Este documento explica los conceptos básicos de los determinantes, incluyendo su definición, orden, métodos de resolución como el método de Sarrus y el procedimiento de Laplace, y su aplicación para resolver sistemas de ecuaciones de primer grado. Se provee un ejemplo numérico completo para ilustrar el proceso.

1. DETERMINANTES

2. DETERMINANTES Concepto: Un determinante es una arreglo de números o letras llamados elementos ordenados con el mismo número de filas (o renglones) y columnas limitado por dos líneas verticales. El objetivo principal es la solución de ecuaciones de primer grado. El número de filas o columnas determina el grado u orden del determinante. a b c d Elemento Diagonal Secundaria Columna Fila Diagonal Principal

3. ORDEN DE UN DETERMINANTES Un determinante de segundo orden o grado es el que está constituido por dos filas y dos columnas. Un determinante de dicho orden se resuelve con el producto de los elementos de la diagonal principal menos el producto de la diagonal secundaria. A= ad - bc Un determinante de tercer orden es que está constituido por tres filas y tres columnas y se resuelve por el “Método de Sarrus”, que consiste en agregar las dos primeras filas o las dos primeras columnas. a b c d A= a b c c d e f g h B =

4. DETERMINANTE DE TERCER GRADO MÉTODO DE SARRUS EJEMPLO: SOLUCIÓN: 2 1 3 2 1 4 -2 0 4 -2 5 1 -3 5 1 = (12 + 0 + 12) - (-12 + 0 -30) = 24 - (-42) = 66 a b c c d e f g h a b c c d e B = a b c a b d e f d e g h i g h B = B = 1 3 4 -2 0 5 1 -3

5. DETERMINANTE DE “ENÉSIMO” ORDEN Un determinante con estas características, es un ordenamiento cuadrado de N filas y N columnas. El procedimiento de Sarrus sólo resuelve determinantes de tercer orden; un determinante de tercer orden en adelante podrá ser resuelto por el Procedimiento de “La Place” o “Chio” a 11 a 12 a 13 a 14 ……a 1n a 21 a 22 a 23 a 24 ……a 2n a 31 a 32 a 33 a 34 ……a 3n . . . . a n1 a n2 a n3 a n4 ……..a nn

6. SIGNO DE CADA ELEMENTO La ubicación de cada elemento está determinado por el subíndice, ejemplo: a 21 en donde el 2 es la fila y el 1 es la columna donde se encuentra colocado el elemento Si sumamos el subíndice de la posición de un elemento y dicha suma resulta un número par el signo se ese elemento será positivo (+), análogamente si la suma resulta un número impar le corresponderá signo negativo (-). a FILA COLUMNA 21

7. MENOR DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTE. Es un determinante de grado inmediato inferior que se forma suprimiendo la columna y fila de un elemento determinado. Ejemplo: Encontrar el menor del elemento “d”. = a b c c d e f g h B = a c f h

8. COFACTOR DE UN ELEMENTO DE UN DETERMINANTE El cofactor se forma anteponiendo el signo positivo (+) o Negativo (-), al menor de un elemento de un determinante; según corresponda la posición de dicho elemento. Ejemplo: d 22 , al sumar la posición del elemento “d”, el resultado es 4 por lo tanto es un número par y corresponde el signo positivo (+): = + a b c c d e f g h B = a c f h

9. PROCEDIMIENTO DE “LA PLACE” Dado un determinante elegiremos una fila o una columna. Cada uno de los elementos de la fila o columna elegida se multiplica por su cofactor. Se resuelven los determinantes, se multiplican por el elemento correspondiente y se obtiene su valor simplificando: Ejemplo: = -1(-12 +0) -2(-6-15)-1(0 -12) = + 12 + 42 + 12 = 66 B = 1 12 3 4 -2 22 0 5 1 32 -3 = -1 0 5 -3 -2 2 3 5 -3 -1 2 3 4 0

10. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES Encuentra el área de un terreno de forma de triángulo rectángulo que satisface las siguientes condiciones: a) su perímetro es igual a 2, 400 metros cuadrados. b) El doble de la hipotenusa es igual al doble del cateto menor más el mayor. c) Seis veces el cateto menor más 8 veces el mayor menos 10 veces la hipotenusa es igual a 0. Solución: Dadas las condiciones del problema se traducen al lenguaje algebraico: a b c c a c b a c a = Cateto menor 1. P = 2,400 = a+b+c b= Cateto mayor 2. 2c = 2a + b c = Hipotenusa 3. 6a + 8b – 10c = 0 b a c

11. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES 1. P = 2,400 = a+b+c 2. 2c = 2a + b 3. 6a + 8b – 10c = 0 Ordenamos las ecuaciones e igualamos las ecuaciones con su término independiente: 1. a+b+c = 2400 2. 2a + b – 2c = 0 3. 6a + 8b -10c = 0 Formamos el “Determinante del sistema” (coeficientes de las incógnitas ): 1 1 1 2 1 -2 6 8 -10 Δ s = = 24

12. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES Obtendremos el Determinante en “a”: sustituimos los elementos de la primera columna por los términos independientes: Obtendremos el Determinante en “b”: sustituimos los elementos de la segunda columna por los términos independientes: 2400 1 1 0 1 -2 0 8 -10 Δ a = = 14,400 1 2400 1 2 0 -2 6 0 -10 Δ b = = 19,200

13. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO POR: DETERMINANTES Obtendremos el Determinante en “c”: sustituimos los elementos de la tercera columna por los términos independientes: Obtendremos los valores de los lados del terreno aplicando la siguiente fórmula: Por lo tanto a= 600 m; b= 800 m; y c= 1000 m. Así que área = (a*b)/2. A = 240,000 m 2 . 1 1 2400 2 1 0 6 8 0 Δ c = = 24,000 Δ a Δ s a = Δ b Δ s b = Δ c Δ s c = 14,400 24 a = b = 19,200 24 c = 24,000 24