(x+h1)-f(x)
f(x+h2)-f(x)
f(x+h3)-f(x) tg α 2 =
( )
f x + h 2 −f (x )
α3 α2 α1
h2
A
f(x)
Si h → 0 vamos a hacerlo aún
más pequeño
f (x + h 3 ) − f ( x )
tg α 3 =
h3
h3 h2 h1 X
x x + h3 x + h2 x + hh
df
Si h → 0, el punto B se acerca infinitamente f '= = tg α = m
a A. La recta es TANGENTE dx

3. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE
df lim f (x + h ) − f ( x )
LA DERIVADA
f '= =
dx h →0 h
Y
A α
f(x)
f ( x + h ) − f ( x ) df
tg α = =
h dx
x X

4. Solo se representa
el primer cuadrante x −y = 2
2 2 2
xy =3
La función verde es α-β
simétrica con
respecto a los ejes
XeY
α
β
La función roja es
simétrica con
respecto al origen
de coordenadas

5. CONOCIMINENTOS PREVIOS
La pendiente de la recta tangente a una curva es igual al
valor de su derivada en ese punto
m = tg α
Tangente del ángulo diferencia tgα ⋅tgβ
tg ( α − β ) =
1 + tgα ⋅tgβ
Si el ángulo formado en el punto de corte de dos curvas debe
ser 90º
α − β = 90º ⇒ tg ( α − β ) = ∞
El denominador debe ser nulo
⇒ 1 + tgα ⋅tgβ = 0
1 1
tgα = − ⇒ f '( x ) = −
tgβ g '( x )

6. CONOCIMINENTOS PREVIOS
DERIVACIÓN DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
x y − 7x y = 3
3 2 2
No podemos despejar y, por tanto
derivaremos de forma implícita
Los productos se derivan como tales (f ⋅ g )'= f '⋅ g + f ⋅ g'
(x 3 ) 'y + x 3y '− [(7x 2 ) 'y 2 + 7x 2 ⋅ 2y ⋅ y '] = ( 3) '⇒
[
⇒ 3x 2y + x 3y '− 14xy 2 + 7 x 2 ⋅ 2y ⋅ y ' = 0 ]
Operamos, sacamos factor común y’, para después despejar
esa y’ en función de x e y
14xy 2 − 3x 2y 14y 2 − 3xy
y '= ⇒ y '= 2
x − 14x y
3 2
x − 14xy

7. HIPÉRBOLAS EQUILÁTERAS
x
x − y = a ⇒ 2x − 2y ⋅ y1' = 0 ⇒ y1' =
2 2 2
y
y
x y = b ⇒ 1 ⋅ y + x ⋅ y 2' = 0 ⇒ y 2' = −
x
En el punto de corte de ambas curvas los valores de x en
ambas coinciden y los valores de y también son iguales
Al multiplicar los valores de ambas derivadas da -1
x  y
⇒ y1'⋅y 2' = ⋅  −  = −1 ⇒ m 1⋅ m = −1
y  x
2
1 Las pendientes de las rectas tangentes
⇒m 1 =−
m 2 son perpendiculares