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Competencia a derarrollar
Conocimiento de los principios,
operaciones de arreglos matriciales.
Dominio de los mecanismos de
operación entre matrices y vectores.
Apropiación de valores éticos que le
permitan actuar por convicción propia y
no por condicionamientos externos
Apertura: Repaso de conceptos
Es importante reafirmar los conceptos
y desarrollos de la anterior sesión, con
esto te ayudará a ti y al maestro
verificar si se cumplió los objetivos y
competencias esperadas.
INSTRUCCIONES: En una media hoja colocar
tu nombre completo, cuatrimestre, grupo y
fecha.
Tendrás 10 minutos para contestar 5
preguntas, de acuerdo a la sesión anterior.
Cuestionario de repaso
Pregunta #1 ¿Cuál es el orden de la matriz 𝐴 =
1 2 3 4
12 3 4 1
13 14 1 2
?
Pregunta #2 Indicar el # de fila y columna donde se
encuentra el elemento 4 de la matriz A.
Pregunta #3 Si 𝐴 =
1 −3 4
2 10 −7
y 𝐵 =
5 −2 −3
0 11 12
.
Realizar la operación 𝐴 + 𝐵
Pregunta #4 Si 𝐴 =
1 0 3
2 −1 2
0 2 1
encuentra la matriz 7𝐴
Pregunta #5 Si 𝐴 =
1 3
3 −2
encuentra la matriz 𝐴 𝑇
Multiplicación de matrices
A diferencia de las definiciones de la adición de matrices
y la multiplicación por escalares, la conceptualización
del producto del producto de dos matrices no es una
definición por componentes. Por supuesto, no hay nada
que nos impida definir un producto de matrices.
Punto #1:
Dos matrices A y B se dicen ajustadas para
multiplicación en el orden AB cuando el número de
columnas de A es igual al número de filas de B, esto es:
𝐴 𝐵 = 𝐴𝐵
𝑚 × 𝑛 𝑛 × 𝑟 𝑚 × 𝑟
Multiplicación de matrices
Punto #2
Para matrices ajustadas 𝐴 𝑚×𝑛 y 𝐵𝑛×𝑟, la matriz producto
𝐴𝐵 = 𝐶 𝑚×𝑟. La entrada (𝑖, 𝑗) del producto se calcula como
sigue:
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑏 𝑛𝑗
Nótese que A y B no necesitan ser del mismo
tamaño. Sin embargo deben estar ajustadas.
Ejemplo
Si 𝐴 =
−1 5
2 −3
y 𝐵 =
0 9
8 −6
4 7
Encontrar 𝐴𝐵 y 𝐵𝐴.
Paso #1
Verificar si son ajustadas para poder realizar el
producto.
𝐴 𝐵 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟
2 × 2 3 × 2 #𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐴 ≠ #𝑓𝑖𝑙𝑎 𝐵
𝐵 𝐴 𝑆𝑜𝑛 𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎𝑠
3 × 2 2 × 2 #𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐴 = #𝑓𝑖𝑙𝑎 𝐵
Nótese que AB no se pueden multiplicar, pero si
intercambiamos el orden se cumple el ajuste.
Primer método para multiplicar
Si 𝐵 =
𝟎 𝟗
8 −6
4 7
y 𝐴 =
−𝟏 5
𝟐 −3
Encontrar 𝐵𝐴.
Solución #1
El primer renglón del producto 𝐶 = 𝐵𝐴 se calcula
tomando el producto punto del primer renglón de B con
cada una de las columnas de A por turno. De esta
forma:
𝑐11 = 𝟎 −1 + 𝟗 2 = 18
𝑐12 = 𝟎 5 + 𝟗 −3 = −27
Las posiciones
𝐵𝐴 =
𝒄 𝟏𝟏 𝒄 𝟏𝟐
𝑐21 𝑐22
𝑐31 𝑐32
=
18 −27
Nótese que la primer fila se mantiene fija y se van
recorriendo entre columnas.
Primer método para multiplicar
Si 𝐵 =
𝟎 𝟗
𝟖 −𝟔
4 7
y 𝐴 =
−𝟏 5
𝟐 −3
Encontrar 𝐵𝐴.
Solución #1
El segundo renglón de 𝐶 se calcula tomando el producto
punto del segundo renglón de B con cada una de las
columnas de A por turno.
𝑐21 = 𝟖 −1 + −𝟔 2 = −8 − 12 = −20
𝑐22 = 𝟖 5 + −𝟔 −3 = 40 + 18 = 58
Las posiciones
𝐵𝐴 =
𝑐11 𝑐12
𝒄 𝟐𝟏 𝒄 𝟐𝟐
𝑐31 𝑐32
=
18 −27
−20 58
Nótese que la segunda fila de B se mantiene fija y
se van recorriendo entre las columnas de A.
Primer método para multiplicar
Si 𝐵 =
𝟎 𝟗
𝟖 −𝟔
4 7
y 𝐴 =
−𝟏 5
𝟐 −3
Encontrar 𝐵𝐴.
Solución #1
El último renglón de 𝐶 se calcula tomando el producto
punto del tercer renglón de B con cada una de las
columnas de A por turno.
𝑐31 = 𝟒 −1 + 𝟕 2 = −4 + 14 = 10
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Las posiciones de C:
𝐵𝐴 =
𝑐11 𝑐12
𝑐21 𝑐22
𝒄 𝟑𝟏 𝒄 𝟑𝟐
=
18 −27
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Con un poco de práctica, usted podrá hacer estos
cálculos mentalmente sin tener que escribir todos
SEGUNDO método para multiplicar
Solución #2
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−1 5
2 −3
0 9
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El producto punto de 𝐶12
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18 𝟎 5 + 𝟗 −3 = −27
SEGUNDO método para multiplicar
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SEGUNDO método para multiplicar
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Propiedad distributiva y asociativa
Para matrices ajustadas se verifica:
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Nótese que AB NO ES IGUAL que BA
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Producto y Propiedades de Matrices

  • 1. Photo by Pink Sherbet Photography - Creative Commons Attribution License https://www.flickr.com/photos/40645538@N00 Created with Haiku Deck
  • 2. Competencia a derarrollar Conocimiento de los principios, operaciones de arreglos matriciales. Dominio de los mecanismos de operación entre matrices y vectores. Apropiación de valores éticos que le permitan actuar por convicción propia y no por condicionamientos externos
  • 3. Apertura: Repaso de conceptos Es importante reafirmar los conceptos y desarrollos de la anterior sesión, con esto te ayudará a ti y al maestro verificar si se cumplió los objetivos y competencias esperadas. INSTRUCCIONES: En una media hoja colocar tu nombre completo, cuatrimestre, grupo y fecha. Tendrás 10 minutos para contestar 5 preguntas, de acuerdo a la sesión anterior.
  • 4. Cuestionario de repaso Pregunta #1 ¿Cuál es el orden de la matriz 𝐴 = 1 2 3 4 12 3 4 1 13 14 1 2 ? Pregunta #2 Indicar el # de fila y columna donde se encuentra el elemento 4 de la matriz A. Pregunta #3 Si 𝐴 = 1 −3 4 2 10 −7 y 𝐵 = 5 −2 −3 0 11 12 . Realizar la operación 𝐴 + 𝐵 Pregunta #4 Si 𝐴 = 1 0 3 2 −1 2 0 2 1 encuentra la matriz 7𝐴 Pregunta #5 Si 𝐴 = 1 3 3 −2 encuentra la matriz 𝐴 𝑇
  • 5. Multiplicación de matrices A diferencia de las definiciones de la adición de matrices y la multiplicación por escalares, la conceptualización del producto del producto de dos matrices no es una definición por componentes. Por supuesto, no hay nada que nos impida definir un producto de matrices. Punto #1: Dos matrices A y B se dicen ajustadas para multiplicación en el orden AB cuando el número de columnas de A es igual al número de filas de B, esto es: 𝐴 𝐵 = 𝐴𝐵 𝑚 × 𝑛 𝑛 × 𝑟 𝑚 × 𝑟
  • 6. Multiplicación de matrices Punto #2 Para matrices ajustadas 𝐴 𝑚×𝑛 y 𝐵𝑛×𝑟, la matriz producto 𝐴𝐵 = 𝐶 𝑚×𝑟. La entrada (𝑖, 𝑗) del producto se calcula como sigue: 𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1 𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2 𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑛 𝑏 𝑛𝑗 Nótese que A y B no necesitan ser del mismo tamaño. Sin embargo deben estar ajustadas.
  • 7. Ejemplo Si 𝐴 = −1 5 2 −3 y 𝐵 = 0 9 8 −6 4 7 Encontrar 𝐴𝐵 y 𝐵𝐴. Paso #1 Verificar si son ajustadas para poder realizar el producto. 𝐴 𝐵 𝑁𝑜 𝑠𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 2 × 2 3 × 2 #𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐴 ≠ #𝑓𝑖𝑙𝑎 𝐵 𝐵 𝐴 𝑆𝑜𝑛 𝐴𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑑𝑎𝑠 3 × 2 2 × 2 #𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎 𝐴 = #𝑓𝑖𝑙𝑎 𝐵 Nótese que AB no se pueden multiplicar, pero si intercambiamos el orden se cumple el ajuste.
  • 8. Primer método para multiplicar Si 𝐵 = 𝟎 𝟗 8 −6 4 7 y 𝐴 = −𝟏 5 𝟐 −3 Encontrar 𝐵𝐴. Solución #1 El primer renglón del producto 𝐶 = 𝐵𝐴 se calcula tomando el producto punto del primer renglón de B con cada una de las columnas de A por turno. De esta forma: 𝑐11 = 𝟎 −1 + 𝟗 2 = 18 𝑐12 = 𝟎 5 + 𝟗 −3 = −27 Las posiciones 𝐵𝐴 = 𝒄 𝟏𝟏 𝒄 𝟏𝟐 𝑐21 𝑐22 𝑐31 𝑐32 = 18 −27 Nótese que la primer fila se mantiene fija y se van recorriendo entre columnas.
  • 9. Primer método para multiplicar Si 𝐵 = 𝟎 𝟗 𝟖 −𝟔 4 7 y 𝐴 = −𝟏 5 𝟐 −3 Encontrar 𝐵𝐴. Solución #1 El segundo renglón de 𝐶 se calcula tomando el producto punto del segundo renglón de B con cada una de las columnas de A por turno. 𝑐21 = 𝟖 −1 + −𝟔 2 = −8 − 12 = −20 𝑐22 = 𝟖 5 + −𝟔 −3 = 40 + 18 = 58 Las posiciones 𝐵𝐴 = 𝑐11 𝑐12 𝒄 𝟐𝟏 𝒄 𝟐𝟐 𝑐31 𝑐32 = 18 −27 −20 58 Nótese que la segunda fila de B se mantiene fija y se van recorriendo entre las columnas de A.
  • 10. Primer método para multiplicar Si 𝐵 = 𝟎 𝟗 𝟖 −𝟔 4 7 y 𝐴 = −𝟏 5 𝟐 −3 Encontrar 𝐵𝐴. Solución #1 El último renglón de 𝐶 se calcula tomando el producto punto del tercer renglón de B con cada una de las columnas de A por turno. 𝑐31 = 𝟒 −1 + 𝟕 2 = −4 + 14 = 10 𝑐32 = 𝟒 5 + 𝟕 −3 = 20 − 21 = −1 Las posiciones de C: 𝐵𝐴 = 𝑐11 𝑐12 𝑐21 𝑐22 𝒄 𝟑𝟏 𝒄 𝟑𝟐 = 18 −27 −20 58 10 −1 Con un poco de práctica, usted podrá hacer estos cálculos mentalmente sin tener que escribir todos
  • 11. SEGUNDO método para multiplicar Solución #2 El producto punto de 𝐶11 −1 5 2 −3 0 9 8 −6 4 7 18 𝟎 −1 + 𝟗 2 = 18 El producto punto de 𝐶12 −1 5 2 −3 0 9 8 −6 4 7 18 𝟎 5 + 𝟗 −3 = −27
  • 12. SEGUNDO método para multiplicar Solución #2 El producto punto de 𝐶21 −1 5 2 −3 0 9 8 −6 4 7 18 −27 −20 𝟖 −1 + −𝟔 2 = −8 − 12 = −20 El producto punto de 𝐶22 −1 5 2 −3 0 9 8 −6 4 7 18 −27 −20 58 𝟖 5 + −𝟔 −3 = 40 + 18 = 58
  • 13. SEGUNDO método para multiplicar Solución #2 El producto punto de 𝐶31 −1 5 2 −3 0 9 8 −6 4 7 18 −27 −20 58 10 𝟒 −1 + 𝟕 2 = −4 + 14 = 10 El producto punto de 𝐶32 −1 5 2 −3 0 9 8 −6 4 7 18 −27 −20 58 10 −1 𝟒 5 + 𝟕 −3 = 20 − 21 = −1
  • 14. Propiedad distributiva y asociativa Para matrices ajustadas se verifica: • 𝐴 𝐵 + 𝐶 = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶 • 𝐷 + 𝐸 𝐹 = 𝐷𝐹 + 𝐸𝐹 • 𝐴 𝐵𝐶 = 𝐴𝐵 𝐶 Nótese que AB NO ES IGUAL que BA pROPIEDADES