tipos de cojuntos

1. “AÑO DEL BUEN SERVICIO AL CIUDADANO”
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES
ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACION Y
NEGOCIOS INTERNACIONALES
DATOS:
ASIGNATURA: MATEMATICA I
PROFESOR: VICTOR HUARACCALLO HUILLCA
ESTUDIANTES:
 Erick Edwin Salas Castro
 Arón Adonis Ricalde Bellota

2. Matemática I
Página2 de 30
SEMESTRE I – 2017
CUSCO – PERÚ
Contenido
PRESENTACIÓN ..............................................................................................................4
INTRODUCCIÓN...............................................................................................................5
I. CONJUNTOS .............................................................................................................6
1. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO................................................................6
2. TIPOS DE CONJUNTOS .......................................................................................6
3. El sistema de los números reales:.............................................................................8
...........................................................9
a......................................................................................................................................9

3. Matemática I
Página3 de 30
b. Números enteros Z.................................................................................................9
c. Números racionales Q............................................................................................9
d. Números naturales N.............................................................................................9

4. Matemática I
Página4 de 30
PRESENTACIÓN
El presente trabajo ha sido realizado, con la finalidad de dar a conocer todo lo
aprendido en el curso de matemática I, en el cual se encontrara un resumen de
cada unidad de los temas que incluyen conceptos y ejercicios.
Esperando que el trabajo sea de satisfacción para nuestro docente y
compañeros y pueda servir como ayuda de orientación de futuros estudiantes.
Gracias

5. Matemática I
Página5 de 30
INTRODUCCIÓN
La aritmética (del lat. arithmetĭcus, y este del gr. ἀριθμητικός, ἀριθμός —
número—) es la rama de la matemática cuyo objeto de estudio son
los números y las operaciones elementales hechas con
ellos: adición, resta, multiplicación y división.
Al igual que en otras áreas de la Matemática, como el Álgebra o la Geometría, el
sentido de la «Aritmética» ha ido evolucionando con el amplio y diversificado
desarrollo de las ciencias. Originalmente, la Aritmética se desarrolló de manera
formal en la Antigua Grecia, con el refinamiento del rigor matemático y
las demostraciones, y su extensión a las distintas disciplinas de las «Ciencias
Naturales». En la actualidad, puede referirse a la Aritmética Elemental,enfocada
a la enseñanza de la Matemática Básica; también al conjunto que reúne
el Cálculo Aritmético y las Operaciones Matemáticas, específicamente, las
cuatro Operaciones Básicas aplicadas ya sea a números (números naturales,
números enteros, números fraccionarios, números decimales, etc.) como a
entidades matemáticas más abstractas (matrices, operadores, etc.); también a
la así llamada alta aritmética, mejor conocida como Teoría de Números.
El álgebra (del árabe: ‫ربجلا‬ al-ŷabr 'reintegración, recomposición’) es la rama de
la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras
abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser
interpretados como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo
originalmente fue una generalización y extensión de la aritmética. En el álgebra
moderna existen áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse
extensiones de la aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra
exterior, etc.).

6. Matemática I
Página6 de 30
I. CONJUNTOS
Concepto
Es una colección de objetos que se caracterizan por tener algo en común. A esos
objetos se les denomina elementos.
Ejemplo
El conjunto A, que sus elementos están formado por las
vocales.
Cardinal de un conjunto
Es el número de elementos que tiene el conjunto. Se simboliza: n(a) y se lee
cardinal del conjunto A.
Ejemplo
N(A)= 5
1. DETERMINACIÓN DE UN CONJUNTO
A. Por Extensión o Forma Tabular
Es determinado por extensión cuando se da una lista que comprende a todos los
elementos del conjunto.
Ejemplo
A = { a, e, i, o, u }
B = { 0, 2, 4, 6, 8 }
B. Por Comprensión ó Forma Constructiva
Es determinado por comprensión, cuando se da una propiedad que la cumplaen
todos los elementos del conjunto.
Ejemplo
A = {x/x es una vocal }
B = {x/x es un número par menor que 10 }
2. TIPOS DE CONJUNTOS
A. CONJUNTOS FINITOS: Es aquel conjunto que se puede contar sus
elementos.
Ejemplos:
P = {x/x es un club de fútbol profesional peruano}
3. CONJUNTO VACIO: Es aquel que no tiene elementos, se denota por: ø o { }
EJEMPLO
A = {a, e, i, o, u}
A = {a, e, i, o, u }
El cardinal del conjunto A es 5.
B. CONJUNTO INFINITO: Es aquel conjunto cuyos elementos no se puede
terminar de contar.
Ejemplos:
N = {los números naturales} = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,...}

7. Matemática I
Página7 de 30
A = {Bolivia tiene mar}
4. CONJUNTO UNITARIO: Es aquel que tiene un solo elemento.
EJEMPLO
P = {Lugar de mi nacimiento} = {Cusco}
5. CONJUNTO UNIVERSAL: Es aquel que contiene a todos los elementos, o
que contiene a varios conjuntos y se denota por la letra U
EJEMPLO
Sean los conjuntos:
M = { mujeres } H = { hombres }
El conjunto universal es S= { Los seres humanos }
6. CONJUNTO POTENCIA: Es la agrupación de todos los subconjuntos que se
pueden formar con los elementos del conjunto M, incluyendo el conjunto vacio.
Se denota con la letra P(A), se lee: Conjunto Potencia de A.
EJEMPLO
Dado el Conjunto A={2, 4, 6}, el conjunto Potencia de A será:
P(A)= {{}, {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}, {2,4,6} }
OPERACIONES CON CONJUNTOS
1. UNION DE CONJUNTOS
La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos
que pertenecen a A o a B o a ambos. Se denota: A U B. La unión de conjuntos
se define como:
A U B = {x / x E A o x E B}
EJEMPLO
Sean los conjuntos:
A = {2, 4, 6, 8}
B = {5, 6, 7, 8}
A U B = {2, 4, 5, 6, 7, 8}
EJEMPLO
Sean los conjuntos:
A = {2, 4, 6, 8}
B = {5, 6, 7, 8}
Entonces:
A ∩ B = {6, 8}
3. PRODUCTO CARTESIANO
2. INTERSECCION DE CONJUNTOS
Se define la intersección de dos conjuntos A y B al conjunto de elementos que
son comunes a A y B. Se denota por A ∩ B, que se lee: A intersección B. Se
define como:
A B = { x / x E A y xE B }

8. Matemática I
Página8 de 30
El producto cartesiano de dos conjuntos, A y B, es el conjunto de todos pares
ordenados (a, b) tal que a EA y b E B.
A × B = { (a, b) | a E A y bE B }
A × B = { (a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3) }.
A - B = {x / x E A y x E B}
EJEMPLO:
si A = { a, b, c, d, e } y B = { a, e, i, o }, entonces la diferencia de dichos conjuntos
estará formada por todos los elementos que estén solamente en A, esto es:
A – B = { b, c, d }
NUMEROS REALES
C. El sistema de los números reales:
Se iniciará definiendo el conjunto de números que conforman a los números
reales, en la siguiente figura se muestra la forma en la que están contenidos
estos conjuntos de números.
1. Si A = {a, b} y B = {1, 2, 3}, entonces:
4. DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos
los elementos de A pero que no pertenecen a B.
La diferencia se denota por: A - B que se lee: A diferencia B o A menos B. Se
define la diferencia de dos conjuntos también como:

9. Matemática I
Página9 de 30
a.
b. Números enteros Z
Son los números reales que se denotan por Z; así que se escribe
Z= {...,−2,−1,0,1,2...}
c. Números racionales Q
Los números racionales son los números reales que se pueden expresar como
razón de dos enteros. Se denota el conjunto de los números racionales por Q,
así que:
Q={ x/ x = p donde p∈ Z , q∈ Z } q
Por otro lado, su desarrollo decimal es finito o infinito periódico.
d. Números naturales N
También conocidos como números para contar o enteros positivos.
N= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,...}
Números Irracionales I
Son los números que no pueden expresarse como un cociente de enteros y su
desarrollo decimal es infinito no periódico.
La unión del conjunto de los números racionales y del de los números
irracionales se conoce como el conjunto de los números reales.
Una manera bastante práctica es representar los conjuntos de números en una
recta a la que denominaremos recta numérica como la que aparece en la
siguiente figura.

10. Matemática I
Página10 de 30
Mediante las ideas de igualdad y desigualdad pueden compararse 2 números
reales. Suponga que a y b representan dos números reales. Si sus gráficas sobre
la recta numérica están en el mismo punto, a y b son iguales. Si la gráfica de a
está a la derecha de b, entonces a es mayor que b, y si la gráfica de a está a la
izquierda de b, entonces a es menor que b . Utilizamos símbolos para
representar estas ideas.
Cuando se lee de izquierda a derecha, el símbolo < representa algo que “es
menor que”, de modo que para decir que “7 es menor que 8” escribiremos: 7 <
8. También para escribir que “6 es menor que 9” ponemos 6 < 9.
El símbolo > significa que algo “es mayor que”. Escribimos “8 es mayor que
2”como 8 > 2. El enunciado “17 es mayor que 11” se convierte en 17 > 11.
Podemos tener claro el significado de los símbolos < y > si recordamos que éstos
siempre apuntan hacia el número más pequeño.
Hay otros dos símbolos ≤ y ≥ , que también representan la idea de desigualdad.
El símbolo ≤ significa “es menor o igual que”, por lo que 5 ≤ 9 significa que “5 es
menor o igual a 9”.
Este enunciado es verdadero, ya que 5<9 es verdadero. Si la parte = es
verdadera o la parte < es verdadera, entonces la desigualdad ≤ es verdadera.
8≥ 8 es verdadero ya que 8=8 también lo es. Pero no es verdadero 13 ≤ 9, pues
no son verdaderos 13<9, ni 13=9.
Operaciones con números reales
Las reglas para la suma de números reales se describen a continuación:
Suma de números reales
Signos iguales. Para sumar dos números con el mismo signo, deben sumarse
sus valores absolutos. El signo de la suma (+ o - ) es el mismo que el signo de
los dos números.
Signos diferentes. Para sumar dos números con signos diferentes debe restarse
el valor absoluto más pequeño del más grande. La suma es positiva si el número
positivo tiene el valor absoluto más grande. La suma es negativa si el número
negativo posee el valor absoluto más grande.
Sustracción de números reales
Para todos los números reales a y b a −b = a + (−b)
(Cambie el signo del segundo número y sume)
1.5 Multiplicación de números reales
Signos iguales. Para multiplicar dos números con el mismo signo, multiplique
sus valores absolutos. El producto es positivo.
Signos diferentes. Para multiplicar dos números con signos diferentes,
multiplique sus valores absolutos. El producto es negativo.

11. Matemática I
Página11 de 30
División de números reales
Signos iguales. Para dividir dos números con el mismo signo, deben
dividirse sus valores absolutos. El cociente es positivo.
Signos diferentes. Para dividir dos números con signos diferentes, hay
que dividir sus valores absolutos. El producto es negativo.
Si 0 se divide entre un número diferente de cero, el cociente es 0. Esto es
0
𝑎
= 0
para 𝑎 ≠ 0. Esto es verdadero, ya que 0. 𝑎 = 0. Sinembargo, no podemos dividir
entre 0.
Hay una buena razón para esto. Siempre que se realiza una división, queremos
encontrar un solo cociente. Ahora, considere el problema de división
7
0
Nos
debemos preguntar “¿qué número multiplicado por 0 da 7?”·. No existe tal
número ya que el producto de 0 y cualquier número es cero. Por otra parte, si
consideramos el cociente
0
0
existe un número infinito de respuestas a la
interrogante “¿qué número multiplicado por 0 da 0?” Como la división entre 0 no
da como resultado un único cociente, no se permite. Para resumir estas dos
situaciones, expresamos el enunciado siguiente: La división por 0 no está
definida.
Orden de las operaciones
Si hay paréntesis o corchetes
Paso 1. Resuelva arriba y debajo de las rayas de fracciones por separado.
Paso 2. Utilice las reglas siguientes dentro de cada conjunto de paréntesis o
corchetes.
Inicie con el conjunto más interno y trabaje hacia fuera.
Si no hay paréntesis o corchetes:
Paso 1. Aplique todos los exponentes.
Paso 2. Haga las multiplicaciones o divisiones en el orden en que aparezcan,
trabajando de izquierda a derecha.
Paso 3. Haga las sumas y restas en el orden en que aparezcan, trabajando de
izquierda a derecha.
Números racionales
Los cocientes de los enteros se denominan fraccionarios o números racionales,
en la forma 𝑎⧸𝑏. A a se le da el nombre de numerador y al número ubicado
donde está b se le
llama denominador. El denominador debe ser distinto de cero.
4.1 Propiedad fundamental de los números racionales
Si a , b y k son números enteros y b ≠ 0 y k ≠ 0, entonces
(a.k)/(b.k) a/b

12. Matemática I
Página12 de 30
Suma y resta de números racionales
Si
𝑎
𝑏
𝑦
𝑐
𝑑
entonces
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑+𝑏𝑐
𝑏𝑑
y
𝑎
𝑏
−
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑−𝑏𝑐
𝑏𝑑
Multiplicación de números racionales
Si
𝑎
𝑏
𝑦
𝑐
𝑑
son números racionales, entonces
𝑎
𝑏
.
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑐
𝑏𝑑
División de números racionales
Si
𝑎
𝑏
𝑦
𝑐
𝑑
son números racionales, entonces
𝑎
𝑏
÷
𝑐
𝑑
=
𝑎𝑑
𝑏𝑐
ecuaciones
Términos semejantes de una expresión algebraica
son aquellos términos que tienen las mismas letras con los mismos exponentes.
Los términos semejantes se pueden sumar y restar.
Ejemplo: Dada la expresión E = 3x – 4xy2 – 6x2 + 4x. Los términos 3x y 4x
son semejantes; por lo tanto se pueden sumar quedando: E = 7x – 4xy2 – 6x2
Igualdad son dos expresiones algebraicas separadas por el signo “ = “
La expresión que precede al signo "=" se llama primer miembro de la igualdad, y
la que le sigue, se llama segundo miembro.
Ejemplo: La expresión 2 + 5 = 7 es una igualdad.
x + 2 = 5 es una igualdad algebraica si x = 3, y falsa para cualquier otro valor
de x
Identidad es una igualdad que se verifica para cualquier valor de las variables
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2 ; (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ; (a + b) (a – b) = a2 – b2 son
igualdades ciertas para cualquier valor de las variables a y b. Esto se llama
identidad.
Ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas que solamente se
verifica para determinados valores de sus letras
Las letras se llaman incógnitas y se suelen representar por las letras x, y, z, t,
...
Soluciones o raíces de la ecuación
Son los valores de las incógnitas que hacen que al sustituirlos en la ecuación,
la igualdad se cumpla (sea cierta).
Resolver una Ecuación es hallar todas sus soluciones, si las tiene.

13. Matemática I
Página13 de 30
Comprobar una ecuación
Consiste en sustituir las incógnitas (variables) por las soluciones y ver si la
igualdad se verifica (es cierta) o no
Ejemplo: Comprobamos que x = 2 es solución de la ecuación: 3x + 5 = 7x – 3
Valor del primer miembro para x = 2 3·2 +5 = 6 + 5 = 11
Valor del segundo miembro: 7·2 – 3 = 14 – 3 = 11
Ambos miembros toman el mismo valor 11, luego x = 2 es solución de la
ecuación.
Grado de una ecuaciónes el mayor exponente que tienen sus incógnitas, una
vez se haya operado hasta que no existan en la igualdad paréntesis, ni
denominadores.
Ejemplo: 5x – 4y = 7 es una ecuación de primer grado (grado uno) con dos
incógnitas, x e y.
(x – 2)·(x + 3) = 5 => Para verlo quitamos paréntesis : x2 + 3x – 2x – 6 = x2+
x – 6; por tanto es una ecuación con una incógnita y de segundo grado.
Dos o más ecuaciones son equivalentes
cuando tienen la misma solución.
Ejemplo: Las ecuaciones siguientes son equivalentes:
a) 4x – 2 = 2x
b) 3x +1= x + 3 ya que ambas tienen por solución x = 1.
Clasificación de las ecuaciones:
Por la variable:
Enteras. La variable está sumando, restando o multiplicando 3x + 4 = 1
Racionales: Alguna incógnita aparece en el denominador:
Irracionales. Cuando ninguna incógnita aparece debajo del signo radical:
Exponenciales, logarítmicas y trigonométricas
Por el número de incógnitas:
De una incógnita: 2x + 3 = 5x – 6
De dos incógnitas: 3x – 2y = 15
De tres incógnitas: 2x – y + 5z = 5
De n incógnitas (en general)
Por el grado:
Ecuaciones de primer grado o lineales. Cuando el mayor exponente con el que
figura cualquier incógnita es uno: 3x – 2 = 7

14. Matemática I
Página14 de 30
Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas. Cuando el mayor exponente con
que figura cualquier incógnita es dos: 2𝑥2
+ 3x – 5 = 0
Ecuaciones de grado n (en general): 𝑥5
+ 2𝑥2
– 3x + 1 = 0 sería de grado 5
Por el número de soluciones:
Compatibles. Aquellas ecuaciones que tienen solución: Se dividen a su vez en:
- Compatibles determinadas. Si tienen un número finito de
soluciones.
x –2 = 0. Su solución es única, x = 2.
x2 – 9 = 0. Tiene dos soluciones, x = 3 y x = – 3.
- Compatibles indeterminadas. Si tienen infinitas soluciones.
x + 2 = y. Tiene infinitas soluciones.
Incompatibles. Aquellas ecuaciones que no tienen solución: 2x – 1 = 2x + 3
Propiedades de las ecuaciones:
- Si a los dos miembros de una ecuación sumas o restas un mismo número o
expresión, se obtienes otra ecuación equiva-lente a la dada.
De esta propiedad se deduce:
En una ecuación puedes pasar un sumando de un miembro a otro cambiándolo
de signo (se llama transposición de términos). Por ejemplo, 6x – 8 = 4 => 6x = 4
+ 8 => 6x = 12
Cuando en los dos miembros de una ecuación aparecen términos iguales y con
el mismo signo, se pueden suprimir. Por ejemplo, 3x +2 – 5 = 4x – 5 <=> 3x + 2
= 4x
- Si multiplicas o divides los dos miembros de una ecuación por un mismo número
o expresión distinta de cero, obtienes otra ecuación equivalente.
De la cual se deduce:
Para quitar los denominadores de una ecuación multiplica ambos miembros por
el m.c.m. de todos los denominadores; obtendrás así otra ecuación equivalente
sin denominadores.
En una ecuación puedes pasar un término que está multiplicando al otro miembro
dividiendo y viceversa.

15. Matemática I
Página15 de 30
Inecuación
Una inecuación es una expresión de la forma: f(x) < g(x), f(x) <= g(x), f(x) > g(x)
o f(x)>= g(x).
La resolución de las inecuaciones es muy parecida a la resolución de las
ecuaciones.
5x + 6 < 3x - 8
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7
Todos los valores de x menores que -7 satisfacen la inecuación.
Es muy importante tener en cuenta que si multiplicamos por un numero negativo
una inecuación tenemos que cambiar el signo de la desigualdad.
3x > -2
-9x < 6
x < -2/3
Sistemas de inecuaciones de primer grado con una incógnita.
Se resuelven por separado las inecuaciones y se toman como soluciones los
intervalos comunes de las soluciones

16. Matemática I
Página16 de 30
5x + 6 < 3x - 8
3x > 2
La solución de la primera ecuación es:
5x - 3x < -8 - 6
2x < -14
x < -7
La solución de la segunda ecuación es:
3x > -2
x < -2/3
La solución del sistema sería x < -7.
Inecuaciones de segundo grado.
Se resuelve como una ecuación de segundo grado y se estudian los signos que
obtenemos con las soluciones.
x2 - 5x + 6 > 0
Las soluciones de la ecuación x2 - 5x + 6 = 0 son x = 3 y x = 2. Por lo tanto x2 -
5x + 6 = (x - 2)(x - 3).
Tenemos que estudiar los signos cuando x toma valores desde menos infinito
hasta 2, desde 2 hasta 3 y desde 3 hasta infinito .
x - 2 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
x - 2 es positivo para los valores entre 2 y 3.
x - 2 es positivo para los valores entre 3 e infinito.
x - 3 es negativo para los valores entre menos infinito y 2.
x - 3 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x - 3 es positivo para los valores entre 3 e infinito.
Por lo tanto, multiplicando los signos en los mismos intervalos:
x2 -5x + 6 es positivo para los valores entre menos infinito y 2.
x2 - 5x + 6 es negativo para los valores entre 2 y 3.
x2 - 5x + 6 es positivo para los valores entre 3 e infinito.

17. Matemática I
Página17 de 30
Inecuaciones de grado superior a dos
Se descomponen en inecuaciones de grado uno y dos.
Inecuaciones fraccionarias
Son las inecuaciones en las que tenemos la incógnita en el denominador.
Se pasan todos los términos a un lado del signo de desigualdad y se reducen a
común denominador.
Después se buscan las soluciones y estudiamos el signo (como en el caso de
las ecuaciones de segundo grado). Hay que tener en cuenta que las soluciones
que anulan el denominador no valen.
Inecuaciones con valor absoluto
Se resuelven convirtiendo la función valor absoluto en dos inecuaciones
|x - 3| > 3
conlleva que -3>(x-3)>3, luego
x-3 >3
-3>x-3
son los puntos mayores que 0 y menores que 6
RELACIONES Y FUNCIONES
Para empezar a hablar de lo que son las relaciones y funciones es necesario
empezar a hablar sobre el Par Ordenado (PO), y ¿por qué la importancia de
saber la definición de para ordenado? La importancia del PO se desprende de la
simplicidad (facilidad, claridad, comodidad) con que a partir de el se puede
estructurar una red de definiciones con los principales elementos de la
matemática clásica.

18. Matemática I
Página18 de 30
La fecunda utilización del PO se puede observar en la lista siguiente, que obvia
todo comentario:
Par Ordenado
Se llama Par Ordenado o dupla al conjunto cuyos elementos son a su vez otros
dos conjuntos, su símbolo es (x y):
1. El conjunto {x y} que es un par simple
2. El conjunto {x} de un único elemento
Definición: (x y):= {{x y} {x}}
(xy):Parordenado(PO)
x: Primer elemento del PO (Primera componente del PO)
y: Segundo elemento del PO (Segunda componente del PO)
Obs 1: PO es un par de conjuntos (es un Conjunto de Conjuntos) donde {x y} ϵ
(x y)
Obs 2: La igualdad de PO es la de Conjuntos
Obs 3: Primer y segundo elemento es una forma de llamar a las componentes
del PO, porque los números todavía no están definidos. Justamente el concepto
de número se define a partir del PO.
TEOREMAS DE PAR ORDENADO
T1.- (x y) = (a b)
TCR T1.- (x y) ≠ (a b) x ≠ a ᵞ y ≠ b
T2.- (x y) = (y x) ↔ x ≡ y
TCR T2.- (x y) ≠ (y x) ↔ x ≠ y
T3.- Def PO ↔ (x x) = {{x}}
TERNAS
La definición de Par Ordenado se puede generalizar para el caso de tres
componentes (ternas) o más componentes, en general para n
componentes (nuplas):
Definición: (x y z):= {{x y z} {x y} {x}}
(x y z): Terna x:
Primer elemento
de la terna y:
Segundo
elemento de la
terna z: Tercer
elemento de la
terna
Obs: Si se hubiera definido la terna por la proposición
(x y z):= ((x y) z) (definición no válida)
se habría tomado un conjunto de conjuntos de diferentes niveles
(x y z):= {{(x y) z}, {(x y)}}:= {{{{x y} {x}} z}, {{{x y} {x}}}}

19. Matemática I
Página19 de 30
NUPLAS
Definición: (x1 x2 … xn ) := { { x1 x2 … xn } ... { x1 x2 } { x1} }
(x1 x2… xn): Nupla
xi: i-enésimo componente de la nupla
Nupla De 1 Elemento
A fin de generalizar el concepto de nupla para todo valor de n ≥ 1 se define
también para el caso de n = 1
Def: (x):= {{x}}
Obs: Nótese que del T3 resulta (x x):= {{x}}
RELACIÓN (R)
Se llama Relación en AxB a todo Subconjunto no vacío del Producto
Cartesiano AxB
Def: R Є Relación AxB: = R ⊂ AxB, R ≠ ⊘
R R (AxB):= S (AxB):= {(x y): (x y Є R}
R: Relación AxB:= R⊂ AxB, R ≠ ⊘
S (AxB): Gráfica de R (AxB)
A: Conjunto de Partida o Primer Conjunto del Producto Cartesiano
B: Conjunto de Llegada o Segundo Conjunto del Producto Cartesiano
Se define además algunos elementos destacados de la Relación en AxB
Def: D(R):= {x: x A (x y) R}
I(R):= {y: y B (x y) R}
D(R): Dominio de R (AxB)
I(R): Imagen de R (AxB)}
Una representación de R (AxB) sobre el Producto Cartesiano es:
Otra representación de una relación R (AxB) es por Gráficas como las que se
muestran a continuación: Los Conjuntos Ay B y sus elementos se representan
por Diagramas de Venn y los PO que componen la Relación por segmentos
orientados (flechas).

20. Matemática I
Página20 de 30
A = {a b c d e f}
B = { s t u v]
Gráfica (R) = {(a t) (b t) (c t) (c u) (c v) (d u) (d v)}
Dominio (R) = {a b c d}
Imagen (R) = {t u v}
RELACIÓN UNIVOCA (RU)
En la representación de una relación univoca por segmentos orientados se
caracteriza por la condición que de los elementos del dominio sale una flecha
sola o ninguna.
FUNCIÓN

21. Matemática I
Página21 de 30
Una función es una relación que cumple 2 condiciones:
1.- Estar definida para todo elemento del Conjunto de Partida A. Es decir que el
Dominio de la Relación f es el Conjunto de Partida: A = D
2.- Ser Unívoca
F: función
A: Conjunto de Partida o Primer Conjunto del Producto Cartesiano ó
Dominio de la función B: Conjunto de Llegada o Segundo Conjunto
del Producto Cartesiano ó Codominio de la función f (AxB): Gráfica
de la función
I (f): Imagen de f (AxB)
Obs 1: Nótese que el símbolo [A→B] representa al Producto Cartesiano AxB y
el símbolo [x→y] representa al PO (x y). Es decir que las dos flechas tienen
significado diferente, y es por ello que la flecha que señala al PO a veces se la
indica con una colita [x +→ y] para diferenciarla de la flecha que señala el PC.
Esto se obvia si no hay confusión posible.
Una primera forma de representar una función es con un gráfico Cartesiano
donde puede observarse las 2 proposiciones que hacen a la definición de
función:
1.- El estar definida para todo elemento del Dominio A = D.
2.- Ser Relación Unívoca.
La representación de una función por diagramas de Venn es:

22. Matemática I
Página22 de 30
A = {a b c d e f}
B = { s t u v]
Gráfica (f) = {(a t) (b t) (c u) (d v) (e u) (f t)}
Dominio (f) = {a b c d e f} = A
Imagen (f) = {t u v}
Obs 1: En una función de cada elemento del Conjunto de partida A sale una
flecha y solo una {1}. Con respecto al Conjunto de Llegada B no existen
restricciones.
Obs 2: En la definición de función existen 4 elementos, el primero de los cuales
es su nombre, y los otros 3 elementos son 3 conjuntos el Dominio, el Codominio
y la Gráfica, de las cuales depende la función. Cambiando cualquiera de estos
3 Conjuntos cambia la función.
Ejemplo: Sea el Conjunto de pares ordenados G:= {(x y): y = x1/2}
1.- Este Conjunto G carece de sentido si no se aclara que son x e y. Pueden ser
elementos de cualquier conjunto genérico ( que significaría y = x1/2?), o
números reales o complejos etc. Esto muestra que debe definirse el PC AxB
sobre el cual se quiere trabajar. Suponiendo que AxB = RxR entonces G sería
la Gráfica siguiente:
2.- Si se toma A = R no existe función pues
2.1.- La relación no es unívoca
2.2.- La relación no está definida para todo elemento de R. Es decir D
= A ≠ R
3.- Si se restringe a A = R+ U {0} no existe función pues
3.1.- La relación no es unívoca

23. Matemática I
Página23 de 30
4.-Si se restringe a A = R + {0} U y a B = R+ {0} si existe función, que se llamará
arbitrariamente RaízCuad:
RaízCuad: R+U {0} → B = R+U {0}
x → y = x1/2
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES REALES
Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aun cuando el ser
humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en
correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los
números reales. Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver
problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de
estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía,
de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.
Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se
relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con
el costo en pesos para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al
plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x"
como el precio y la cantidad de producto como "y".
Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de
la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta
función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones
fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un
consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en
que el artículo esté disponible. Una relación que especifique la cantidad de
un artículo determinado que los consumidores estén dispuestos a comprar, a
varios niveles de precios, se denomina ley de demanda. La ley más simple
es una relación del tipo P= mx + b, donde P es el precio por unidad del artículo
y m y b son constantes.
Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina.
Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el

24. Matemática I
Página24 de 30
entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del
experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.
Esta dada por la formula y=mx+b donde m y b son números reales llamados
pendiente y ordenada al origen respectivamente. Su gráfica es una recta.
Dada la ecuación y=mx+b:Si m=0, entonces y=b. Es decir, se obtiene la
función constante, cuya gráfica es una recta paralela al eje x que pasa por el
punto (0,b).
Si b=0, entonces y=mx. Esta ecuación tiene por gráfica una recta que pasa
por el origen de coordenadas (0,0).
Función Cuadrática.
El estudio de las funciones cuadráticas resulta de interés no sólo en
matemática sino también en física y en otras áreas del conocimiento como
por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que
describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una
cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el
origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada
con una velocidad inicial.
Puede ser aplicada en la ingeniería civil, para resolver problemas específicos
tomando como punto de apoyo la ecuación de segundo grado, en la
construcción de puentes colgantes que se encuentran suspendidos en uno
de los cables amarrados a dos torres.
Los biólogos utilizan las funciones cuadráticas para estudiar los efectos
nutricionales de los organismos.
Existen fenómenos físicos que el hombre a través de la historia ha tratado
de explicarse. Muchos hombres de ciencias han utilizado como herramienta
principal para realizar sus cálculos la ecuación cuadrática. Como ejemplo
palpable, podemos mencionar que la altura S de una partícula lanzada
verticalmente hacia arriba desde el suelo está dada por S= V0t - ½ gt2, donde
S es la altura, V0 es la velocidad inicial de la partícula, g es la constante de
gravedad y t es el tiempo. La función cuadrática responde a la formula: y= a
x2 + b x + c con a =/ 0. Su gráfica es una curva llamada parábola cuyas
características son:
Si a es mayor a 0 es cóncava y admite un mínimo. Si a es menor a 0 es
convexa y admite un máximo.

25. Matemática I
Página25 de 30
Vértice: Puntos de la curva donde la función alcanza el máximo o
el mínimo.
Eje de simetría: x = xv. intersección con el eje y.
Intersecciones con el eje x: se obtiene resolviendo la ecuación de segundo
grado.
Función Logarítmica.
La geología como ciencia requiere del planteamiento de ecuaciones
logarítmicas para el cálculo de la intensidad de un evento, tal como es el caso
de un sismo. La magnitud R de un terremoto está definida como R= Log
(A/A0) en la escala de Richter, donde A es la intensidad y A0 es una
constante. (A es la amplitud de un sismógrafo estándar, que está a 100
kilómetros del epicentro del terremoto).
Los astrónomos para determinar una magnitud estelar de una estrella o
planeta utilizan ciertos cálculos de carácter logarítmico. La ecuación
logarítmica les permite determinar la brillantez y la magnitud.
En la física la función logarítmica tiene muchas aplicaciones entre las cuales
se puede mencionar el cálculo del volumen "L" en decibeles de un sólido,
para el cual se emplea la siguiente ecuación L= 10 . Log (I/I0) , donde I es la
intensidad del sonido(la energía cayendo en una unidad de área por
segundo), I0 es la intensidad de sonido más baja que el oído humano puede
oír (llamado umbral auditivo). Una conversación en voz alta tiene un ruido de
fondo de 65 decibeles.
El logaritmo en base b de un número a es igual a N, si la base b
elevada a N da como resultado Logb a = N si b N = a Notación
logarítmica
Notación exponencial
FUNCIONES ALGEBRAICAS
Las funciones algebraicas son aquellas en que las variables están enlazadas con
las constantes, solo por adición, sustracción, etc., sin entrar en ellas líneas
trigonométricas, logaritmos, etc.; pues cuando entran estas cantidades se les
llama funciones trascendentes. El conjunto de funciones algebraicas es ilimitado.
FUNCIONES
ALGEBRAICAS
Funciones Irracionales
Funciones Racionales
Funciones Polinómicas

26. Matemática I
Página26 de 30
1. Funciones Polinómicas:
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio, su dominio es
los R.
2. Funciones Racionales:
2.1 FUNCIÓN EXPLÍCITA: Una función es explícita cuando la ecuación
actúa como regla de correspondencia, se tiene despejada la variable y
los términos de la variable.
La ecuación permite calcular directamente para cualquier valor de “x”.
2.2 FUNCIÓN IMPLÍCITA: Una función implícita se
caracteriza porque en la ecuación que actúa como regla de
correspondencia, la variable dependiente no se encuentra
despejada Esta definida de la forma:

27. Matemática I
Página27 de 30
TIPOS DE FUNCIONES
 FUNCIONES EXPONENCIALES
Si: f(x) = x2 y g(x) = 2x, Las funciones f y g no son iguales.
La función f(x) = x2 es una función que tiene una variable elevada a un
exponente constante.
La función g(x) = 2x es una función con una base constante elevada a una
variable. Esta es un nuevo tipo de función llamada función exponencial.
Definición: Una función exponencial con base b es una función de la forma
f(x) = bx , donde b y x son números reales tal que b > 0 y b es diferente
de uno.
El dominio es el conjunto de todos los números reales y el recorrido es el
conjunto de todos los números reales positivos.
1) f(x) = 2 , tabulando la siguiente función,
genera el siguiente gráfico:
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4
2
1
2
2 21
) ( )f x
x
x
x
, tabulandolasiguiente función,generael siguiente grafico:

28. Matemática I
Página28 de 30
Propiedades de f(x) = bx, b>0, b diferente de uno:
1) Todas las gráficas intersecan en el punto (0,1).
2) Todas las gráficas son continuas, sin huecos o saltos.
3) El eje de x es la asíntota horizontal.
4) Si b > 1 (b, base), entonces bx aumenta conforme aumenta x.
5) Si 0 < b < 1, entonces bx disminuye conforme aumenta x.
6) La función f es una función uno a uno.
La función exponencial de base e
Al igual que , e es un número irracional donde e = 2.71828... La notación
e para este número fue dada por Leonard Euler (1727).
Definición: Para un número real x, la ecuación f(x) = ex define a la función
exponencial de base e.
Las calculadoras científicas y gráficas contienen una tecla para la función
f(x) = ex.
La gráfica de f(x) = ex es:
El dominio es el conjunto de los números reales y el rango es el conjunto de
los números reales positivos.
0
2
4
6
8
-4 -2 0 2 4
0
5
10
15
20
25
-4 -2 0 2 4

29. Matemática I
Página29 de 30
La función f(x) = ex es una función exponencial natural. Como
2<e<3, la gráfica de f(x) = ex está entre f(x) = 2x y f(x) = 3x, como
se ilustra a continuación:
En la simplificación de expresiones exponenciales y en las ecuaciones
exponenciales con base e usamos las mismas propiedades de las
ecuaciones exponenciales con base b.
La gráfica de la función exponencial f(x) = e-x es:
0
5
10
15
20
25
30
-4 -2 0 2 4
0
5
10
15
20
25
-4 -2 0 2 4

30. Matemática I
Página30 de 30
APLICACIONES