proyecto de ecuaciones diferenciales tercer semestre ing. ramos larico ana roxana, Udabol Cochabamba 2019

1. FICHA DE IDENTIFICACIÓN TRABAJO DE INVESTIGACIÓN
Título Proyecto Final de Ecuaciones Diferenciales
Autor/es
Nombres y Apellidos Código de estudiantes
Herber Jesús Malarin León 42863
Wilder Aguilario Jesus 52549
Miriam Choque López 201506114
Matias Ronald Guamán Gonzales 52609
Fecha 24-11-2019
Carrera Ing. en Gas y petróleo
Asignatura Ecuaciones diferenciales
Grupo A
Docente Ing. Ramos Larico Ana Roxana
Periodo Académico II-2019
Subsede COCHABAMBA
Copyright © 2019 por (Miriam Choque, Herber Malarín, Wilder Aguilario, Matias Guamán). Todos
los derechos reservados.

2. RESUMEN:
En la investigación que se llevó a cabo para realizar este proyecto final, se revisó
información sobre la desintegración radioactiva, la cual es un fenómeno físico por el cual
los núcleos de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de
transformarse, o decaer, espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos
más estables. Lo cual se produce mediante emisiones de partículas son propiedades,
característica de los isótopos inestables, siendo posible, siempre y cuando, se conozca
el ritmo de desintegración de determinado isótopo, la cual es comúnmente, en función
del grado de desintegración en que se encuentre, calculándose mediante la intervención
y el uso de la aplicación de las ecuaciones diferenciales de primer orden y primer grado,
las cuales lo realizaremos detalladamente, en el transcurso de este documento.
Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la
concentración de elemento radiactiv.
Palabras clave:
ABSTRACT:
In the research that was carried out to carry out this final project, information on
radioactive decay was reviewed, which is a physical phenomenon whereby the nuclei of
some chemical elements that are unstable are capable of transforming, or decaying,
spontaneously, in atomic nuclei of other more stable elements. Which is produced by
particle emissions are properties, characteristic of unstable isotopes, being possible,
provided that the rate of decay of a certain isotope is known, which is commonly,
depending on the degree of disintegration in which it is found, calculated by means of
the intervention and the use of the application of the differential equations of first order
and first degree, which we will carry out in detail, in the course of this document.
Keywords:

3. 1
Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Carrera: Ing. en Gas y petróleo
INDICE
Capítulo 1: Contenido...........................................................................................................2
Introducción......................................................................................................................2
Planteamiento Del Problema ............................................................................................3
1.1. Formulación del problema.....................................................................................3
1.2. Hipótesis ................................................................................................................3
1.3. Metodología de investigación................................................................................3
1.4. Objetivos................................................................................................................3
1.5. Justificación ...........................................................................................................4
1.6. Revisión literaria....................................................................................................4
1.7. Propósito................................................................................................................4
CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO....................................................................................5
2.1. Desarrollo del marco teórico......................................................................................5
2.2.1. Concepto de la desintegración radioactiva .........................................................5
2.2.2. Descripción de los isotopos radiactivos del plomo.............................................6
2.2.3. Tiempo de vida media de los isótopos de plomo................................................7
Capítulo III: MARCO PRÁCTICO ......................................................................................9
3.1. Tipo de investigación.................................................................................................9
2.2.2. Orden de la ecuación...............................................................................................9
2.2.2.1. Grado de la ecuación............................................................................................9
2.2.3. Ecuación diferencial lineal....................................................................................10
3.2. Técnicas de investigación ........................................................................................10
3.3. Cronograma de actividades por realizar ................. ¡Error! Marcador no definido.
Capítulo IV: Conclusiones..................................................................................................12
Referencias......................................................................... ¡Error! Marcador no definido.
ANEXOS ............................................................................................................................12

4. 2
Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Carrera: Ing. en Gas y petróleo
Capítulo 1: Contenido
Introducción
La ingeniería del petróleo es la que combina métodos científicos y prácticos orientados al
desarrollo de técnicas para descubrir, explotar, transportar, procesar y tratar los hidrocarburos
desde su estado natural en yacimientos hasta los productos finales y derivados. No sólo se
presentan estos métodos, también hay ramas esenciales aplicadas en una mayor parte a la
ingeniería petrolera tales como la física, química, cálculo, mecánica de fluidos, algebra lineal
y ecuaciones diferenciales entre otros más. Las ecuaciones diferenciales o ecuación
diferencial es una ecuación matemática que relaciona una función con sus derivadas. En las
matemáticas aplicadas, las funciones usualmente representan cantidades físicas, las derivadas
representan sus razones de cambio, y la ecuación define la relación entre ellas. Como estas
relaciones son muy comunes, las ecuaciones diferenciales juegan un rol primordial en
diversas disciplinas, incluyendo la ingeniería, la física, la química, etc. En ingeniería
específicamente en ingeniería petrolera las ecuaciones diferenciales juegan un rol
importante, cuando hablamos de la parte química en la cual se usa los elementos químicos
bases, y sus radioactividades, La radiactividad es un fenómeno físico por el cual los núcleos
de algunos elementos químicos que son inestables son capaces de transformarse, o decaer,
espontáneamente, en núcleos atómicos de otros elementos mas estables. Esta propiedad,
característica de los isótopos inestables, es útil para estimar la edad de variedad de muestras
naturales, como rocas y materia orgánica. Esto es posible, siempre y cuando, se conozca el
ritmo de desintegración de determinado isótopo, en relación a los que ya han decaído.
Un ejemplo de ello es el El plomo está constituido por muchos isótopos, siendo estables
cuatro de ellos: 204Pb, 206Pb, 207Pb, y 208Pb. Al 204Pb se le conoce como plomo
primordial, y el 206Pb, 207Pb y 208Pb se forman por la desintegración radioactiva de dos
isótopos del uranio (235U y 238U) y un isótopo del torio (232Th). El 210Pb es radioactivo y
un precursor del 210Po en la serie de decaimiento del 238U.

5. 3
Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Carrera: Ing. en Gas y petróleo
Este proceso puede simularse resolviendo la siguiente ecuación diferencial para la
concentración de elemento radiactivo: M'(t) = - kM(t), lo cual es un método numérico para
resolver las ecuaciones diferenciales planteadas.
Planteamiento Del Problema
1.1. Formulación del problema
¿Hallar tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90% de isótopo radioactivo Pb-209?
1.2. Hipótesis
Las ecuaciones diferenciales es un campo fértil de aplicaciones ya que una ecuación
diferencial nos muestra los tiempos de una ecuación planteada en la química el resolverla
permite predecir su comportamiento y da la posibilidad de analizar el fenómeno en
condiciones distintas.
1.3. Metodología de investigación
Método inducción-deducción.
1.4. Objetivos
1.4.1. Objetivo general
Determinar el uso de las ecuaciones diferenciales en la aplicación Teórico-Práctico con la
carrera ingeniería en gas y petróleo en el área de la química en la desintegración del isótopo
radioactivo.
1.4.2. Objetivos específicos
 Definición de la desintegración radioactiva.
 Describir los isotopos radiactivos del plomo
 Mencionar el tiempo de vida media de los isótopos de plomo
 Aplicación de la formula en caso práctico.

6. 4
Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Carrera: Ing. en Gas y petróleo
1.5. Justificación
La presente investigación es beneficiosa para todos los estudiantes de la carrera de ingeniería
porque se está empleando aplicación práctica y cognitiva de nuestra materia, así como la
aplicación de las Ecuaciones Diferenciales tanto como temas relacionado a la química que
forma parte fundamental de nuestra carrera de ingeniería en gas y petróleo.
1.6. Revisión literaria
Recopilación de páginas de internet.
1.7. Propósito
El propósito del presente proyecto es la aplicación como la aplicación de las Ecuaciones
Diferenciales tanto como temas de desintegración radioactiva de los isotopos relacionado a
la química que forma parte fundamental de nuestra carrera de ingeniería en gas y petróleo
con el fin de determinar el tiempo debe transcurrir para que se desintegre el 90% de isótopo
radioactivo Pb-209.

7. 5
Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Carrera: Ing. en Gas y petróleo
CAPÍTULO II: MARCO TEÓRICO
Desarrollo del marco teórico
2.1. Definición de desintegración radioactiva
Si observamos cierta cantidad inicial de sustancia o material radioactivo, al paso del tiempo
se puede verificar un cambio en la cantidad de dicho material; la cantidad M del material es
una función del tiempo t, esto es M = M(t). Aún más, dadas las características de los materiales
radioactivos, al paso del tiempo ocurre una desintegración o decaimiento del material. Esto
no quiere decir que el material desaparezca, sino que la configuración interna de sus átomos
cambia y dejan de ser radioactivos. Experimentalmente se ha llegado al conocimiento de que,
en cualquier tiempo t ≥ 0, la rapidez de cambio de la cantidad M(t). de material radioactivo es
directamente proporcional a la cantidad de material presente. Simbólicamente esto se expresa
así:
𝑑
𝑑𝑡
𝑀(𝑡) ∝ 𝑀(𝑡)
Donde
𝑑
𝑑𝑡
𝑀(𝑡) es la rapidez de cambio de 𝑀(𝑡) y el símbolo ∝ denota la proporcionalidad
existente entre la cantidad presente 𝑀(𝑡) del material radioactivo y su rapidez de cambio.
Se afirma entonces que
𝒅𝑴(𝒕)
𝒅𝒕
= 𝑲𝑴(𝒕) ecuación (*)
Donde k es la llamada constante de proporcionalidad. Debido a la desintegración, la cantidad
𝑀(𝑡) de material radioactivo va disminuyendo (decreciendo) al paso del tiempo t, por lo
tanto se tiene que
𝑑
𝑑𝑡
𝑀(𝑡) < 0 , lo que nos permite concluir que k < 0 ya que 𝑀(𝑡) ≥ 0.
Esta ecuación diferencial (*) representa el modelo matemático por resolver y es de variables
separables.
En efecto:
𝑑𝑀
𝑑𝑡
= 𝐾𝑀 →
𝑑𝑀
𝑀
= 𝐾𝑑𝑡
Integrando se tiene: ∫
𝑑𝑀
𝑑𝑡
= ∫ 𝐾𝑑𝑡 → ln 𝑀 = 𝐾𝑡 + C → 𝑀 = 𝑒 𝐾𝑡
𝑒 𝐶
= 𝑒 𝐾𝑡+𝐶
= 𝑒 𝐾𝑡
C.
Entonces la solución general de la ecuación diferencial (*) es: 𝑴( 𝒕) = 𝑪𝒆 𝑲𝒕
𝐂

8. 6
Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Carrera: Ing. en Gas y petróleo
2.2. Descripción de los isotopos radiactivos del plomo
Para poder entender primero debemos conocer lo que es el plomo y después inclinarnos a
conocer la parte isotópica de la misma por ello definiremos cada uno a continuación:
Plomo (Pb)
El plomo es un elemento químico de la tabla periódica, cuyo símbolo es Pb y su número
atómico es 82 según la tabla actual, ya que no formaba parte en la tabla periódica de
Mendeléyev. Este químico no lo reconocía como un elemento metálico común por su gran
elasticidad molecular. Cabe destacar que la elasticidad de este elemento depende de la
temperatura ambiente, la cual distiende sus átomos, o los extiende.
El plomo es un metal pesado de densidad relativa o gravedad específica 11,4 a 16 °C, de
color plateado con tono azulado, que se empaña para adquirir un color gris mate. Es flexible,
inelástico y se funde con facilidad. Su fusión se produce a 327,4 °C y hierve a 1725 °C. Las
valencias químicas normales son 2 y 4. Es relativamente resistente al ataque del ácido
sulfúrico y del ácido clorhídrico, aunque se disuelve con lentitud en ácido nítrico y ante la
presencia de bases nitrogenadas. El plomo es anfótero, ya que forma sales de plomo de los
ácidos, así como sales metálicas del ácido plúmbico. Tiene la capacidad de formar muchas
sales, óxidos y compuestos organometálicos.
Isótopos Del Plomo
El plomo está constituido por muchos isótopos, siendo estables cuatro de ellos: 204Pb,
206Pb, 207Pb, y 208Pb.

9. 7
Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Carrera: Ing. en Gas y petróleo
Al 204Pb se le conoce como plomo primordial, y el 206Pb, 207Pb y 208Pb se forman por la
desintegración radioactiva de dos isótopos del uranio (235U y 238U) y un isótopo del torio
(232Th).
El 210Pb es radioactivo y un precursor del 210Pb en la serie de decaimiento del 238U.
La concentración de 210Pb en fumadores es el doble que la concentración en no fumadores.
Esta diferencia se atribuye a la inhalación de 210Pb en el humo del tabaco.
El plomo (Pb) tiene 38 isótopos conocidos, con una masa que varía entre 178 y 215, así como
46 isómeros nucleares. Cuatro de ellos son estables: Pb-204, Pb-206, Pb-207 y Pb-208.
Los cuatro isótopos estables Pb-204, Pb-206, Pb-207 y Pb-208, se encuentran en la naturaleza
en una proporción de 1,4 / 24,1 / 22,1 / 52,4 y 5 radioisótopos también están presentes en
forma de rastros. El peso atómico estándar de plomo es 207,2(1) u.
Entre los 34 radioisótopos del plomo, el más estable es el plomo-205, con una vida media de
alrededor de 15.3 millones de años, seguido del plomo-202 con una vida media de alrededor
de 53000 años. Todos los isótopos naturales tienen una vida media de entre 22 y 27 minutos.
Cuando está totalmente ionizado, el isótopo Pb-205 se convierte en estable.
2.3. Tiempo de vida media de los isótopos de plomo
La vida media o periodo de desintegración de un isótopo radiactivo es el tiempo promedio
de vida de un átomo antes de desintegrarse.
La vida mitad, semivida, hemivida o periodo de semidesintegración de un isótopo
radiactivo es el tiempo que transcurre para que se desintegren la mitad de los átomos de una
muestra. Es una medida de la estabilidad del isótopo, ya que cuanta menor sea la semivida,
con mayor rapidez se producirá la desintegración y menos estable será el isótopo.
La desintegración de un átomo se dice que es espontánea ya que aunque se puede conocer
la probabilidad de su ocurrencia, es imposible predecir el momento en el que un átomo se
desintegrará.
Los átomos no envejecen, es decir que su probabilidad de que se desintegren es constante en

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Asignatura: Ecuaciones diferenciales
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el tiempo. El número de átomos de una muestra que se desintegran en un intervalo de
tiempo dt es proporcional al número de átomos presentes no desintegrados, porque todos los
átomos presentes en una muestra tienen la misma probabilidad de desintegrarse (son
realmente idénticos):
dn = - λ·n·dt
y podemos establecer tiempo de vida para el plomo mediante el siguiente cuadro:
Isótopos de Plomo
Z Nombre del Núclido Vida Media Spin Abundancia
(%)
Masa Atómica
(uma)
82 Plomo-202 53.000 años 0 0,00 202
82 Plomo-202m 3,53 horas 9 0,00 202
82 Plomo-203 2,162 dias 5/2 0,00 203
82 Plomo-204 Estable 0 1,48 203,973
82 Plomo-204m 1,12 horas 9 0,00 204
82 Plomo-205 15 millones de años 5/2 0,00 205
82 Plomo-206 Estable 0 23,6 206
82 Plomo-207 Estable 1/2 22,6 206,9759
82 Plomo-208 Estable 0 52,3 207,9766
82 Plomo-209 3,3 horas 9/2 0,00 209
82 Plomo-210 22,3 años 0 0,00 210
82 Plomo-211 36,1 minutos 9/2 0,00 211
82 Plomo-212 10,64 horas 0 0,00 212
82 Plomo-214 27 minutos 0 0,00 214

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Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Carrera: Ing. en Gas y petróleo
Capítulo III: MARCO PRÁCTICO
3.1. Ecuación diferencial
Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra derivadas (o diferenciales) de una
función desconocida de una o más variables. Si la función desconocida depende sólo de una
variable, la ecuación se llama una ecuación diferencial ordinaria. Sin embargo, si la función
desconocida depende de más de una variable la ecuación se llama una ecuación diferencial
parcial.
Un ejemplo de ecuación diferencial ordinaria es:
La variable independiente (v. i) es x
La variable dependiente (v. d) es y
Un ejemplo de ecuación diferencial parcial es:
La variable independiente (v. i) es "x" y "y"
La variable dependiente (v. d) es V
Orden de la ecuación
El orden de la derivada más alta en una ecuación diferencial se denomina orden de la
ecuación.
Grado de la ecuación
Es la potencia de la derivada de mayor orden que aparece en la ecuación, siempre y cuando

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Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Carrera: Ing. en Gas y petróleo
la ecuación esté en forma polinómica, de no ser así se considera que no tiene grado.
Ecuación diferencial lineal
Se dice que una ecuación es lineal si tiene la forma.
es decir: Ni la función ni sus derivadas están elevadas a ninguna potencia distinta de uno o
cero.
En cada coeficiente que aparece multiplicándolas sólo interviene la variable independiente.
Una combinación lineal de sus soluciones es también solución de la ecuación.
3.2. Aplicación y desarrollo del Caso Practico
A continuación desarrollaremos el caso práctico:
𝑑𝑀
𝑑𝑡
= 𝐾𝑀 →
𝑑𝑀
𝑀
= 𝐾𝑑𝑡
EJEMPLO:
El Pb-209, isótopo radioactivo del plomo, se desintegra con una razón proporcional a la
cantidad presente en cualquier momento y tiene un periodo medio de vida de 3.3 horas. Si al
principio había 1 gramo de plomo, ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que se desintegre el
90%?
M(0)= 1
M(3.3)= ½
𝑑𝑀
𝑑𝑡
= 𝐾𝑀
1
𝑀
𝑑𝑀
𝑑𝑡
= 𝐾
∫
1
𝑀
𝑑𝑀 = ∫ 𝐾 𝑑𝑡

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Asignatura: Ecuaciones diferenciales
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M(t)=C eKt
M(0)=1
1=C e0
C=1
M(t)=eKt
1
2
= 𝑒3.3𝐾
𝑙𝑛0.5 = 3.3𝐾
𝐾 =
ln(0.5)
3.3
𝑀(𝑡) = 𝑒
ln(0.5)
3.3
0.1 = 𝑒
ln(0.5)
3.3
𝑡
ln(0.1) =
ln(0.5)
3.3
𝑡
𝑡 =
ln(0.1)
ln(0.5)
3.3
𝑡 = 10.96 ℎ𝑟

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Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Carrera: Ing. en Gas y petróleo
CONCLUSIONES
Podemos concluir refiriéndonos a la importancia que tiene este tema en nuestro aspecto
educativo, la cual es relevante resaltar que adquirimos conocimientos referentes a estos
puntos tan interesante como lo es la desintegración radioactiva isotópica en especial del
elemento del plomo, combinado con la aplicación de las ecuaciones diferenciales y el resto
del contenido que no pierde relevancia, que forman parte de nuestra preparación profesional
de la carrera de ingeniería en gas y petróleo.
Esperamos haber transferido nuestras ideas de una manera clara y precisa a nuestra docente
y a todos nuestros compañeros, basándonos en general en la información más interesante y
concisa para el mayor entendimiento de dicho trabajo.
Buscamos relacionar la aplicación de las ecuaciones diferenciales aplicadas a la vida real
dentro de una de las raíces principales que es la química que forma parte de nuestra
formación, escogiendo y definiendo los conceptos de la desintegración radiactiva isotópica
del Pb-209, las cuales dedicamos el concepto de ellas y su caso práctico.
RECOMENDACIONES
Tener la idea clara es decir el objetivo general para luego trabajar todo el cuerpo de la
investigación.
También es importante contar con la información necesaria para el desarrollo de la
investigación, porque el obtener o recolectar información innecesaria o errónea dificultara el
proceso de trabajo de la investigación.
Así mismo razonar a detalle cada punto que se investigara o trabajara en base al tema de
interés a investigar.

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Asignatura: Ecuaciones diferenciales
Carrera: Ing. en Gas y petróleo
BIBLIOGRAFIA
Página web:
 http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/desintegracion/radio.htm
 http://astronomia.net/cosmologia/desintegracion.htm
 https://es.wikipedia.org/wiki/Anexo:Is%C3%B3topos_de_plomo
 http://diarium.usal.es/guillermo/files/2014/02/MundoCientificoMayo1994RelojesN
ucleares.pdf
 https://dequimica.com/teoria/plomo
 https://www.youtube.com/watch?v=O_uHfPWEL74

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Carrera: Ing. en Gas y petróleo
ANEXO

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Carrera: Ing. en Gas y petróleo