Este material didáctico tiene por objetivo introducir los conceptos de progresiones aritméticas y geométricas además de brindar varios enlaces sobre el tema.

1. Progresiones aritméticas y
geométricas
Asignatura: Análisis Matemático (72), CBC - UBA, Sede Paternal
Autor: Andrea Alejandra Rey
Año de edición: 2014

2. Índice
1 Introducción 3
2 Progresiones numéricas 3
3 Progresiones aritméticas 4
4 Progresiones geométricas 5
5 Material complementario 7
6 Videos 7
7 Aplicaciones 7
8 Curiosidades 7
9 Ejercitación 8
Bibliografía 8

3. 1 Introducción
Aunque el concepto de la “progresión geométrica” remonta a los egipcios y babilonios y era fami-liar
a los griegos, vuelve a aparecer en la Edad Media con el matemático francés Nicolás Oresme,
(siglo XIV ), pero sólo encuentra la resonancia adecuada un siglo más tarde con N. Chuquet.
Se han estudiado propiedades y aplicaciones de las progresiones en aritmética comercial. Por
ejemplo, entre las tablillas que se han encontrado en la época babilónica antigua, se halló una donde
aparece registrado el problema de calcular en cuánto tiempo se doblaría una cantidad de dinero
a determinado interés compuesto y por tanto, las progresines geométricas. De hecho, en otras
tablillas aparecen inscriptan la suma de la progresión geométrica 1+2+22 + 29 y la suma de la
serie de los cuadrados 1 + 22 + 32 + + 102.
Este artículo está dividido en nueve secciones, la presente que es la introducción seguida de
ocho más. Las secciones 2, 3 y 4 muestran definiciones y ejemplos de progresiones numéricas,
aritméticas y geométricas, respectivamente. Las secciones siguientes pretenden ampliar el material
ofrecido sobre estos temas y se encuentran organizadas de la siguiente manera: en la sección 5
se sugieren enlaces a materiales digitales escritos, mientras que en la sección 6 los enlaces son a
videos tutoriales. Las dos secciones siguientes ofrecen enlaces para aquellos alumnos que estén
interesados en conocer algunas aplicaciones, 7, y curiosidades, 8, sobre este tipo de progresiones.
Finalmente, en la última sección se proponen algunas actividades de ejercitación.
2 Progresiones numéricas
Una progresión o sucesión numérica es un conjunto ordenado de números, cada uno de los cuales
se llama término de la progresión. Miremos los siguientes ejemplos:
1. S1 = f1; 2; 3; 4; g,
2. S2 = f1; 1;1; 1; g,
3. S3 = f1
2 ; 1
3 ; 1
4 ; 1
5 ; g,
4. S4 = f1; 4; 9; 16; g.
Los puntos suspensivos indican que la progresión continúa.
En general, las progresiones se denotan por (an)n2N donde an se llama el término general de
la progresión y el subíndice n indica la posición del elemento dentro del conjunto. En los ejemplos
anteriores podemos observar que:
1. En S1, a1 = 1, a2 = 2, a3 = 3, a4 = 4; de donde podemos deducir que el término general de la
progresión es an = n.
2. En S2, a1 = 1, a2 = 1, a3 = 1, a4 = 1; de donde podemos deducir que el término general
de la progresión es an = (1)n.
3. En S3, a1 = 1
2 , a2 = 1
3 , a3 = 1
4 , a4 = 1
5 ; de donde podemos deducir que el término general de
la progresión es an = 1
n+1.
4. En S4, a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9, a4 = 16; de donde podemos deducir que el término general de
la progresión es an = n2.
Notemos que podemos pensar a una progresión numérica como la imagen de una función con
dominio los números naturales (que dan el orden) y codominio los números reales (representados
por los términos de la progresión).

4. 3 Progresiones aritméticas
Analicemos las siguientes imágenes:
Consideremos la siguiente progresión
3; 10; 17; 24; 31; 38;
Podemos observar que cada término de la progresión se obtiene del anterior sumándole 7. Tenemos
lo siguiente:
a1 = 3 = a1 + 0 7
a2 = 10 = 3 + 7 = a1 + 1 7
a3 = 17 = 10 + 7 = a2 + 7 = (a1 + 7) + 7 = a1 + 2 7
a4 = 24 = 17 + 7 = a3 + 7 = (a1 + 2 7) = a1 + 3 7
...
an = a1 + (n 1) 7
En general, si una progresión (an)n2N es tal que cada término se obtiene del anterior sumándole
un número fijo k, entonces su término general es de la forma
an = a1 + (n 1) k
Definición 3.1. Una progresión (an)n2N cuyo término general es de la forma an = a+(n1) k donde a
y k son números reales se llama progresión aritmética.

5. Ejercicio
En una progresión aritmética, a2 = 11 y a5 = 23. Calcular el término general y la suma de los seis
primeros términos.
Usando los datos del enunciado y la forma que tienen los términos de una progresión aritmética
podemos armar el siguiente sistema de ecuaciones
(
11 = a2 = a + k
23 = a5 = a + 4k
(3.1)
Restando estas ecuaciones tenemos
a + 4k (a + k) = 23 11
a + 4k a k = 12
3k = 12
k = 4
Reemplazando en la primera ecuación de (3.1),
11 = a + 4
11 4 = a
7 = a
Luego,
an = 7 + (n 1) 4
Para calcular la suma de los seis primeros términos, calculamos
a1 = 7
a2 = 7 + 4 = 11
a3 = 11 + 4 = 15
a4 = 15 + 4 = 19
a5 = 19 + 4 = 23
a6 = 23 + 4 = 27
Por lo tanto a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 = 7 + 11 + 15 + 19 + 23 + 27 = 102.
4 Progresiones geométricas
Analicemos las siguientes imágenes:

6. Consideremos la siguiente progresión
4; 12; 36; 108; 324; 972;
Podemos observar que cada término de la progresión se obtiene del anterior multiplicándolo por
3. Tenemos lo siguiente:
a1 = 4 = a1 30
a2 = 12 = 4 3 = a1 31
a3 = 36 = 12 3 = a2 3 = (a1 3) 3 = a1 32
a4 = 108 = 36 3 = a3 3 = (a1 32) 3 = a1 33
...
an = a1 3(n 1)
En general, si una progresión (an)n2N es tal que cada término se obtiene del anterior multi-plicándolo
por un número fijo r, entonces su término general es de la forma
an = a1 3(n1)
Definición 4.1. Una progresión (an)n2N cuyo término general es de la forma an = a r(n1) donde a y r
son números reales se llama progresión geométrica de razón r.
Ejercicio
En una progresión geométrica, a2 = 20 y a5 = 160000. Calcular el término general y la suma a4 + a7.
Usando los datos del enunciado y la forma que tienen los términos de una progresión ge-ométrica
podemos armar el siguiente sistema de ecuaciones
(
20 = a2 = a r
160000 = a5 = a r4 (4.1)
Dividiendo estas ecuaciones tenemos
a r4
a r
=
160000
20
r3 = 8000
r = 3 p
8000
k = 20

7. Reemplazando en la primera ecuación de (4.1),
20 = a 20
1 = 20
Luego,
an = 20(n1)
Para calcular la suma a4 + a7, calculamos
a4 = 203 = 8000
a7 = 204 = 64000000
Por lo tanto a4 + a7 = 8000 + 64000000 = 64008000.
5 Material complementario
Para aquellos que quieran reforzar los contenidos desarrollados les ofrecemos los siguientes en-laces:
1. Progresión aritmética
2. Progresiones aritméticas
3. Progresión geométrica
4. Progresiones geométricas
6 Videos
A continuación listamos una serie de videos que pueden ampliar los conceptos desarrollados de
progresiones aritméticas y geométricas.
1. Sucesiones aritméticas
2. Progresiones aritméticas (1/2)
3. Pogresión aritmética 01 3ESO
4. Sucesiones geométricas
5. Sucesiones geométricas.flv
6. Progresión geométrica 3ESO
7 Aplicaciones
Las progresiones aritméticas y geométricas tienen diversas aplicaciones. En el sitio Algunas apli-caciones
de las progresiones podrán encontrar algunos ejemplos.
8 Curiosidades
Para finalizar, se dejan enlaces para aquellos que se sientan interesados en conocer algunas curiosi-dades,
juegos o anécdotas que tienen como eje central las progresiones aritméticas y geométricas.
1. DEMATESY+
2. Divagaciones sobre las progresiones

8. 9 Ejercitación
Llegó el momento de poner en práctica lo que hemos aprendido, por lo cual dejamos la invitación
para navegar por los siguientes enlaces.
1. Ejercicios y problemas resueltos de progresiones aritméticas
2. Ejercicios y problemas resueltos de progresiones geométricas
Bibliografía
[1] Aguilar de Pérez, L. (?1981). Recuperado de
http://www.bdigital.unal.edu.co=802=4=165_ _3_Capi_2.pdf
[2] Bradley, G. L. y Smith, K. J. (1998). Cálculo de una variable, I. Ed. Prentice Hall.
[3] Hoffmann, L. D. y Bradley, G.L. (1998). Cálculo para administración, economía y ciencias sociales.
Ed. McGraw-Hill.
[4] Martínez Salas. (1992). Elementos de matemáticas. Ed. Lex Nova.
[5] Manrique Torres, C. Recuperado de
http://www.slideboom.com/presentations/92023/UNAD
[6] Sydsaeter, K. y Hammond, P. J. (1996). Matemáticas para el análisis económico. Ed. Prentice Hall.