Este documento define las sucesiones matemáticas y describe diferentes tipos como progresiones aritméticas, progresiones geométricas, sucesiones especiales y la sucesión de Fibonacci. Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados y define el término general. Luego describe las características de las progresiones aritméticas y geométricas, incluyendo cómo calcular la suma de sus términos. También presenta ejemplos de aplicaciones de las sucesiones.
El documento trata sobre sucesiones de números reales. Explica que una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales y define la notación común para los términos de una sucesión. También clasifica las sucesiones en aritméticas, geométricas y especiales, y explica los conceptos de límite, convergencia y divergencia de una sucesión. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos fundamentales sobre sucesiones.
Este documento introduce las sumatorias y resume sus propiedades y ejemplos notables. Explica cómo Gauss resolvió el problema de sumar los números del 1 al 100 de forma ingeniosa al reordenar los términos de manera simétrica. Luego presenta definiciones, propiedades y ejemplos resueltos de sumatorias.
Este documento introduce las sucesiones numéricas y las progresiones aritméticas. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de números reales, donde cada elemento se denomina término. Luego define una progresión aritmética como una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al término anterior. Finalmente, presenta la fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética.
Este documento presenta conceptos sobre razones y proporciones. Explica que una razón es la comparación de dos magnitudes a través de un cociente y que dos razones forman una proporción cuando los productos cruzados de sus términos son iguales. También muestra cómo calcular un término desconocido en una proporción mediante la multiplicación cruzada y división del número que está cruzado con la variable desconocida. Finalmente, indica que las razones y proporciones se aplican en diferentes áreas como porcentajes, geometría y estad
Power Point: Graficas de las funciones basicasCrisalys
Este documento resume las características principales de varias funciones básicas, incluyendo su dominio, rango y gráficas. Explica funciones como la identidad, cuadrática, cúbica, valor absoluto, recíproca, raíz cuadrada, exponencial, logaritmo natural, seno y coseno. Luego proporciona ejercicios prácticos para identificar el dominio, rango y representar gráficamente funciones.
Este documento presenta las traducciones entre lenguaje verbal y algebraico. Incluye términos como suma, resta, multiplicación y división. Luego, proporciona ejemplos de expresiones verbales y sus equivalentes algebraicos. Finalmente, muestra ejercicios de traducción e interpretación para plantear ecuaciones algebraicas a partir de descripciones verbales de problemas matemáticos.
Este documento describe la función exponencial y su aplicación para modelar el crecimiento bacteriano. Explica que la función exponencial se usa para representar cómo el número de bacterias en un cultivo se duplica cada hora, lo que permite calcular la población bacteriana a diferentes tiempos. También define la función exponencial f(x)=ab^x y sus características.
Este documento explica la notación científica, que es una forma concisa de escribir números muy grandes o muy pequeños usando exponentes. Proporciona ejemplos de cómo expresar números en notación científica, como la masa de la Tierra, y ejercicios para practicar la conversión entre notación decimal y científica.
El documento trata sobre sucesiones de números reales. Explica que una sucesión es una función cuyo dominio son los números naturales y define la notación común para los términos de una sucesión. También clasifica las sucesiones en aritméticas, geométricas y especiales, y explica los conceptos de límite, convergencia y divergencia de una sucesión. El documento proporciona ejemplos y ejercicios para ilustrar estos conceptos fundamentales sobre sucesiones.
Este documento introduce las sumatorias y resume sus propiedades y ejemplos notables. Explica cómo Gauss resolvió el problema de sumar los números del 1 al 100 de forma ingeniosa al reordenar los términos de manera simétrica. Luego presenta definiciones, propiedades y ejemplos resueltos de sumatorias.
Este documento introduce las sucesiones numéricas y las progresiones aritméticas. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de números reales, donde cada elemento se denomina término. Luego define una progresión aritmética como una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al término anterior. Finalmente, presenta la fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética.
Este documento presenta conceptos sobre razones y proporciones. Explica que una razón es la comparación de dos magnitudes a través de un cociente y que dos razones forman una proporción cuando los productos cruzados de sus términos son iguales. También muestra cómo calcular un término desconocido en una proporción mediante la multiplicación cruzada y división del número que está cruzado con la variable desconocida. Finalmente, indica que las razones y proporciones se aplican en diferentes áreas como porcentajes, geometría y estad
Power Point: Graficas de las funciones basicasCrisalys
Este documento resume las características principales de varias funciones básicas, incluyendo su dominio, rango y gráficas. Explica funciones como la identidad, cuadrática, cúbica, valor absoluto, recíproca, raíz cuadrada, exponencial, logaritmo natural, seno y coseno. Luego proporciona ejercicios prácticos para identificar el dominio, rango y representar gráficamente funciones.
Este documento presenta las traducciones entre lenguaje verbal y algebraico. Incluye términos como suma, resta, multiplicación y división. Luego, proporciona ejemplos de expresiones verbales y sus equivalentes algebraicos. Finalmente, muestra ejercicios de traducción e interpretación para plantear ecuaciones algebraicas a partir de descripciones verbales de problemas matemáticos.
Este documento describe la función exponencial y su aplicación para modelar el crecimiento bacteriano. Explica que la función exponencial se usa para representar cómo el número de bacterias en un cultivo se duplica cada hora, lo que permite calcular la población bacteriana a diferentes tiempos. También define la función exponencial f(x)=ab^x y sus características.
Este documento explica la notación científica, que es una forma concisa de escribir números muy grandes o muy pequeños usando exponentes. Proporciona ejemplos de cómo expresar números en notación científica, como la masa de la Tierra, y ejercicios para practicar la conversión entre notación decimal y científica.
Ecuaciones de Primer Grado con Una IncógnitaValeriaVeron05
El documento explica las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define los términos clave como igualdad matemática, miembros, términos, coeficientes e incógnita. Describe la técnica de resolución de pasar términos entre los miembros para despejar la incógnita. Como ejemplo, resuelve la ecuación 2x - 11 = 5x + 4 para hallar que la incógnita x es igual a -5.
Este documento define progresiones aritméticas y geométricas. Una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. Se explican fórmulas para calcular cualquier término, la suma de términos y más propiedades de ambos tipos de progresiones.
El documento define potencias, sus propiedades y notación científica. Explica que una potencia es la multiplicación reiterada de una base, con el exponente indicando la cantidad de multiplicaciones. Describe propiedades como la suma de exponentes al multiplicar potencias de igual base y la resta al dividir. Además, diferencia notación científica de potencias de base 10 y da ejemplos de su uso.
El documento describe las sucesiones geométricas, incluyendo su definición, término general, término enésimo, suma de términos y interpolación de medios geométricos. Explica que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón y cómo calcular el término general, enésimo y la suma de una sucesión geométrica.
El documento define una sucesión como un conjunto ordenado de elementos que siguen una regla o patrón. Explica que una sucesión puede ser ascendente, descendente o alternada, y que cada elemento se denomina término. También distingue entre progresiones, donde la diferencia entre términos es constante, y sucesiones más generales. Finalmente, describe las notaciones matemáticas utilizadas para representar términos y diferencias, así como los conceptos de progresión aritmética y progresión geométrica.
Este documento describe diferentes técnicas de factorización en álgebra, incluyendo sacar un factor común, factor común por agrupación de términos, trinomios al cuadrado perfecto, trinomios de la forma x2+bx+c, y diferencia de cuadrados. Explica cómo transformar sumas en productos extrayendo factores comunes y cómo descomponer trinomios en factores binomios.
El documento presenta dos problemas matemáticos que involucran polinomios. El Problema 1 pide determinar el polinomio que representa la ganancia de una compañía, dadas las ecuaciones para los costos y los ingresos. Luego pide calcular la ganancia después de vender 100 objetos. El Problema 4 no proporciona detalles.
Este documento trata sobre los conceptos de números cuadrados perfectos y cubos perfectos. Explica que un número es cuadrado perfecto si puede expresarse como el producto de dos factores iguales. Luego proporciona ejemplos de cuadrados y cubos perfectos y da instrucciones sobre cómo simplificar raíces cuadradas mediante la extracción del factor cuadrado perfecto mayor del radicando.
Las propiedades son características que siempre se cumplen en las operaciones matemáticas como la suma. La suma cumple cuatro propiedades: es conmutativa, asociativa, tiene un elemento neutro (0) y cada número tiene un elemento opuesto. Por ejemplo, la suma de a + b es igual a b + a (conmutativa) y (a + b) + c es igual a a + (b + c) (asociativa).
Este documento presenta una prueba de matemáticas sobre inecuaciones lineales para estudiantes de cuarto medio. La prueba consta de 20 puntos de selección múltiple y 28 puntos de desarrollo para resolver inecuaciones, sistemas de inecuaciones y problemas relacionados. Los estudiantes deben demostrar su comprensión de conceptos como resolver inecuaciones lineales de una incógnita y utilizarlas para resolver problemas.
Serpientes y escaleras de matemáticas (sustituciones algebraicas).Diseño y de...JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento presenta las reglas de un juego de tablero llamado "Serpientes y Escaleras" que involucra sustituciones algebraicas. Los jugadores avanzan tirando un dado y sustituyendo el valor obtenido en expresiones dadas para X. Si el resultado es positivo avanzan, si es negativo retroceden. Gana el primero en llegar a la casilla 32.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo factor común, agrupación de términos, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, y factorizando un trinomio de la forma x2 + bx + c.
2 ecuaciones e inecuaciones con valor absolutoGino León
El documento trata sobre ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Explica cómo aplicar propiedades de las desigualdades y el valor absoluto para resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, así como ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. También analiza expresiones matemáticas, su simbología y propiedades para resolver dichos tipos de problemas.
El documento clasifica los diferentes tipos de números. Los números se dividen en cinco categorías principales: números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Cada categoría incluye a la anterior. Los números naturales son los que se cuentan y no incluyen ceros. Los enteros incluyen los naturales y cero. Los racionales son aquellos que pueden expresarse como fracciones. Los reales incluyen racionales e irracionales. Los complejos incluyen todos los anteriores y números imaginarios.
El documento describe el Triángulo de Pascal, una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Se completa cada espacio de la tabla sumando los dos números de arriba. El triángulo muestra los coeficientes del desarrollo de un binomio elevado a diferentes potencias y es simétrico respecto a su eje central.
Este documento presenta información sobre progresiones aritméticas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión de términos donde cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija llamada diferencia. Detalla que los términos se expresan como a1, a2, a3, etc. y que el término n-ésimo se calcula como a1 + (n-1)d, donde a1 es el primer término y d es la diferencia. También cubre cómo calcular la suma de los términos mediante la f
Este documento explica las progresiones aritméticas, que son sucesiones de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior. Define conceptos como diferencia, término general y da ejemplos de cómo calcular la suma de los primeros términos y de interpolar términos intermedios.
Este documento define las sucesiones de números reales y describe diferentes tipos como progresiones aritméticas, geométricas y sucesiones especiales como la de Fibonacci. Explica que una sucesión es un conjunto de números dados de forma ordenada y cómo se expresan y calculan sus términos generales. También cubre conceptos como la suma de términos y ejemplos como la espiral de Fibonacci presente en la naturaleza.
1) Una progresión aritmética es una sucesión cuyos términos difieren en una cantidad constante llamada razón.
2) La fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética es an = a1 + (n-1)d, donde a1 es el primer término, an es el último término, d es la razón y n es el número de términos.
3) La suma de los términos de una progresión aritmética se calcula como S = (a1 + an)n/2
Ecuaciones de Primer Grado con Una IncógnitaValeriaVeron05
El documento explica las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define los términos clave como igualdad matemática, miembros, términos, coeficientes e incógnita. Describe la técnica de resolución de pasar términos entre los miembros para despejar la incógnita. Como ejemplo, resuelve la ecuación 2x - 11 = 5x + 4 para hallar que la incógnita x es igual a -5.
Este documento define progresiones aritméticas y geométricas. Una progresión aritmética es una sucesión donde cada término se obtiene sumando una cantidad constante al anterior. En una progresión geométrica, cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón constante. Se explican fórmulas para calcular cualquier término, la suma de términos y más propiedades de ambos tipos de progresiones.
El documento define potencias, sus propiedades y notación científica. Explica que una potencia es la multiplicación reiterada de una base, con el exponente indicando la cantidad de multiplicaciones. Describe propiedades como la suma de exponentes al multiplicar potencias de igual base y la resta al dividir. Además, diferencia notación científica de potencias de base 10 y da ejemplos de su uso.
El documento describe las sucesiones geométricas, incluyendo su definición, término general, término enésimo, suma de términos y interpolación de medios geométricos. Explica que cada término se obtiene multiplicando el anterior por una constante llamada razón y cómo calcular el término general, enésimo y la suma de una sucesión geométrica.
El documento define una sucesión como un conjunto ordenado de elementos que siguen una regla o patrón. Explica que una sucesión puede ser ascendente, descendente o alternada, y que cada elemento se denomina término. También distingue entre progresiones, donde la diferencia entre términos es constante, y sucesiones más generales. Finalmente, describe las notaciones matemáticas utilizadas para representar términos y diferencias, así como los conceptos de progresión aritmética y progresión geométrica.
Este documento describe diferentes técnicas de factorización en álgebra, incluyendo sacar un factor común, factor común por agrupación de términos, trinomios al cuadrado perfecto, trinomios de la forma x2+bx+c, y diferencia de cuadrados. Explica cómo transformar sumas en productos extrayendo factores comunes y cómo descomponer trinomios en factores binomios.
El documento presenta dos problemas matemáticos que involucran polinomios. El Problema 1 pide determinar el polinomio que representa la ganancia de una compañía, dadas las ecuaciones para los costos y los ingresos. Luego pide calcular la ganancia después de vender 100 objetos. El Problema 4 no proporciona detalles.
Este documento trata sobre los conceptos de números cuadrados perfectos y cubos perfectos. Explica que un número es cuadrado perfecto si puede expresarse como el producto de dos factores iguales. Luego proporciona ejemplos de cuadrados y cubos perfectos y da instrucciones sobre cómo simplificar raíces cuadradas mediante la extracción del factor cuadrado perfecto mayor del radicando.
Las propiedades son características que siempre se cumplen en las operaciones matemáticas como la suma. La suma cumple cuatro propiedades: es conmutativa, asociativa, tiene un elemento neutro (0) y cada número tiene un elemento opuesto. Por ejemplo, la suma de a + b es igual a b + a (conmutativa) y (a + b) + c es igual a a + (b + c) (asociativa).
Este documento presenta una prueba de matemáticas sobre inecuaciones lineales para estudiantes de cuarto medio. La prueba consta de 20 puntos de selección múltiple y 28 puntos de desarrollo para resolver inecuaciones, sistemas de inecuaciones y problemas relacionados. Los estudiantes deben demostrar su comprensión de conceptos como resolver inecuaciones lineales de una incógnita y utilizarlas para resolver problemas.
Serpientes y escaleras de matemáticas (sustituciones algebraicas).Diseño y de...JAVIER SOLIS NOYOLA
Este documento presenta las reglas de un juego de tablero llamado "Serpientes y Escaleras" que involucra sustituciones algebraicas. Los jugadores avanzan tirando un dado y sustituyendo el valor obtenido en expresiones dadas para X. Si el resultado es positivo avanzan, si es negativo retroceden. Gana el primero en llegar a la casilla 32.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo factor común, agrupación de términos, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, y factorizando un trinomio de la forma x2 + bx + c.
2 ecuaciones e inecuaciones con valor absolutoGino León
El documento trata sobre ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. Explica cómo aplicar propiedades de las desigualdades y el valor absoluto para resolver inecuaciones de primer y segundo grado con una incógnita, así como ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto. También analiza expresiones matemáticas, su simbología y propiedades para resolver dichos tipos de problemas.
El documento clasifica los diferentes tipos de números. Los números se dividen en cinco categorías principales: números naturales, enteros, racionales, reales y complejos. Cada categoría incluye a la anterior. Los números naturales son los que se cuentan y no incluyen ceros. Los enteros incluyen los naturales y cero. Los racionales son aquellos que pueden expresarse como fracciones. Los reales incluyen racionales e irracionales. Los complejos incluyen todos los anteriores y números imaginarios.
El documento describe el Triángulo de Pascal, una representación de los coeficientes binomiales ordenados en forma triangular. Se completa cada espacio de la tabla sumando los dos números de arriba. El triángulo muestra los coeficientes del desarrollo de un binomio elevado a diferentes potencias y es simétrico respecto a su eje central.
Este documento presenta información sobre progresiones aritméticas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión de términos donde cada término se obtiene sumando al anterior una cantidad fija llamada diferencia. Detalla que los términos se expresan como a1, a2, a3, etc. y que el término n-ésimo se calcula como a1 + (n-1)d, donde a1 es el primer término y d es la diferencia. También cubre cómo calcular la suma de los términos mediante la f
Este documento explica las progresiones aritméticas, que son sucesiones de números donde cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior. Define conceptos como diferencia, término general y da ejemplos de cómo calcular la suma de los primeros términos y de interpolar términos intermedios.
Este documento define las sucesiones de números reales y describe diferentes tipos como progresiones aritméticas, geométricas y sucesiones especiales como la de Fibonacci. Explica que una sucesión es un conjunto de números dados de forma ordenada y cómo se expresan y calculan sus términos generales. También cubre conceptos como la suma de términos y ejemplos como la espiral de Fibonacci presente en la naturaleza.
1) Una progresión aritmética es una sucesión cuyos términos difieren en una cantidad constante llamada razón.
2) La fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética es an = a1 + (n-1)d, donde a1 es el primer término, an es el último término, d es la razón y n es el número de términos.
3) La suma de los términos de una progresión aritmética se calcula como S = (a1 + an)n/2
Este documento presenta conceptos básicos sobre sucesiones, incluyendo sucesiones aritméticas y geométricas. Explica la notación de sumatoria y provee ejemplos de su uso. También cubre temas como la inducción matemática y el teorema del binomio.
El documento presenta información sobre sucesiones y progresiones matemáticas. Explica conceptos como secuencias, términos generales, progresiones aritméticas y geométricas. También cubre sumas de términos consecutivos, modelos de crecimiento y teoría de juegos. Finalmente, introduce brevemente temas como sistemas binarios, códigos de barras y aritmética modular.
El documento explica conceptos básicos sobre sucesiones numéricas. Introduce las sucesiones lineales o progresiones aritméticas, donde cada término se obtiene sumando una constante llamada razón aritmética al anterior. Luego describe propiedades como que la suma de los términos extremos es constante. También explica sucesiones polinomiales donde los términos siguen un polinomio, y sucesiones geométricas donde se multiplica por una razón geométrica constante. Finalmente, proporciona ejemplos y ejercic
Este documento resume conceptos básicos sobre sucesiones, incluyendo sucesiones aritméticas y geométricas. Define sucesiones y proporciona ejemplos. Explica la notación de sumatoria y cómo expresar sumas usando esta notación. Brevemente describe el teorema del binomio y la inducción matemática.
Este documento resume conceptos básicos sobre sucesiones, incluyendo sucesiones aritméticas y geométricas. Define sucesiones como funciones cuyo dominio son los números enteros positivos. Explica cómo calcular la suma de los primeros términos de una sucesión usando la notación de sumatoria. También cubre la inducción matemática y el teorema del binomio.
Este documento trata sobre progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término, excepto el primero, es igual al anterior más una diferencia constante. Mientras que en una progresión geométrica cada término, excepto el primero, es igual al anterior multiplicado por una razón constante. Luego presenta fórmulas para calcular el término general, la suma de los términos y el producto de los términos en cada tipo de progresión. Finalmente,
Este documento resume los conceptos básicos de las sucesiones numéricas, incluyendo las progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de números reales y define los términos y el término general de una sucesión. También describe las sucesiones recurrentes, progresiones aritméticas y geométricas, y cómo calcular la suma y el producto de los términos en cada tipo de progresión.
El documento describe diferentes tipos de sucesiones numéricas, incluyendo sucesiones numéricas, sucesiones recurrentes, progresiones aritméticas y progresiones geométricas. Explica conceptos clave como el término general de una sucesión y cómo calcular la suma y el producto de los términos de diferentes tipos de sucesiones.
Este documento presenta información sobre sucesiones y progresiones. Explica que una sucesión es un conjunto ordenado de términos matemáticos que presentan una regularidad, y que las progresiones aritméticas y geométricas son tipos importantes de sucesiones. Describe las características de las progresiones aritméticas, incluyendo cómo calcular el término general, y también presenta información básica sobre progresiones geométricas. El documento contiene varios ejemplos y ejercicios para practicar el cálculo de t
Este documento presenta los objetivos de una unidad sobre sucesiones aritméticas, técnicas de conteo y funciones exponenciales. Los estudiantes aprenderán a utilizar el término general de sucesiones aritméticas y geométricas para calcular términos específicos, aplicar técnicas de conteo en problemas de la vida cotidiana, y usar funciones exponenciales para resolver situaciones matemáticas y sociales. La unidad también incluye un proyecto sobre intereses compuestos de préstamos que aplica estos conceptos.
Este documento resume las características de las progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión aritmética es una sucesión de números donde cada término es igual al anterior más una diferencia fija, mientras que en una progresión geométrica cada término es igual al anterior multiplicado por una razón constante. Además, proporciona fórmulas para calcular el término general, la suma de los términos y la interpolación de términos medios en progresiones aritméticas.
Este documento resume las características de las progresiones aritméticas y geométricas. Introduce las progresiones aritméticas, definidas como sucesiones donde cada término es igual al anterior más una diferencia fija. Explica cómo calcular el término general y la suma de los n primeros términos de una progresión aritmética. También presenta las progresiones geométricas, donde cada término es igual al anterior multiplicado por una razón constante.
(1) El documento habla sobre sucesiones y progresiones, en particular la sucesión de Fibonacci y progresiones aritméticas. (2) Explica que una sucesión es un conjunto de números ordenados y define el término general de una sucesión. (3) Una progresión aritmética es una sucesión donde la diferencia entre términos consecutivos es constante, y presenta la fórmula para calcular el término general de una progresión aritmética.
El documento presenta información sobre números reales, funciones exponenciales y logarítmicas, y conceptos matemáticos como reglas de exponentes, interés compuesto, escala de Richter y ley de enfriamiento. Explica las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas, y provee ejemplos para ilustrar su uso en diversos contextos como crecimiento bacteriano, inversiones y medición de sismos.
El documento presenta información sobre números reales, funciones exponenciales y logarítmicas, y conceptos matemáticos como reglas de exponentes, interés compuesto, ecuaciones y gráficas. Explica las propiedades de funciones exponenciales y logarítmicas, y provee ejemplos para ilustrar conceptos como reglas de exponentes, interés compuesto, escala de Richter y ley de enfriamiento. También define ecuaciones matemáticas y describe tipos de gráficas lineales y cuadráticas.
El documento presenta información sobre números reales, funciones exponenciales y logarítmicas, y conceptos matemáticos como el teorema de Pitágoras y las identidades trigonométricas. Explica las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas, y provee ejemplos de su aplicación en áreas como el crecimiento bacteriano y la ley de enfriamiento de Newton. También define conceptos como la pendiente de una recta y tipos de gráficas lineales y cuadráticas.
Este documento presenta información sobre progresiones aritméticas y geométricas. Explica que una progresión es una serie de números que siguen una ley de formación constante. En una progresión aritmética cada término se obtiene sumando una cantidad fija al anterior, mientras que en una progresión geométrica cada término se obtiene multiplicando el anterior por una razón fija. Además, detalla propiedades y fórmulas para calcular términos, sumas y otros valores en ambos tipos de progresiones. Finalmente,
Como obtener expresiones que contengan al número π y al logaritmo natural de ...Enrique Ramon Acosta Ramos
El documento describe métodos para obtener expresiones de π y el logaritmo natural de 2 a partir del triángulo numérico de Pascal. Explica que el triángulo de Pascal puede representar los coeficientes del binomio de Newton y que sus elementos pueden escribirse como números combinatorios. También describe sucesiones diagonales en el triángulo y cómo la suma de sus términos está relacionada con combinaciones con repetición. Finalmente, menciona una fórmula antigua para obtener π a partir de una serie infinita de fracciones basadas
La Unidad Eudista de Espiritualidad se complace en poner a su disposición el siguiente Triduo Eudista, que tiene como propósito ofrecer tres breves meditaciones sobre Jesucristo Sumo y Eterno Sacerdote, el Sagrado Corazón de Jesús y el Inmaculado Corazón de María. En cada día encuentran una oración inicial, una meditación y una oración final.
Ofrecemos herramientas y metodologías para que las personas con ideas de negocio desarrollen un prototipo que pueda ser probado en un entorno real.
Cada miembro puede crear su perfil de acuerdo a sus intereses, habilidades y así montar sus proyectos de ideas de negocio, para recibir mentorías .
2. DEFINICIÓN DE SUCESIÓN.
Se llama sucesión a un conjunto de números dados de forma ordenada, de
modo que se puedan numerar: primero, segundo, tercero, cuarto,…
Los elementos de la sucesión se llaman términos y se suelen designar
mediante una letra con los subíndices correspondientes a los lugares que
ocupan en la sucesión:a1, a2, a3…..
Ejemplo: (2, 5, 8, 11) a1 = 2 , a2 = 5 , a3 = 8 , a4 = 11
TÉRMINO GENERAL DE UNA SUCESIÓN.
Se llama término general de una sucesión a la expresión que representa a un
término cualquiera de la secesión, y se simboliza: an. Para la sucesión anterior
se tiene como término general: an = 3n – 1. El primer valor será: a1 = 3x1 -1 = 2;
el segundo a2 = 3x2-1 = 5 y así sucesivamente: a3 = 8 , a4 = 11
3. Formas de expresar una sucesión
Se puede hacer de las siguientes maneras:
•Mostrando los términos de la sucesión : {1; 3; 5; 7;...}
•Mediante una frase que describa la sucesión, por ejemplo: El conjunto de los
números naturales.
•A través del término general, que permite conocer el valor de cada elemento
dependiendo de la posición que ocupa (n).
• Por recurrencia, son sucesiones que para conocer un término es necesario
conocer los anteriores. Sea por ejemplo la relación recurrente an = an−1 + an−2.
Se tiene que los dos primeros son a1 = 1, a2 = 2, el tercero es a3 = a2+a1=1+1 = 2,
el cuarto es a4 = a3 + a2 = 2 + 1 = 3, el quinto es a5 = a4 + a3 = 3 + 2 = 5,
el sexto a6 = 5 + 3 = 8, el séptimo a7 = 8+5 = 13 y el octavo a8 = 13 + 8 = 21.
4. TIPOS DE SUCESIONES
a) Progresiones Aritméticas: es una sucesión de números reales en la que cada uno de
sus términos se obtiene del anterior sumando una cantidad fija “d” llamada diferencia. Por
ello, se puede decir que en toda sucesión aritmética de diferencia ‘d’ se verifica que :
an = an−1 + d, a partir de a1 conocido.
Ejemplo: sea la sucesión (an): 10, 12, 14, 16, 18,
Esta sucesión es una sucesión aritmética, ya que cada uno de los elementos se obtiene
del anterior sumando una cantidad fija igual a 2, llamada diferencia (d). Así, en este caso,
a1 = 10, d = 2, y se verifica que para cualquier n -1 an = an−1+d = an−1 + 2. Igualmente, se
verifica que an = a1+(n −1) d = 10+(n − 1)2, esto es: an = 8+2n, que es el término general.
5. Suma de términos de una progresión aritmética.
Sea la sucesión aritmética de números reales (an) : a1, a2, a3, Sea Sn a la suma de
los n primeros términos de la sucesión; Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an−1 + an. Se verifica
entonces que Sn es igual a la mitad de n veces la suma del primero con el último, es
decir: Sn = (a1 + an)n / 2
Ejemplo.
Un jardinero tiene que echar un cubo de agua a cada uno de los 15 árboles que están a lo
largo de un camino recto. Los arboles están separados entre sí 6 m, y el pozo se encuentra a
10 m del primer árbol. Si el jardinero solo lleva un cubo de agua en cada viaje ¿qué camino
habrá recorrido tras regar los 15 árboles y devolver el cubo al pozo?
Solución.
Para regar el primer árbol y devolver el cubo al pozo, el jardinero debe recorrer 10 + 10m = 20m.
Para regar el segundo y devolver el cubo al pozo, el jardinero habrá recorrer (10+6)+(6+10)m =
32m = 20+12m, para regar el tercer árbol recorrerá (10+6+6)+(6+6+10)m = 44m = 32 + 12m. Por
lo tanto, para regar el enésimo árbol deberá recorrer an = 20 + 12(n − 1) metros. Es decir:
a15 = 20 + 12(15 − 1) = 188 m.
En total la distancia recorrida por el jardinero será: Sn = (a1 + an)n / 2
Sn = (20 + 188) 15 / 2 = 1.560 m
6. b) Progresiones geométricas.
Una progresión geométrica es una sucesión de números reales en la que cada término se
obtiene del anterior multiplicando a éste por una cantidad fija positiva r, llamada razón de la
progresión. Por ello, la expresión que describe el comportamiento de una sucesión
geométrica es an = an−1r para r > 0 a partir de a1 conocido.
El término general de una progresión geométrica es: an = a1 * r n-1
Ejemplo 1.
Sea la progresión geométrica con a1 = 2 y r = 3. ¿Qué valor tendrá a6?
Esta sucesión la forman los números an: 2, 6, 18, 54, 162, 486. Se multiplica por r = 3
cada uno de los números anteriores, que se calculan a partir de a1 = 2 y se llega: a6 = 486.
Pero, por ejemplo, para llegar al número a20 se deben de realizar, sin equivoco, muchas
multiplicaciones.
En consecuencia, es conveniente emplear el término general an = a1 * r n-1.
a20 = 2 * 3 (20-1) = 2*319 = 2.324.522.934
7. Ejemplo 2.
En un banco se ha depositado la cantidad de 10.000 Bs a un interés del 5 % anual,
¿qué capital se tendrá al finalizar el quinto año?
Nota: Un capital C que se deposita en un banco al i% de interés, produce unos beneficios al cabo
de un año. Si sumamos los beneficios al capital, C + iC = C(1+i), y esta nueva cantidad la se pone
de nuevo a un interés i %, al finalizar el segundo año se tendrá un capital total C(i+i)+C(1+i)i =
C(1+i)2.por tanto, al finalizar el año n, desde que se puso el dinero en el banco, se dispondrá de un
capital total igual a C(1+i)n−1, donde los valores que genera esta fórmula pueden ser entendidos
como términos de una progresión geométrica con a1 = C y razón (1 + i).
Solución.
Se aplica: an = a1 * r n-1 , donde a1 = 10.000 r = ( 1 + 0,05)
a5 = 10.000 (1,05)4 = 12.155 Bs
8. Suma de términos en una progresión geométrica.
Sea la progresión geométrica de números reales (an) : a1, a2, a3, y Sn la suma de los
n primeros términos de la sucesión; Sn = a1 + a2 + a3 + · · · + an−1 + an. Se verifica
entonces que Sn es igual al cociente del primero menos el siguiente al último entre
1 − r, esto es: Sn = (a1 – a1 rn) / (1- r)
Ejemplo 3.
Cuenta la Historia, que el Rey de Persia aburrido en los ratos de ocio, de repente quedó fascinado
por el juego del ajedrez, el cual le presentó un inventor ingenioso e inteligente. Se cuenta que
quedó tan agradecido que el rey ofreció al matemático oriental lo que deseara. A lo que el inventor
respondió ¡Me conformo con 1 grano de trigo por la primera casilla del tablero, 2 por la segunda, 4
por la tercera, 8 por la cuarta y así hasta la casilla 64 del tablero!
Solución.
Esta propuesta del inventor, aunque para el rey fuese ridícula según lo marca la Historia, resulta
sorprendente, pues se trata de una suma de términos de una progresión geométrica de razón 2.
Aplicando Sn = (a1 – a1 rn) / (1- r) se tiene:
Sn = (1 – 1*264) / (1- 2) = 18.446.744.073.709.551.616 granos.
Como cada kilogramo de trigo ocupa unos 28.220 granos, la cifra anterior equivaldría a unas
653.676.260.585 toneladas de trigo.
9. •Sucesiones especiales.
Son sucesiones que guardan otro tipo de ley de formación que no está orientado
específicamente a una razón constante, su ley de formación guarda un orden
lógico diferente que debe ser analizado muy ingeniosamente.
Números pares: 2, 4, 6, 8, 10, ..... an = 2n
Números impares : 1, 3, 5, 7, 9, .... an = 2n – 1
Números al cuadrados : 1, 4, 9, 16, 25, .... an = n2
Números al cubos: 1, 8, 27, 81, 125, .... an = n3
Potencias: 2, 4, 8, 16,...... an = 2n
Números triangulares: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …… an = n(n+1)/2
10. Sucesión de Fibonacci.
De las tantas sucesiones matemáticas que existen, ninguna es tan famosa,
tan interesante y tan asombrosa como la que inventó LenardoFibonacci,
matemático italiano del siglo XIII. A lo largo de los años, hombres de ciencia,
artistas de todo tipo y arquitectos, la han utilizado en su campo con resultados
impresionantes. Es una sucesión matemática infinita. Consta de una serie de
números naturales que se suman de a 2, a partir de 0 y 1. Básicamente, la
sucesión de Fibonacci se realiza sumando siempre los últimos 2 números.
0,1,1,2,3,5,8,13,21,34..
Se trata de una sucesión recurrente de orden dos donde a1 = 1, a2 = 1, y a
partir estos dos términos, conocidos, el resto se calcula haciendo:
an+2 = an+an+1.
Algunos de sus aportes refieren a la geometría, la aritmética comercial y los números
irracionales, además de haber sido vital para desarrollar el concepto del cero.
11. La sucesión de Fibonacci está presente prácticamente en todas las cosas del
universo. Tiene aplicaciones en matemáticas, computación y juegos, y que
aparece en los más diversos elementos biológicos. Ejemplos claros son la
disposición de las ramas de los árboles, las semillas de las flores, las hojas de
un tallo, otros más complejos y aún mucho más sorprendentes es que también
se cumple en los huracanes e incluso hasta en las galaxias enteras, desde
donde obtenemos la idea del espiral de Fibonacci.
12. La Espiral de Fibonacci
Se puede construir una serie de rectángulos utilizando los
números de esta sucesión.
•Se construye un cuadrado de lado 1, los dos primeros
términos de la sucesión.
•Luego otro igual sobre él. Tenemos ya un primer
rectángulo Fibonacci de dimensiones 2 x1.
•Sobre el lado de dos unidades construimos un cuadrado
y tenemos un nuevo rectángulo de 3x2.
•Sobre el lado mayor construimos otro cuadrado, tenemos
ahora un rectángulo 5x3, luego uno 5x8, 8x13, 13x21...
•Se puede llegar a un rectángulo de 34x55, de 55x89...
•Se dibujan así una sucesión de rectángulos, cuyas
dimensiones partiendo del cuadrado (1x1), pasan al
rectángulo de dimensiones 2x1, al de 3x2Si y uniendo
los vértices de estos rectángulos se va formando una
curva que ya resulta familiar: una espiral, que de forma
bastante ajustada, está presente en el crecimiento de las
conchas de los moluscos; es decir, la espiral del
crecimiento y la forma del reino animal.