Este documento introduce las sucesiones aritméticas y geométricas. Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados y que las sucesiones geométricas tienen cada término obtenido multiplicando el anterior por una constante llamada razón. También presenta fórmulas para calcular el término general y la suma de términos finitos e infinitos para sucesiones aritméticas y geométricas.

1. UNIDAD 1: ESTUDIEMOS SUCECIONES ARITMETICAS
Y GEOMETRICAS.
Sucesiones
Una sucesión es un conjunto de números que son imagen de una función, cuyo dominio son,
(normalmente), los enteros positivos, comenzando a partir del 1.
Bueno, bueno, no nos preocupemos por las definiciones más o menos rigurosas o académicas;
la forma más fácil de "visualizar" una sucesión es pensar en varios números , por ejemplo, la
población en millones de habitantes que tienen varios países, y luego ordenar esos números: en
la primera posición (n=1), ponemos la nación con más población, y así sucesivamente en orden
decreciente, hasta llegar a la menor cantidad de población: en el caso de que tuviéramos una
lista con 12 países, el menor en habitantes estaría situado en la posición décimo segunda, n=12.
En general, las sucesiones numéricas sirven para ordenar números, en cantidades finitas como en
el ejemplo anterior, o en cantidades infinitas, como por ejemplo, sn= 1/n, la cual tiene infinitos
elementos: ¿cuáles son?, bien, ya hemos dicho que, n = (1,2,3,4,5...y así sin fin), por lo que el
primer elemento será 1/1 = 1, el siguiente, (como fácilmente puede adivinarse) es, 1/2 = 0.5,
etc. Si quisiéramos saber cuál es el elemento que ocupa la posición 1320, sólo tendremos que
hallar el inverso de este número, es decir: 1 / 1320. La expresión sn= 1/n, se denomina "término
general de la sucesión", es una forma de escribir de manera compacta la sucesión; cuando
sabemos cómo se "comportan" los elementos de la sucesión, podemos escribir una fórmula que
nos del valor numérico para cualquier posición, por ejemplo, si tengo la colección infinita de
números: 2,4,6,8,..., es fácil ver su comportamiento; el primero termino, (n=1), es el 2, a partir
de entonces los siguientes se obtienen sumando 2 al anterior, y en vez de escribir todos los
elementos para "ver" la sucesión (ridículo e imposible a la vez), lo que hacemos es escribir: sn =
2n.
La idea clave sobre el concepto de sucesión es la de " una colección de elementos ordenada”. Si
quitamos la palabra "ordenar", entonces ya no tenemos una sucesión; lo que tendremos es un
conjunto de zapatos, coches, estrellas, sucesiones (! Si ¡, sucesiones de sucesiones), números,

2. etc.,
y no sabremos responder a preguntas como: ¿cuál es el lugar que ocupa sirio en la lista de las
estrellas más brillantes? o ¿cuántos números primos hay hasta 1000?. Si no hacemos una lista de
estrellas en función de su brillo, o de números primos, no podremos contestar a las cuestiones
anteriores.
En la gráfica de arriba puedes ver una sucesión de números reales (3, 9, 27,...) que están
relacionados entre sí, es decir, existe una característica común entre ellos y es, que todos se
obtienen al tomar el anterior y multiplicarlo por 3. Pues bien, toda sucesión que cumpla que
cualquier elemento de la misma sea igual al anterior multiplicado por un número, que
llamaremos r , se denomina sucesión geométrica. En el ejemplo anterior se puede ver que se
trata de una sucesión de números reales (creciente), siendo r = 3 y S1 = 3 (el primer elemento).
Desde luego, es muy fácil ver lo que sucede
cuando n toma valores muy elevados (para n = 1000, n = 1000000000000...), la sucesión 3n nos
va a dar números muy grandes. Si los elementos de la sucesión representaran distancias (por
ejemplo en metros, o lo que quieras), obtendríamos longitudes superiores al tamaño del mismo
Universo, o dicho con otras palabras, no es posible pensar en un número que sea mayor que los
números que pueden conseguirse con la sucesión 3n, lo cual implica que no está "acotada"
superiormente. Lo de acotación significa encajar o limitar entre dos valores: ¿podemos encontrar
"dos números" entre los cuales estén (3, 9, 27, 81,...)?, pues no, sólo podemos decir están entre
el 3 ( u otro más pequeño) y el infinito, pero infinito no es un número concreto, ¿verdad?, por
lo que podemos decir que no está acotada, o que solamente tiene cota inferior ( el 3 o cualquier
otro número menor).
Hay dos fórmula muy útiles que nos permiten hallar el termino general de una sucesión
geométrica y la suma de una cantidad finita de estos:
Termino general de una sucesión geométrica:
Sn = S1.rn-1 donde r = razón, S1 = el primer elemento o
término de la sucesión, n = 1, 2, 3, 4, ...
Suma de los infinitos términos de una sucesión geométrica:
Esta última formula, sólo tiene sentido utilizarla si "el valor absoluto de r es mayor que 1", es
decir, si r > 1 o r < -1. Veamos, si r es mayor que 1, resulta que los términos de la sucesión van
creciendo más y más, puesto que al multiplicar por un número mayor que 1, lo que conseguimos
son números mayores que el anterior, con lo que la suma será igual a infinito: sucede lo contrario
para valores de r menores que 1 ( entre 1 y -1) , al multiplicar por "0,algo" (cero coma algo),
obtenemos números cada vez más pequeños, y entonces es posible hacer la suma. En el ejemplo
anterior, r=3, con lo que la "suma vale infinito". Esto último es una forma de hablar, suma =
infinito, no tiene sentido: suma = un número concreto, si lo tiene, entonces, este tipo de
sucesiones se dice que son divergentes, y de forma equivalente, cuando su suma es finita (un
numero), se dice que son convergentes. Veamos un ejemplo:

3. Hay otra clase de sucesiones que se llaman aritméticas: son un conjunto de
números ordenados que tienen la propiedad de que cada término es igual
al anterior más una constante, d, o diferencia común, Los mismos números
enteros, ( Z = 1,2,3,...) son una sucesión aritmética, en donde d = 1: también lo
serían, ( -1/2, -1, -3/2, -2, ...) con d = -1/2 o (2, 6, 8, ..) con d = 2. Disponemos
de dos fórmulas para calcular la expresión del término general y el valor de
la suma. Hay que tener en cuenta que si sumamos una serie aritmética, con
todos sus términos positivos, el resultado será infinito ( o menos infinito cuando
todos sus términos son números negativos), puesto que estamos todos sus
elementos que son infinitos, en esta situación, sólo tiene sentido sumar una
cantidad finita de términos. Bien, las fórmulas son:
Término general para una sucesión aritmética:
Sn = S1 + (n - 1) d donde d =
diferencia, S1 = el primer elemento o término de la sucesión, n = 1, 2, 3, 4, ..
Suma de "n" términos (cantidad finita) para una sucesión
aritmética:
Suma = (n /2) (2.S1 + (n - 1)d)
Veamos un ejemplo:

4. Progresión geométrica
En matemáticas, una progresión geométrica o sucesión geométrica está constituida por una
secuencia de elementos en la que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por una
constante denominada razón o factor de la progresión. Se suele reservar el término progresión
cuando la secuencia tiene una cantidad finita de términos mientras que se usa sucesión cuando
hay una cantidad infinita de términos, si bien, esta separación no es estricta.
Así, 5, 15, 45, 135, 405,... es una progresión geométrica con razón igual a 3, porque:
15 = 5 × 3
45 = 15 × 3
135 = 45 × 3
405 = 135 × 3
Y así sucesivamente
Ejemplos de progresiones geométricas
· La progresión 1, 2, 4, 8, 16, 32 es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al
igual que 5, 10, 20, 40.
· La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875
es una progresión geométrica con razón 1/4.
· La razón tampoco tiene porqué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24
tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante
porque los signos alternan entre positivo y negativo.
· Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7
· Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen
ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente
que en la definición.
Fórmulas pertinentes a progresiones geométricas
Si son los términos de una progresión geométrica con razón entonces se
cumple la regla recursiva
La razón de una progresión geométrica puede entonces obtenerse dividiendo cualquier término
por su inmediato anterior:
Todos los términos de la progresión quedan determinados así por el primer término y la razón.
Efectuando la sustitución en cada paso, la progresión se convierte en

5. De donde se infiere la fórmula para el término n-ésimo:
Ejemplo. La secuencia 3, 6, 12, 24, 48, 96 es una progresión geométrica cuya razón es 2 ya
que
Dado que , podemos calcular directamente cualquier entrada. Por ejemplo:
Suma de términos de una progresión geométrica
Suma de los primeros n términos de una progresión geométrica
Se denomina como Sn a la suma de n términos consecutivos de una progresión geométrica:
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
Si se quiere obtener una fórmula para calcular de una manera rápida dicha suma, se multiplica
ambos miembros de la igualdad por la razón de la progresión r.
Si se tiene en cuenta que al multiplicar un término de una progresión geométrica por la razón se
obtiene el término siguiente de esa progresión,
Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r
Si se procede a restar de esta igualdad la primera:
Sn r = a2 + a3 + ... + an + an r
Sn = a1 + a2 + ... + an-1 + an
_______________________________
Sn r - Sn = - a1 + an r
O lo que es lo mismo,
Sn (r - 1) = an r - a1
Si se despeja Sn,

6. De esta manera se obtiene la suma de la n términos de una progresión geométrica cuando se
conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede
expresar el término general de la progresión an como
an = a1 rn-1
Así, al substituirlo en la fórmula1 anterior se tiene lo siguiente:
Con lo que se obtiene la siguiente igualdad:
Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión
geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.
Suma de términos infinitos de una progresión geométrica
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos
decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1,
tiende hacia 0, de modo que:
En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a
la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula:

7. De esta manera se obtiene la suma de la n términos de una progresión geométrica cuando se
conoce el primer y el último término de la misma. Si se quiere simplificar la fórmula, se puede
expresar el término general de la progresión an como
an = a1 rn-1
Así, al substituirlo en la fórmula1 anterior se tiene lo siguiente:
Con lo que se obtiene la siguiente igualdad:
Con esta fórmula se puede obtener la suma de n términos consecutivos de una progresión
geométrica con sólo saber el primer término a sumar y la razón de la progresión.
Suma de términos infinitos de una progresión geométrica
Si el valor absoluto de la razón es menor que la unidad | r | < 1, la suma de los infinitos términos
decrecientes de la progresión geométrica converge hacia un valor finito. En efecto, si | r | < 1,
tiende hacia 0, de modo que:
En definitiva, la suma de los infinitos términos de una progresión geométrica de razón inferior a
la unidad se obtiene utilizando la siguiente fórmula: