Este documento presenta el trabajo final de álgebra de una alumna. Contiene tres secciones principales correspondientes a los tres parciales. En la primera sección, se definen conceptos básicos de álgebra y se resuelven ejercicios de suma y resta algebraica. La segunda sección explica la multiplicación algebraica y resuelve ejercicios. La tercera sección cubre temas como factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones de primer y segundo grado. El objetivo general es practicar diferentes temas algebraicos a través de ejercicios.
Este documento presenta 20 problemas de matemáticas con valoraciones numéricas. Los problemas involucran conceptos como funciones, ecuaciones, expresiones algebraicas y operaciones matemáticas básicas. El estudiante debe determinar el valor numérico de cada expresión o función dada y elegir la respuesta correcta entre las opciones provistas.
El documento proporciona información sobre el álgebra. Explica que el álgebra es la rama de las matemáticas que emplea números, letras y signos para generalizar las operaciones aritméticas. Además, señala que su término proviene del latín y significa reducción. Por último, menciona algunas aplicaciones históricas del álgebra, como la resolución de ecuaciones lineales y cuadráticas por los antiguos babilonios y egipcios.
Este documento presenta una guía de matemáticas para segundo medio que incluye instrucciones sobre factorización de expresiones, simplificación de fracciones algebraicas, adición y sustracción de fracciones algebraicas, multiplicación y división de expresiones racionales, y fracciones complejas. El documento contiene ejemplos de problemas para practicar estas habilidades matemáticas fundamentales.
Este documento presenta ejercicios sobre polinomios. Primero relaciona enunciados con expresiones algebraicas. Luego presenta ejercicios para expresar áreas, perímetros y valores numéricos de polinomios. Finalmente propone operaciones como sumas, restas, productos y factorización de polinomios.
Este documento presenta una introducción a conceptos básicos de álgebra como variables, términos algebraicos, expresiones algebraicas y exponentes. Luego, cubre operaciones algebraicas básicas como suma, resta y multiplicación a través de ejemplos resueltos que ilustran cómo aplicar propiedades como la ley de signos y la propiedad distributiva. Finalmente, proporciona pasos generales para realizar operaciones algebraicas.
El documento presenta una introducción a conceptos básicos de álgebra como variables, términos algebraicos, expresiones algebraicas y exponentes. Luego, muestra ejemplos de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de expresiones algebraicas, incluyendo polinomios de diferentes grados. Finalmente, propone ejercicios para practicar las operaciones con expresiones algebraicas.
El documento presenta una introducción a conceptos básicos de álgebra como variables, términos algebraicos, expresiones algebraicas y exponentes. Luego, cubre operaciones algebraicas básicas como suma, resta y multiplicación a través de ejemplos y reglas como la ley de signos y la propiedad distributiva. Finalmente, explica los pasos para realizar operaciones algebraicas como sumar y multiplicar polinomios.
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Este documento presenta una guía de matemáticas para segundo medio que incluye instrucciones sobre factorización de expresiones, simplificación de fracciones algebraicas, adición y sustracción de fracciones algebraicas, multiplicación y división de expresiones racionales, y fracciones complejas. El documento contiene ejemplos de problemas para practicar estas habilidades matemáticas fundamentales.
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Este documento presenta un cuaderno de apuntes y ejercicios para el curso de Cálculo del CBTA 20. Incluye una introducción al curso y objetivos, así como secciones sobre conceptos previos de álgebra y aritmética, límites y continuidad de funciones, derivación de funciones, análisis de funciones y cálculo integral. También proporciona una serie de ejercicios de revisión de conceptos previos para que los estudiantes desarrollen antes de comenzar el curso.
Este documento presenta información sobre álgebra, incluyendo factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales. Explica métodos para factorizar expresiones, realizar operaciones con fracciones algebraicas y resolver ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones. También incluye ejemplos resueltos de cada tema.
Este documento contiene la información personal de una alumna en un centro de educación artística, incluyendo su nombre completo, Mahatma Natalie Sánchez Bencomo.
Este documento presenta ejemplos de problemas de álgebra que involucran la suma, resta, multiplicación y reducción de términos semejantes. Incluye ejercicios como simplificar expresiones algebraicas, sumar y restar polinomios, y reducir términos comunes. El objetivo es que los estudiantes practiquen operaciones básicas con expresiones algebraicas.
El documento proporciona información sobre Karla Damaris Morales Flores, una alumna del Centro de Educación Artística CEDART. En particular, se menciona el nombre completo de la alumna.
El documento explica los conceptos básicos de la multiplicación y división algebraica. Cubre las leyes de los signos y la ley distributiva en la multiplicación, así como los pasos para realizar operaciones como multiplicar polinomios. También explica conceptos como productos notables, división exacta, y cómo resolver ecuaciones de división. El documento proporciona numerosos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento describe operaciones básicas con polinomios como suma, resta, multiplicación y división. Explica cómo ordenar los términos de los polinomios para facilitar cada operación y muestra ejemplos resueltos de cada tipo de operación.
Este documento contiene ejercicios de álgebra que involucran la traducción de enunciados al lenguaje algebraico, la simplificación de expresiones algebraicas como monomios, polinomios y la extracción de factores comunes. Los ejercicios cubren temas como grado de monomios, suma y resta de polinomios, producto de monomios, factorización y más.
Este documento resume varios métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo: factor común, agrupación de términos, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, y trinomios de la forma Ax^2n + Bx^n + C. Explica cada método con ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicarlos para descomponer completamente una expresión en factores.
El documento presenta varios ejemplos de derivadas aplicadas a situaciones de la vida cotidiana como tomar el autobús, carreras de relevos y más. En el primer ejemplo, se calcula la velocidad de un pasajero que corre para alcanzar un autobús en marcha. En el segundo ejemplo, se explica por qué los corredores de relevos empiezan a correr antes de recibir el testigo para una transición suave. El documento también incluye ejercicios de cálculo de derivadas y tangentes medias.
Ejercicios resueltos de matematica decimo egbDoris Caiza
El documento contiene varios ejercicios de álgebra que involucran sumar y restar polinomios y términos algebraicos. Se piden realizar operaciones como sumar monomios con coeficientes separados, sumar polinomios, y evaluar expresiones algebraicas.
Este documento presenta los siguientes conceptos clave:
1) Define los productos notables como expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que pueden factorizarse a simple vista.
2) Explica cómo factorizar binomios al cuadrado, binomios al cubo, diferencias de cuadrados, sumas y diferencias de cubos, y más.
3) Introduce conceptos como trinomios al cuadrado, diferencias de cuadrados perfectos, y factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c.
Este documento presenta ejercicios de factorización de polinomios. Proporciona ejemplos resueltos de cómo factorizar expresiones algebraicas extrayendo el máximo común divisor. Luego, ofrece una serie de ejercicios para que el lector practique la factorización de trinomios, binomios y polinomios más complejos. El documento guía al lector paso a paso en el proceso de factorización.
Este documento presenta un trabajo final de álgebra. Explica conceptos básicos como definiciones de álgebra, clasificación de términos y grado de polinomios. Luego describe operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división con ejemplos. Finalmente, cubre temas como factorización, ecuaciones de primer y segundo grado, y fracciones complejas. El documento provee una introducción completa a los conceptos y operaciones fundamentales del álgebra.
Este documento contiene instrucciones para una evaluación de álgebra con 67 preguntas. Las instrucciones indican que no se considerarán las respuestas sin resoluciones, que se anularán las preguntas objetivas con raspaduras y que la evaluación debe resolverse a mano con tinta azul o negra. Además, está prohibido el uso de calculadora y se descontarán errores ortográficos.
Este documento presenta una guía de álgebra básica para octavo grado. Introduce conceptos como expresiones y términos algebraicos, evaluación de expresiones, reducción de términos semejantes, uso de paréntesis, polinomios y suma de polinomios. Incluye ejemplos y actividades para practicar estas nociones algebraicas fundamentales.
Este documento presenta un manual de repaso para el examen de admisión universitaria (College Board) en matemáticas, específicamente en álgebra. El manual cubre conceptos básicos de álgebra como variables, términos, expresiones y polinomios. También cubre clasificación de polinomios, evaluación de polinomios, suma y resta de polinomios, y leyes de exponentes. Incluye ejemplos y ejercicios de práctica para cada tema.
Este documento describe varios métodos para factorizar polinomios, incluyendo: 1) factor común, 2) productos notables como diferencia de cuadrados y cuadrados perfectos, 3) suma y diferencia de cubos, y 4) agrupamiento de términos con factores comunes. Explica cada método con ejemplos para ilustrar cómo descomponer polinomios en factores.
El documento describe los pasos para hacer galletas cookies en la biblioteca de un colegio. Los niños siguieron nueve pasos que incluyeron batir huevos y mantequilla, agregar levadura, harina, azúcar blanca y morena, y perlas de chocolate a la masa. Luego pusieron la masa en una bandeja para hornear durante 20 minutos a 200 grados. Al final presentaron la plancha de galletas cookies terminadas en la biblioteca, donde muchos niños vinieron a probarlas.
O documento resume as principais novidades da versão C# 5.0, incluindo programação assíncrona e suporte para o Windows Runtime. A apresentação também discutiu a evolução histórica da linguagem C# e informou sobre as próximas reuniões do grupo de usuários.
O documento apresenta os resultados finais da primeira fase do VI Campeonato de Língua Portuguesa 2013/2014. Os 5 alunos em primeiro lugar classificaram-se com 11 valores e apuraram-se para a final. Os restantes alunos foram classificados de 2o a 10o lugar com valores entre 0-10, mas não se apuraram para a final.
A história conta sobre uma garota chamada Cinderela que não queria ir ao baile real. Embora inicialmente relutante, ela concorda em ir com suas irmãs. No entanto, ao invés disso, Cinderela transforma suas irmãs em lesma e as mata, evitando assim ir ao baile.
Este documento presenta un cuaderno de apuntes y ejercicios para el curso de Cálculo del CBTA 20. Incluye una introducción al curso y objetivos, así como secciones sobre conceptos previos de álgebra y aritmética, límites y continuidad de funciones, derivación de funciones, análisis de funciones y cálculo integral. También proporciona una serie de ejercicios de revisión de conceptos previos para que los estudiantes desarrollen antes de comenzar el curso.
Este documento presenta información sobre álgebra, incluyendo factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales. Explica métodos para factorizar expresiones, realizar operaciones con fracciones algebraicas y resolver ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones. También incluye ejemplos resueltos de cada tema.
Este documento contiene la información personal de una alumna en un centro de educación artística, incluyendo su nombre completo, Mahatma Natalie Sánchez Bencomo.
Este documento presenta ejemplos de problemas de álgebra que involucran la suma, resta, multiplicación y reducción de términos semejantes. Incluye ejercicios como simplificar expresiones algebraicas, sumar y restar polinomios, y reducir términos comunes. El objetivo es que los estudiantes practiquen operaciones básicas con expresiones algebraicas.
El documento proporciona información sobre Karla Damaris Morales Flores, una alumna del Centro de Educación Artística CEDART. En particular, se menciona el nombre completo de la alumna.
El documento explica los conceptos básicos de la multiplicación y división algebraica. Cubre las leyes de los signos y la ley distributiva en la multiplicación, así como los pasos para realizar operaciones como multiplicar polinomios. También explica conceptos como productos notables, división exacta, y cómo resolver ecuaciones de división. El documento proporciona numerosos ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento describe operaciones básicas con polinomios como suma, resta, multiplicación y división. Explica cómo ordenar los términos de los polinomios para facilitar cada operación y muestra ejemplos resueltos de cada tipo de operación.
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Este documento resume varios métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo: factor común, agrupación de términos, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, y trinomios de la forma Ax^2n + Bx^n + C. Explica cada método con ejemplos numéricos para ilustrar cómo aplicarlos para descomponer completamente una expresión en factores.
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Este documento presenta los siguientes conceptos clave:
1) Define los productos notables como expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente y que pueden factorizarse a simple vista.
2) Explica cómo factorizar binomios al cuadrado, binomios al cubo, diferencias de cuadrados, sumas y diferencias de cubos, y más.
3) Introduce conceptos como trinomios al cuadrado, diferencias de cuadrados perfectos, y factorización de trinomios de la forma x2 + bx + c.
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Este documento presenta un trabajo final de álgebra. Explica conceptos básicos como definiciones de álgebra, clasificación de términos y grado de polinomios. Luego describe operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división con ejemplos. Finalmente, cubre temas como factorización, ecuaciones de primer y segundo grado, y fracciones complejas. El documento provee una introducción completa a los conceptos y operaciones fundamentales del álgebra.
Este documento contiene instrucciones para una evaluación de álgebra con 67 preguntas. Las instrucciones indican que no se considerarán las respuestas sin resoluciones, que se anularán las preguntas objetivas con raspaduras y que la evaluación debe resolverse a mano con tinta azul o negra. Además, está prohibido el uso de calculadora y se descontarán errores ortográficos.
Este documento presenta una guía de álgebra básica para octavo grado. Introduce conceptos como expresiones y términos algebraicos, evaluación de expresiones, reducción de términos semejantes, uso de paréntesis, polinomios y suma de polinomios. Incluye ejemplos y actividades para practicar estas nociones algebraicas fundamentales.
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O documento discute os resultados da avaliação de escrita do SAEMS 2011. Apresenta dados sobre as situações de texto e os níveis de escrita dos alunos do 2o ao 5o ano do Ensino Fundamental para auxiliar os professores a compararem os resultados entre as séries.
La empresa tiene desorden en los pedidos recibidos y enviados. Se propone implementar una base de datos para tener mayor control, eficacia y seguridad en los pedidos. Existe una plataforma virtual para aprender a realizar bases de datos y cubrir las falencias en estos conocimientos.
La rinitis alérgica es una enfermedad inflamatoria crónica de la mucosa nasal mediada por anticuerpos IgE que causa síntomas como rinorrea, obstrucción nasal, prurito nasal y estornudos. Puede ser estacional debido a pólenes o perenne causada por ácaros u otros alérgenos. Su diagnóstico se basa en la historia clínica y pruebas cutáneas o de provocación, y su tratamiento incluye control ambiental, inmunoterapia, corticoides nasales e antihistamí
Este documento presenta el trabajo final de álgebra de una alumna. Contiene tres secciones correspondientes a los tres parciales del curso. En la primera sección, la alumna define conceptos básicos de álgebra y resuelve ejercicios de suma y resta algebraica. En la segunda sección, explica la ley de los signos y la propiedad distributiva en la multiplicación, y resuelve ejercicios de multiplicación. En la tercera sección, la alumna cubre temas como factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales y cu
Este documento presenta información sobre la factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones lineales. Incluye definiciones, ejemplos resueltos y ejercicios prácticos sobre estos temas de álgebra.
Este documento presenta una serie de ejercicios sobre polinomios. Incluye problemas para determinar el grado y coeficientes de polinomios, sumar, restar, multiplicar y dividir polinomios, factorizar polinomios, y calcular valores de polinomios para valores específicos de la variable.
El documento presenta información sobre el álgebra. Define conceptos clave como álgebra, términos algebraicos, exponentes y grado. Explica aplicaciones del álgebra como la formulación de leyes aritméticas y la resolución de ecuaciones. Además, muestra ejemplos de sumas y restas algebraicas, incluyendo la suma de términos para calcular un perímetro y la resta de medidas para determinar un área.
Este documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas aplicadas para repasar conceptos como aritmética, álgebra, análisis y funciones. Incluye más de 13 ejercicios que abarcan temas como operaciones con radicales, sistemas de ecuaciones, logaritmos, funciones y límites. Los ejercicios van desde operaciones básicas hasta demostraciones y representaciones gráficas, ofreciendo así una revisión integral de varios conceptos matemáticos.
Este documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas aplicadas para repasar conceptos como aritmética, álgebra, análisis y funciones. Incluye más de 13 ejercicios que abarcan temas como operaciones con radicales, sistemas de ecuaciones, logaritmos, funciones y límites. Los ejercicios van desde operaciones básicas hasta demostraciones y representaciones gráficas, ofreciendo así una revisión integral de diferentes conceptos matemáticos.
El documento presenta una serie de ejercicios de álgebra que involucran operaciones con monómios como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Los estudiantes deben realizar operaciones como 3x3 - 4x3, 4x2 + 7y2 - 2x2 - 2y2, así como calcular potencias como (3ab)2 y productos como -3x·8y. También se piden divisiones como 36x6y9 : 6x2y3 y -x2 : x.
El documento presenta una serie de ejercicios de álgebra que involucran operaciones con monómios como sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. Los estudiantes deben realizar operaciones como 3x3 - 4x3, 4x2 + 7y2 - 2x2 - 2y2, así como calcular potencias como (3ab)2 y productos como -3x·8y. También se piden divisiones como 36x6y9 : 6x2y3 y -x2 : x.
Este documento presenta una guía de ejercicios sobre operaciones con polinomios. Incluye determinar el grado y ordenar polinomios, realizar operaciones con monomios como sumar, restar y multiplicar, sumar y restar polinomios, calcular valores numéricos, dividir polinomios y verificar resultados usando el teorema del resto.
"pauta de correción test productos notables"hugooxx
Este documento presenta un examen de matemáticas sobre productos notables. El examen contiene 6 problemas que involucran la aplicación de diferentes productos notables como binomios con término común, suma por su diferencia, cuadrado de binomio y cubo de binomio. También presenta 2 problemas adicionales que piden reducir términos semejantes después de aplicar los productos notables.
El documento presenta una serie de ejercicios y problemas relacionados con conjuntos numéricos y operaciones algebraicas. Se piden determinar si proposiciones son verdaderas o falsas, clasificar números en conjuntos, expresar números como decimales periódicos, factorizar polinomios, simplificar expresiones algebraicas, dividir polinomios, y realizar operaciones con números complejos.
Este documento presenta una serie de ejercicios introductorios sobre álgebra, números y operaciones con polinomios. Incluye problemas sobre clasificación de números, expresiones decimales periódicas, operaciones con números complejos, diagramas de Venn, factorización de polinomios y propiedades de los sistemas numéricos. El documento proporciona una guía para repasar conceptos básicos antes de abordar temas más avanzados.
Este documento presenta un resumen de conceptos básicos de álgebra incluyendo operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división. También cubre temas como productos notables, factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones de primer y segundo grado. El documento proporciona definiciones, ejemplos y ejercicios para cada tema.
El documento presenta una introducción al álgebra, incluyendo sus aplicaciones, términos algebraicos, exponentes y grados. Luego describe operaciones algebraicas como suma, resta, multiplicación y división, incluyendo ejemplos. Finalmente, introduce productos notables.
Este documento trata sobre la factorización de polinomios. Explica diferentes métodos para factorizar polinomios incluyendo factor común, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, y casos combinados. Proporciona ejemplos para ilustrar cada método.
El documento presenta un resumen de las operaciones algebraicas básicas como suma, resta, multiplicación y división. Explica conceptos clave como términos algebraicos, exponentes, grado de un polinomio y cómo aplicar las propiedades de las operaciones a expresiones algebraicas. Incluye ejemplos para ilustrar cada operación.
Actividad de mejora matematicas ciclo iv( 4 c) 1er al 4to periodo (fernando l...ferloz2013
El documento presenta 15 ejercicios de álgebra que incluyen operaciones con monomios como multiplicación, división y potenciación, aplicación de fórmulas como el binomio cuadrado y el trinomio de cubo, y factorización de expresiones algebraicas. Los ejercicios deben ser resueltos y la respuesta seleccionada entre las opciones provistas.
Este documento contiene 10 preguntas sobre números enteros y álgebra de primer curso de ESO. Las preguntas cubren temas como números enteros, operaciones con enteros, valor absoluto, ecuaciones de primer grado y monomios. El documento proporciona una relación de ejercicios para que los estudiantes practiquen y demuestren su comprensión de estos conceptos básicos de matemáticas.
Este documento contiene 10 temas de repaso de matemáticas para 2o de ESO. Los temas incluyen números enteros, sistemas de numeración, fracciones, proporcionalidad, porcentajes y lenguaje algebraico. Cada tema contiene varios ejercicios de cálculo y resolución de problemas relacionados con los conceptos matemáticos cubiertos.
Este documento contiene ejercicios de álgebra sobre operaciones con monómios. Incluye sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de polinomios. También incluye determinar cuocientes y restos de divisiones polinómicas.
Este documento contiene un resumen de conceptos básicos de álgebra incluyendo definiciones de términos algebraicos, exponentes, grado, sumas, restas, división algebraica, productos notables, factorización, fracciones algebraicas, ecuaciones lineales y ecuaciones de segundo grado. El documento está dividido en secciones con ejemplos y problemas para cada uno de estos temas.
Este documento presenta los conceptos fundamentales del álgebra de primer año, incluidas las operaciones básicas (suma, resta, multiplicación y división), productos notables, factorización, fracciones algebraicas y ecuaciones de primer y segundo grado. El objetivo general es practicar y evaluar los conocimientos adquiridos en álgebra a través de la realización de ejercicios.
Este documento presenta información sobre diferentes temas de álgebra incluyendo factorización, ecuaciones cuadráticas, fracciones algebraicas, ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones. Define cada tema, ofrece ejemplos y métodos para resolver problemas relacionados.
Este documento presenta información sobre el tema de factorización en álgebra. Explica los diferentes métodos de factorización como diferencia de cuadrados, trinomio cuadrado perfecto, factor común y agrupación. Luego, presenta ejemplos de expresiones factorizadas y aplicaciones de la factorización en la resolución de ecuaciones cuadráticas. Finalmente, concluye con comentarios personales sobre la importancia de la factorización en otros temas como fracciones algebraicas y ecuaciones.
Este documento presenta las respuestas a un examen de álgebra. Incluye definiciones y ejemplos de conceptos como la multiplicación, división y productos notables. También presenta ejercicios resueltos sobre estas operaciones algebraicas.
Este documento proporciona una explicación de la división algebraica. Define la división algebraica como la operación que produce un cociente y un residuo a partir de un dividendo y un divisor. Explica que existen tres tipos de división: monomio entre monomio, polinomio entre monomio y polinomio entre polinomio. También enumera las propiedades fundamentales de la división algebraica y los elementos involucrados como el dividendo, divisor, cociente y residuo. Finalmente, presenta algunos ejemplos resueltos de problemas de división algebraica.
El documento proporciona una introducción al álgebra, incluyendo definiciones de términos algebraicos, expresiones algebraicas, exponentes y grados. También explica operaciones algebraicas básicas como suma, resta y multiplicación, incluyendo leyes y propiedades como la propiedad distributiva. Finalmente, presenta ejemplos de resolución de problemas utilizando estas operaciones y conceptos algebraicos.
El documento habla sobre conceptos básicos de álgebra como términos algebraicos, expresiones algebraicas, exponentes, operaciones algebraicas como suma, resta y multiplicación. Explica propiedades como la ley de signos y la propiedad distributiva. Presenta ejemplos de resolución de operaciones algebraicas como sumas, restas y multiplicaciones de polinomios y trinomios. Finalmente, plantea dos problemas para modelar el área de un terreno rectangular y el costo total de una compra de tres artículos.
1. Instituto Nacional de Bellas Artes
Centro de Educación Artística
“David Alfaro Siqueiros”
Trabajo Final
de
Álgebra
Nombre del Alumno: Ana Gabriela Flores
Delgado.
Fecha de entrega: 15 de diciembre del
2010.
Examen Semestral.
Grupo: 1.
2. 2
Índice:
Objetivo
General………………………………..3
Trabajo de Primer
Parcial……………………….4
Introducción………………………………….
..4
Suma………………………………………….
5
Resta………………………………………....
.6
Trabajo de Segundo
Parcial……………………..8
Multiplicación………………………………..
..8
División………………………………………
11
Productos
notables…………………………….13
Trabajo de Tercer
Parcial…………………….....15
4. 4
Trabajo de Primer Parcial
Introducción.
A) Definir los siguientes conceptos:
*Álgebra: Generalización de la aritmética que estudia las estructuras, las
relaciones y las cantidades con que queda provisto un conjunto al definir en
ellos ciertas leyes de composición (operaciones). La palabra «álgebra» es de
origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persa Muhammad
ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala (que significa
"Compendio de cálculo por el método de completado y balanceado"), el cual
proporcionaba operaciones simbólicas para la solución sistemática de
ecuaciones lineales y cuadráticas.
5. 5
*Aplicaciones:
- Permite la formulación general de leyes de aritmética (como a + b = b + a), y
esto es el primer paso para una exploración sistemática de las propiedades de
los números reales.
- Permite referirse a números "desconocidos", formular ecuaciones y el
estudio de cómo resolverlas.
- Permite la formulación de relaciones funcionales.
- Por ejemplo, es muy usada para la resolución de problemas relacionados con
la geometría.
*Términos Algebraicos: es el producto y/o división de una o más variables
(factor literal) y un coeficiente o factor numérico.
Un término algebraico consta de las siguientes partes:
- Coeficiente. En el producto de dos o más factores, cualquiera de ellos puede
llamarse coeficiente de los otros factores.
- Variable (o parte literal). Cantidad generalizada.
- Exponente. Es el número de veces que se multiplicará la cantidad
generalizada o variable, por sí misma.
*Exponentes: Número utilizado para indicar el número de veces que se utiliza
un término como factor para multiplicarse por sí mismo.
*Grado: El grado de un polinomio de una variable es el máximo exponente que
posee el monomio sobre la variable; Por ejemplo en 2x3 + 4x2 + x + 7, el
término de mayor grado es 2x3; este término tiene una potencia tres en la
variable x, y por lo tanto se define como grado 3 o de tercer grado
Suma
A) Resolver:
( 2 3
) ( ) (2 3
)
a) 5a − 2a + a + 4a + 3a + 5a − 2a + 7 = 3a + 8a + 3a + 7 Polinomio Cúbico
3 2
(4 3 ) ( 6 2 )
b) 3 x − 4 x + 2 + 1 x − 5 x + 7 = − 7 x − 7 x + 23 Trinomio Cuadrático
2 2
8 4
2
6 8
c) ( 4 z − 5 y + 3) + ( 4 z − y + 2 ) + ( 3 y − 2 z − 1) = −3 y + 6 z + 4 Trinomio Lineal
(2 5 )4
4( 3 )
d) 1 m + 3 m − 7 + ( 8 m − 5 ) + 5 m − 10 m = 1 m + 120 m − 51 Trinomio Cuadrático
2 3 3 2
5
2 317
28
e)
( ) ( ) ( )
2 pq − 3 p 2 q + 4 pq 2 + pq − 5 pq 2 − 7 p 2 q + − 4 pq 2 + 3 pq − p 2 q = −11 p 2 q − 5 pq 2 + 6 pq
Trinomio cúbico
B) Ejemplo de suma algebraica (perímetro)
6. 6
Necesito saber cuál es el perímetro de una recámara irregular, pero no tengo
una regla, sé que mide 40 cuadros de cerámica y 5 centímetros de un lado, 55
cuadros de cerámica y 7 centímetros de otro, 20 pasos míos de otro lado, y 24
pasos míos menos 8 centímetros del otro, sé que cada cuadro de cerámica mide
36 centímetros, y que cada uno de mis pasos mide 55 centímetros ¿Cuál es el
perímetro de la recámara?
(40x + 5) + (55 x + 7) + (20y) + (24y - 8)
95x + 44y +4 = trinomio lineal
X= 36
Y= 55
Perímetro de la recámara: 8, 276, 404 cm. = 82, 764.04 m.
Resta
A) Ejemplifica una aplicación de la resta algebraica (Describe el
problema agrega imagen o esquema y resuelve).
Necesito saber cuál es la medida del perímetro de una recámara, pero
restándole la medida de una parte que mide 10 cuadros de cerámica de largo
más 10 centímetros, y 8 cuadros de ancho… la recámara en general mide 47
cuadros de cerámica de largo y 32 de ancho menos 2 centímetros, ¿cuál es la
medida?
Cada cuadro de cerámica mide 44 centímetros.
(47x) + (47x) – (10x+10) + (32x-2) + (32x-2) – (8x)=
140x+6= 6166 cm= 61.66 metros.
7. 7
B) Resuelve las siguientes operaciones:
a) ( 5m + 4n − 7 ) − ( 8n − 7 ) + ( 4m − 3n + 5) − ( − 6m + 4n − 3) = 15m − 11n + 8
Trinomio lineal.
( 2 3
) (
b) 4m − 3m + 6m + 5m − 4 − 6m − 8m − 3m + 1 = 4m − 9m + 14m + 8m − 5
4 3 2 4 3 2
)
Polinomio de cuarto grado.
( ) (
5 3 2 5 3
)
c) 6 x + 3 x − 7 x + 2 − 10 x + 6 x − 5 x − 2 x + 4 = −4 x − 6 x + 8 x − 5 x − 2
5 2 2
Polinomio de quinto grado.
(3 2 4
) ( 3 2
) (
d) − xy − 7 y + xy + − 2 xy + 5 y − 2 − − 6 y + xy + 5 = −3 xy − y + 5 y − 7
4 4 3
)
Polinomio de quinto grado.
e) ( 1 x + 8 y − 5) − ( 8 y − 5 ) + ( 3 x + ) = 5 x − 55 y − 127
3 2
6 3 4 2 9 3 24 36
Trinomio lineal
C) Diseñar otra resta con fracciones (mínimo trinomio)
( 3
5 4 2 ) (
x 2 − 5 xy + 4 x + 6 + 5
3 4 ) (
x2 − 2 x − 6
7
2
)
xy + 8 x 2 − 5 = 121 x 2 − 59 xy + 3 x + 32
2
60 28 2 5
Polinomio cúbico
8. 8
Trabajo de Segundo Parcial
Multiplicación
A) Indica la Ley de los signos en la multiplicación.
La multiplicación de expresiones con signos iguales dan como resultado un
valor positivo y la multiplicación de expresiones con signos contrarios dan como
resultado un valor negativo.
(+) por (+) da (+)
(+) por (-) da (-)
9. 9
(-) por (+) da (-)
(-) por (-) da (+)
B) Explica la propiedad distributiva de la multiplicación (Utiliza un
ejemplo).
La suma de dos números por un tercero es igual a la suma de cada sumando por
el tercer número.
Por ejemplo: x (x + 3) = (x) (x) + (x) (3)
C) Indica la Ley de los exponentes, en la multiplicación, división,
radical y potencia.
De la Ley de los Exponentes de la multiplicación deducimos que para multiplicar
dos o más potencias de la misma base, sumamos sus exponentes. Por ejemplo:
( x) 2 ( x) 4 = x 2+ 4 = x 6
La Ley de los Exponentes para la división establece que para potencias de la
misma base el exponente del denominador se resta al del numerador. Por
y7
= y 7 −3 = y 5
ejemplo. y3
La Ley de las potencias indica que cuando tenemos un término elevado a más de
una potencia, las potencias se multiplican. Ejemplo: n 8 ( ) 5
= n 40
Y la Ley de los Radicales, habla de que toda expresión radical, se puede
expresar como un Exponente Fraccionario. Por ejemplo: n ( yz ) 8 = yz
8/n
D) Explica gráficamente los pasos de la multiplicación algebraica
(Usa un ejemplo)
( 5 x + 2 y ) (8 x 2 − 9) = 40 x 3 − 45 x + 16 x 2 y − 18 y = 40 x 3 + 16 x 2 y − 45 x − 18 y
Polinomio Cúbico.
10. 10
1. Los coeficientes se multiplican, aplicando la ley de los signos, como en el
ejemplo, en el cual, el primer término es 5x, y se multiplica, uno por uno, por
los términos del segundo paréntesis, al igual que con el segundo término que en
este caso es 2y.
2. Como en este caso no es necesario simplificar, sólo ordenamos los términos
de acuerdo a su exponente, y finalmente nombramos el término del resultado.
E) Resuelve las siguientes multiplicaciones:
( 2 2
)( 4 3 2
)
1. 2 x − x − 3 2 x − 5 x − 2 = 4 x − 12 x − 5 x + 17 x + 6 Polinomio de 4to. grado.
2
( 3 2
)
2. ( 3x − 1) 4 x − 2 x − 1 = 12 x − 10 x − x + 1 Polinomio cúbico.
( 3
2
4 2 5)
3. 4 a − 5 a − 1 ( 2 a + 3 ) = 15 a + 3 a − 83 a − 3 Polinomio de 4to. grado.
2
8 3
2
2
40 4
4. ( 9 xy − 4 x y )( 2 xy − 6 x y ) = 24 x y − 62 x y + 18 x y Trinomio de 7mo. grado.
2 2 2 2 4 3 3 3 2 3
5. ( 5m − 3m )( 4m − 2m ) = 20m −3 / 4 −1 / 4 −1 / 12
1/ 2 2/3
− 10m − 12m + 6m
5 11 / 2 17 / 3
6. ( z − z + )( z − z − 3) = z − z + z − z + Polinomio de 4to. grado.
2 2 1 4 3 2 7 6 4 54 3 11 2 5 12
5 3 9 7 2 35 35 40 9 9
7. ( 3 y − 5)( 2 y + 4 ) = 6 y + 2 y + 20 Trinomio Cuadrático.
2
( 2
)
8. 3 y − x + 7 ( 5 x + 2 ) = 15 xy − 5 x + 6 y + 33 x + 14 Polinomio cúbico.
2 2 2
( 2 3 2 2 3
)
9. ( (4ab + 3b ) 6a b − 2ab = 24a b − 8a b + 18a b − 6ab Polinomio de 5to. grado.
2 2 2 3
F) Un terreno rectangular mide 2x-4 metros de largo y 5x+3
metros de ancho. ¿Cuál es el modelo matemático que expresa su
área? (agrega una figura)
( 2 x − 4)( 5 x + 3) = 10 x 2 − 14 x − 12
11. 11
G) En una tienda se compran tres diferentes artículos; A, B y C. A
cuesta 3x por unidad y se compran 5 unidades. B cuesta 4x+2 por
unidad y se compraron 3 unidades y C cuesta 3/4x por unidad y se
compraron 7 unidades. ¿Cuál es el modelo matemático del costo
total de la compra?
( 3x )( 5) + ( 4 x + 2) (3) + ( 3 x)(7) = 139 x + 6
4 4
División
A) Definir la división algebraica.
División algebraica es la operación que consiste en obtener una expresión
llamada cociente y otra llamada residuo, conociendo otras dos llamadas
dividiendo y divisor.
B) Propiedades de la división.
q° = D° - d°
En toda división el grado del cociente es igual al grado del dividendo menos el
grado del divisor.
D° ≥ d°
En toda división, el grado del dividendo es mayor o igual que el grado del
divisor :
12. 12
d° > r°
En toda división el grado del divisor es mayor que el grado del resto.
r maximo = d° - 1
En toda división el grado máximo del resto es igual al grado del divisor menos 1
En el caso de polinomios homogéneos el grado del resto es mayor que el grado
del divisor : r° > d°
En el caso de polinomios homogéneos no se cumple la propiedad 4
C) Elementos (partes) de la división.
Dividendo es el número que se va a dividir.
Divisor es el número que divide.
Cociente es el resultado de la división.
Resto es lo que ha quedado del dividendo, que no se ha podido dividir porque es
más pequeño que el divisor.
Sus términos cumplen esta relación:
Dividendo = divisor · cociente + resto
D) Resolver:
8m 9 n 2 − 10m 7 n 4 − 20m 5 n 6 + 12m 3 n 8 4m 7
1. 2 3
= − 5m 5 n − 10m 3 n 3 + 6mn 5
2m n n
20 x − 5 x − 10 x + 15 x
4 3 2
2. = −4 x 3 + x 2 + 2 x − 3
− 5x
4a − 10a − 5a 4
8 6
5a
3. 3
= 2a 5 − 5a 3 −
2a 2
2 x y + 6 xy − 8 xy + 10 x y
2 2 2 2
4. = 5 xy + x + 3 y − 4
2 xy
3x 2 + 2 x − 8
5. = 3x − 4
x+2
2x3 − 4x − 2
6. = x2 − x −1
2x + 2
2a 4 − a 3 + 7 a − 3
7. = a 3 − 2a 2 + 3a − 1
2a + 3
14 y − 71y − 33
2
8. = 2 y − 11
7y + 3
E) Si un espacio rectangular tiene un área de 6 x − 19 x + 15 y la
2
anchura es
3x-5. ¿Cuánto mide la base?
13. 13
6 x 2 − 19 x + 15
= 2x − 3
3x − 5
F) Expresar conclusiones personales acerca de la primera unidad
“Operaciones Algebraicas”
Dentro de este tema nos dimos cuenta de la importancia que tiene
cada una de las operaciones algebraicas, y que es necesario saber
realizar los procedimientos de cada una de ellas, debido a la
dependencia que llevan unas de otras.
Vemos que es importante saber hacer cada una de las operaciones
básicas que se nos fueron enseñando a lo largo de nuestra
educación para poder resolver estos problemas, y los usos que les
podemos dar para la resolución de problemas.
Productos Notables
A) Definir qué son los productos notables.
Productos notables es el nombre que reciben aquellas multiplicaciones con
expresiones algebraicas cuyo resultado puede ser escrito por simple
inspección, sin verificar la multiplicación que cumplen ciertas reglas fijas. Su
aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas multiplicaciones
habituales.
B) Indicar las reglas para la resolución de cada uno de los
productos notables vistos en clase (5 tipos)
1. Binomio al cuadrado.
- Cuadrado del primero
- Doble producto del primero por el segundo.
14. 14
- Cuadrado del segundo.
2. Binomio cúbico.
- Cubo del primer término.
- Triple producto del cuadrado del primero por el segundo.
- Triple producto del cuadrado del segundo por el primero.
- Cubo del segundo término.
3. Binomio a una potencia superior.
- Se usa el triángulo de pascal y dependiendo de la potencia que se requiera, se
verifican ahí los números por los que se multiplicará el binomio.
- Siempre el primer término del binomio va a iniciar con la potencia que se
indique, y va a terminar con la potencia 0.
- El segundo término es lo contrario, empieza desde la potencia 0 y termina con
la potencia que se indique.
4. Binomios con término común.
- Cuadrado del común.
- Suma o resta de los no comunes por el común.
- Producto de los no comunes.
5. Binomios conjugados.
- Cuadrado del primero.
- (-) menos cuadrado del segundo.
C) Resolver:
( 3a + 4) 2 = 9a 2 + 24a + 16
(2x 2
) 2
− 5 = 4 x 4 − 20 x 2 + 25
( 7m + 8n ) 2 = 49m 2 + 112mn + 64n 2
( 4a + 5) 3 = 64a 3 + 240a 2 + 300a + 125
( 2a 3
) 3
− 7 = 8a 9 − 84a 6 + 294a 3 − 343
( 5m + 4) 3 = 125m 3 + 300m 2 + 240m + 64
( 3x + 2) 4 = 81x 4 + 216 x 3 + 216 x 2 + 96 x + 16
(2x 2
) 5
− 4 = 32 x 10 − 320 x 8 + 1280 x 6 − 2560 x 4 + 2560 x 2 − 1024
(4 y 3
+ 3)
6
= 4096 y 18 + 18432 y 15 + 34560 y 12 + 34560 y 9 + 19440 y 6 + 5832 y 3 + 729
( 2 x + 3)( 2 x + 5) = 4 x 2 + 16 x + 15
( )(
x2 −1 x2 +1 = x4 −1 )
( m + 4)( m − 2) = m 2 + 2m − 8
( 3a − 7 )( 3a + 7 ) = 9a 2 − 49
15. 15
( 5a + 3b )( 5a − 2b ) = 25a 2 + 5ab − 6b 2
( 4 x + 3)( 4 x − 3) = 16 x − 9
3 3 6
( a − 1)( a − 4) = a − 5a + 4
2 2 4 2
D) Investigar la aplicación de los binomios conjugados en otras
áreas.
Los binomios conjugados son de utilidad para la obtención de áreas, en este
caso, de rectángulos principalmente.
Su aplicación simplifica el hecho de realizar la multiplicación paso por paso.
E) Expresar conclusiones personales sobre la segunda unidad
“Productos Notables”
A lo largo de este segundo tema, observamos la relación que hay
entre cada tema que hemos visto.
Los productos notables hacen más simple una multiplicación, ya que
el procedimiento es mucho más corto, pero aún así, se utiliza cada
una de las operaciones del primer tema.
Trabajo de Tercer Parcial
Factorización
A) Defina qué es factorización.
La factorización es expresar un objeto o número (por ejemplo, un número
compuesto, una matriz o un polinomio) como producto de otros objetos más
pequeños (factores).
16. 16
B) Ilustra en un mapa conceptual los diversos métodos de
factorización.
Agrupación:
No existe factor
común. Se separa en
parejas comunes;
tienen que ser al
menos de 4
Diferencia de términos. Trinomio cuadrado
Cubos: perfecto:
No es muy usado. Los extremos tienen
Sólo se utiliza con raíz cuadrada exacta
binomios, en los y se comprueba el
que ambos términos doble producto.
tienen raíz cúbica.
Métodos
Factor común:
Diferencia de De Se usa cuando todos
Cuadrados:
Binomio con raíz Factorización los términos tienen
una variable común o
cuadrada exacta;
un coeficiente
ambos términos se
múltiplo de un mismo
restan, y se factoriza a
número.
binomios conjugados.
x2 + bx + c:
ax2 + bx + c: No es factor común,
No es TCP, ni factor no es TCP. Se
común. Se factoriza factoriza a dos
como agrupación. binomios con
término común.
C) Factoriza las siguientes expresiones.
25a 2 − 64b 2 = (5a + 8b)(5a − 8b)
8m 2 − 14m − 15 = (4m + 3)(2m − 5)
x 2 − 15 x + 54 = ( x − 6)( x − 9)
5 x 2 − 13 x + 6 = (5 x − 3)( x − 2)
27 a 9 − b 3 = (3a 3 − b)(9a 6 + 3a 3 b + b 2 )
5a 2 + 10a = 5a (a + 2)
n 2 − 14n + 49 = (n − 7) 2
x 2 − 20 x − 300 = ( x − 30)( x + 10)
9 x 6 − 1 = (3x 3 − 1)(3 x 3 + 1)
17. 17
64 x 3 + 125 = (4 x + 5)(16 x 2 − 20 x + 25)
x 2 − 144 = ( x − 12)( x + 12)
2 x 2 + 11x + 12 = (2 x + 4)( x + 3)
4 x 2 y − 12 xy 2 = 4 xy ( x − 3 y )
xw − yw + xz − yz = ( w + z )( x − y )
x 2 + 14 x + 45 = ( x + 5)( x + 9)
6 y 2 − y − 2 = (3 y − 2)(2 y + 1)
4m 2 − 49 = (2m + 7)(2m − 7)
x 2 − x − 42 = ( x + 6)( x − 7)
2m 2 + 3m − 35 = (2m − 7)(m + 5)
a 2 − 24a + 119 = (a − 17)(a − 7)
D) Aplicación de la factorización en la solución de ecuaciones
cuadráticas.
En la resolución de ecuaciones cuadráticas, existe el método de la
factorización.
Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero.
Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de
factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la
variable.
E) Conclusiones personales sobre la unidad de factorización.
Dentro de esta unidad pusimos en práctica nuestras habilidades
para diferenciar un método de factorización, de los otros; lo cual
nos ha apoyado en cada uno de los temas que hemos visto
posteriormente, por ejemplo, en fracciones algebraicas seguimos
viendo varios métodos de factorización, al igual que lo haremos en
el tema de ecuaciones cuadráticas.
18. 18
Este tema ya en secundaria lo habíamos visto, pero sólo algunos de
los métodos, es por eso que al menos en lo personal, me pareció
interesante el hecho de aprenderlos y además, me sirvió de
práctica.
Fracciones Algebraicas.
A) Realiza las operaciones con fracciones algebraicas.
x 2 − 16 ( x − 4)
=
x + 8 x + 16 ( x + 4)
2
4 x 2 − 20 x 4x
=
x − 4 x − 5 ( x + 1)
2
19. 19
3a − 9b 1
=
6a − 18b 2
x 2 − 6x + 9 x 2 + 6x + 5
* 2 =
( x − 3)( x + 5)
x − 7 x + 12 3 x + 2 x − 1 ( x − 4)(3 x − 1)
2
7 x + 21 x 2 − 5 xy + 4 y 2
* =
( 7 )( x − y )
x − 16 y
2 2
4 x + 11x − 3
2
( x + 4 y )( 4 x − 1)
x 2 − 3 x − 10 2 x + 10 1
* =
x 2 − 25 6 x + 12 3
x − 4 4x + 8
* 2 =
( 4)( x + 2)
2 x + 8 x − 16 ( 2 )( x + 4 ) 2
3 x − 15 12 x + 18 (12)( x − 5)
÷ =
x+3 4 x + 12 ( 6 )( 2 x + 3)
4x 2 − 9 2x − 3
÷ = ( 2 )( 2 x + 3)
x + 3 y 2x + 6 y
x 2 − 14 x − 15 x 2 − 12 x − 45 ( x + 1)
÷ =
x 2 − 4 x − 45 x 2 − 6 x − 27 ( x + 5)
a −3 a − 4a + 9
− 2 =
a − 3a + 2 a − 4a + 3 ( a − 2 )( a − 1)( a − 3)
2
m 3m 3m 2 − 2m
+ =
m 2 − 1 m + 1 ( m + 1)( m − 1)
2a 4 2a 2 − 12a − 8
− 2 =
a 2 − a − 6 a − 7 a + 12 ( a + 2)( a − 3)( a − 4 )
2 1 1 2m 2 + 12m − 1
− 2 + 2 =
m 2 − 11m + 30 m − 36 m − 25 ( m − 5)( m + 6 )( m − 6 )( m + 5)
20. 20
x 2 3x + 4
+ =
x − 5 x − 14 x − 7 ( x + 2 )( x − 7 )
2
B) Define qué es una fracción compleja y da un ejemplo.
Una fracción compleja es una fracción en la que al menos uno de los términos
de uno o ambos miembros es una fracción. Las expresiones racionales
siguientes son fracciones complejas:
2
3
4
Ejemplo: 5
C) Conclusiones personales sobre la unidad de Fracciones Algebraicas.
A lo largo de este parcial, nos hemos dado cuenta de la importancia,
y de la dependencia de cada tema con los otros, ya que, por
ejemplo, en fracciones algebraicas seguimos utilizando diversos
métodos de factorización, que afortunadamente, son rápidos, ya
que la mayoría de las expresiones en los ejercicios usan métodos de
factorización sencillos, además de las operaciones algebraicas, que
fue el primer tema que vimos.
Ecuaciones Lineales.
A) Definir qué es una ecuación lineal, los tipos que existen y cuáles
son los principales métodos de resolución.
Una ecuación de primer grado o ecuación lineal es un planteamiento de
igualdad, involucrando una o más variables a la primera potencia, que no
21. 21
contiene productos entre las variables, es decir, una ecuación que involucra
solamente sumas y restas de una variable a la primera potencia.
Ecuación general
A y B no son ambos cero. Representa una línea en el cartesiano. Es posible
encontrar los valores donde x e y se anulan.
Ecuación segmentaria o simétrica
E y F no deben ser cero. El gráfico de esta ecuación corta al eje X y al eje Y
en E y F respectivamente.
Forma paramétrica
Dos ecuaciones que deben cumplirse de manera simultánea, cada una en la
variable t. Puede convertirse a la forma general despejando t en ambas
ecuaciones e igualando.
Casos especiales:
Un caso especial es la forma estándar donde y . El gráfico es una
línea horizontal sin intersección con el eje X
Otro caso especial de la forma general donde y . El gráfico es una
línea vertical, interceptando el eje X
En este caso, todas las variables fueron canceladas, dejando una ecuación que
es verdadera en todos los casos.
Métodos:
- Suma-Resta.
*Elegir una variable para eliminar cruzando sus coeficientes y cambiando el
signo a uno de ellos.
*Multiplicar, sumar y restar.
*Obtener el valor.
*Despejar la otra variable y sustituir el valor.
-Igualación:
22. 22
*Despejar la misma variable de ambas ecuaciones.
*Igualar los despejes.
*Hacer operaciones hasta encontrar el valor de la literal.
*Sustituir en uno de los dos despejes para obtener el segundo valor.
- Determinantes:
La regla de Cramer es un teorema en álgebra lineal, que da la solución de un
sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes.
Para la resolución de un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, de la
forma. Dado el sistema de ecuaciones:
Lo representamos en forma de matrices:
Entonces, los términos pueden ser encontrados con la regla de Cramer, con una
división de determinantes, de la siguiente manera:
y
B) Resolver las siguientes ecuaciones.
4( 2 x − 3) + 5( x − 1) = 7( x + 2 ) − ( 3 x + 4 )
x=3
5x − 3 2x x + 1
+ =
4 3 2
x = 17
15
3( 4 x + 3) + 2 x − 3( 2 − x ) = 2 + 3( x − 4 ) + 5 x − 2
x= −15
9
23. 23
2 x + 5 3x x + 2
− = + 3x
7 5 2
x = −20
267
2x − 3 x
5( 2 x − 3) + 4( x + 1) − 5 = +
2 3
x= 87
76
C) Graficar:
y=5x-1
Solución: (0.2, 0)
Pendiente: 5
y=2x+3
Solución: (-1.5, 0)
Pendiente: 2
25. 25
D) Una joyería vende su mercancía 50% más cara que su costo. Si
vende un anillo de diamantes en $1500, ¿Qué precio pagó al
proveedor?
$1000
E) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones.
a)
2x − 3y = 4
x − 4y = 7
x = −1
y = −2
b)
4a + b = 6
3a + 5b = 10
a= 20
17
b= 22
17
c)
m−n =3
3m + 4n = 9
m=3
n=0
d)
5 p + 2q = −3
2p − q = 3
p= 1
3
q=−7
3
e)
26. 26
x + 2y = 8
3 x + 5 y = 12
x = −16
y = 12
f)
3m + 2n = 7
m − 5n = −2
m = 17
31
n = 17
13
g)
2h − i = −5
3h − 4i = −2
h = − 18
5
i = − 11
5
F) Grafica los incisos a, c, e y g de los sistemas anteriores.
a)
2x-3y=4
x-4y=7
Solución: (-1, -2)
c)
m-n=3
28. 28
3h-4i = -2
Solución: (-3.6, -2.2)
G) Se vendieron boletos para una obra de teatro escolar a $4.00 para
adultos y $1.50 para niños. Si se vendieron 1000 boletos recaudando
$3,500. ¿Cuántos boletos de cada tipo se vendieron?
x + y = 1000
4 x + 1.5 y = 3500
Adultos: 800 boletos.
Niños: 200 boletos.
H) Si se mezcla una aleación que tiene 30% de Ag con otra que
contiene 55 % del mismo metal para obtener 800 kg de aleación al
40%. ¿Qué cantidad de cada una debe emplearse?
x+y= 800
.3x+.55y= 800(.4)= 320
480 kg de Ag al 30%
320 kg de Ag al 55%
29. 29
Ecuaciones Cuadráticas.
A) Definir qué es una ecuación cuadrática.
Es una ecuación polinómica donde el mayor exponente es igual a dos.
Normalmente, la expresión se refiere al caso en que sólo aparece una incógnita
y que se expresa en la forma canónica:
donde a es el coeficiente cuadrático o de segundo grado y es siempre distinto
de 0, b el coeficiente lineal o de primer grado y c es el término independiente.
B) Definir qué es un número real y qué es un número imaginario.
Números Reales: Los números reales son los que pueden ser expresados por un
número entero (3, 28, 1568) o decimal (4,28; 289,6; 39985,4671). Esto quiere
decir que abarcan a los números racionales (que pueden representarse como el
cociente de dos enteros con denominador distinto a cero) y los números
irracionales (los que no pueden ser expresados como una fracción de números
enteros con denominador diferente a cero).
Números imaginarios: (I) Son aquellas cantidades que resultan cuando se
asocia la cantidad , ya que no es posible hallar una solución a está raíz en
los reales. Se asocia entonces una cantidad imaginaria a la raíz de menos uno
llamada i.
Fue en el año 1777 cuando Leonhard Euler le dio a el nombre de i (por
imaginario).
C) Resolver las siguientes ecuaciones cuadráticas.
7 x 2 + 21x = 0
x1 = 0
x 2 = −3
30. 30
4 x 2 − 16 = 0
x1 = 2
x 2 = −2
a 2 − 3a + 2 = 0
a1 = 2
a2 = 1
9m 2 + 2m − 5 = 0
m1 = .6424
m2 = −.8647
x 2 − 3x = 0
x1 = 0
x2 = 3
5 x 2 + 10 = 0
x1 = 1.4142
x 2 = −1.4142
7 y 2 − 3 y + 10 = 0
y1 = .2142 + 1.1758i
y 2 = .2142 − 1.1758i
2t 2 + t + 1 = 0
t1 = −.25 + .6614i
t 2 = −.25 − .6614i
31. 31
8x 2 − 7 x = 0
x1 = 0
x 2 = 7 = .875
8
a 2 − 25 = 0
a1 = 5
a 2 = −5
D) Graficar las siguientes funciones cuadráticas:
1)
y = x2 −1
y1 = 1
y 2 = −1
32. 32
2)
y = x 2 + 5x + 6 = 0
y1 = −2
y 2 = −3
3)
y = −x2 − 4
x1 = 2i
x 2 = −2i
33. 33
Conclusiones Finales:
Al finalizar éste semestre, tenemos como conclusión que el
hecho de haber realizado tal trabajo, al menos en lo personal,
me sirvió mucho para practicar, y reforzar los conocimientos
que había obtenido a lo largo del periodo de clases.
Además, aprendí un poco más acerca de la forma de utilizar
éste tipo de programas y espacios en Internet, porque en
secundaria, jamás utilizamos éste medio para subir nuestros
trabajos.
Debemos tener en cuenta la importancia de los temas que
vimos para los semestres siguientes, y seguirlos practicando, de
ésta forma nos será más fácil aprender los temas nuevos.