El documento proporciona una introducción a las funciones, incluyendo: 1) La definición de función y sus componentes como dominio y rango. 2) Diferentes tipos de funciones como lineales, cuadráticas y cúbicas. 3) Cómo graficar funciones y ejemplos de gráficas de funciones.

1. FUNCIONES
1
Anival Torre
ANIVAL TORRE

2. Contenido
2
Conjunto producto
Definición deFunción
Dominio y rango
Funciones elementales
Grado de un polinomio
Función seccionada
Función inyectiva
Dominio y rango
Grafica de las funciones
Ejemplos
Grafica de las funciones trigonométricas
ANIVAL TORRE

3. Conjunto producto
3
A 1, 4 , 3 , 2
1, 2 , 1,1 
B 2 ,1, 0 AxB 4 , 2 , 4 ,1 , 

ANIVAL TORRE

4. Definición de función
4
Es una correspondencia que asocia a cada
elemento de A un único elemento de B.
f :A B
A B
3 -1
4 7
1 0
ANIVAL TORRE

5. Definición de función
5
 Es un conjunto de pares ordenados de números (x,y).
 Es lo que asocia a cada elemento del conj. A un único
elemento del conj. B, es decir que y es el único valor de x.
A f B
f = {(5,8);(7,8)}
y
7 8 8
5
3 1 1
x
3 57
ANIVAL TORRE

6. Funciones y Relaciones
6
CASOS I f
A B
1 4
5 f 1, 6 5,6 9,4
9 -6
CASO II
f
A B
2 3
9
5 6
ANIVAL TORRE

7. Gráficamente
7
Y
3
X
2
3 5
Y
X
ANIVAL TORRE

8. Gráficamente
8
Y
X
Y
X
ANIVAL TORRE

9. Gráficamente
9
a) c)
3
5 7
8
b) d)
4 1
5 2
9 3
4
ANIVAL TORRE

10. Gráficamente
10
c)
a)
d)
b)
ANIVAL TORRE

11. Gráficamente
11
Y
3
2
3 5 X
a) 3
5 7
8
4 1
b) 5 2
9 3
4
ANIVAL TORRE

12. Función Inyectiva
12
a) Graficamete:
Es aquella cuyo
gráfico biseca a
cualquier recta
paralela al eje X
en un único
punto
ANIVAL TORRE

13. Función Inyectiva
13
y
5
4
3 f ={(1,2);(1,4);(2,3),(3,5),(4,5)}
2
1 2 3 4 x
Es cuando una línea horizontal lo corta en un solo pto.
y
5
4 f = {(1,2);(2,4);(4,1);(5,5);(6,3)}
3
2
1
1 2 3 4 5 6 x
ANIVAL TORRE

14. TALLER I
14
1)Determine cual de los siguientes
gráficos define función (1-1)
a) b)
ANIVAL TORRE

15. TALLER I
15
a) b)
c)
ANIVAL TORRE

16. Dominio y rango
16
 Dominio : El conjunto de todos los valores
admisibles de x.
 Rango: ( Contradominio o imagen) : El conjunto
de todos los valores resultantes de y.
 Los símbolos x e y denotan variables.
• X : variable independiente.
• Y: variable dependiente.
ANIVAL TORRE

17. Gráfica de las funciones
n
1. f(x)= ax+b 4. f(x)= x y b) f x x
y 17 y
x x
x
n=par
c) f x x
2 n
2. f(x)= x 5. f(x)= x y
y
y
x
x
x
n=impar
6 a) d) f x x
3. f(x)= f x x
. y
y y
x x x
ANIVAL TORRE

18. x b) 1
7. f x a 9. f x a f x
x
18 1
a
a) a>1
b) 0 < a < 1 1
8. a ) f x x 11. f x 2
x
1
1
10. a ) f x
b) f x x x
ANIVAL TORRE

19. 19
1) FUNCIÓN LINEAL AFIN
Y
f x ax b
x
1) f x 4x 7
Ejemplos f x x 3
f x 3x 2
ANIVAL TORRE

20. a) Función Lineal Afín
y
20
f x ax b
1) f x 2x 3 x
3/2
y 3
-3
x 3/2
y
7
f x 5x 7
x 0 y 7
x y 0 x 7/5
-7/5
ANIVAL TORRE

21. 2) Función Valor Absoluto
21
f x x
Y
D f R R f 0,
X
f x x 3 4
Ejemplos
f x 2 1 x
f x 3 x 7
ANIVAL TORRE

22. 3) Función cuadrática
22
2
f x x
2
f x x 3 2
Ejemplos 2
f x x 4 2
2
f x x 3 1
ANIVAL TORRE

23. Función Cuadrática
23
2 y
f x x 2 7 3
v 2, 7
f x y 0
2 -2 x
2 7
0 x 2 7 2 7
2
-3
7 x 2
-7
7 x 2
2 7 x
x 2 7 / x 2 7
ANIVAL TORRE

24. 4) Función Cúbica
24
3
Y f x x
D f R R f R
X
3
f x x 3 2
Ejemplos f x 5 x 2
3
3
f x 3 5 x
ANIVAL TORRE

25. 5) Función Polinómica
25
b d
Ejemplo f x x a x c 
3 5 6 2
f x x 3 x 2 x 5 x
. .
-2 0 3
. .
5
ANIVAL TORRE

26. Ejemplos
26
2 5 3 6
f x x 4 x 1 x 3
4 5 7 3
f x x 1 x 5 x 2 x
2 6 5
f x x 6x 5 3 x x 1x
2 9 5 2
f x x 7x 8 x 1 x 3
ANIVAL TORRE

27. 6) Función de la forma
27
1
f x
x
1
f x 2
x
ANIVAL TORRE

28. Ejemplo
28
2
f x 3
x 4
x 4
f x
x 1
5
f x 1
x 2
x 1
f x 2
x 1
2
x 3x 2
f x
x 2 x 5 x 1
ANIVAL TORRE

29. 7) Función Raíz Cuadrada
29
f x x
f x x 3 2
f x x 1 5
Ejemplos
f x 4 x 2
f x 1 2 x
ANIVAL TORRE

30. 8) Función exponencial
30
Caso I a>1 x
f x a
Caso II 0<a<1
x 2
Ejemplos f x 3 5
ANIVAL TORRE

31. Ejemplos
31
x 3
f x 2 1
x 5
3
f x 4
7
x 2
f x 3 9
3 x
f x 4 2
7 x
f x 8 2
ANIVAL TORRE

32. 9) Función Máximo entero
32
Función Máximo entero de x f(x) = [ x ]
Función signo de x f(x) = sg(x)
ANIVAL TORRE

33. 9) Función Cuadrática
33
y =f(x) = x²
Y
-2 -1 1 2
x
ANIVAL TORRE

34. Orientación de la 34 El numero que esta dentro del
parábola. Negativo paréntesis baja con el signo
se abre hacia cambiado (+2 a -2), mientras que
abajo el otro, el que esta fuera del
paréntesis baja igual.
2
f x x 2 1 5
v 2, 1
-2
-1
-5
ANIVAL TORRE

35. Función Cúbica
35
3 y
f x x 3 8
35
v 3 ,8
8
x 35
3 x
-5 -3
0 x 3 8
3
8 x 3
5 x
ANIVAL TORRE

36. Función Raíz Cuadrada
36
a) f x x 3 5
5
v 3 ,5
b) f x 2 1 x 3
1 x 2
2
y 1
1
y 2 1 x
-3 1
1 x 2 -1
1 x 4
x 3
ANIVAL TORRE

37. Grado de un polinomio
Grado de la función polinómica: 37
Valor que toma un exponente de la variable Multiplicidad [par- impar]
7 7 8 9 11 4
f x x 2 x 3 x 3 x 3 x 7 x 6
Polin. Factor 39
P .C . 2 , 3,3, 7 , 6 =0
5 factores=
y
5 ptos. críticos
+
x
-7 -6 -3 -2 3
-
Rebota = par
Biseca= no multiplicidad
ANIVAL TORRE

38. Pasos a seguir
3 7
2 2
f x 7 x 1 x 9 x 2 x 3 x
38
PRIMERO: FACTORIZAR, la función tiene que ser lineal
3 3 7 7
f x 7 x 1 x 1 x 3 x 3 x 2 x 3 x
AGRUPAR factores iguales
3 3 8 7
f x 7 x 1 x 1 x 3 x 3 x 2 x
P .C . 1, 1,3, 3, 2 , 0 Lo igualamos a 0
Y
Mide la
altura de
la curva
-3 -2 -1 0 1 3 X
Si es una división, entonces se harán restricciones para que del
denominador suban al nominador. x 2
ANIVAL TORRE

39. Función seccionada
39
Asíntotas x 1
f x 3 9
-Es una recta que se acerca a
v 1, 9
una curva sin tocarla en el
infinito. Para cortar el eje
-Evalúa el trazo o grafica de x 0
una función.
1 1 26
f x 3 9 9
1 3 3 3
-26/3
x 1
f x o 3 9
-9 x 1
f x 9 3
x 3
ANIVAL TORRE

40. Ejemplo
40
y
10
5
f x 5 5
x 1
v 1, 5
-2 1 x
y 10
x 2
ANIVAL TORRE

41. Valor absoluto
41
f x x 2 7 y
v 2, 7
x 0 -9 -2 5 x
y 0 -5
x 2 7 -7
7 x 2 7 x 2
x 5 x 9
ANIVAL TORRE

42. 42
y
f x 2 x 3 1 x
1
v 3 ,1
-7/2 -3 -5/2
0 2x 3 1
2x 3 1
x 3 1/ 2
x 3 1/ 2 x 3 1/ 2
x 5/2 x 7/2
ANIVAL TORRE

43. Función seccionada
43
x 2 2 x 0
x 4 1 0 x 5
f x 2x 8 5 x 6
x 5
5 1 6 x 8
9
1 x 8
x 1
ANIVAL TORRE

44. y
124
44
4
2
1
x
-2 0 5 6 8
-1
Grafica con cada una de las funciones
ANIVAL TORRE

45. 45
D 2 ,0 0 ,5 5,6 6 ,8 8,
2, 0 ,5
R ,0 0,2 1, 2 2,4 4 ,124
,124 1, 2
c) (I-I) no es injectiva, porque las rectas se cortan por 2
líneas horizontales.
d) Tipos de discontinuidad: {-2,0,5,6,8}
D. Extremo: {2}
D. Evitable: {5,6}
D. Salto: {0,8}
ANIVAL TORRE

46. 46
FIN
ANIVAL TORRE