Problemariodecàlculodif.eint.completo (1)

Cálculo diferencial e integral

PROBLEMARIO DE CÁLCULO
24) 5  4 x  17  sol.
DIFERENCIAL E INTEGRAL
25) 0  x  1  5  sol.
26) 5  2x  7  sol.
1.1 DESIGUALDADES
Encuentra el conjunto solución para las siguientes 27) 4x  0  sol.
desigualdades: 28) x9 8  sol .
29) 7  2 x  3  sol.
1) x  3x  2  x  6  sol.  1, 2 30) 5  2  9 x  4  sol.
 17  2x  3
2) 5 x  6  11  sol.  ,   31) 2  sol .
 5  5
3) 3 x  2  5 x  8  sol.  5,   32) 3 x  5  10  sol.

 , 7 2 
5 4
4) 0  sol. 33) 0  sol .
7  2x x 9 2

2 x  14  11  34) 2  7 x  3 x  10  sol.
5) 1  2  sol.  4,  
3  2 35) x2 1  sol .
6) 2x  1  5  sol.  , 3   2,   36) 0  4 x  1  2  sol.
3  7x 37) 3  11x  41  sol.
7)  1  6  sol.  3,1

4 38) 2 x  9 x  7  0
2
 sol.
7  3x 5  3 2
8) 1  sol.  , 3 39)   sol.
2 3  x9 x2
9) 2  7 x  16  sol.  2,  
 40) 2x  1  0  sol.
 4  1 1  1
10) 12  5 x  3  7 
sol.   , 3  41) 1  x   1  x   sol.  ,  
 5  2 3  5

11) 25 x  8  7 
 1  3 
sol.  ,   ,   42) x2  1  0  sol.  1,1
 25   5  43) x  x  1 x  2   0  sol.  0,1  2, 
4 5 1  27 
12)   1  sol.  0,  44) x  2x  x  0
3 2
 sol. 0, )
x 9 x  4 
x 1  5
7
 1  sol.
45)   sol.  ,   5, 
13) x5 4  3
2x  3
1
 .  4   1 x  sol.  1, 0  1, 
 2 ,  
46)
14) 2 x 2  9 x  4  0  sol. x

x2  9
15) 3 x 2  5 x  2  0 
 1
sol.  2, 
47) 0  sol.  3, 1 3, 
x 1
 3
x3  x  2  x  3  0   0,2 
2
48) sol.
3x  2  2 7
0  sol.   , 
16)
2x  7  3 2 49) x 2
 x  2  x  6   0  sol.  ,  6   2,  
17) x 2  7 x  10  0  sol.  , 2   5,   50)
1

4
 0  sol , 1, 2   6,  
 3 x 1 x  6
18) 2 x 2  x  3  sol.  1, 
2x  6
 2 51) 0  sol.  ,1  3, 5 
x 1 x2  6x  5
19) 2  sol.  , 5   3,   3 5
x3 52) x2 
1
 sol.  , 
 1 2 2 2
20) 3 x  8  x  7  sol.  ,  
 2 1  5 3
53) 2x  1   sol.   ,  
21) x  3x  2  x  6  sol. 4  8 8
22) 1  2x  1  sol.  8
54) 5x  1  9  sol.  ,    2,  
x3  5
23) 1  sol.
2

Lic. Alberto Rodríguez M Página 1


55)
2x  8
0  sol. 14) f  x  7  x  1
x  8x  7
2
sol. Dom.  , 7  , Im.  1,  
3 5
56)  0  sol. 1
x2 x6 15) f  x 
2 x
57) 7 x  x  4   0  sol.
2

sol. Dom.  , 2  , Im.  0,  
x2
58) 0  sol . 1
x 4
2
16) f  x   sol.
4  x2
59) x  4x  4  0
2
 sol.
17) f  x  x 1 1  sol.
60) x  9 x  20  0
2
 sol.
x 1
18) f  x   sol.   0, 3, 3
x3  9 x
19) f  x  7  2x  sol.
1.2 DOMINIO E IMAGEN DE FUNCIONES.
20) f  x  x2  9  sol.
4x  7
Encuentra el dominio y la imagen de las siguientes 21) f  x =  sol.
funciones. 6 x  13 x  5
2

1) f  x   3x  5
1.3 GRÁFICA DE FUNCIONES.
sol. Dom  5 ,   , Im.  0,  
3
2) f  x  1  2x Bosqueje las gráficas de las siguientes funciones
sol. Dom,  , 1
2 , Im.  0,  
 encontrando el dominio e imagen.
2
3) f  x 
3 x 1) f  x   4  x2 2) f  x   x2  9
sol. Dom,  ,3  3,   Im.  2, 0   0, 2  1 1
3) f  x  4) f  x 
f  x  x2  x  1
2
4) x 9
2

sol. Dom. , Im.  3,   5) f  x 
1
6) f  x  1  x
2x  3
5) f  x  4  x 1
7) f  x  8) f  x   x3
sol. Dom. 0,16 , Im.  0, 2  2x  3
1 1 1
6) f  x  9) f  x  10) f  x 
 x  2 x4  x  4
2 2

sol. Dom.  , 2   2,   , Im.  0,   11) f  x   x 2  3x  4
1
7) f  x   2 x  3 x  1 x  2 x  1
4  x2 12) f  x   13) f  x   2
3  x x  1 x x  1
sol. Dom.  2, 2  , Im.  1 , 
2

x 1 1 x  1
8) f  x   sol. Dom. 1,  
x 1  x2 x0 
14) f  x   15) f  x   1 1  x  1
9) f  x  x  1 x  sol. Dom. 0,1 1  x x0 1 x 1

2
10) f  x   sol. x  2 n
1  cos x  x2 x  1
f  x   x  3x  2
2
 sol. x  2 x  0 
f  x   2 f  x    x3
11)
16) 17) x 1
1 x  1 x  0 2 x
12) f  x   sol.  , 3  3,    x 1
x3
13) f  x  1  x
sol. Dom.  ,1 , Im. 0,  



1.4 FUNCIÓN PAR E IMPAR 7) f  x   9  x2  f 1  x   9  x
x2
8) f  x   5x3  2  f 1  x   3
Verifique si las siguientes funciones son par o impar ò 5
ninguna de las dos. x 5
2
9) f  x   3x  5  f 1  x  
3
1) f  x   x3 Sol. 10) f  x  3
x 8  f 1  x    x  8 
3

2) f  x   x  x  1 Sol. Impar. 1
11) f  x  7x  5  f 1  x    x  5
3) f  x   x +1 2
Sol. 7
4) f  x   x  x  1
2
Sol. 12) f  x   x2  1  f 1  x   x 1

5) f  x  x 
1
Sol. 13) f  x  2x  4  f 1  x  
2
 x  4
1 2
x
6) f  x   3x  4 x
3
Sol. Impar. 14) f  x   x3  1  f 1  x   3 x  1

7) f  x   9  5x2 Sol. 15) f  x  5  4x 3
 f 1  x  
f  x   210 f 1  x  
x
8) f  x   2 x 2  3x  4 Sol. Ninguna 16) 

f  x  1  ex
x3  4 f  x  f 1  x  
3
9) Sol. Ninguna 17) 
1  ex
10) f  x   7 x4  x2  7 Sol.
18) f  x  x2  2x  f 1  x  
11) f  x   2 x5  4 x3 Sol.
19) f  x  2x  3  f 1  x  
12) f  x   2 x3  x 2 Sol.
f  x  ex f 1  x  
3
20) 
13) f  x  x  1 2
Sol.
21) f  x   ln  x  3  f 1  x  
x
14) f  x  2 Sol. 4x  1
x 1 22) f  x   f 1  x  
x 2x  3
15) f  x  Sol. ex
x 1 23) f  x   f 1  x  
16) f  x   1  3x 2  x 4 Sol. 1  2e x
1
x 2
24) f  x   f 1  x  
17) f  x  Sol. 3x  1
x4  1
25) f  x   4  x2  f 1  x  
Resuelva las siguientes ecuaciones para x
26) e x  16 Sol. x  4 ln 2
1.5 FUNCIONES INVERSAS. 27) 2 x 5
3 Sol. x  5  log 2 3
28) ln  2 x  1  1 Sol. x
29) ln  ln x   1
Halle una fórmula para la inversa de las siguientes
Sol. x
funciones.
1
30) ln x  1 Sol. x
e
1  3x 5x  1
f  x   f 1  x  
 
1) 1
5  2x 2x  3 31) ln x  ln  x  1  1 Sol. x  1  1  4e
2
x2  2
2) f  x   2  5x  f  x 
1
32) e3 x4  2 Sol. x  4 ln 2
5
3) f  x   ln  x  3  f 1  x   e x  3
2 2 1.6 OPERACIONES CON FUNCIONES
4) f  x  1   f 1  x   f
x2 1 x Encuentre f  g , f  g, f g,
de las
g
x3
5) f  x   4x  3  f 1  x   siguientes funciones, encuentre tambièn el dominio
4
de cada operaciòn.
1 1  5x
6) f  x   f 1  x  
2x  5 2x



1) f  x  x  1 g  x   x2  2 x  3 18) f  x   x2  3 g  x   x2  3
sol. f  g  x 2  3x  2 Dom   sol. f g  x4  6x2  6
f g  x  3x  x  3
3 2
Dom   g f  x2
x 1 f 
f  Dom   x / x  3,1 f
g x  2x  3
2

19) f  x  x g  x   cos x
2) f  x  x g  x  x2
sol. f g
sol. f g x  x2 Dom  2  x   g f 
f g x2  2x Dom  2  x   f f 
f x 20) f  x   2x2  5 g  x  4  7x
 Dom  2  x  
g x2 Sol. f g  98 x  112 x  37
2

1
3) f  x  x2  1 g  x  g f  14 x 2  31
4 x 2
f f 
1 1
4) f  x  g  x= 21) f  x   2x  1 g  x   x2  3
x 1 2x  1
5) f  x  x  1 g  x  5  x Sol. f g  2x2  7
x 1 x 1 g f  2x  4
6) f  x  g  x 
x2 x2 f f 
1 f  x   2x  5 g  x   x2
f  x   3x 2 g  x 
22)
7)
2x  3 Sol. f g  2x2  5
1 1
8) f  x  x  g  x  x  g f   2 x  5
2

x x
9) f  x   2x  x  5
3
g  x  x  x  2
2 f f 
1 x2
10) f  x   x3  3x g  x   3x 2  1 23) f  x  g  x 
x x
2 1
11) f  x  g  x  Sol. f g
x
x 12
x x2
2x f  1  2x
12) f  x   3x 2  4 g  x  g
5x  2 f f 
1 3x
13) f  x  g  x  1
 x  1 x  2  x 1 24) f  x  g  x   x3  2 x
x
1 2x 1
14) f  x  g  x  Sol. f g Dom.  x / x  0
x3 x3 x  2x 3

2x  1 x2 x  2 x3
15) f  x   g  x  g f  Dom.  x / x  0
x4 2x  1 x4
En las siguientes funciones encuentre su dominio y: f f 
f g, g f , f f x2 x
25) f  x  g  x 
16) f  x  2x  x 2
g  x   3x  2 2x  1 x2
2x  4  2
sol. f g  3  6x2  7 x  2 Dom.  ,   Sol. f g Dom.  x / x  2, 
3x  2  3
g f  6 x 2  3x  2 Dom.  ,     x  2  1
g f  Dom.  x / x  0,  
f f  8x  8x  x4 3
Dom.  ,   3x  2
17) f  x   senx g  x  1  x f f 

sol. f g  sen 1  x   Dom. 0,  
g f  1  senx
Dom.  x / x   2n ,   2n  con n  
f f  sen  senx  Dom.  ,  



x2 x
f  x  g  x 
1
26) 34) f  x   x2 g  x=
2x  1 x2 x2
2x  4  2 Sol. f g Dom.
Sol. f g Dom.  x / x  2, 
3x  2  3 g f  Dom.
  x  2  1 f f 
g f  Dom.  x / x  0,  
3x  2 1 x 1
35) f  x = g  x 
f f  x 1 x 1
x 1 Sol. f g Dom.
27) f  x  g  x 
1  x2 x g f  Dom.
Sol. f g  2
x
Dom.  f f 
x 1
36) f  x   x2  x g  x  1  x
x
g f  Dom.  Sol. f g Dom.
1  x2
f f  g f  Dom.
28) f  x   1  x2 g  x  2x  3 f f 

Sol. f g  4 x 2 -12 x - 8 Dom.  ,   37) f  x 
1
g  x   x2  4 x
x
g f  2 x 2 +5 Dom.  ,   Sol. f g Dom.
f f 
g f  Dom.
29) f  x   x3  4 g  x  3 x  4 f f 
Sol. f gx Dom.  38) f  x   senx g  x   x3
g f x Dom.  Sol. f g Dom.
30) f  x  3 x g  x  1  x f f 
1
Sol. f g  3 1 x Dom. 0,   39) f  x   x2  1 g  x 
x2  1
g f 1 6 x Dom. 0,   Sol. f g Dom.
31) f  x   x3 g  x  x 1 f f 

g   x  1 
3
Sol. f Dom.
1.7 LIMITES
g f  x +1
3
Dom. 
Evalúa los siguientes límites:
f f 
1
32) f  x   3x 2  2 g  x  1) lim  x 3  4 x  1  sol. 4
3x 2  2 x 1

Sol. f g
3
+2 Dom.  2) lim  3x  1  5t 2  2   sol. 14
x 1
 3x  2
2 2

x3  1
3) lim  sol. 3
1 x 1 x  1
g f  Dom. 
27 x  36 x 2  14
4
t3  1 3
4) lim 2  sol. 
f f  t 1 t  1 2
33) f  x  x g  x   x 2 +5  x  2   x5  1
3
1
5) lim  sol. 
g x2  5  ,   x  0
 
2
Sol. f Dom. x 4 8
g f  x5 Dom.  ,    x  3x  1 1 
2

f f  6) lim     sol. 3
x 0
 x x
2
x  x 2  16  128
7) lim    sol.
x 4 x5 x4  3



 x  h
2
 x2 2x  1 2
8) lim  sol. 2 x 31) lim  sol. 
x 
h 0 h 3x  1
2
3
1 1 1 1 2h  2 1
9) lim     sol.  32) lim  sol. 
h 0 h x  h
 x x2 h 0 h 2 2
10) lim
t 1
x 1 t  1
 sol.
1
2
33) lim
x 
 9 x 2  x  3x   sol.
1
6
1 1  ex 1
1 34) lim  sol. 
x  1  2e x
11) lim x  sol.  1 2
x 1 x  1
2t  2 2
35) lim  sol.
x2  x  6 x 0 t 4
12) lim  sol. 5
x 2 x2
x  x2
t2  9 6 36) lim  sol. 3
13) lim 2  sol. 1 x
x 1
t 3 2t  7t  3 5
1
37) lim  x  h   x3   sol.
3
4  h  16
2
h 0 h  
14) lim  sol. 8
h 0 h xh  x
x2 1 38) lim  sol.
15) lim 3  sol. h 0 h
x 2 x  8 12
x2  5x  4
9t 39) lim  sol.
16) lim  sol. 6 x 4 x 2  3 x  4
x 9
3 t
2  x 8
3

x2 40) lim  sol.
17) lim  sol. 0 x 0 x
x 2
x 4
2

x2  2x  1
x2 3 1 41) lim  sol .
18) lim  sol. x 1 x4  1
x 7 x7 6
1 1 
1
1 1 42) lim   2   sol.
19) lim 4 x  sol.  
t 0 t t t
x 4 4  x 6
3  h
1
 31
4 x 1 43) lim  sol.
20) lim  sol. h 0 h
x 16 16 x  x 2 128
 1 1 x2  9  5
21) lim     sol. 
1 44) lim  sol.
x 4 x4
t 0
 t 1 t t  2
x2
x 3 3 45) lim  sol.
22) lim  sol. x 
9x2  1
x 3 x3 6
1  x  x2 9 x6  x
23) lim  sol. 
1 46) lim  sol
x  2 x 2  7 2
x  x3  1
x 2  16 x3  2 x  3
24) lim  sol. 32 47) lim  sol .
x 4
x 2
x  5  2x2
x3  5 x x2  x  6
25) lim 3  sol.
1 48) lim  sol .
x  2 x  x 2  4 2
x 3 x2  9
4x4  5 x5  5
26) lim 2  sol. 2 49) lim  sol .
x 
 x  2  2 x 2  1 x 0 x
x5 3
x 2  3x 1 50) lim  sol .
27) lim  sol. x 4 x4
x  4 x 2  5 4
x2  5x  4
x2  x  2 51) lim 2  sol.
28) lim 2  sol.  3 x 4 x  2 x  8
x 1 x  3 x  2
2 x  2
 3x x 1  5 52) lim  sol.
29) lim     sol. x 0 x
x  x  2 2x  6 
 2
4x  1
30) lim  sol. 4
x 
x2  1



x 1  2 x9
53) lim  sol . 19) y
x 3 x3 4 x  3x  2
2

1 1 4
 20) y
3 x x  x  2
3
54) lim  sol .
x 0 x
2 x
21) y
x 2 1  x 
4 x
1.8 ASÍNTOTAS HORIZONTALES Y 22) y
x2  4
VERTICALES 2x  3
23) y 2
x  25
x3 x3  x 2  4 x
f  x 
1
1) Sol. x  2, x  5 24) y 3

x  3x  10
2
3 x 2  6 x  24
f  x 
x
Sol. y  1 x2  1
2) 25) y
x4  1
4
2 x  3x  2
2

x2  2 1  x4
3) f  x   2 Sol. x  2, x  1 26) y
x x2 x2  x4
t 1 2e x
4) f  t   2 Sol. no tiene 27) y
t 1 ex  5
x 2x2
5) f  x   2 Sol. x  2, x  1 28) y
x x2 x2  1
x 2  2 x  15 8  x3
6) f  x   3 Sol. no tiene 29) y
x  5x2  x  5 2x2
2x  1
7) f  x   Sol. y  2, x  2 30)
x4  4
y 3
x2 x 1
x3  x
8) f  x   2 Sol. x  5
x  6x  5
1
9) f  x   2 Sol. x  2, y  0 1.9 CONTINUIDAD DE FUNCIONES
x 4
1
10) f  x   3 Encuentra los intervalos de continuidad de las siguientes
x  x2  6x
Sol. x  3, x  0, x  2, y  0 funciones.

x 2  3x  2
11) f  x  1
x2  2x  3 1) f  x  Sol.  , 3   3,  
Sol. x  2, x  1, y  1 x3
1
x4 2) f  x  2 Sol.  ,  
12) f  x  Sol. x  4, y0 x 1
x 2  16
x2  4
x 3) f  x  Sol.  , 2   2,  
13) y y  1 x  4 x2
x4
x 1
x2 4) f  x  3 Sol.  ,1 1,  
14) y x  2 x 1
x2  4
3
x3  1 5) f  x  2 Sol.  , 0   0,1 1,  
15) y no tiene x x
x 1 x
2 x2  x  1 6) f  x  Sol.  2, 2 
16) y y2 x  2 x  1 4  x2
x2  x  2
x
x2  4 7) f  x  Sol.  , 3  3,  
y  x  3
3
17)
x2  1
x2
x3  1 8) f  x  Sol. x / x  2, 2
18) y x2  4
x3  x



x2 x 1 2
9) f  x  Sol.  x / x  2, 5 10) f  x  Sol. f  x 
x  3x  10 x 1  x  1
2 2

x 1
10) f  x  2 Sol.  x / x  2,1
x x2
Encuentre la pendiente y la recta tangente a la
1  x2
11) f  x  Sol. gráfica de la función en el punto dado.
4  x2
x2  x  1
12) f  x  Sol.
x2  1 f  x  3  2x
11) en -1, 5
2x  4
13) f  x  2 Sol . Sol. m  2 Recta es y  2 x  3
x  16
12) f  x  x  4
2
en 1, 3 
ln x
14) f  x  Sol . Sol. m  2 Recta es y  2 x  1
x2  6
2 ln  2 x  3 13) f  x   3x  x 2
en 0, 0 
15) f  x  Sol. Sol. m  3 Recta es y  3 x
x 2  3x
16) f  x  ln  2 x  5  +2 x Sol. 14) f  x 
3
x 1 en  2, 2 
2
1 1
17) f  x  + Sol. 3
x3 x Sol. m  Recta es 2y  3 x  2
2
2x  4 f  x   5  x2  2,1
18) f  x  Sol . 15) en
x2  4x  5
Sol. m  4 Recta es y  4 x  9
3x
19) f  x  Sol . f  x   x +1  2, 5
ln  x 2  4 
2
16) en
Sol. m  4 Recta es y  4 x  3
3x  5
20) f  x  2 Sol . 17) f  x  x 3
en  2,8
x  2x
Sol. m  8 Recta es y  8 x  8
18) f  x  x en 1,1
DERIVACIÓN Sol. m 
1
Recta es 2y  x  1
2
4
2.1 DEFINICIÓN DE DERIVADA 19) f  x  x  en  4, 5
x
Aplique la definición de derivada para encontrar 3
Sol. m  Recta es 4y  3 x  8
f  x 4

1) f  x  2x  1 Sol. f  x  2
2.2 RAZÓN DE CAMBIO
2) f  x   x 2 +5 Sol. f  x  2x Resuelve los siguientes problemas.
1 2
3) f  x  Sol. f  x  1) Una placa en forma de un triángulo equilátero se expande
2x  1  2 x  1
2
con el tiempo cada lado aumenta a razón constante de 2 cm/h
1
4) f  x   2x  1 Sol. f  x  . ¿Con que rapidez crece el área cuando cada lado mide 8
2x  1 cm?.
x 1
5) f  x  Sol. f  x 
1  2x 1  2 x 
2

6) f  x   2  3x Sol. f   x   3
7) f  x   3  2x2 Sol. f   x   4 x
1 1
8) f  x  Sol. f  x 
3 x 3  x 
2
2) Un bote navega hacia un acantilado vertical como se
1 1 muestra en la figura. ¿Cómo están relacionadas las razones de
9) f  x  Sol. f  x 
cambio de x, s,  ?.
x 1  x  1
3
2



9) Una bola de nieve esférica se funde de tal modo que su
3
volumen de reduce a una velocidad de 1 cm / min ¿con
que velocidad disminuye el diámetro cuando mide 10 cm?

10) Una escalera de 10 pies de longitud descansa en un
3) Un insecto va a lo largo de un grafica de y  x 2  4 x  1 ,
muro vertical si su extremo inferior se desliza alejándose de
en donde x, y se miden en cm, si la abscisa x, varia a razón la pared con una velocidad de 2 ft/s con que velocidad
constante de 3cm/min. ¿cuán rápido esta variando la cambia el ángulo formado entre la parte superior de la
ordenada en el punto (2,13). escalera y el muro cuando ese ángulo mide  radianes.
4
4) Una partícula se mueve sobre la grafica de y 2  x  1 , de

manera que dx  4 x  4 . ¿cuál es el valor de dy cuándo
dt dt
x 8 ? 2.3 REGLAS DE DIFERENCIACIÓN

5) Un tanque de aceite en forma de cilindro circular de radio Utiliza las reglas de derivación para encontrar la
igual a 8m se está llenando según una razón constante de 10 derivada de las siguientes funciones.
m 3 / m . ¿Con que rapidez sube el nivel del aceite?
3 dy   6 x  3
1) f  x  Sol. 
6) Una escalera de 15 pies se apoya sobre u muro de una x  x 1
2
dx  x 2  x  12
casa, el pie de la escalera se separa de la base del muro a
razón constante de 2 pie/min. ¿a qué razón se desliza la parte 3x dy 6 x 3  15
2) f  x  Sol. 
x  7x  5  x3  7 x  5
3 2
superior de la escalera por el muro cuando el pie de la misma dx
esta a 5 pies del muro?
5  4 x 2  x5 dy 2 x5  4 x 2  25
3) f  x  Sol. 
7) Un avión que vuela paralelo al nivel del suelo a una x3 dx x4
f  x    x 2  3x  4   3  x 2  3x  4   2 x  3
3 dy 2
velocidad constante de 600 mill/h, se aproxima a una 5)
estación de radar, si la altitud del avión es de 2 millas. ¿con dx
4 dy 3 3
f  x   1  1  x    12 1  1  x   1  x 
3 2
que rapidez decrece la distancia horizontal entre ellos es de 6)
  dx  
1.5 millas? Y
 x  1
6
 x 1
7
dy
7) f  x    Sol.  14
 x 1  x  1
8
dx

dy 2  x  1  x  2 x  2 
2
  1 1 
2

8) f  x    x  1    
  x  x3  2  x 
3
  dx
1  2x2
9) f  x   x 1  x2 Sol. f  x =
1  x2
x2  1 2x
10) f  x  Sol. f  x = 
8) el agua escapa por la parte inferior del depósito cónico x2  1
x  1
3
2 2
x2  1
que se muestra a continuación, a razón constante de
x 1 x2
1 pie 3 / min . ¿Con que rapidez varia el nivel del agua cuando 11) f  x  Sol. f  x = 
su altura. Sobre el fondo es de 6 pies? ¿a que razón cambia el x 2 x2 x  1
2x  1 23  24 x
radio del espejo de agua si 1
V  r 2 h . 12) f  x  Sol. f  x =
 3x  4   3x  4 
5 6
3
1 x  1 x
13) f  x 
3
x5
 7 x  10  1  x   7 x  10  1  x
Sol. f  x = 8
6x 3
1  x2



x2 6 x  22
14) f  y  y y y 33) f  x  Sol. f  x = 
 3x  4   3x  4 
3 4

 12
1
 2  1
  1  12 
  3  y9  3 y3  2
1  12
f  y =
1 1 3
y  y  y  1  y  y 1  y    1 
f  y   y  2  f  y =
2 2
2   34) Sol.
  2 2
 y  y7
senx x cos x  senx f  x   senx3 f   x  =3 x 2 cos x 3
15) f  x  Sol. f   x  = 35) Sol.
x x2
1
16) f  x   2 xsenx  3 x cos x
2 36) f  x  2x  1 Sol. f  x =
2x  1
Sol. f   x  =3 x 2 senx  4 x cos x  2 senx  1
3
 1
2
 1 
37) f  x   x   Sol. f   x  =3  x   1  2 
17) f  x   x 3 sen 2 2 x  x  x  x 
f   x  =3 x 2 sen 2 2 x  4 x 3 sen2 x cos 2 x  1
2
3x 4  3x 2  2 x  2
f  x   1    3x 2  1 2
Sol. 1
38) f  x 
18) f  x   x 2 cos  3 x 2  1  x x3 3x 2  1

f   x  =2 x cos  3 x 2  1  6 x 3 sen  3 x 2  1  2 x  1 2
1
x3
Sol. 39) f  x  Sol. f  x 
 3x  4  3  3x  4  3  2 x  1
1 4 1
2
cos 3 x
19) f  x  
sen5 x
3sen5 xsen3 x  5 cos 3 x cos 5 x f  x   x cos x f   x   cos x  xsenx
Sol. f   x  = 
40) Sol.
sen 2 5 x 41) f  x   senx cos x 2
Sol. f   x   cos3 x  2sen 2 x cos x
f  x  x  x - cos x 
3
20) 42) f  x   cox 2 xsen3 x
 x  cos x   6 x  x  cos x  1  senx  f   x   2sen 2 xsen3x  3x cos 2 x cos 3x
3 2
Sol.
Sol f  x =
2 x sen x cos x
43) f  x   sen 2 x Sol. f  x 
21) f  x   x 7 tan 5 x x
Sol. f   x  =7 x tan 5 x  5 x sec 5 x
6 7 2 44) f  x   xsenx 2 Sol. f   x   senx 2  2 x 2 cos x 2

22) f  x   sec  seny  45) f  x   cos  senx 2  f   x   2 x  sen  senx 2   cos x 2
 
Sol. f   y  = sec  seny  tan  seny   cos y
  46) f  x 
sec 5 x
tan 3 x
senx
23) f  x   Sol. f   x   5 cos 3 x sec 5 x tan 5 x  3csc 2 3x sec 5 x
sec x
Sol. f   x  = cos 2 x  sec 2 x  cos 2 x 47) f  x   1  cos 5 x Sol. f  x 
5 csc 2 5 x
2 1  cot 5 x
 x  1 3  x  1  x  1
3 2

f  x  f  x =
24) Sol.
 y  4  y  2  y  4 
2

f  y  f  y 
3 5
x 2 2x 2 48) Sol.
f   x  =2  9 x  x  1 y3  y  3
2
25) f  x   x  2 x  1 3x  2  Sol. 2

a  3x 2x2  1 1  4x2
26) f  x  a  x a - x Sol. f  x = 49) f  x  Sol. f  x 
2 ax x 2 1  x 2 
3
x 1  x2 2

27) f  t    t  1 t  t  1 Sol.
2 3 2
f   t  =5t 4  4t 3  3t 2  4t
asen2 x
t 1 3t 50) f  x   a cos 2 x Sol. f  x  
28) f  x  2 Sol. f  t  = cos 2 x
t  2t  1 1  t 
3

1 3
29) f  x  Sol. f  x =  2.4 DERIVADAS LOGARITMICAS Y
 x  1  t  1
3 6

EXPONENCIALES.
1 2
 2
4 x3  13 x 2  12 x
30) f  x  x x Sol. f  x =
 2 x  3
2
2 3 Utiliza las propiedades de logaritmos y exponenciales

x3 x 4 para encontrar la derivada de las siguientes funciones.
x x 1 12 x 2  6 x  3
31) f  x  + Sol. f  x =
x  1 3x  3x  3x 
2 2
dy 2
1) f  x   ln tan x Sol. 
x  4x  5
3
x  31x  10 x  36
4 2 dx sen2 x
32) f  x  Sol. f  x =
x2  9 x  9 1  senx
2
dy 1
f  x   ln
2
2) Sol. 
1  senx dx cos x



1 x dy 2 y  ln sen 2 x y   2 cot x
f  x   ln
25) Sol.
3) Sol. 
1 x dx 1  x 2 2x  1
26) y  ln  x 2  x  Sol. y 
1  x2 dy 4x x2  x
4) f  x   ln Sol. 
1  x2 dx 1  x 4 27) y  x ln x Sol. y   ln x  1
x 1  x
2
dy 2 1 x 1
5) f  x   ln Sol.  28) f  x   ln Sol. f  x 
x 1  x
2 dx 1  x2 1 x 1  x2
x2  2 x dy x2  2 x 29) f  x   e4 x 5 Sol. f   x   4e 4 x  5
6) f  x  7 Sol.  2  x  1 7 ln 7
f  x   e 1  x  f   x   e x 1  2 x  x 2 
dx x 2
30) Sol.
ex  1 dy 2e x
7) f  x  x Sol. 
e 1 dx  e x  12 ex 1
31) f  x   ln  f  x 
1  ex 1  ex
dy
8) f  x   e senx Sol.  e senx cos x 32) f  x   ecos x senx  f   x   ecos x  cos x  sen 2 x 
dx
9) f  x  xx Sol.
dy
 x x  ln x  1 33) f  x   e ln senx
x
 f   x   e x  cot x  ln senx 
dx
1 1  1  ln x 
dy 34) ye x
Sol. y  x x  
f  x  e xx
 e x 1  ln x  x x
x
10) Sol.  x 
2
dx
ln  x 1
35) y  x ln x Sol. y  x ln x 2
dy  senx  y   senx 
x
 y    senx 
x
 ln senx  x cot x 
11) y  x senx   x senx   ln x cos x  36)
dx  x 
 
y   senx 
tanx

dy
  senx 
tanx
1  sec 2 x ln senx   
12)   1 e x
e 2x
 1 
dx 37) y  tan g  y  
 2  1  ex 
dy cos 1  2 x x
1  ex 1  e  x 2
 cos  
13) y  sen 1  2 x
  2 ln 2 
 1 e
x


dx 2 1  2x
x  x 2  1 1 x  x  1  1
2
2 
 x  1  x  2  2x
3 3
38) y 3  y  3
   
14) y  x  1
2
3  x  12  x x 2  1 x  1 
 x  2
5 2

x 1  x 2  1  3x 2  2 x 4
dy  x  1  x  2   3
3 4
3
3
2  39) y Sol. y 
1  x 
3
Sol.      1  x2 2 2
dx  x  2  x  1 4  x  2  5  x  3 
5 2

1 x 1 1 2 x -1
1 40) y  ln + tan g -1
1  x  3 x  x 1 3
2 2
1 4 dy x 3
15) y  ln   tan -1 x Sol. 
1  x 
 2 dx 1  x 4 1
Sol. y   3
3x  1
2
dy x5  1 x 1
16) y  ln 1  x 2 Sol.  8
3x 3
dx x  x 4 1  x 2  x2 x 2
41) y  ln  2 tan -1
1 x 2  x 1 - x2
1 2
dy 2  x 2 x
17) f  x   xe x Sol.  e
dx 2 4 2
Sol. y 
1 x dy x  2 1  x4
18) f  x = x Sol.  x
e dx e 1  et te  t  e  t  1
42) f t   Sol. f  t  
f  x   sen  2e x 
dy t t2
19) Sol.  2e x cos 2e x
f  x   ee f   x   e x ee
x x
dx 43) Sol.
20) 
y  ln x x 2  1  Sol.
dy

2x2  1
dx x  x 2  1 44) f  x   cos  ln x  Sol.
sen ln x
f  x  
x
21) y  ln  2 x  1  x 2  4  
3 4

dy

22 x 2  8 x  24 45) y  x 2 ln  cos x   y   2 x ln  cos x   x tan 2 x
2


 
 dx  2 x  1  x 2  4 
4  t2 13t
2  ln x ln  ln x  46) f t   Sol. f  t  
22) f  x    ln x 
x

dy
 1  ln x 
x 9  t2 t 2
 4  t 2  9 
dx 2 x 2 ln x
1  x   3x  4 x  x 4 1  x 2 
3 1
2 2 2 2
dy  2 x3 
y   x  1  2 x ln  x 2  1   x 2  1
x2 x2
23) 2
  2 47) y  y 
dx  x  1
1  x  1  x 
4 3 5
 3 3

dy  2  ln x 
f  x   x  
x x
24)   x
dx 4 x



2.5 DERIVACIÓN IMPLICITA. 21) senx  2 cos 2 y  1 Sol.
dy

cos x
dx 4sen2 y
dy 3 y 2  5 x 4  4 x3 y
1) x2  y 2  1 Sol.
dy x
 
x 22) x 4  x  y   y 2  3x - y  Sol.  4
dx x  3 y 2  6 xy
dx y x2  1
dy
dy seny  ysenx 23) 4 cos xseny  1 Sol.  tan x tan y
2) xseny  ysenx  1 Sol.  dx
dx x cos y  senx
dy
dy x 24) x 4  x 2 y 2  y 4  48 Sol. 
3) x2  y 2  1 Sol.  dx
dx y
dy
 x  1 y2  x  1 
dy  3  2 xy  y 
2 25) Sol.
dx
4) x y  xy  3x
2 2
Sol. 
dx  x2  2 xy  26) x5  y 5  5 x 2 y 2 Sol.
dy

 
dx
dy 4 xy xy  y dy
5) xy  1  x 2 y Sol.  27) cos  x  y   senxseny Sol. 
dx 
x  2 x 2 xy  dx
dy
 e x 1  x   28) xy  e xy Sol . 
dy
6) cos  x  y   xe x Sol. 1  
dx
dx  sen  x  y  
  dy
29) x 2  2 xy  y 3  c Sol. 
dy  y  3x 
2 dx
7) x3  xy  y 2  4 Sol.  dy
2 y  x
2
dx 30) x 5  x 2 y 3  1  ye x Sol. 
dx
dy  6 xy  3 x  2 y 
2 2
dy
8) x3  3 x 2 y  2 xy 2  12 Sol.  31) x  y  xy  6 Sol . 
dx  4 xy  3x 2  dx
dy
dy  cos x  tan y  1 32) 1  x 2 y 2  2 xy Sol . 
9) senx  x 1  tan y  Sol.  dx
dx x sec 2 y
dy
dy 2 x  y 33) xseny  cos 2 y  cos y Sol. 
10) x 2  xy  y 2  4 Sol.  dx
dx 2 x  y dy
34) x 2 y  y 2 x  2 Sol . 
dy 2 xy 2  seny dx
11) x 2 y 2  xseny  4 Sol. 
dx 2 x 2 y  x cos y dy
35) 2 x 3  x 2 y  xy 3  2 Sol. 
y y  e y 
x dx
  dy
  
2 dy y 5  x 2 y 3  1  ye x
2

12) e x y  x  y Sol. 36) Sol.
dx x dx
y 2  xe y
1  x  sen  xy 2 
dy
dy e y senx  y cos xy 37) Sol . 
13) e y cos x = 1  senxy Sol.  dx
dx e y cos x  x cos xy dy
38) x  y  1  x2 y2 Sol. 
dy 3x 2  2 xy  y 2
x2  x - y   y 2  x  y 
dx
14) Sol. 
dx 3 y 2  2 xy  x 2 39) 2 x3  x 2 y  y 3  1 Sol.
dy

dy 3e y  2 x  2 dx
x y
15) 2 x  3e  e y
Sol. 
3  ex  e y  y 2  9  =  4 x 2  3x  1 Sol. dy 
4 2
dx 40)
dx
dy x  3x  2 y 
4  7 xy   y  4 
x3  x 2 y  4 y 2  6 
5 dy
16) Sol. 41) 2
Sol. 
dx x2  8 y dx
 2  dy
2 3 x  1  2 xy 1  xy   2 x 2  9 
3
y dy y
  2 x  y 
17)  x2  1   42) Sol.
  x2  2 
x y dx x dx
 
dy
18) 4 cos xseny  1 Sol.  tan x tan y
dx
2.6 DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR.
dy y
19) xy  cot  xy  Sol. 
dx x
dy 1  3 x y  d2y
2 3

20) x y -yx
3 3
Sol.  Encuentra en las siguientes funciones.
dx  3x3 y 2  1 dx 2



d2 y 18 d3 y 2
1) x 2  xy  y 2  3 Sol. = 5) f  x   x 2 ln x Sol. 
dx 2  x  2y dx3
3
x
3
d y
d2 y 9 f  x   sen3x   27 cos 3 x
f  x  = 3x  1
6) Sol.
2) Sol. = dx3
dx 2 4  3x  1
3 

 
 d3 y
7) f  x   senx cos x Sol.  4sen 2 x  4 cos 2 x
2
d y 2x dx3
x3  y 3  1 = 5
3) Sol.
dx 2 y
8) y
senx

d3 y

 6  x2  x cos x   3x 2  6  senx
x2 d2 y 2 x dx3 x4
4) f  x = Sol. =
1  2x 1  2 x  d3 y
2 3
dx 9) y  2 x5  3x3  4 x  1 Sol.  120x 2  18
dx3
5) 
y  ln x  1  x 2  Sol.
d2 y
=
x
y
2x  3 d3 y

594
1  x2  2
2 3
dx 10) Sol.
3x  1  3x  1
3 4
dx
d2 y 36
6) x 2  y 2  36 Sol. 2
= 3
dx y

7) y  x3 Sol.
d 2 y 3x
= APLICACIONES DE LA DERIVADA
dx 2 4 y

d 2 y 2  2 x  1  3 y 
 2 3

8) x x y 5
2 3
Sol. =
dx 2 9 y5 3.1 ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
d2 y y 2 seny  2 y cos y  2 xy
9) seny  xy Sol. = Escriba una ecuación de la recta tangente a la
dx 2  x  cos y 
3
gráfica de la función en el punto dado.
d2 y
f  x =  4x  7 =320  4 x  7 
5 3
10) Sol. 2
dx 1
d2 y 40 1) y en  2,1 Sol. x y 3
11) x  3 xy  y  4
2 2
Sol. = x 1
 2 y  3x  1, 5 
2 3
dx 2) y  x3  3x 2  4 x  5 en Sol. 5 x  y  3
d2 y
f  x   x4 ex   x 4  8 x 3  12 x 2  e x
3 4
12) Sol. 3) y 2  3 en  1, 7  Sol. 18 x  y  25
dx 2 x x
d2 y 3x 2
13) x 2 ln  2 x  Sol.  3  2 ln  2 x  4) y 2 en  1, 3 Sol. 3 x  y  0
dx 2 x  x 1
d2 y 16   2
14) x 2  y 2  16 Sol. = 3 5) y  sec 2 x en  , 2  Sol. y  2 3x  3  2
dx 2
y 3  3

15) x2 y 2  2x  3 Sol.
d2 y
=
6) y  x  cos x en  0,1 Sol. y  x 1
dx 2 3
d2 y
7) x 2  y 2  25 en 3, 4  Sol. y4   x  3
16) 1  xy  x  y Sol. = 4
dx 2 8) xy 2  x 2 y  2 en 1, 2  Sol. y  2
d2 y 9) 2e x  e y  3e x- y  0, 0  Sol. 4 y  5 x
17) y2  4x Sol. = en
dx 2
10) x  xy  y  3
2 2
en 1,1 Sol. y  x  2
d3 y
x2  y 2   2 x2  2 y 2  x  1, 5 
2
Encuentra en las siguientes funciones. 11) en
dx 3
d3 y 1
1) y  2 x 4  3 x 3  6 x  17 Sol.  48 x  18 Sol. y  x
2
dx3
x  y 2   50 xy 1,1
2
2 d3 y 12) 2
en Sol. 11 y  2 x  40
f  x =   384  2 x  1
5
2) Sol.
 2 x -1  
2 3
dx 13) y  ln xe x2
en 1,1 Sol. y  3x  2
3
d y
  8 3 x  2 
5
3) y  x2  x  1 Sol. 3
1 1 
-1
dx3 14) y  2  en  2, 4  Sol.
x x 
x d3 y
f  x   6  x  1
4
4) Sol. 3x  2  1
x 1 dx3 15) y en  2,  Sol.
3x  2  2



16) y
6
en  2, 2  Sol. d) y   x  3 x - 5  sol. 1,16 
1  x2
e) y  70 x  x 2
sol. 35,1225 
17) y  3x 2  4 en 1, 1 Sol.
38) Encuentra la ecuaciòn de la recta tangente a la
18) y  e x cos x en  0,1 Sol. gràfica de f y paralela a la recta dada.
19) y 
1
en  0,1 Sol. a) f  x   x3 si 3 x  y  1  0 Sol.
senx  cos x
b) f  x   x  2 si 3x  y  4  0 Sol.
3
20) x 2 y  x  2  2,1 Sol. 3 x  4 y  10
en
1
21) 12  x 2  y 2   25 xy en  3, 4  Sol. 4 x  3 y c) f  x  si x  2y  6  0 Sol.
x
22) xy  4 en  4, 1 Sol. 1
d) f  x  si x  2y  7  0 Sol.
x2  4 x 1
23) y  2
2
en  2, 0  Sol.
x 4
24) x 2  2 xy  y 2  x  2 en 1, 2  Sol.
1 1 3.2 MÁXIMOS Y MÍNIMOS
25) + 1 en 1,1 Sol.
x 1 y 1
26) x 2  xy  y 2  7 en  3, 2  Sol. a) Encuentre los puntos críticos, b) Determine los
intervalos en donde las funciones son crecientes y
27) x 2  xy  y 2  19 en 3, 2  Sol.
decrecientes c) Encuentre los extremos relativos.
28) x y 0
2 3
en 1,1 Sol.
 x  y x y  1,1 f  x   2 x 2  4 x  3
3
x 1
3 3
29) en Sol. 1) P.c
30) x  y  4x  1
3 3
en  2,1 Sol. Crec.  ,1 Dec. 1,  
31) xy  16  0 en  2,8  Sol. Max. R. 1, 5 
32) 2 x  x y  y  1  0 en
3 2 3
 2, 3 Sol. 2) f  x   x 2  3  x  P.c x  0, 2
33) Encuentre los puntos sobre la curva Crec.  0, 2  Min. R.  0, 0 
y  2 x  3 x  12 x  1 donde la tangente es horizontal.
3 2
Dec.  , 0  ,  2,   Max. R.  2, 4 
Sol.  2, 21 , 1, 6  x5  5 x
3) f  x  P.c x  1
34) Hallar una ecuaciòn de ambas lìneas que son 5
tangentes a la curva y  1  x 3 y paralela a la lìnea Dec.  1,1 Min. R. 1,  4 5 
12 x  y  1
Sol. y  12 x  15, y  12 x  17
Cre.  , 1 , 1,   Max. R.  1, 4 5 
1
35) Halle las ecuaciones de las rectas tangente y 4) f  x  x  P.c x  1
x
normal a la curva dada en el punto indicado.
Crec.  , 1 , 1,   Min. R. 1, 2 
y  2 xe x en  0, 0 
1
Dec.  1, 0  ,  0,1 Max. R.  1, 2 
Sol. y  2x x y x  2x  1
2
2 5) f  x  P.c x  3
36) Encuentre una ecuaciòn a la recta tangente a la curva x 1
Crec.  , 3 , 1,   1, 0 
 
1 Min. R.
y enel punto 1, 1
1  x2 2 Dec.  3, 1 ,  1,1 Max. R.  3, 8 
1  5
Sol. yx 1 6) f  x   senx  cos x P.c x ,
2 4 4
37) Encuentre todos los puntos de la curva donde la     5   5 
Crec.  0,  ,  , 2  Min. R.  ,  2 
recta tangente es horizontal.  4  4   4 
a) y  10  x 2 sol .  0,10   5    
Dec.  ,  Max. R.  , 2 
b) y  x  2x  1
2
sol. 1, 0  4 4  4 
 x
2 7) f  x   3 x  6 x  5
2
P.c x 
c) y  x  sol .  50, 25  ,1 , 1,   1, 2 
 10  Dec. Min. R.



8) f  x   x3  6 x 2  9 x P.c x 18) f  x   2 x3  3x 2  12 x P.c x  2,1
Crec.  , 1 ,  3,   Min. R.  3, 0  Crec.  , 2 1,   Min. R. 1, 7 
Dec. 1, 3 ,  1,1 Max. R. 1, 4  Dec.  2,1 Max.R.  2, 20 
9) f  x    x  1  x  2  f  x  x
1
x
2 2
P.c 19) 3
1 P.c x0
 1
Crec.  2,   , 1,   Min. R.  2, 0  , 1, 0  Crec.  ,   2,  
 2
f  x    x  1
2
20) 3
P.c x 1
 1   1 81 
Dec.  , 2  ,   ,1 Max. R.   ,  Crec. 1,   2,   Min. R. 1, 0 
 2   2 16 
10) f  x   3x5  5 x 3 P.c x  Dec.  ,1
Crec.  , 1 , 1,   Min. R. 1, 2  21) f  x 
x2
P.c x0
x2  9
Dec.  1,1 Max. R.  1, 2 
Crec.  , 3 3, 0 
Dec.  0,3 3,   Max.R.  0, 0 
11) f  x   2 x 2  3x  9 P.c x
22) f  x   x  12 x
3
P.c x 
3   3 81 
Crec.  ,   Min. R.  ,   Crec.  , 2  2,   Min.  2, 16 
4  4 8
 3 Dec.  2, 2  Max.R.  2,16 
Dec.  , 
 4 23) f  x   3 x  x x P.c x 
12) f  x   3x 5  20 x 3 P.c x Crec.  0,1 Min.  0, 0 
Crec.  , 2  2,   Min. R.  2, 64  Dec. 1,   Max.R. 1, 2 
Dec.  2, 2  Max.R.  2, 64  24) f  x   x  8 x  7
4 2
P.c x 
f  x  x 4  x Crec.  , 2  0, 2  Min.  2, 9  ,  2, 9 
1
13) 3
P.c x 
Crec.  , 0  0,1 Dec.  2, 0  ,  2,   Max.R.  0, 7 
Dec. 1,   Max.R. 1, 3  25) f  x   2 x  x  12 x P.c x 
3 2

14) f  x   3x  4 x  12 x  8
4 3 2
Crec.  , 2 1,   Min. 1, 7 
Crec.  1, 0  2,   Min.  1, 3  ,  2, 24  Dec.  2,1 Max.R.  2, 20 
Dec.  , 1 ,  0, 2  Max.R.  0,8  f  x   x  x  1
2
26) 3
P.c x
15) f  x   2 x  3x  12 x  3
 , 3 5  1,  
3 2
Crec. Min. 1, 0 
Crec. x  1, x  2 Min. R.  2, 17 
Dec.  1, 2  Max.L.  1,10 
Dec.   3 5 ,1 Max.R. x3
5
16) f  x   3x  4 x  12 x  1
4 3 2 27) f  x   8x  x4 8
P.c x

Crec.  1, 0  , x  2 Min.  1, 6  ,  2, 33  Crec.  ,  2  0, 2  Min.  0, 0 
Dec. x  1,  0, 2  Max.R.  0, 1 Dec.   2, 0  ,  2,   Max.R.  2,16 , 2,16 
1

P.I .  1  7 ,
3
1
27
  
311 80 7 

 28) f  x   6  8x2  x4 P.c x
Crec. x  2,  0, 2  Min.  0, 6 
f  x   x3  x -1
4
17)
Dec.  2, 0  , x  2 Max.R.  2, 22  ,  2,22 
3
Crec. x  , x  1 Min. 1, 0   2 134 
7 P.I .   3, 
 3 6912   3 9 
Dec. de la otra forma Max.R.  , 
 7 823543 
1
P.I .  0, 0  , y cuando x  3  2
7
 



3.3 CONCAVIDAD.  1 7 
11) f  x   3x5  5 x3  3 P.i.  0, 3 ,   ,3 2
 2 8 
Encuentre los puntos de inflexión, indique los intervalos Dec.  1,1 Cre.  , 1 , 1,  
en donde la función es creciente y decreciente, encuentre  1   1   1   1 
los puntos máximos y mínimos, y bosqueje la grafica. Car.   ,0, ,   Cab.  ,   ,  0, 
 2   2   2  2
Encuentre los intervalos de concavidad.
Min.L 1,1 Max.L  1, 5 
f  x   x x2  1  0,0 
 0,0  , 
2 16  12) P.i.
1) f  x   3x 4  4 x 3 P.i.  , 
 3 27  Cre.  ,   Cab.  , 0  Car.  0,  
Dec. x  1 Cre. x  1 1 x 2
13) f  x  P.i. Min.L  0,1
2  2 1  x2
Car. x  0, x Cab.  0, 
3  3 Dec.  , 1 ,  1, 0  Cre.  0,1 , 1,  
Min. 1, 1 Car.  1,1 Cab.  , 1 , 1,  
2) f  x   x 3  6 x 2 +12 x P.i.  2,8  14) f  x   ln 1  ln x  P.i. 1,0 
Car.  2,   Cab.  , 2  Dec.  0, e  Car.  0,1 Cab. 1, e 
1 4  3 20   1
f  x  x  2x2  2 ,   1 1
3)
4
P.i.  3 9  15) f  x  e x 1 P.i.  , 2 
   2 e 
 3  3   3 3 Cre.  , 1 ,  1,  
Car.  , 2
 ,2 ,   Cab.  2 ,2 
3   3   3 
 , 1 ,  1, 
     3  1  1 
Car.   Cab.   ,  
4) f  x   x  x  4
3
P.i.  2,  16  ,  4,0   2  2 
 1
Car.  , 2  ,  4,   Cab.  2, 4  16) P.i.  2, 2e 2  Min.L  1,  
f  x   xe x
 e
 3  3
Dec.  , 1 Cre.  1,  
x
5) f  x  P.i.   3, 
  ,  0,0  ,  3, 
x 1
2
 4 


 4 
 Car.  2,   Cab.  , 2 
Car.   3, 0 ,  3,   Cab.  ,  3 , 0, 3   2 16 
17) f  x   3x 4  4 x3 P.i.  0,0  ,  , 
6) f  x 
24
P.i.  3 27 
x 2  12 Dec. x  1 Cre. x  1 Min.L 1, 1
Car.  , 2  ,  2,   Cab.  2, 2  2  2
Car. x  0, x Cab.  0, 
x2  1  3
7) f  x   2 P.i. 3
x 1 2x2
Car.  , 1 , 1,   f  x  P.i.  -6.1,1.8 
Cab.  1,1 18)
x2  x  2
8) f  x   3x  x 2 3
P.i. Dec.  , 4  ,  0, 2  ,  2,   Cre.  4, 1 ,  1, 0 
Car.  ,1 Cab. 1,    16 
Max..L  4, 
 1 13   9
f  x   2 x 3  3x 2  12 x  ,  f  x   x2  4x  3  2,1
9) P.i.
2 2 19) Min.
Dec.  1, 2  Cre.  , 1 ,  2,   20) f  x   x  3x  1
3

1 
Car.  ,  
 1
Cab.  , 
Max.  1, 3 , Min. 1, 1 , P.i.  0,1
2   2 21) f  x   xe  x
Min.L  2, 20  Max.L  1, 7 
Max. 1, e  ,
1
P.i.  2, 2e  2

10) f  x  x  6x 4 2
P.i.  1,  5  22) f  x   xe  x
Dec.  ,  3  ,  0, 3  Cre.  3, 0 ,  3,   Max. 1, e  ,
1
P.i.  2, 2e  2

Car.  , 1 , 1,   Cab.  1,1
Min.L  
3, 9 ,  3, 9  Max.L  0, 0 



f  x  x x  3
23) f  x   x 2  x  1
2 1
 1 
P.i.  3  3 , 
6 36 
 33) P.i.
Min.  2, 2  Cre.  2,   Dec.  3, 2 
1 1 
Max.  ,  , Min.  0, 0  , 1, 0  Car.  3,  
 2 16 
f  x  x  x  4 P.i.  0, 0 
1
24) f  x   10  x  1 e 2 x
3
34)

3  Min.  1, 3 Cre.  1,   Dec.  , 1
Max.  , 5e 3  ,
2 
P.i.  2,10e  4
Car.  , 0  ,  2,   Cab.  0, 2 
f  x    x 2  2 x  1 e  x 1, 2e 5, 14e 
1 5
  5   5 5 
f  x   2 cos   cos 2 
25) P.i.
35) P.i.  ,  ,  , 
Max. 2  3, 0.1308 ,  Min. 2  3, 1.1199 ,  Min.  , 1 Cre.  , 2 
 3 4  3 4
Dec.  0,  
2
26) f  x   x3  2 x 2  x  1 P.i. x    5      5 
3 Car.  ,  Cab.  0,  ,  , 2 
3 3   3  3 
 1 31 
Max.  ,  Min.L 1,1
 3 27 
Analiza y dibuja la grafica indicando extremos relativos,
2   2
Car.  ,   Cab.  ,  y puntos de inflexión
3   3
2
27) f  x   3x 4  4 x3  6 P.i. x 
,x0
3
2   2
Min.L 1, 5  Car.  , 0  ,  ,   Cab.  0, 
a) y
x2
b) y
1
3
3   3 x 32
x2
f  x   2 x6  6 x4 P.i. x  
6 x2  1 x 2  6 x  12
28) c) y d) y
5 x x4
Max.  0, 0  Min.L  2, 8 ,  2, 8  e) y  x 4x f) f  x  x 9  x2
 6  6   6 6 g) y  3x
2
3
 2x h) f  x   x3  3x 2  3
Car.  , 
 , ,, Cab.  
 5 , 5 
 5   5
 

 

 i) f  x   2  x  x3 j) f  x   3x 4  4 x3
29) f  x    x 2  1
2 1
P.i. x   k) y  x5  5 x l) y
2x
3 x2  1
Max.  0,1 Min.L  1, 0  , 1, 0  4
m) f  x  x 
 1   1   1 1  x2  1
Car.  ,  , , Cab.   , 
 3  3   3 3
 1 13 
30) f  x   2 x3  3x 2  12 x P.i.  ,   3.4 PROBLEMAS DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
2 2
Max.  1, 7  Min.L  2, 20  Cre.  , 1 ,  2,  
1   1 1) Encuentre dos números reales positivos x ,y tales
Car.  ,   Cab.  ,  Dec.  1, 2  que su suma sea 50 y su producto tan grande como sea
2   2
posible. Sol. 25 y 25.
 1 23 
31) f  x   2  2x2  x4 P.i.   , 
 3 9  2) Una hoja rectangular de metal con perímetro de 4 m
Max.  1, 3 , 1, 3 Min.L  0, 2  va a ser enrollada para formar la cara lateral de un
Cre.  , 1 ,  2,   Dec.  1, 0  , 1,   recipiente cilíndrico encuentre las dimensiones del
recipiente con máximo volumen.
 1 1   1 
Car.   ,  Cab.  ,   2 2
 3 3  3 Sol. y  m r 
3 3
f  x    x  1  5 x  2  1, 3 
5
32) P.i.
Max.  2, 7  Min.  0, 1 Cre.  , 2  ,  0,  
Dec.  2, 0  Car.  1,   Cab.  , 1



3) Encuentre las dimensiones de un rectángulo con un 9) Encuentre las dimensiones de la región sombreada,
perímetro de 100 m cuya área sea lo más grande de modo que el área sea máxima.
posible. Sol. 25 m x 25 m.

4) De una pieza cuadrada de cartón se va a formar
una caja abierta por arriba, cortando un cuadrado en
cada una de las esquinas y doblando los bordes. Dado
que el cartón mide 40 cm por lado, encuentre las
dimensiones de la caja que darán lugar al volumen
máximo ¿Cuál es el volumen de éste? 10) El volumen V ( en cm3) de 1 kg de agua a una
20 80 temperatura de T entre 0º C y 30º C se aproxima bien
Sol. x  y V  4740.74 cm3
3 3 por.
V  999.87   0.06426 T   0.0085043 T 2   0.0000679 T 3
¿A qué temperatura tiene el agua su densidad máxima?
Sol. Aproximadamente 3.967ºC

11) Encuentre el punto en la recta y  4 x  7 que
está más cerca del origen. Sol.   17 , 17  .
28 7

5) Una caja rectangular tiene una base cuadrada con 12) La canaleta de sección trasversal rectangular se
aristas de por lo menos una pulgada de largo. No tiene fabrica doblando porciones iguales en cada orilla de una
tapa y el área total de sus cinco lados es de 300 pug 2 . pieza de hojalata de 30 cm de ancho ¿Cuáles son las
¿Cuál es el volumen máximo posible de esta caja? dimensiones de la sección transversal que hacen que el
Sol. 500 pug3 volumen sea máximo? Sol. y  7.5cm x  15cm

6) Un granjero tiene 600 yardas de barda con las
cuales quiere construir un corral rectangular. Parte de la
barda se usará para construir dos bardas divisorias a
intervalos iguales, ambas paralelas a los mismos lados
del corral. ¿Cuál es el área total máxima posible de este
corral? Sol. 11,250 yd2 13) la suma de dos números reales no negativos es 10.
Encuentre el valor más pequeño posible de la suma de
sus cubos. Sol. 250.

14) Una ventana consiste de un rectángulo coronado
por un semicírculo. Encuentre las dimensiones de la
7) Un recipiente rectangular de almacenaje de agua ventana con área máxima si su perímetro es de 10 m
debe tener un volumen de 10 m3. El largo de su base es 10 20 10
Sol. r  x y
el doble del ancho. El material para la base cuesta $ 10 4 4 4
por metro cuadrado. El material para el costado, $ 6 por
metro cuadrado si la tapa es del mismo material que el
de los lados. Encuentre el costo de los materiales para
tener el mas barato de esos recipientes. Sol. $ 191.28

8) Un granjero tiene 600 m de barda con la que planea
rodear un pastizal adyacente a un muro largo. Planea
colocar un lado paralelo al muro, y dos para cerrar la
barda al muro, colocará un cuarto (perpendicular al muro)
para dividir el pastizal en dos partes iguales. ¿Cuál es el 15) La suma de dos números positivos es 48. ¿Cuál es
área máxima que puede rodear?. Sol. 30,000 m2 el valor más pequeño posible de la suma de sus
cuadrados? Sol. 1152



16) Si se cuenta con 1200 cm2 de material para hacer 23) En un trozo rectangular de cartón de dimensiones
una caja con base cuadrada y la parte superior abierta. 8 x 15 se han cortado cuatro cuadrados iguales, uno de
Encuentre el volumen máximo posible. Sol. 4000 cm3 cada esquina. El pedazo cruciforme restante se dobla de
manera que forme una caja sin tapa. ¿Cuáles deberían
17) La sección transversal de una viga rectangular de ser las dimensiones de los cuadrados que se corten para
madera cortada de un tronco circular de diámetro d tiene 5
maximizar el volumen de la caja? Sol. x 
longitud x y anchura y. la resistencia de una viga varìa 3
en proporción directa al producto de la longitud y al
cuadrado de la anchura. Calcule las dimensiones de la
sección transversal de la viga de mayor resistencia.
6 3
R  yx 2 . Sol. x  d y d
3 3 24) Encuentre el área máxima posible de un rectángulo
con perímetro de 200 m.

25) Un granjero tiene 600 m de barda que usará para
rodear un corral rectangular adyacente a una pared
existente. Usará la pared como un lado del corral y la
barda disponible para los otros tres lados. ¿Cuál es el
área máxima que puede rodear de esta manera?
18) Se va a construir una caja rectangular abierta con
base cuadrada y un volumen de 32000 cm3 . Encuentre
26) Encuentre el volumen máximo posible de un
las dimensiones que requieran la menor cantidad de
cilindro circular recto si el área de su superficie total
material. Sol. x  20 y  40
incluyendo ambas tapas circulares es de 150 .

19) Encuentre las dimensiones de la lata cilíndrica para 27) ¿Cuál es el área máxima posible de un rectángulo
jugo que utilice la menor cantidad de material cuando el con una base que está sobre el eje x y dos vértices
volumen del envase es de 32 pug . superiores que están en la gráfica de la ecuación
Sol. r  3 16 Altura  2 3 16 y  4  x2 ?
 
20) Hallar el área máxima para un rectángulo que esté
inscrito en un círculo de radio 4 Sol. 32 cm2

21) Hallar las coordenadas del punto p que maximice
el área del rectángulo representado en la siguiente
3
figura. Sol. x  2 y  28) Un cable recto de 60 cm de largo se dobla en
2
forma de L. ¿Cuál es la distancia más corta entre las dos
terminales del cable doblado?

29) La suma de dos números reales negativos es 16.
Encuentre el valor máximo posible y el valor mínimo
posible de la suma de sus raíces cúbicas.

22) ¿Cuáles son las dimensiones de la base de una
caja rectangular de máximo volumen que se puede
construir con 100 cm2 de cartón si la base ha de ser dos
veces más larga que ancha? Se supondrá que la caja
10 5
tiene una tapa. Sol. 3 cm por 3 cm
3 3



3.5 REGLA DE L.HOPITAL. INTEGRACIÓN
Utiliza la regla de LHopital para demostrar o
encontrar los siguientes limites. 4.1 INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN O
INMEDIATAS.
x 1 1 2x2  1 2
1) lim  2) lim 
x 1 x 2  1 2 x  5 x 2  3 x 5
Evalué las siguientes integrales utilizando las tablas, o
sen x 2 x 1
3) lim 0 4) lim 0 por el método de sustitución.
x 0 x x 1 sen x

ex  x  1 1 x tan x 1
 2 f  x    e1 2 x  c
e
1 2 x
5) lim 6) lim 1) dx  Sol.
x 0 x2 2 x 0 1  cos x 2
ln x ln  x  9  3 x3 1 1 3 x3 1
7) lim 10  0 8) lim 1 2) x e
2
dx  Sol. f  x  e c
x 
x x 10 x  10 9
e  e x  2 x  e2 x
f  x   ln  x 2  e 2 x   c
x
sen3x 3 1
9) lim
x 0 xsenx
1 10) lim
x  0 tan 5 x

5
3)  x 2  e2 x dx  Sol.
2
x3  1 3 x  senx f  x    x  1 2  c
1 2 3
11) lim 2
x 1 x  1

2
12) lim
x  3 x  cos x

1
3
4) x x 2  1 dx  Sol.
3
f  x     2  3x 2  2  c
1 3

13) lim
2 x  1 ln 2
 14) lim
x2  1

1 5) x 2  3 x 2 dx  Sol.
9
x 0 3x  1 ln 3 x 
4x  x
2 2
cos  2 x3  dx f  x   sen  2 x3   c
1
ln 1  x  x  Sol.
2
2e x  x 2  2 x  2 1 6)
15) lim 1 16) lim  6
x 0 x x 0 x3 3 4 98
17) lim
2e e
x x

1
18) lim
2x  
1
7)  0
x x 2  9 dx  Sol.
3
 32.66
x 0 2x2 2 x  
2 tan 2 x

x  2 cos  x 1 1  4x  1 4
3 8) 0
2 e senx cos x dx  Sol. e  1 1.782
19) lim  20) lim 
x2  4 3 dx 

x 2 4 x 0 x 3 9)  Sol.
ln 1  x 2  9  x2 12
0
1 x  3 1 x 2
3
21) lim  22) lim x 0 dx 1 x
x 0 x 3 x  0 e  cos x 10) x  Sol. f  x   sec 1  c
3x  4 e3 x  1 x  25
2 5 5
23) lim  24) lim  x 49
1
x  2 x  5 x 0 x 11) 1 x 100
dx  Sol. f  x  tan 1 x 50  c
1  cos x x  tan x 50
25) lim  26) lim  dx x
x 0 x3 x 0 x3 12)   Sol. f  x   sen 1 h  c
ex t2  1 x2  9 3
27) lim  28) lim 
 r  1
x  4 t  t ln t dx 1 3x
13) x  Sol. f  x    sen 1 h c
e x  e x x3  8 4  9x 2 2 2
29) lim  30) lim 
f  x    sec 1 h  e x   c
x 4  16 dx

x 0 x 2
x 14)  Sol.
x2  4 2x 1 e 2x

31) lim  32) lim  1 1
x  x x  3x
15)  1  9t 2 dt  Sol. f  t   sen 1 3t  c
ln  ln x  senx  tan x 3
33) lim  34) lim  3x 3
x  x ln x x 0 x3 16)  1  x 4 dx  Sol. f  x   sen 1 x 2  c
2
e3 x  e 3 x sec x
35) lim  36) lim  1
x 0 2x x  tan x
2 17)  e2 x  1 dx  Sol. f  x   sec 1 e x  c
2 x  sen x ln 1  x 
37) lim  38) lim 
ln 1  x 2 
x 1 3
4x2  1  2 x  3 dx  f  x   6  2 x  3 2  2  2 x  3 2  c
3 1
x 1 x 0
2 18)
1  3x  1 1  tan x 3x  10
  1
 Sol. f  x  
1
39) lim
x 0 x
40) lim
x 
4 4x  
19)  100  9 x2 dx ln
60 3x  10
c



1 x
 x  1 2  c ln 1  x 2   c
1
2 3 f  x   tan 1 x 
3
20) x
2
x 3  1 dx  Sol. f  x  44) 1 x 2
dx  Sol.
9 2
x 1 x 2 1  2 x 3  dx
2

3
1  Sol.  3480
 Sol. f  x   ln x 2  2 x  c
45)
21)  x 2  2 x dx 2
0

x4 1
1209 46)  dx  Sol. f  x    c
x  x  1 dx 2  x 
8
22) 
3
 Sol. 5 6  25  2  x5 5 
0 28 
 

11 dx x
23)  2x  3
3
 Sol. 2 47) 
e
x
dx  Sol. f  x   2e x
c

cos 1
x    x
f  x    sen    c
48) 
1
2 x
dx  Sol.  1 
1
3
24)  x 2 dx  Sol.
2
0
1 x 2 2

1
e tan x
1  
4.2 ÁREAS ENTRE DOS CURVAS.
25) 1 1  x 2  Sol. e 4
e 4

1 x
26)  dx  Sol. f  x   sen 1 x  1  x 2  c Encuentre el área limitada por las siguientes curvas
1 x
1 1
27)   ln x  dx  Sol. f  x 
 ln x   c
2 3
256 2
x 3 1) y  25  x 2 y9 Sol. u
3
 Sol. f  x    x  1 2  c
1 4 3

x x 4  1 dx
3
28) 9 2
6 2) y  x 2  3x yx Sol. u
1 2
 x2
 xe  Sol. f  x    e x  c
2
29) dx 3) y  12  2 x 2 y  x2 Sol. 32 u 2
2
128 2
cos x
f  x   2 senx y  4  x2 y  3x 2  12

1
30) dx  Sol. 2
c 4) Sol. u
x 3
5) y6 y  x 2  3x Sol. 32 u 2
 15 6) La región R acotada abajo por la grafica y  x3 y
 sen 2 x cos 2 xdx  Sol.
6 3
31) 0.11718
0 128 arriba por la grafica de y  x en el intervalo  0,1
1
2 e x
e 1 1 2
32) 1 x2
dx  Sol.
e
0.23865 Sol.
4
u
dx
f  x 
1 La región R acotada arriba por la gráfica y  x3 y
33)  x  4x 2
 Sol.
2
sen 1 2 x  c 7)
abajo por la gráfica de y  x 4 en el intervalo  0,1
x
e
34) 1 e 2x
dx  Sol. f  x   tan 1 e x  c Sol.
1 2
u
20
dx
35)  x 1   ln x   Sol. f  x   tan 1  ln x   c 8) La región R acotada arriba por la gráfica
2

  y  1  x  1 y abajo por el eje x de en el intervalo  0, 2
1 dy Sol. 1.0986 u2
36)  1
2 4  y2
dx  Sol.  0.1469
9) La región R acotada a la izquierda por la gráfica
ex x  y 2 y a la derecha por la línea vertical x  4
37)  dx  Sol. f  x   sen 1e x  c
e2 x  1 32 2
Sol. u
38) e
 cot x 2
csc x dx  Sol. f  x  e  cot x
c 3
10) La región entre las gráficas x  8  y 2 , x  y2  8
e2 x 1
39)  dx  Sol. f  x   tan 1 e 2 x  c Sol. 60.3397
1  e4 x 2
cos  4 2
40)  d  Sol. f  x   tan 1   c 11) y  x2 , y  2x Sol. u
1  sen 2 3
2 8 8 500 2
x  x  2 2   x  2 2   x  2 2  c
7 5 3
41) 2
x  2 dx  12) x  y2 , x  25 Sol. u
7 5 3 3
42)  4  9 x 2 dx  x  4  9 x 2  2  ln  3x   4  9 x 2  2   c
1 1 2 1
32 2
  13) y  x2 , y  2x  3 Sol. u
2 3   3
 Sol. f  x   1  e   c
2 3
43)  e 1  e dx
x x x 2

3



125 2 24 3
14) x  y2 , x  y6 Sol.
u 8) y  x2 , y 2  8 x, Eje y  Sol. u
6 5
16 2 9) 2 x  y  12  0, x  2 y  3  0, x4
15) x  4 y 2 , x  12 y  5  0 Sol. u
3 135 3
Eje y  Sol. u
3  2
16) y  x  1, y  1  x  1 en  0,1 Sol.   ln 2  u 2
2  512 3
10) x 2  4 y, y  4, Eje x  Sol. u
 e  1 5
2

17) y  ex , y  e x . x  1 Sol. u2 1.0861 11) y  2 x, y  6, x0 Eje x  Sol. 72 u 3
e
 x2 
18) y  xe , y  0, x 1 Sol. 0.3160u 2 12) y  x2 , y  0, x  1 Eje x  Sol. u3
5
4 2
19) y  x 2  x, y  1  x3 u Sol. 13) y  x2 , y  4, x  0 Eje y  Sol. 8 u 3
3
20) y  x 2 , y  x3  2 x Sol. 3.0833u 2
 sòlo en el primer cuadrante 

1 17 2 14) y  1  x, y  0, x  0 en 0,1 Eje x Sol. u3
21) y  2 , y   x 2 , x  1, x  2 Sol. u 3
x 6
3
33 2 15) y  x2 , x  y2 , Eje x  Sol.  u3
22) y 2   x, x  y  4, y  1, y  2 Sol. u 10
2
16
32 2 16) y  1  x2 , y  0, Eje x  Sol.  u3
23) y  x 2  1, y  5,  Sol. u 15
3

32 2 17) y  1  x2 , y  0, Eje y  Sol. u3
24) y  x 2 , y  4 x,  Sol. u 2
3
9 2 18) y  6  x2 , y  2, Eje y  Sol. 8 u 3
25) y  1  x 2 , y  x  1,  Sol. u
2 19) y  4, yx , x0
2
Eje y  Sol. 8  u 3
26) y 2  4  x, y 2  x  2,  Sol. 8 3 u 2 20) y  x2 , y  0, x  2 Eje y  Sol. 8 u 3
y  x, y  3 x, x  y  4,  Sol. 2u 2 625 3
27) 21) y  25  x 2 , y  0, Eje y  Sol. u
2
1 2
28) y  x 3  x, y  0,  Sol. u 22) y  x2 , y  8  x2 , Eje y  Sol. 16 u 3
2
23) x  y, x  2 y  3, x  0 Eje x  Sol.  u 3
29) x  4 y  y3 , x  0,  Sol. 8u 2
128 3
16 2 24) y  x3 , x  2, y  0 Eje x  Sol. u
30) y  x 4  x2 , y  0,  Sol. u 7
3 32 3
25) x  y2 , y  2, x  0 Eje y  Sol. u
5
4.3 SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN. 32
26) y  4 x, y  4x2 , Eje x  Sol.  u3
15
Encuentra el volumen del sólido generado al hacer rotar 27) x y, y  4, x  0 Eje y  Sol. 8 u 3
alrededor del eje indicado la región plana limitada por las 512
28) y  x 2  4 x, Eje x  u3
 Sol.
curvas dadas. 715
1 2
29) y , y  1, x  0 y  3 Eje y  Sol.  u3
1 2 3 x 3
1) y , x  1, x  3, y  0 Eje x Sol.
u 30) x2  y 2  16, y  0, x  8 Eje y Sol. 128 3 u 3
x x
2) y  x 2 , y  2, Eje y  Sol. 2 u 3
512 3
3) y  x 2  4 x, y  0, Eje x  Sol. u
15
64 3
4) y 2  x, 2 y  x, Eje y  Sol. u
15
64 2 3
5) y  x2 , y  4  x2 , Eje x  Sol. u
3
72 3
6) x  y2 , y  x  2  0, Eje y  Sol. u
5
128 3
7) y  x, x  4, y  0 Eje y  Sol. u
5



4.4 INTEGRACIÓN POR PARTES 1 2x
e  2senx  cos x   c
e  sol.
2x
23) senxdx
5
4

x
Utilice el método de integración por partes para 24) xe 2 dx  sol. 4  12e2
0
encontrar las siguientes integrales. 1
e  sen1  cos1  1  0.909
1
 e senxdx  sol.
x
25)
0 2 
1 3 1  e2 x 
x   2 x  2 x  1  c
2
 sol. x ln x  x 3  c
1) ln xdx
 x e dx  sol. 
2 2x 2
3 9 26)
 4 
1 1
2)  x cos5 xdx  sol.
5
xsen5 x  cos5 x  c
25 27)  x sec xdx
2
 sol. x tan x  ln cos x  c

 x sen xdx  x senxdx  sol.  x n cos x  n  x n 1 cos xdx
2 n
3) 28)

sol. 
1
x 2 cos  x 
2
xsen x 
2
cos  x  c x n 1
  2
 3 29)  x ln xdx
n
 sol.  1   n  1 ln x   c
2  
 n  1
  ln x  dx  sol. x  ln x   2 x ln x  2 x  c
2 2
4)
e ax  asenbx  b cos bx 
e senbxdx  sol. c
ax
1 2y 30)
e  2 sen3 y  3cos3 y   c a 2  b2
e  sol.
2y
5) sen3 ydy
13 2 32 4 3
2 ln x 1 1 31)  x ln xdx  sol. x ln x  x 2  c
6) 
1 x2
dx  sol.  ln 2
2 2
3 9
2
 x x  3 dx  x  2  x  3 2  c
3
 sol.
7)  cos x ln  senx dx  sol. senx  ln senx  1  c 32)
5
8) 
2
x 4  ln x  dx
2
 sol.
32 2 64
 ln 2   ln 2 
62 33)  tsen2tdt  34)  x 2 cos mxdx 
1 5 25 125
 x ln xdx  e

5
cos 2 d 
 sol. e x  x3  3x 2  6 x  6   c
35) 36)
 x e dx
3 x
9)
 ln x 
2

 x senxdx  x  1e dx 
1 2

3 x
10) 37) 2
38) dx 
0 0 x3
sol.  6 x  x  cos x  3x 3 2
 6  senx  c 1 x3 1
 
39)  4  x2
dx  40)  x  ln x  3
dx 

0
11) 2
x cos xdx  sol. 1
0 2
ln 2 x ln x
2  24ln 2  7  41)  dx  42)  dx 
  sol.  1.071 x2 x2
2
12) x ln xdx
1 9

x  sol. x n senx  n  x n 1 senxdx
n
13) cos xdx
x n e ax n n 1 ax 4.5 INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS
x e  sol.   x e dx
n ax
14) dx
a a
e
ax
15) cos bx dx Utilice las diferentes identidades trigonométricas si
e ax
 a cos bx  bsenbx  es necesario para evaluar las siguientes integrales.
sol. c
a 2  b2
1 2x  
e cos 3xdx  sol. e  2 cos 3 x  3sen3 x   c  
2
16) 2x
1) cos 2 xdx sol.
13 0 4
2 3
 x  1 2 3x3  2   c 3 1
3

x x 3  1 dx   1  cos x  dx  sol. x  2senx  sen2 x  c
5 2
17) sol. 2)
45 2 4
ln x 2 ln x 4 1
18) x x
dx  sol. 
x

x
c 3)  cos
2

2
x tan 3 xdx  sol.
cos 2 x  ln cos x  c
1 1 1
 x sec  x tan 2 x  ln sec 2 x  c 4)  sec x tan xdx  sol. tan 2 x  c
2 2
19) 2 x dx sol.
2 4 2
 
  1 5 2
20) ysen3 ydy sol. 5)  sec6 ydy  sol. tan y  tan 3 y  tan y  c
0 3 5 3
1 x 1 3 2
21)  0 e2 x
dx  sol.
4 4
 e 6)  tan x sec xdx
3
 sol.
1 3
sec x  sec x  c
3
xe2 x e2 x
22)   2 x  1 2
dx  sol.
 4  2 x  1
c
 



1  tan 2 x 1 1 2
  sen2 x  c  cos  sol. sen5 x  sen3 x  senx  c
5
7) dx sol. 30) xdx
sec2 x 2 5 3
1 sen3 4 x 1
8)  cos xsenxdx
3
 sol.  cos 4 x  c 31)  cos2 4 x dx  sol. sec 4 x  cos 4 x   c
4 4
 sen x cos 1
5 2
9) xdx
 sec  sol. tan x  tan 3 x  c
4
32) xdx
3
1 2 1
sol.  cos3 x  cos5 x  cos7 x  c tan 3 x 1
3

5 7 33)  sec4 x dx  sol.
4
sen 4 x  c
2
 
2
10) cos3 xdx sol. 1 1
 cos  sen5t  sen3 5t  c
3
0 3 34) 5tdt sol.
5 15
tan 5 x  3  tan 2 5 x   c
1
 sec  sol.
4

 sen
11) 5 xdx 35) 5
2t cos 2 tdt
3

15
 1 2 1
 tan  cos 2t  2   cos 2t  2   cos 2t  2  c
5 9 13
sol. 
5
12) xdx
4 5 9 3
      
sol. tan 4  x   2 tan 2  x   4 ln cos  x   c  sen x cos xdx   cos5 xdx 
6 3 2
36) 37)
4  4  4  0

sen3 x 
13)  sec3 x tan xdx
1 3
 dx   sen 2 2 ydy 
2
 sol. sec x  c 38) 39)
0
3 x

14)  sen3 x cos 2 xdx  sol.
1 1
 cos xdx   x cos xdx 
6 2
cos5 x  cos3 x  c 40)
0
41)
5 3  5
 sen x cos 4 xdx   cot xsen xdx 
3 2 4
11 42) 43)
15)  sen x cos xdx
4 5 3
 sol.  0
2 384 

 sec4 x tan 4 xdx   cos xsen 2 xdx 
4 2
 3 44) 45)
16)  sen 3xdx  sol.
4 0
0 8
 
  sol.
2
17) sen 2 x cos 2 xdx
0 16
cos5 x
senx  45  18sen 2 x  15sen 4 x   c
2
18)  sex
dx 
45 4.6 SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA
cos x  sen 2 x
19)  senx dx  sol. ln senx  2senx  c
Utilice el método de sustitución trigonométrica
 tan  sol. tan x  x  c
2
20) xdx
para evaluar las siguientes integrales.
 117
  sol.
3
21) tan 5 x sec4 xdx
0 8 1 x
  sol. c
 
1) dx
 25  x 
1 4
 tan xdx  sol. 4 sec x  tan x  ln sec x  c
3
22) 5 2 2 2
25 25  x 2

23)
1
 sen 2 x cos 2 xdx  sol. 12 sen 2 x  c
5 6
25  x 2 5  25  x 2 
2)  x
dx =5 ln
x
25  x 2  c
1
24)  cos 3xdx
2
 sol.  6 x  sen6 x   c
12 1

16 3)  dx  sol. ln x  x2  4  c
0 cos xdx  sol.
2
x 4
7 2
25)
35

5 x 1  tan 1 x  x 
0 sen xdx  sol.   sol.  c
2 6
4) dx
2  1  x 2  
26)
32 x2  9  
 sec  xdx
3
27) x
5)  16  4 x 2 dx  sol. 4 sen 1  x 4  x 2  c
sol.  sec  x tan  x  ln sec  x  tan  x  2  c 2
1 1 4 x2  9  3
x
1 1
28)  csc2 x dx  sol.  x  senx cos x   c 6) dx  sol.  ln c
2 4 x2  9 3 2x
1 1
 sen  sol. sen3 x  sen5 x  c x2  9
2
29) x cos3 xdx 1
3 5 7) x 2
x2  9
dx  sol.
4x
c



1 25  x 2 x2  9 1 x x2  9
8) x 2
25  x 2
dx  sol. 
25 x
c 28)  x3
dx  sol.
6
sec 1 
3 2x2
c

9)  1  4 x 2 dx =
1 1
sen 1 2 x  x 1  4 x 2  c
29)  5  4 x  x 2 dx
4 2 9  x2 1
sen 1     x  2 5  4x  x  c
2
x sol.
  sol. x 7 c 2  3  2
2
10) dx
x2  7
x2 x x 16  x 2
1 x 2
1 x 1
2 30)  16  x 2
dx  8sen 1
4

2
c
11)  x
dx sol. ln
x
 1  x2  c
1  4x2
x 31)  dx
12)  dx x
x  x 1
 
2
sol. ln 4 x  ln 2 x  ln 1  1  4 x 2  1  4 x 2  c
1  1
sol. x 2  x  1  ln  x 2  x  1  x    c
2  2 x2 25 x x
32)  25  x
dx  sen 1  25  x 2  c

13) x  2 x dx
2 2 2 5 2

1 1 x2 2  3x 4  9 x 2  3x  4  9 x 2 
sol.  x  1 x 2  2 x  ln  x  1  x 2  2 x  c 33)  dx  
27 
 ln 

  c

2 2 4  9x2 
4  2 
1 4  x2 x2  1
x  sol.  c x3
2
14)
2
4x 2
dx
4x 34)  1 x
dx  35)  x 2  100
dx 

x2  1 x2  1 t5

1
15)
x2
dx  sol. ln x  x 2  1 
x
c 36)  0
x x 2  4 dx  37)  t2  2
dt 
1 x
16)  dx  sol. c 38) 
1
x 2  1 dx  39) 
t
dt 
 9  16 x 
3
2 2 9 9  16 x 2
0
25  t 2

17) 
x2
1  x2
dx 
1
2
 
x 1  x 2  ln x  1  x 2   c

  40) 
3

0
x3
x2  9
dx  41) 
4x2  9
x4
dx 

1 x 6 x2 1
18)  dx  sol. c 42)  dx  43)  dx 
4  x   x  3
3 3
2 2 1 x 2 4
x 9
2 2 2

1 1 9  4 x2 2 x
19)  9  4x2
dx  sol.
2
ln
3

3
c

 x  4  2  3x 2  8   c
1 2 3

x x 2  4 dx  sol.
3
20)
15
1
1  x 2  2  c
3
21) x 1  x 2 dx  sol.
3
1 x
22)  16  x 2
dx  sol. sen 1  c
4
1
23)  x 9
2.
dx  sol. ln x  x 2  9  c

1  x 
3
2 2
1  x2
24)  x4
dx  sol. 
3x3
c

5 x 2 5 x2  5
25)  dx  sol. c
x  5 x5
3
2 2

x3
26)  dx  sol.  x  18  x 2  9  c
1 2
x 92 3

27) 
dx
x  16
2
 sol. ln  x 2  16  x  c 



4.7 FRACCIONES PARCIALES x2 1 2
21)  x  1 dx  sol.
2
x  x  ln x  1  c

Utilice el método de fracciones parciales para 1 1 1
22)  2 dx  sol. ln x  2  ln x  2  c
encontrar las siguientes integrales. x 4 4 4
x9 1 1 x3
23)  2 dx  sol. c
1)   x  5 x  2  dx  sol. 2 ln x  5  ln x  2  c
x  3x 3
ln
x
x
1
3 1 3 24) 
  sol. dx
2)
x 1
2
dx 2
ln
2 2  x  1  x 2  1
4 x  2x  4
3 2
sol.  ln x  1  ln  x 2  1  tan 1 x  c
7 2 1 1 1
3)  dx  sol.  ln
3 x3  2 x 2 6 3 2 4 2
2 4 y  7 y  12 1  x2 
2
27 9 1
4)  dy  sol. ln 2  ln 3 25)  3 dx  sol. ln  c

1 y y 2
 y  3 5 5 x x 2  x2  1 
5 x 2  3x  2 1 x  10 3
5)  x  2x
3 2
dx  2 ln x     3ln x  2  c
 x
26)  2x  5x  3
2
dx  sol.
2
ln 2 x  1  ln x  3  c

x  x  2x  1 1 1
 ln x  2  ln x  3   c
3 2

  x 2  1 x 2  2  dx  2 ln  x  1  2 tan 2  c 27)  2
1 2 1 1 x dx  sol.
6)
x  x6 5
x 1
x4  x 1 28)  dx  sol. x  2 ln x  1  c
dx  ln  x 2  2 x  5   tan 1 
1 3
7) x  2x  52
2 2  2 
c x 1
2 x 1 1 8 
29)  dx  sol. ln   tan 1 2  0.557
x  x  1
1
8)  3
2
dx 1 2 5 4
x 1
2x  1 x2 1 x2 x 
ln x  1  ln  x 2  x  1   x 4  2 x 2  8 dx 
1 1 1  2 tan 1
sol. tan 1 c 30)
6 x2
ln c
3 6 3 3  2
3 x 2  3x  4 3
9)  2 dx  sol. ln x  1  ln x  2  c 31)  x3  4 x 2  4 x dx  2 ln x  2  ln x  x  2  c
x  x2
x 2  12 x  12 2 x3  4 x 2  15 x  5
10)  dx  5ln x  2  ln x  2  3ln x  c 32)  x 2  2 x  8 dx
x3  4 x
4x2  2 x  1 1 3 1
x 2  ln x  4  ln x  2  c
11)  x3  x 2
dx  sol.
x
 ln x 4  x 3  c sol.
2 2
x2  1 x2  1 5 x 3
12)  x3  x dx  sol. ln c 33)  2 x 2  x  1 dx  2 ln 2 x  1  2 ln x  1  c
x
1 x3  2 x 1 8
13) 
3
1
dx  sol. ln 2
34) 0 x 4  4 x 2  3 dx = 4 ln 3
2 x2  5x  2
0
10
14)  2
x4
dx  sol.
1 3 x
x  4 x  8 tan 1  c
35)   x  1  x 2  9  dx
x 4 3 2
sol. ln x  1  ln  x 2  9   tan 1  c
1 1 x
ln x  ln  x 2  4   c
1 1 1
15)  3 dx  sol. 2 3 3
x  4x 4 8
1
x  2x
2
1 36)  dx
16)  dx  sol. x  c  x  5  x  1
2

 x  1 x 1
2

1 1 1  1
x2  1 sol.  ln x  5    ln x  1  c
6  x  5  36
2
17)  3 dx  sol.  ln x  c 36 
x  2x  x
2
x 1
x 2  3x  1 1  x2  1  1 x
18)  4
4 x3  7 x
dx
37) x 4
 5x2  4
dx Sol. ln   tan
2  x2  4  2
c
x  5x2  4
6 x  11 5
sol.
1
2
 
3ln x  2  ln  x  1 x  1  3ln x  2  c 38)   x  1 2
dx Sol. 6 ln x  1 
x 1
c

x4
dx = ln x  ln  x 2  4   tan 1  c
1 1 x x2  x  1
19)  3 x3
x x 2 2 2 39)  x 1
dx Sol.
2
 ln x  1  c
x 2  10 1 x 3 2
 2 x4  9 x2  4 dx = tan 2  2 tan 2 x  c
1
20)



GRÁFICAS DEL 1.3

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