Este documento explica los conceptos de sucesión y progresión numérica. Define una sucesión como un conjunto de elementos formados mediante una ley determinada, donde cada término se deriva del anterior siguiendo la misma operación. Explica que una progresión aritmética es una sucesión donde cada término es igual al anterior más una cantidad constante llamada razón. Proporciona fórmulas para calcular términos específicos y resuelve ejercicios como ejemplos.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos. Define conjuntos, notación de conjuntos, pertenencia, inclusión, cardinalidad, diagramas de Venn y Euler, y tipos especiales de conjuntos como el vacío, unitario y universal. El objetivo es establecer correctamente la noción de conjunto y utilizar adecuadamente símbolos y herramientas para representar y resolver problemas con conjuntos.
Este documento define progresiones aritméticas y geométricas. Una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. Se explican fórmulas para calcular cualquier término, la suma de términos y más propiedades de ambos tipos de progresiones.
El documento describe las sucesiones de Fibonacci y cómo sus términos se aproximan al número áureo a medida que aumentan. Comienza con una pareja de conejos y explica cómo la población crece cada mes según la sucesión de Fibonacci. Luego muestra cómo dividir términos consecutivos de la sucesión conduce a números que se aproximan al número áureo. Finalmente, representa gráficamente la sucesión usando cuadrados y rectángulos cuyas proporciones también se aproximan al número áureo.
1. media aritmetica para datos agrupados en intervalosClaudia150499
El documento explica cómo calcular la media aritmética de datos agrupados. Presenta la fórmula, simbología y un ejemplo de cómo calcular la media de edad de estudiantes agrupados en rangos de edad. Luego, proporciona dos ejercicios para que el lector calcule la media de puntuaciones en un examen y la media de edad de clientes en un restaurante.
Este documento introduce las estructuras algebraicas. Explica conceptos básicos como conjuntos, subconjuntos, operaciones entre conjuntos y propiedades. También cubre relaciones binarias como equivalencia y orden, así como aplicaciones y tipos de aplicaciones. Finalmente, menciona grupos, anillos y cuerpos como ejemplos de estructuras algebraicas.
Este documento presenta la resolución de nueve problemas de vectores. Los problemas involucran calcular la magnitud y ángulo de vectores dados, hallar componentes rectangulares de vectores, y determinar el vector resultante de varios vectores. Las soluciones usan leyes de cosenos, senos y suma vectorial.
Este documento explica conceptos matemáticos como el producto cartesiano, relaciones binarias y conteo de relaciones. Define el producto cartesiano como un conjunto de pares ordenados donde la primera componente pertenece a un conjunto A y la segunda a un conjunto B. Explica que una relación binaria es cualquier subconjunto del producto cartesiano y ofrece ejemplos. También describe cómo calcular el número de posibles relaciones entre dos conjuntos finitos A y B.
Este documento explica cómo factorizar trinomios de la forma a4 + a2b2 + b4 utilizando el método de adición y sustracción para convertirlos en una diferencia de cuadrados. Explica que si el trinomio no es un cuadrado perfecto, se suma y resta el mismo término para hacerlo cuadrado perfecto, luego se factoriza y ordena los factores. Incluye ejemplos detallados del proceso paso a paso.
Este documento presenta conceptos básicos de teoría de conjuntos. Define conjuntos, notación de conjuntos, pertenencia, inclusión, cardinalidad, diagramas de Venn y Euler, y tipos especiales de conjuntos como el vacío, unitario y universal. El objetivo es establecer correctamente la noción de conjunto y utilizar adecuadamente símbolos y herramientas para representar y resolver problemas con conjuntos.
Este documento define progresiones aritméticas y geométricas. Una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. Se explican fórmulas para calcular cualquier término, la suma de términos y más propiedades de ambos tipos de progresiones.
El documento describe las sucesiones de Fibonacci y cómo sus términos se aproximan al número áureo a medida que aumentan. Comienza con una pareja de conejos y explica cómo la población crece cada mes según la sucesión de Fibonacci. Luego muestra cómo dividir términos consecutivos de la sucesión conduce a números que se aproximan al número áureo. Finalmente, representa gráficamente la sucesión usando cuadrados y rectángulos cuyas proporciones también se aproximan al número áureo.
1. media aritmetica para datos agrupados en intervalosClaudia150499
El documento explica cómo calcular la media aritmética de datos agrupados. Presenta la fórmula, simbología y un ejemplo de cómo calcular la media de edad de estudiantes agrupados en rangos de edad. Luego, proporciona dos ejercicios para que el lector calcule la media de puntuaciones en un examen y la media de edad de clientes en un restaurante.
Este documento introduce las estructuras algebraicas. Explica conceptos básicos como conjuntos, subconjuntos, operaciones entre conjuntos y propiedades. También cubre relaciones binarias como equivalencia y orden, así como aplicaciones y tipos de aplicaciones. Finalmente, menciona grupos, anillos y cuerpos como ejemplos de estructuras algebraicas.
Este documento presenta la resolución de nueve problemas de vectores. Los problemas involucran calcular la magnitud y ángulo de vectores dados, hallar componentes rectangulares de vectores, y determinar el vector resultante de varios vectores. Las soluciones usan leyes de cosenos, senos y suma vectorial.
Este documento explica conceptos matemáticos como el producto cartesiano, relaciones binarias y conteo de relaciones. Define el producto cartesiano como un conjunto de pares ordenados donde la primera componente pertenece a un conjunto A y la segunda a un conjunto B. Explica que una relación binaria es cualquier subconjunto del producto cartesiano y ofrece ejemplos. También describe cómo calcular el número de posibles relaciones entre dos conjuntos finitos A y B.
Este documento explica cómo factorizar trinomios de la forma a4 + a2b2 + b4 utilizando el método de adición y sustracción para convertirlos en una diferencia de cuadrados. Explica que si el trinomio no es un cuadrado perfecto, se suma y resta el mismo término para hacerlo cuadrado perfecto, luego se factoriza y ordena los factores. Incluye ejemplos detallados del proceso paso a paso.
El documento presenta los axiomas de cuerpo en los números reales R. Estos incluyen propiedades como la conmutatividad, asociatividad y distributividad de la suma y multiplicación, así como la existencia de elementos neutros aditivo y multiplicativo. Se demuestran algunas consecuencias de estos axiomas, como que la multiplicación de un número por el elemento neutro aditivo es igual a cero, y que el opuesto del opuesto de un número es el número mismo.
1) Se resuelve un problema de geometría analítica sobre un triángulo ABC.
2) Se hallan las ecuaciones de los lados del triángulo y de la altura relativa al vértice A.
3) Se calcula la longitud de dicha altura y la longitud del lado BC, que es la base, para luego hallar el área del triángulo.
Ecuación de cuarto grado por el método de Luigi Ferrari Brayan Stiven
El documento describe el uso del método de Luigi Ferrari para encontrar las soluciones de una ecuación cuarto grado. Se reescribe la ecuación y se aplican varios pasos como sumar términos y agregar una nueva variable para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto. Esto conduce a una ecuación cúbica que se resuelve usando el método de Cardano, dando como resultado cuatro soluciones: dos complejas (2 + i, 2 - i) y dos reales (1 + √3, 1 - √3).
Este documento presenta ejercicios sobre teoría de conjuntos. Los ejercicios incluyen expresar afirmaciones sobre conjuntos de manera simbólica, completar proposiciones con los símbolos de pertenencia o no pertenencia, definir conjuntos por extensión y comprensión, determinar si un conjunto es vacío o no, y analizar relaciones entre conjuntos como subconjunto, unión e intersección.
El documento describe los axiomas y propiedades fundamentales de los números reales. Define las operaciones básicas de adición, multiplicación, división y sus propiedades. Explica los axiomas de la igualdad, orden y supremo. También presenta teoremas importantes para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
El documento presenta ejercicios sobre determinantes. Se calculan valores de determinantes de diferentes matrices utilizando propiedades como la definición por recurrencia y el desarrollo por filas o columnas. También se comprueba que un determinante es múltiplo de un número y se calculan determinantes de productos y cocientes de matrices.
Este documento presenta el currículum de Eduardo Espinoza Ramos, un matemático peruano graduado en Matemática Pura. Ha sido catedrático de las principales universidades de la capital y ha publicado varios libros y artículos sobre álgebra lineal. El documento incluye la portada y el prólogo de su libro sobre álgebra lineal, en el que explica los temas que serán tratados en cada capítulo.
Este documento describe las progresiones aritméticas y geométricas. Una progresión aritmética es una sucesión de números donde la diferencia entre términos sucesivos es constante. Una progresión geométrica es una secuencia donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón. También presenta fórmulas para calcular el último término de cada progresión.
Este documento presenta información sobre cónicas geométricas como parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye ejercicios para hallar las ecuaciones de lugares geométricos como circunferencias, elipses y hipérbolas dados sus elementos característicos como focos, centros y constantes. También contiene ejercicios para comprobar propiedades como tangencia y posición relativa de estas curvas con respecto a rectas dadas.
El documento presenta la resolución de varios ejercicios de álgebra lineal. En el primer ejercicio, se calcula la matriz -2(B.At)-5/2C. En el segundo, se resuelve un sistema de ecuaciones lineales y se determina su conjunto de soluciones. En el tercer ejercicio, se plantea y resuelve un problema de programación lineal para determinar la cantidad óptima de muebles a fabricar semanalmente aprovechando al máximo el tiempo disponible en las mesas de trabajo.
Este documento explica cómo resolver inecuaciones cuadráticas mediante la factorización y el uso de cuadros de signos. Se define una inecuación cuadrática y se dan tres ejemplos resueltos paso a paso, incluyendo la factorización, identificación de los números críticos, construcción de cuadros de signos y determinación de la solución. También incluye un anexo explicando cómo construir cuadros de signos.
Este documento presenta 29 proyectos de matemáticas sobre conjuntos y operaciones entre conjuntos. Los proyectos involucran definir conjuntos, determinar intersecciones, uniones, diferencias y complementos de conjuntos, y calcular el cardinal de conjuntos resultantes. Se resuelven problemas como hallar el número de elementos en una intersección de conjuntos, determinar si una afirmación sobre conjuntos es verdadera o falsa, y simplificar expresiones algebraicas sobre conjuntos.
Este documento presenta las leyes de la teoría de exponentes y las operaciones con raíces. En resumen:
1) La potencia de una base con exponente par es siempre positiva, mientras que la potencia de una base con exponente impar depende del signo de la base.
2) Si el índice de una raíz es impar, el resultado tendrá el mismo signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y la cantidad subradical es positiva, el resultado será positivo o negativo, pero si la cantidad subradical es neg
Este documento presenta 13 problemas relacionados con determinar ecuaciones de rectas paralelas o perpendiculares a otras rectas dadas. Los problemas involucran identificar pendientes, puntos y ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares basados en gráficos y datos numéricos provistos.
Este documento presenta una serie de 15 ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales y problemas relacionados. Los ejercicios cubren temas como resolver sistemas por sustitución, igualación, reducción o el método más adecuado, identificar si un sistema tiene solución única, múltiples soluciones o ninguna solución, y resolver sistemas relacionados con problemas de la vida real como precios, mezclas, velocidad y geometría.
Regla de Cramer para Sistemas de Ecuaciones Lineales. Presentación diseñada ...JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento explica la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce los conceptos de sistema de ecuaciones lineales, matriz y determinante. Luego describe la regla de Cramer, la cual da la solución de un sistema lineal en términos de determinantes. Finalmente, ilustra cómo aplicar la regla para encontrar las soluciones de un sistema mediante el cálculo de determinantes de matrices asociadas a cada incógnita.
El documento presenta información sobre relaciones en los números reales. Introduce conceptos como pares ordenados, producto cartesiano, dominio y rango de una relación. Explica que una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de un conjunto consigo mismo. Además, define tipos de relaciones como reflexivas, simétricas y de equivalencia. Finalmente, introduce la relación inversa.
1) El documento explica la ecuación general de la circunferencia y cómo se puede obtener a partir de la definición geométrica de una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes a un punto central llamado centro.
2) Se resuelven varios ejercicios prácticos que implican hallar la ecuación de circunferencias dadas sus características como centro y radio, o que pasan por puntos determinados.
3) Finalmente, se analizan posiciones relativas entre circunferencias y rectas.
El documento define una matriz como un conjunto rectangular de datos dispuestos en filas y columnas. Explica que una fábrica de automóviles tiene tres modelos de vehículos en stock en tres concesionarios diferentes, y forma una matriz para representar esta información de manera ordenada. Además, clasifica las matrices según su forma, como cuadradas o rectangulares, y según los elementos que contienen, como nulas o de identidad.
La fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética es an = a1 + (n - 1)r, donde a1 es el primer término, n es el número de término y r es la razón. La progresión puede ser creciente, decreciente o constante dependiendo si r es positiva, negativa o cero. El documento también explica cómo calcular términos específicos, interpolar medios y determinar la cantidad de términos.
1) El documento presenta información sobre sucesiones numéricas, incluyendo definiciones de sucesiones polinomiales, aritméticas y de segundo orden.
2) Explica cómo calcular términos individuales, la suma de términos y el número de términos en sucesiones aritméticas.
3) Proporciona ejemplos para ilustrar los conceptos y fórmulas presentados.
El documento presenta los axiomas de cuerpo en los números reales R. Estos incluyen propiedades como la conmutatividad, asociatividad y distributividad de la suma y multiplicación, así como la existencia de elementos neutros aditivo y multiplicativo. Se demuestran algunas consecuencias de estos axiomas, como que la multiplicación de un número por el elemento neutro aditivo es igual a cero, y que el opuesto del opuesto de un número es el número mismo.
1) Se resuelve un problema de geometría analítica sobre un triángulo ABC.
2) Se hallan las ecuaciones de los lados del triángulo y de la altura relativa al vértice A.
3) Se calcula la longitud de dicha altura y la longitud del lado BC, que es la base, para luego hallar el área del triángulo.
Ecuación de cuarto grado por el método de Luigi Ferrari Brayan Stiven
El documento describe el uso del método de Luigi Ferrari para encontrar las soluciones de una ecuación cuarto grado. Se reescribe la ecuación y se aplican varios pasos como sumar términos y agregar una nueva variable para convertirla en un trinomio cuadrado perfecto. Esto conduce a una ecuación cúbica que se resuelve usando el método de Cardano, dando como resultado cuatro soluciones: dos complejas (2 + i, 2 - i) y dos reales (1 + √3, 1 - √3).
Este documento presenta ejercicios sobre teoría de conjuntos. Los ejercicios incluyen expresar afirmaciones sobre conjuntos de manera simbólica, completar proposiciones con los símbolos de pertenencia o no pertenencia, definir conjuntos por extensión y comprensión, determinar si un conjunto es vacío o no, y analizar relaciones entre conjuntos como subconjunto, unión e intersección.
El documento describe los axiomas y propiedades fundamentales de los números reales. Define las operaciones básicas de adición, multiplicación, división y sus propiedades. Explica los axiomas de la igualdad, orden y supremo. También presenta teoremas importantes para resolver ecuaciones de primer y segundo grado.
El documento presenta ejercicios sobre determinantes. Se calculan valores de determinantes de diferentes matrices utilizando propiedades como la definición por recurrencia y el desarrollo por filas o columnas. También se comprueba que un determinante es múltiplo de un número y se calculan determinantes de productos y cocientes de matrices.
Este documento presenta el currículum de Eduardo Espinoza Ramos, un matemático peruano graduado en Matemática Pura. Ha sido catedrático de las principales universidades de la capital y ha publicado varios libros y artículos sobre álgebra lineal. El documento incluye la portada y el prólogo de su libro sobre álgebra lineal, en el que explica los temas que serán tratados en cada capítulo.
Este documento describe las progresiones aritméticas y geométricas. Una progresión aritmética es una sucesión de números donde la diferencia entre términos sucesivos es constante. Una progresión geométrica es una secuencia donde cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón. También presenta fórmulas para calcular el último término de cada progresión.
Este documento presenta información sobre cónicas geométricas como parábolas, elipses e hipérbolas. Incluye ejercicios para hallar las ecuaciones de lugares geométricos como circunferencias, elipses y hipérbolas dados sus elementos característicos como focos, centros y constantes. También contiene ejercicios para comprobar propiedades como tangencia y posición relativa de estas curvas con respecto a rectas dadas.
El documento presenta la resolución de varios ejercicios de álgebra lineal. En el primer ejercicio, se calcula la matriz -2(B.At)-5/2C. En el segundo, se resuelve un sistema de ecuaciones lineales y se determina su conjunto de soluciones. En el tercer ejercicio, se plantea y resuelve un problema de programación lineal para determinar la cantidad óptima de muebles a fabricar semanalmente aprovechando al máximo el tiempo disponible en las mesas de trabajo.
Este documento explica cómo resolver inecuaciones cuadráticas mediante la factorización y el uso de cuadros de signos. Se define una inecuación cuadrática y se dan tres ejemplos resueltos paso a paso, incluyendo la factorización, identificación de los números críticos, construcción de cuadros de signos y determinación de la solución. También incluye un anexo explicando cómo construir cuadros de signos.
Este documento presenta 29 proyectos de matemáticas sobre conjuntos y operaciones entre conjuntos. Los proyectos involucran definir conjuntos, determinar intersecciones, uniones, diferencias y complementos de conjuntos, y calcular el cardinal de conjuntos resultantes. Se resuelven problemas como hallar el número de elementos en una intersección de conjuntos, determinar si una afirmación sobre conjuntos es verdadera o falsa, y simplificar expresiones algebraicas sobre conjuntos.
Este documento presenta las leyes de la teoría de exponentes y las operaciones con raíces. En resumen:
1) La potencia de una base con exponente par es siempre positiva, mientras que la potencia de una base con exponente impar depende del signo de la base.
2) Si el índice de una raíz es impar, el resultado tendrá el mismo signo que la cantidad subradical. Si el índice es par y la cantidad subradical es positiva, el resultado será positivo o negativo, pero si la cantidad subradical es neg
Este documento presenta 13 problemas relacionados con determinar ecuaciones de rectas paralelas o perpendiculares a otras rectas dadas. Los problemas involucran identificar pendientes, puntos y ecuaciones de rectas paralelas y perpendiculares basados en gráficos y datos numéricos provistos.
Este documento presenta una serie de 15 ejercicios de sistemas de ecuaciones lineales y problemas relacionados. Los ejercicios cubren temas como resolver sistemas por sustitución, igualación, reducción o el método más adecuado, identificar si un sistema tiene solución única, múltiples soluciones o ninguna solución, y resolver sistemas relacionados con problemas de la vida real como precios, mezclas, velocidad y geometría.
Regla de Cramer para Sistemas de Ecuaciones Lineales. Presentación diseñada ...JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento explica la regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Introduce los conceptos de sistema de ecuaciones lineales, matriz y determinante. Luego describe la regla de Cramer, la cual da la solución de un sistema lineal en términos de determinantes. Finalmente, ilustra cómo aplicar la regla para encontrar las soluciones de un sistema mediante el cálculo de determinantes de matrices asociadas a cada incógnita.
El documento presenta información sobre relaciones en los números reales. Introduce conceptos como pares ordenados, producto cartesiano, dominio y rango de una relación. Explica que una relación binaria es un subconjunto del producto cartesiano de un conjunto consigo mismo. Además, define tipos de relaciones como reflexivas, simétricas y de equivalencia. Finalmente, introduce la relación inversa.
1) El documento explica la ecuación general de la circunferencia y cómo se puede obtener a partir de la definición geométrica de una circunferencia como el conjunto de puntos equidistantes a un punto central llamado centro.
2) Se resuelven varios ejercicios prácticos que implican hallar la ecuación de circunferencias dadas sus características como centro y radio, o que pasan por puntos determinados.
3) Finalmente, se analizan posiciones relativas entre circunferencias y rectas.
El documento define una matriz como un conjunto rectangular de datos dispuestos en filas y columnas. Explica que una fábrica de automóviles tiene tres modelos de vehículos en stock en tres concesionarios diferentes, y forma una matriz para representar esta información de manera ordenada. Además, clasifica las matrices según su forma, como cuadradas o rectangulares, y según los elementos que contienen, como nulas o de identidad.
La fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética es an = a1 + (n - 1)r, donde a1 es el primer término, n es el número de término y r es la razón. La progresión puede ser creciente, decreciente o constante dependiendo si r es positiva, negativa o cero. El documento también explica cómo calcular términos específicos, interpolar medios y determinar la cantidad de términos.
1) El documento presenta información sobre sucesiones numéricas, incluyendo definiciones de sucesiones polinomiales, aritméticas y de segundo orden.
2) Explica cómo calcular términos individuales, la suma de términos y el número de términos en sucesiones aritméticas.
3) Proporciona ejemplos para ilustrar los conceptos y fórmulas presentados.
Este documento presenta un resumen de tres oraciones o menos sobre progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una diferencia fija al anterior, mientras que en una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón fija. Además, proporciona las fórmulas para calcular el término general de cada tipo de progresión y ejemplos de cómo interpolar medios aritméticos y geométricos
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones, progresiones aritméticas y geométricas. Define una sucesión como una colección de números dispuestos secuencialmente y explica cómo identificar el término general de una sucesión. Luego, describe las progresiones aritméticas como sucesiones donde cada término se obtiene sumando una diferencia fija al anterior, y las progresiones geométricas como aquellas donde cada término es el producto del anterior por una razón fija. Finalmente, explica cómo calcular términos espec
Este documento describe diferentes tipos de sucesiones matemáticas, incluyendo sucesiones, progresiones aritméticas y geométricas. Explica cómo calcular los términos generales, sumar y multiplicar los términos, e interpolar nuevos términos en cada tipo de sucesión.
1) El documento introduce conceptos básicos sobre sucesiones como términos, sucesión, ley de recurrencia, término general, término n-ésimo y tipos de progresiones como aritméticas y geométricas.
2) Se explican las fórmulas para calcular el término general y la suma de los términos de una progresión aritmética y geométrica.
3) Se incluyen ejemplos para ilustrar los conceptos y ejercicios resueltos para practicar.
Este documento habla sobre sucesiones y progresiones. Explica que una sucesión es un conjunto infinito de números ordenados que siguen una lógica. Describe progresiones aritméticas, donde cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija, y progresiones geométricas, donde cada término se obtiene multiplicando al anterior por una cantidad fija. Proporciona fórmulas para calcular términos generales y sumas en ambos tipos de progresiones.
Este documento resume los conceptos básicos de las sucesiones numéricas, incluyendo las progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de números reales y define los términos y el término general de una sucesión. También describe las sucesiones recurrentes, progresiones aritméticas y geométricas, y cómo calcular la suma y el producto de los términos en cada tipo de progresión.
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones, incluyendo sucesiones aritméticas y geométricas. Explica la notación de sumatoria y provee ejemplos de su uso. También cubre temas como la inducción matemática y el teorema del binomio.
El documento introduce conceptos básicos sobre sucesiones, incluyendo: la función, la sucesión, el término general, progresiones aritméticas y geométricas, la razón y constante de una progresión, y cómo calcular el término n-ésimo de una sucesión. También presenta ejemplos para ilustrar estos conceptos.
El documento habla sobre sucesiones y series aritméticas. Explica que una sucesión es una secuencia ordenada de números reales donde cada término se obtiene a partir del anterior siguiendo una ley o fórmula. Las sucesiones pueden ser convergentes o divergentes. Una serie es la suma de los términos de una sucesión, y una serie aritmética específicamente suma los términos de una progresión aritmética, utilizando la fórmula provista. El documento también presenta ejemplos y actividades para pract
El documento presenta información sobre sucesiones y progresiones matemáticas. Explica conceptos como secuencias, términos generales, progresiones aritméticas y geométricas. También cubre sumas de términos consecutivos, modelos de crecimiento y teoría de juegos. Finalmente, introduce brevemente temas como sistemas binarios, códigos de barras y aritmética modular.
Este documento resume las características de las progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término es igual al anterior más una diferencia fija, mientras que en una progresión geométrica cada término es igual al anterior multiplicado por una razón constante. Además, proporciona fórmulas para calcular el término general, la suma de los términos y la interpolación de términos medios en progresiones aritméticas.
Este documento resume las características de las progresiones aritméticas y geométricas. Introduce las progresiones aritméticas, definidas como sucesiones donde cada término es igual al anterior más una diferencia fija. Explica cómo calcular el término general y la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. También presenta las progresiones geométricas, donde cada término es igual al anterior multiplicado por una razón constante.
El documento describe diferentes tipos de sucesiones numéricas, incluyendo sucesiones numéricas, sucesiones recurrentes, progresiones aritméticas y progresiones geométricas. Explica conceptos clave como el término general de una sucesión y cómo calcular la suma y el producto de los términos de diferentes tipos de sucesiones.
Este documento resume los conceptos básicos de las sucesiones, incluyendo la definición de una sucesión como un conjunto infinito y ordenado de números, los términos de una sucesión, la fórmula del término general y la fórmula recurrente. También explica las progresiones aritméticas y geométricas, definiendo sus fórmulas del término general, cómo sumar términos y la fórmula para sumar infinitos términos en progresiones geométricas. Por último, indica cómo relacionar tér
Este documento define conceptos básicos sobre sucesiones numéricas, incluyendo: (1) Las sucesiones numéricas son funciones cuyo dominio son los números naturales y cuyos términos pertenecen a cualquier conjunto numérico; (2) Existen sucesiones finitas e infinitas, siendo estas últimas las que presentan puntos suspensivos; (3) Las sucesiones polinomiales son aquellas cuyo término general es un polinomio en n, incluyendo sucesiones aritméticas de primer orden y sucesiones polinomiales
Este documento describe las sucesiones y progresiones aritméticas. Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados según una ley o fórmula. Se clasifican en convergentes o divergentes. Una progresión aritmética es una sucesión donde la diferencia entre términos consecutivos es constante. Proporciona fórmulas para calcular términos, la diferencia común, y el número de términos, e incluye ejemplos para ilustrar los conceptos.
El documento habla sobre sucesiones y progresiones. Explica que una sucesión es un conjunto de números dispuestos en orden y que una progresión aritmética es una sucesión donde cada término es igual al anterior más una cantidad fija, mientras que en una progresión geométrica cada término es igual al anterior multiplicado por una cantidad fija. También proporciona fórmulas para calcular cualquier término, la suma y el producto de los términos en cada tipo de progresión.
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
LA PEDAGOGIA AUTOGESTONARIA EN EL PROCESO DE ENSEÑANZA APRENDIZAJEjecgjv
La Pedagogía Autogestionaria es un enfoque educativo que busca transformar la educación mediante la participación directa de estudiantes, profesores y padres en la gestión de todas las esferas de la vida escolar.
1. 1
SUCESIONES - PROGRESIONES
Una sucesión numérica es un conjunto de elementos, llamados términos que se forman mediante una
ley determinada. Esto significa que, cada término (con excepción del primero se deriva del anterior de
acuerdo de una operación la cual es siempre la misma (constante) para la formación u obtención de todos y
cada uno de los términos de la sucesión.
Una sucesión es una función cuyo dominio es el conjunto de los números enteros positivos (números
naturales).
En lugar de usar la notación acostumbrada para una función f ( n ) , una sucesión se representa por el
símbolo
{
An
}
y/o A n , al cual se le denomina “término n-simo” o término general de la sucesión.
EJEMPLO
N=
{ 0, 1, 2 , 3, 4 , 5 , 6 ,.....,n}
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
↓
a0 , a1 , a 2 , a 3 , ..................., a n
a 0 = 0, es el primer término de la sucesión.
a1 = 1, es el tercer término de la sucesión.
a 2 = 2, es segundo término de la sucesión.
a n = 2 . n es el término n-simo o general de la sucesión
2. 2
EJEMPLOS:
1.- Determinar cada una de las siguientes sucesiones:
a) A n : N →ℜ / a n =
n2
n +1
Para n = 0 → a 0 =
02
0 +1
=
0
1
Para n = 1 → a1 =
12
=
1 +1
1
2
Para n = 2 → a 2 =
22
2 +1
=
4
3
Para n = 3 → a 3 =
32
=
3 +1
9
4
La sucesión es: 0 ,
1
,
2
4
3
= 0
9
4
,
, ..............,
n2
n +1
2
n +1
∗
b) A n : N → ℜ / a n =
N* es el conjunto de los números naturales sin el cero.
Para n = 1 → a1 =
2
1 +1
Para n = 2 → a 2 =
2
2 +1
=
Para n = 3 → a 3 =
2
3 +1
=
2
4
Para n = 4 → a 4 =
2
4 +1
=
2
5
La sucesión es: 1 ,
2
,
3
2
2
=
1
,
2
=1
2
3
2
5
=
1
2
, ............ ,
2
n +1
3. 3
2.- Dadas las siguientes sucesiones, encontrar o deducir el término n-simo o general de cada una de
ellas.
En cada caso tenemos que encontrar la fórmula o la expresión mediante la cual dando valores a “n” de
0,1, 2, 3, 4, etc. se obtienen los términos dados de la sucesión.
Para encontrar la fórmula debemos observar la Ley de formación (como se van formando los términos,
por lo tanto la respuesta de estos ejercicios dependen más que nada de la habilidad, destreza y la buena pupila
del alumno. Sin embargo trataré de aclarar lo más que pueda para ayudarlos en la deducción de dicha
fórmula.
a) 1, 21, 22 , 23, ....
Se puede observar que la base es la misma (2), y que los exponentes aumentes aumenta de 1 en 1,
comenzando desde cero; ya que todo número elevado a la cero, es igual a la unidad; por lo tanto el termino
general es 2n
1, 21, 22, 23, ...., 2n ∀ n ∈ N
b) 1 ,
1
2
1
3
,
,
1
4
, ..........
Los términos de la sucesión son fracciones, cuyo único numerador es la unidad, y los denominadores
“van” de 1 en 1, es decir, son números consecutivos, por tanto, el término n-simo, es de la forma:
Si queremos podemos asignarles a| n| ( a = 0 y n = 1 ) los valores para comprobar el ejercicio:
1
n + 1
Este ejercicio puede tener también cómo término general a
1,
1
,
2
1
,
3
1
1
, .......... ,
4
n +1
1,
1
,
2
1
,
3
1
1
, .......... ,
4
n
1
n
∀ n ∈ N∗
∀ n ∈N∗
siendo el Dominio:
4. 4
c)
1
,
2
2
3
,
3
,
4
4
5
,
5
, ...........
6
Los términos de la sucesión son fracciones, cuyos numeradores son números consecutivos después de
la unidad, y los denominadores, son una unidad mayor que el numerador respectivo, por lo tanto, el término
general o n-simo de la sucesión dada, es
an =
n +1
n + 2
PROGRESIONES
En este nivel, estudiaremos detalladamente dos tipos esenciales de sucesiones que, por la forma en el
cual se construyen, reciben el nombre de PROGRESIONES y pueden ser: Aritméticas y/o Geométricas.
PROGRESIONES ARITMETICAS
Una progresión aritmética es una sucesión en la cual cada término con excepción del primero, es igual
al anterior más una cantidad constante llamada razón.
La razón en toda progresión aritmética, la razón debe ser diferente de cero. Si es positiva, la
progresión aritmética es creciente y si es negativa la progresión aritmética es decreciente.
La razón de una progresión aritmética es igual a un término cualquiera menos el anterior, es decir:
r = a 2 - a1 = a 3 - a 2 = a 4 - a 3 = a n - 2 - a n -
1
= an − an - 1
EJEMPLOS:
1.- Sea la sucesión: 6, 14, 22, 30, 38, ....., es una progresión aritmética creciente cuya razón vale:
r = a 2 - a 1 = 14 - 6 = 8
2.- La sucesión: 32, 28, 24, 20, ....., es una progresión aritmética decreciente cuya razón es igual a
r = a 2 - a 1 = 28
- 32 = - 4
En las progresiones aritméticas, la notación es al siguiente.
a1 es el primer término.
a 2 es el segundo término.
a 3 es el tercer término.
5. 5
an
- 2
an
- 1
es el antepenúltimo
es el penúltimo.
an es el último término o término n-simo.
Las progresiones aritméticas pueden ser finitas e infinitas son finitas, las que poseen desde el primer
término hasta el último y son infinitas aquellos que no se sabe cual es el último de sus términos.
EJERCICIOS
1.- Indica cuales de las siguientes sucesiones son progresiones aritméticas:
a) 8,12,16,20..
b) 2,4,8,16,32...
c) –12,-15,-18,-21...
d) 36,33,30,27,24,...
e) ½, 1, 1 ½ , 2, 2 ½,..
f) ¼ , ½, ¾ , 1, 1 ¼, ....
g) 68,59,50,41,...
NOTA: Para comprobar si una sucesión es una progresión aritmética, se calcula la razón y luego se
forma la progresión.
2.- Calcula el valor de “x” para que los términos de cada una de las siguientes sucesiones formen una
progresión aritmética.
a) x + 1, x2 + 4, 2x2 – 1, ...
6. 6
b) x + 3, 2x2 – 1, ...
c) x, 3x + 2, 3x2 + 2,...
d) 4x – 3, 5x, 3x2 + 3, 8x + 4,...
e) 2x –1, 3x + 2, x2 + 5,...
TERMINO N-SIMO DE UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Por la definición de progresión aritmética, en donde a1 es el primer término y “r” la razón, tenemos que:
a2 = a 1 + r
a3 = a 2 + r = a 1 + r + r = a 1 + 2 . r
a4 = a 3 + r = a1 + 2 r + r = a1 + 3 r
a5 = a 4 + r = a 1 + 3 r + r = a 1 + 4 r
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
an = a n
- 1
+ r = a1 + ( n - 1 ) . r
Siendo esta expresión la fórmula que nos permite obtener el último término de una progresión
aritmética y en donde:
a n : es el término n-simo o último término de la progresión aritmética.
a1 : es el primer término
n: es el número de término que posee dicha progresión.
7. 7
DESPEJES
1.- a1 = ?
an = a 1 + ( n - 1 ) . r
an - ( n - 1 ) . r = a 1
a1 = a n - ( n - 1 ) . r
2.- r = ?
an = a 1 + ( n - 1 ) . r
an - a 1 = ( n - 1 ) . r
a n - a1
n -1
r =
3.- n = ?
= r
a n - a1
n - 1
an = a1 + ( n - 1 ) . r
an - a 1 = ( n - 1 ) . r
a n - a1
r
n =
= n -1
a n - a1
r
+1
NOTA: Primero se efectúa la división y luego se le suma a ese resultado la unidad.
PROBLEMAS
1.- Calcular el vigésimo quinto término de una progresión aritmética que empieza en 12 y la razón es 6.
DATOS
an = ?
n = 25
a1 = 12
r=6
FÓRMULA
an = a 1 +
(n
- 1 ).r
DESARROLLO
a n = 12 + ( 25 –1) .6
a n = 12 + ( 24) .6
a n = 156
8. 8
2.- Determinar el primer término de una progresión aritmética de 24 términos, cuya razón es 5 y termina en
124.
DATOS
a1 = ?
n = 24
a n = 124
r=5
FÓRMULA
an = a 1 +
(
DESARROLLO
a1 = 124 – (24-1).5
a1 = 124 – (23).5
a1 = 124 – 115
a1 = 9
n - 1 ).r
DESPEJE
a1 = a n - ( n - 1 ) . r
3.- Calcular la razón de una progresión aritmética de términos, sabiendo que empieza en 10 y termina en 7.
DATOS
n=?
r=7
a1 = 14 a n = 497
FÓRMULA
an = a 1 +
(n
DESARROLLO
- 1 ).r
DESPEJE
an - a 1 =
(n
a n - a1
r
n =
497 - 14
7
n=
- 1 ).r
= n -1
a n - a1
r
n =
483
7
+1
+1
n = 69 +1
n = 70
+1
Entre 10 y 500, existen 70 números múltiplos de
EJERCICIOS
1.- ¿Cuál es el último término de una progresión aritmética de 13 términos que empieza en 23 y la razón es
9?
R = 131.
2.- Hallar el último término de una progresión aritmética sabiendo que empieza en 15, tiene 14 términos y la
razón es 10.
R = 145.
3.- En una progresión aritmética de 10 términos, el último es 56 y la razón 4. Determinar el primer término.
R = 20
9. 9
4.- Hallar el primer término de una progresión aritmética cuya razón es – 6, sabiendo que el octavo término
es – 23.
R = 19.
5.- En una progresión aritmética de seis términos el primero es 3 y el último 23, ‘Cuál es la razón?.
R = 4.
6.- El primer término de una progresión aritmética es 7 y el décimo –11. Calcular la razón.
R=-2
7.- El primer término de una progresión aritmética es 25, el último la unidad, y la razón –4. Determinar el
número de términos de dicha progresión.
R = 7.
8.- Calcular el número de términos de una progresión aritmética que empieza en 2, termina en 38 y la razón es
4.
R = 10.
RELACIÓN ENTRE DOS TERMINOS CUALESQUIERA DE UNA PROGRESION ARTIMETICA
EJEMPLOS:
1.- En una progresión aritmética, el cuarto término es 12 y la razón es 5, ¿Cuánto vale el décimo término?
DATOS
a n = 12
FÓRMULA
a10 = a 4 + 6 . r
r =5
DESARROLLO
a10 = 12 + 6 . 5
a10 = 12 + 30
a10 = 42
a10 = ?
2.- En una progresión aritmética, el décimo sexto término es
53
7
si la razón es 5, ¿Cuánto vale el quinto
término?
DATOS
53
a16 =
7
r =8r
a5 = ?
FÓRMULA
a 5 = a 16 - 11 . r
DESARROLLO
53
- 11 . 8
7
53
a5 =
- 88
7
563
a5 = 7
a5 =
3.- Hallar el trigésimo término de una progresión aritmética, sabiendo que el octavo término es 20 y el
vigésimo 56.
10. 10
DATOS
a 30 = ?
a8 = 20
a 20 = 56
FÓRMULAS
DESARROLLO
a 30 = a 20 + 10 . r
a 20 = a 8 + 12 . r
56 - 20
12
r =
=
36
12
=3
DESPEJE
a 30 = 56 + 10 . 3 = 56 + 30 = 86
r =
a 20 - a 8
12
4.- Hallar tres números en progresión aritmética, sabiendo que suman 57 y el producto 5928.
DATOS
FÓRMULAS
a1 + a 2 + a 3 = 57
a
a1 . a 2 . a 3 =5 928 1 = a 2 - r
a2 = a 2
a3 = a 2 + r
DESARROLLO
a2 - r + a 2 +
a 2 + r = 57
3 . a 2 = 57
a2 =
a 2 . ( a 2 - r ) . ( a 2 ) . ( a 2 + a 2 ) = 5 928
a 2 . ( a 2 - r ) . ( a 2 + r ) = 5 928
2
a 2 . ( a 2 - r 2 ) = 5 928
19 . (192 – r2) = 5928
361 - r 2 =
5 928
19
= 312
361 – r2 = 312.
361 - 312 = r 2
r 2 = 49 ⇒ r = ±
49
=±7
57
3
= 19
11. 11
Si r = 7
a1 = a 2 - r = 19 - 7 = 12
a 2 = 19
Si r = -7
a1 = a 2 - r = 19 - ( - 7 ) = 19 + 7 = 26
a 2 = 19 A2 = 19
a 3 = a 2 + r = 19 + 7 = 26
a 3 = a 2 + r = 19 + ( - 7 ) = 19 - 7 = 12
5.- Hallar cuatro números que en progresión aritmética suman 96, su producto es 308.880.
DATOS
a1 + a 2 + a 3 = 96 ( 1 )
a1 . a 2 . a 3 = 308 880 ( 2 )
FORMULAS
a2 = x - 3 . y
a2 = x - y
a3 = x + y
A4 = x + 3y
DESARROLLO
a1 + a 2 + a 3 + a 4 = 96 ( 1 )
(x – 3 .y) + (x - y) + (x + y) (x +3 .y) = 90
a 2 = x - y = 24 - 2 = 22
4 x = 96
x =
96
4
a1 = x - y = 24 - 3 . 2 = 24 - 6 = 18
a 3 = x + y = 24 + 2 = 26
= 24
a1 . a 2 . a 3 . a 4 = 308 880
(x
– 3 y ) .(x - y) . (x + y) . (x + 3 y) =
a 4 = x + 3 . y = 24 + 3 . 2 = 24 + 6 = 30
Los números son: 18, 22, 26, 30
308.880
(x – 3y) . (x + 3y) . (x-y) . (x+y) = 308.880
(x2 - 9 y2) . (x2 - y2) = 308.880
x4 - x2 y2 - 9 x2 y + 9 y4 = 308.880
x4 - 10x2y2 + 9y4 = 308.880
(19)4 – 10(19)2 y2 + 9 y4 = 308.880
331776 – 10(576)y2 + 9y4 = 308.880
Para y = - 2
a1 = x - 3 . y = 24 - 3 . ( - 2 ) = 245 + 6 = 30
a 2 = x - y = 24 - ( - 2 ) = 24 + 2 = 6
a3 = x + y = 24 + ( - 2 ) = 24 - 2 = 22
12. 12
9y4 – 5760y2 +331776 – 308.880 = 0
a 4 = x + 3 . y = 24 + 3 . ( - 2 ) = 24 - 6 = 18
9y4 – 5 760y2 + 22 896 = 0
9 y4
9
-
57 604 y 2
+
9
22 896
9
=
0
9
Los números son: 30 , 26 , 22 , 18.
y4 – 640y2 +2544 = 0
Se realiza un cambio de variable y la
ecuación se transforma en una ecuación
cuadrática.
y2 = u
u2 – 640u + 2544 = 0
Resolviendo con la calculadora o aplicando la resolverte de las ecuaciones de segundo grado; obtenemos:
u1 = 4
u 2 = 636 ⇒
⇒
y = ± 2 (es solución)
y= ±
25,22 (no es
solución).
6.- En una progresión aritmética, la suma del cuarto término con el noveno es 64 y la del séptimo con
undécimo es 8. Hallar el décimo quinto término de dicha progresión.
DATOS
FORMULAS
a 4 + a 9 = 64 ( 1 )
a4 = a 1 + 3 . r
a 7 + a 7 = 84 ( 2 )
a15 = ?
a9 = a 1 + 8 . r
a7 = a 1 + 6 . r
a11 = a 1 + 10 . r
a15 = a 1 + 14. r
a 4 + a 9 = 64 ( 1 )
a1 + 3 . r + a1 + 8 . r = 64
2 . a1 + 11 . r = 64
- 1 2 a1 + 11 r = 64
2a1 + 16 . r = 64
_________________________
-2 a1 – 11r = - 64
2a1 + 16 . r = 84
5 r = 20
DESARROLLO
a 7 + a 11 = 84 ( 2 )
a1 + 6 . r + a 1 + 10 . r = 84
2 . a 1 + 16 . r = 84
13. 13
20
5
r =
r = 4
2a1 + 11 . r = 64
2a1 + 11 ( 4 ) = 64
2a1 + 44 = 64 2
2a1 = 64 - 44 2
20
a1 =
= 10
2
a15 = a 1 + 14 . r
a15 = 10 + 14 ( 4 )
a15 = 10 + 56
a15 = 66
7.- En una progresión aritmética, la suma del tercer y séptimo términos es 93, y la diferencia entre el quinto y
el primero es 36. Determinar el cuarto término y la razón de la progresión.
Datos
Formulas
a3 + a7 = 93 (1)
a3 = a 1 + 2 r
a5 – a 1 = 36 (2)
a7 = a 1 + 6 r
a5 = a 1 + 4 r
a4 = ?
a4 = a 1 + 3 r
r= ?
a3 + a7 = 93 (1)
a5 – a 1 = 36
a 1 + 2 r + a 1 + 6 r = 93
2 a 1 + 8 r = 93
a 1 + 4 r - a 1 = 36
4 r = 36
r=
r=9
a 4 = a1 + 3 r
a4=
21
2
+ 3 (9)
a4 =
21
2
+
a4 =
27
1
21 + 54
2
2 a 1 + 8 r = 93
=
75
2
36
4
2 a 1 + 8 (9 ) = 93
2 a 1 + 72 = 93
2 a 1 = 93 – 72
a1 =
21
2
14. 14
RELACION ENTRE LOS TERMINOS EQUIDISTANTES DE
UNA PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Sea la Progresión Aritmética: 2, 7, 12, 17, 22, 27, 32, 37. Sumemos los términos extremos y sus
equidistantes:
a1 + an = 2 + 37 = 39
a2 + a n
- 1
= 7 + 32 = 39
a3 + a n
- 2
= 12 + 27 = 39
Los términos centrales: 17 + 22 = 39
Se puede deducir, según lo anterior que:
“La suma de los términos extremos y la de sus términos extremos en una progresión aritmética cuyo
número de términos es par, son iguales”.
Ahora veamos, una progresión aritmética cuyo número de términos es impar.
- 17, - 9 , - 1 , 7, 15 , 23 , 31 , 39 , 47
Sumemos los términos extremos y sus equidistantes:
a1 + an
a2 + a n
= 17 + 47 = 30
- 1
a3 + a n
a4 + a n
- 2
- 3
= 9 + 39 = 30
= -1 + 31 = 30
= 7 + 23 = 30
El término central (ac) de una progresión aritmética es igual a la mitad tanto de la suma de sus
términos extremos como la de los equidistantes a sus extremos, es decir:
ac =
de donde se desprende que:
a1 + a n
2
15. 15
2ac = a1 + an
Por lo que se puede asegurar dos premisas:
1.-
El término central (ac) de una progresión aritmética, cuyo número de términos sea impar, es igual a la
semi-suma de sus términos extremos.
2.-
El doble del término central (ac) de una progresión aritmética de número de términos impar, es igual a
la suma de sus extremos.
EJERCICIOS
1.- Calcular el término central de una progresión aritmética de 11 términos que empiezan en – 3 y
termina en 43.
Datos
Fórmula
ac = ?
ac =
Desarrollo
a1 + a n
2
ac =
ac =
n=11
40
2
- 3 + 43
2
= 20
a 1 = -3
a c = 43
2.- En una progresión aritmética cuyo término central es 14, calcular el último término sabiendo que
empieza en –2.
Datos
Fórmula
a1 + a n
2
a c = 14
ac =
a1 = - 2
DESPEJE
an = ?
2 . a c = a1 + a n
an = 2 . a c - a 1
Desarrollo
a n = 2 . ( 14 ) - ( - 2 )
a n = 28 + 2
a n = 30
16. 16
SUMA DE LOS “N” PRIMEROS TERMINOS
Sea la progresión aritmética: a1, a2,, a3 , ......., an-2 , an-1 , an y la suma de sus términos:
S = a1 + a2, + a3 + ....... + an-2 , + an-1 , + an ó
+ S = an + an-1 + an-2,+ ……+ a3 + a2, + a1
2S = (a1 + an) + (a2 + an-1) + (a3 + an-2) + …. + (a3 + an-2) + (a2 + a-n1) + (a1 + an)
en donde, todos los binomios por ser términos equidistantes a los extremos, la suma es igual a ellos(los
términos extremos), por lo tanto:
2S = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + …. + (a1 + an) + (a1+ a-n) + (a1 + an) n – veces:
2S = (a1 + an) . n
( a1
S =
+ an ). n
2
Es la expresión usada para calcular la suma de los “n” primeros términos de una progresión aritmética y
S
=
es la suma de los “n” términos de progresión aritmética
a1 =
es el primer término de la progresión aritmética.
an =
es el término n-simo o último término de la progresión
n
es el número de términos de la progresión
=
DESPEJES
1.-
a1 = ?
( a1
S =
+ an ).n
2
2S = (a1 + an) . n
2S
n
= a 1 + an
a1 =
2.-
an = ?
S=
2 .S
n
- an
(a 1 + a n )
n
17. 17
2
2 . S = (a 1 + an ) . n
2 .S
n
= a1 + a n
an = 2 . S - a1
3.-
S =
n=?
(
a1 + a n ) . n
2
2. S = ( a 1 + a n ) . n
2 . S = ( a1 +
n =
a n ).
n
2 .S
a1 + a n
EJERCICIOS
1.-
Hallar la suma de los veinte primeros términos de una progresión aritmética que empieza en 5
y termina en 58.
Datos
Fórmula
S =?
S =
Desarrollo
( a1 +
an ).n
2
(5
S =
n = 20
S= (5
a1 = 5
S = 63 . 10
a n = 56
+ 58 ) . 20
2
S = 630
2.suma es 366.
+ 58 ) . 10
Calcular el primer término de una progresión aritmética de 12 términos, que termina en 58 y la
18. 18
Datos
Fórmula
( a1 + a n ) . n
S=
2
a1 = ?
n = 12
Desarrollo
a1 =
2 .S =
732
- 58
12
a1 = 61 - 58
( a1 +
an ).n
2.S
= a1 + a n
n
2 .S
- an
n
S = 366
a1 =
- 58
a1 =
DESPEJE
a n = 58
2 . 366
12
a1 = 3
3.- La suma de los 40 primeros términos de una progresión aritmética que empieza en 4, es 1060,
calcular el último término.
Datos
Fórmula
S =
n = 40
a1 = 4
Desarrollo
( a1 +
an ) .n
2
an =
2 . 1 060
40
- 4
2 120
40
- 4
DESPEJE
2 .S =
S = 1060
( a1 +
an ) . n
an =
2.S
n
an = ?
a n = 53 - 4
= a1 + a n
a n = 49
2 .S
n
an =
- a1
4.- ¿Cuántos términos se necesitan para que la suma de los términos de una progresión aritmética que
empieza en 4 y termina en 100 sea 520.
Datos
Fórmula
2 . 520
4 +100
n =
a1 = 4
=
1 040
104
an ) .n
2
= 10
DESPEJE
S = 520
a n = 100
5.-
( a1 +
S =
n=?
Desarrollo
2 .S =
( a1 +
an ).n
n =
2 .S
a1 + a n
Hallar la suma de los primeros cien enteros positivos múltiplos de siete.
19. 19
Datos
a1 = 7
n = 100
Fórmulas
an = a 1 +
S =
(
( a1 +
Desarrollo
n - 1 ).r
an =7 + (100 – 1) . 7
an ) .n
2
r=7
an = 7 + 99.7 =
an = 7 + 693 = 700
S =
an = ?
S=?
(7
+ 700 ) . 100
2
=
707 . 100
2
S = 35.350
6.- Calcular la razón de una progresión aritmética de 20 términos que empieza en –10 y la suma es 420.
Datos
r= ?
Fórmulas
an = a 1 +
(n
Desarrollo
- 1 ).r
n = 21
a1 = - 10
S = 420
( a1 +
S =
an ) .n
2
DESPEJES
2 .S =
2 .S
n
( a1 +
)
an = 40 + 10 = 50
50 - ( - 10
21 - 1
r =
)
=
50 + 10
20
an ).n
= a1 + a n
2.S
- a1
n
an - a 1 = ( n - 1 ) . r
an =
r =
2 . 420
- ( - 10
21
840
an =
+ 10
21
an =
r =
60
20
r =3
a n - a1
n - 1
7.- En una progresión aritmética se sabe que: la suma del cuarto término con el décimo es 60 y la del séptimo
con el décimo cuarto es 109. Calcular la suma de los primeros veinte términos.
Datos
Fórmulas
Desarrollo
20. 20
a 4 + a 10 = 60
a + a = 109
7 14
S=?
2 . a1
a 4 = a1 + 3 . r
a 1 + 3 . r + a 1 + 9 . r = 60
a 7 = a1 + 6 . r
2 . a 1 + 12 . r = 60 ( 3 )
a 10 = a 1 + 9 . r
a 1 + 6 . r + a 1 + 13 . r = 109
a14 = a 1 + 13 . r
+ 19 . r = 109 ( 4 )
a 20 = a 1 + 19 . r
n = 20
S=
- 1 2a1+ 12r = 60 (3)
2a1 + 19r = 109 (4)
an ) .n
2
2a1+ 12r = 60
2a1 + 12.7= 60
2a1 + 84 = 60
2a1 = 60 - 84
a1 = -24
2
a1 = -12
2a1 - 12r = - 60
2a1 +19r = 109
7r = 49
r =
( a1 +
49
7
r= 7
( - 12
+ 121 ) . 20
2
a20 = - 12 +19 (7)
S 20 =
a20 = - 12 + 133
S 20 = ( 109 ) . 10 = 1 090
a20 = 121
8.- Hallar cuántos enteros consecutivos de la progresión: 10 , 11 , 12 ,13, . . . . . , se deben tomar para que la
suma sea 2035.
Datos
n =?
a1 = 10
Fórmula
an = + (n – 1) .r
S =
( a1 +
an ) .n
2
Desarrollo
2 S = (a1 + an) . n
2 S = (a1 + a1 +(n-1 ) . r
21. 21
S = 2035
r=1
En ambas fórmulas hay dos
incógnitas por lo tanto hay
que insertar una dentro de
la otra
2 S = (2a1 + n . r – r) . n
2 S = 2a1 n + n2 r – r n
Se sustituyen los elementos
conocidos y nos queda una
ecuación cuadrática
2 = (2035) = (10) n + n2 – n
20 n + n2 - n – 2 (2035) = 0
n2 + 19 n – 4070 = 0
Resolviendo con la calculadora:
Se tiene que:
n1 = 55
n2 = -74 (No es solución) ¿Por qué no es solución?
Se deben sumar 55 enteros consecutivos a partir de 10
EJERCICIOS
1.- Hallar el cuarentavo término y la suma de los primeros 40 términos de la progresión aritmética: 10, 8, 6,
4......
2.- En una progresión aritmética se sabe que: a 6 = 10 y a 15 = 30 . Calcular la suma de los primero 20
términos de dicha progresión.
3.- En una progresión aritmética, el cuarto término más el octavo suman 36 y el quinto sumado con el
undécimo es igual a 48. Calcular la suma de los 30 primeros términos de la progresión dada.
4.-
Hallar la suma de las trece primeros términos de una progresión aritmética sabiendo que:
a13 - a7 = 3
a3 + a5 = 11
5.- Calcular la suma de los primeros quince términos de una progresión aritmética en donde se cumple que:
a2 . a7 = 75
a5 + a10 = 32
22. 22
6.-
Calcular la suma de los veinte primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que:
a 10
a4
= 4
4a7 – 3a3 = 51
7.- Calcular la suma de los 20 primeros múltiplos de 4.
8.- Calcular la suma de los múltiplos de 7 comprendidos entre 100 y 200.
9.- Calcular la suma de todos los números de tres cifras.
10.- Hallar cuánto tiempo se empleará en saldar una deuda de Bs. 880 pagando Bs. 25 en el primer mes,
Bs 27, en el segundo, Bs. 29 en el tercero, etc...
11.- En una progresión aritmética se cumple que: a 20 = 39 y S 20 = 400 . Hallar la razón.
12.- En una progresión aritmética se sabe que: S10 = 135 y a1 = 0. Hallar S8 .
13.- En una progresión aritmética se cumple que: S10 = 120 y S20 = 440. Hallar S30 .
14.- ¿Cuántos términos de la progresión: 24, 22,20 _____, se necesitan para que la suma sea 150?.
INTERPOLACIÓN DE MEDIOS ARITMÉTICOS
Dados los extremos de una progresión aritmética: a1 y an. Se llama interpolar “m” medias aritméticas
entre ellos, a formar una progresión aritmética cuyo número de términos “n” sea igual a m + 2 (n = m + 2).
El problema consiste en calcular la razón y después formar la progresión:
Ejemplos:
23. 23
1.-
Interpolar 5 medios aritméticos entre 2 y 26
Datos
Fórmula
( a1 +
an = a 1 +
a1 = 2
Desarrollo
an = 26
r =
26 - 2
7 - 1
r =
24
6
=
=4
DESPEJE
m=5
an ) .r
a n - a1
n - 1
n =5+2=7
a1 = 2
a2 = a1 + r = 2 + 4 = 6
a3 = a2 + r = 6 + 4 = 10
a4 = a3 + r = 10 + 4 = 14
a5 = a4 + r = 14 + 4 = 18
a6 = a5 + r = 18 + 4 = 22
a7 = a6 + r = 22 + 4 = 26
Interpolar 3 medios diferenciales entre: √ 2 y √ 3
2.-
Datos
a1 =
r =
Fórmula
Desarrollo
an = a 1 +
2
3
2
5 - 1
an =
3
3
=
4
(n
- 1 ).r
4
DESPEJE
a n - a1
n - 1
r =
m=3
n =3+2=5
a1 =
a2
2
+
2
=
3
4
a3 = a2 + r =
a4 = a3 + r =
a5 = a4 + r =
a1
2
3
=
2
2
2
2
+
4
+
4
+ 3
4
4.
2
+
+
3
-
2
=
4
3
2
3
3
+
3
3
+
+
4
3
2
4
4
r
+
4
2
=
2
2
2
3
2
2
=
=
4
3
4
=
3
+ 2
4
+ 3
=
3
3
3
24. 24
3.-
Interpolar 4 medios aritméticos o diferencial 4 es entre – 2 y
Datos
Fórmula
a1 = - 2
an
r =
an =
Desarrollo
=
1
3
a1
(-
-
2
)
6 - 1
+(n
1
3
=
-1)
.r
6 +1
3
=
5
7
3
r =
5
1
+2
5
1
3
m= 4
DESPEJE
r =
a1 = - 2
a n - a1
n - 1
- 30 + 7
15
a2 = a1 + r = - 2
7
15
a3 = a2 + r =
23
15
+
7
15
=
-
16
15
+
7
15
=-
a5 = a4 + r =
-
9
15
+
7
15
=-
a6 = a5 + r =
-
2
15
+
7
15
=
a4 = a3 + r =
1
3
-
=
=-
23
15
- 23 + 7
15
=-
9
15
2
15
5 : 5
15 : 5
=
1
5
16
15
=
7
15