Este documento presenta información sobre pruebas de hipótesis para una muestra. Explica cómo realizar pruebas para una media cuando la varianza es conocida o desconocida, incluido el cálculo de estadísticas de prueba y la toma de decisiones. También proporciona dos ejemplos numéricos que ilustran los pasos para probar hipótesis sobre una media poblacional.

1. Estadística Inferencial
MSc. Gelner Archenti
Sesión 1 – Unidad II

2. Prueba de hipótesis para una muestra:
contraste de hipótesis para una media

3. IMPORTANTE:
La posición de la región crítica puede determinarse
sólo después de que se establece H1.

4. Al probar una medicina nueva, se establece la hipótesis de que no es
mejor que las medicinas similares que actualmente hay en el
mercado, y se prueba ésta contra la hipótesis alternativa de que la
medicina nueva es superior.
Ejemplo.
Tal hipótesis alternativa tendrá como resultado una prueba de una
sola cola con la región crítica en la cola derecha.

5. Ejemplo.
Si deseamos comparar una nueva técnica de enseñanza con el
procedimiento convencional del salón de clases, la hipótesis
alternativa debe permitir que la nueva aproximación sea inferior o
superior al procedimiento convencional.
Por lo tanto, la prueba será de dos colas con la región crítica dividida en
partes iguales, de manera que caiga en los extremos de las colas
izquierda y derecha de la distribución de nuestro estadístico.

6. Tipo de prueba Regla de decisión (Paso 4)
Zona de No
Rechazo H0
Zona de
rechazo
H0
Zona de
rechazo
H0

7. Tipo de prueba Regla de decisión (Paso 4)
Zona de No
Rechazo H0
Zona de
rechazo
H0

8. Tipo de prueba Regla de decisión (Paso 4)
Zona de No
rechazo H0
Zona de
rechazo H0

9. Una sola muestra: Pruebas con respecto a una sola media
(varianza conocida).
Fórmula para el estadístico de prueba

10. Ejemplo 1.
Una muestra aleatoria de 100 muertes registradas en Estados Unidos el año pasado
mostró una vida promedio de 71.8 años. Suponiendo una desviación estándar
poblacional de 8.9 años, ¿esto parece indicar que la vida media actual es mayor que
70 años? Utilice un nivel de significancia de 0.05.
Etapas
Paso 1: Formular las hipótesis
H0: µ = 70 años
H1: µ > 70 años
Paso 2: Fijar el nivel de significación
 Nivel de significación (α) =5%

11. Paso 3: Formular la regla de decisión(región crítica)
 La Prueba es unilateral de cola superior (derecha). La región de rechazo:
Región
crítica
z < 1.96 (Valor tabular)

12. Paso 4: Calcular la estadística de prueba
=
𝟕𝟏.𝟖−𝟕𝟎
𝟖.𝟗
𝟏𝟎𝟎
= 𝟐. 𝟎𝟐

13. Paso 5: Decisión y conclusión
La decisión es rechazar la H0, porque 2.02 > 1.96. Se
concluye que la vida media actual es mayor que 70 años.

14. Ejemplo 2.
Un fabricante de equipo deportivo desarrolló un nuevo
hilo para pesca sintético que afirma que tiene una
resistencia media a la rotura de 8 kilogramos con una
desviación estándar de 0.5 kilogramos. Pruebe la
hipótesis de que μ = 8 kilogramos contra la alternativa
de que μ ≠ 8 kilogramos, si se prueba una muestra
aleatoria de 50 unidades de hilo y se encuentra que
tiene una resistencia media a la rotura de 7.8
kilogramos.Utilice un nivel de significancia de 0.01.

15. Ejemplo 2.
Un fabricante de equipo deportivo desarrolló un nuevo hilo para pesca sintético que
afirma que tiene una resistencia media a la rotura de 8 kilogramos con una desviación
estándar de 0.5 kilogramos. Pruebe la hipótesis de que μ = 8 kilogramos contra la
alternativa de que μ ≠ 8 kilogramos, si se prueba una muestra aleatoria de 50
unidades de hilo y se encuentra que tiene una resistencia media a la rotura de 7.8
kilogramos.Utilice un nivel de significancia de 0.01.
Etapas
Paso 1: Formular las hipótesis
H0: µ = 8 Kg.
H1: μ ≠ 8 Kg.
Paso 2: Fijar el nivel de significación
 Nivel de significación (α) =1%

16. Paso 3: Formular la regla de decisión(región crítica)
 La Prueba es bilateral, de dos colas. Las regiones de rechazo:
Región
crítica
z < -2.575 (Valor tabular)
z > 2.575
Región
crítica

17. Paso 4: Calcular la estadística de prueba
=
𝟕.𝟖−𝟖
𝟎.𝟓
𝟓𝟎
= −𝟐. 𝟖𝟑

18. Paso 5: Decisión y conclusión
La decisión es rechazar la H0, porque -2.83 < -2.575. Se
concluye que la resistencia promedio a la rotura no es
igual a 8 sino que, de hecho, es diferente a 8 kilogramos
(menor a 8 kg)

19. Una sola muestra: Pruebas sobre una sola media (varianza desconocida)
La aplicación de la distribución t de Student para la prueba de hipótesis se
desarrolla con las siguientes suposiciones:
Las variables aleatorias X1, X2,..., Xn representan una muestra aleatoria de una
distribución normal con μ y σ2 desconocidas. Entonces, la variable aleatoria
tiene una distribución t de Student con n − 1 grados de libertad.
La estructura de la prueba es idéntica a la del caso con σ conocida, con la
excepción de que el valor σ en el estadístico de prueba se reemplaza con la
estimación de S calculada, y la distribución normal estándar se reemplaza con
una distribución t.

20. El estadístico t para una prueba en una sola media (varianza desconocida)

21. Ejemplo 1
El Instituto Eléctrico Edison publica cifras del número anual de kilowatts/hora
que gastan varios aparatos electrodomésticos. Se afirma que una aspiradora
gasta un promedio de 46 kilowatts/hora al año. Si una muestra aleatoria de 12
hogares que se incluye en un estudio planeado indica que las aspiradoras gastan
un promedio de 42 kilowatts/hora al año con una desviación estándar de 11.9
kilowatts/hora, ¿en un nivel de significancia de 0.05 esto sugiere que las
aspiradoras gastan, en promedio, menos de 46 kilowatts/hora anualmente?
Suponga que la población de kilowatts/hora es normal.
Etapas
Paso 1: Formular las hipótesis
H0: µ = 46 Kilowatts/hora
H1: µ < 46 kilowatts/hora

22. Paso 2: Fijar el nivel de significación
 Nivel de significación (α) =5%
Paso 3: Formular la regla de decisión(región crítica)
 La Prueba es unilateral de cola inferior. Las regiones de rechazo:
Distribución t (g.l= n-1 12-1 = 11 grados de libertad)
Región
crítica
t < -1.79 (Valor tabular)

23. Paso 4: Calcular la estadística de prueba
=
𝟒𝟐−𝟒𝟔
𝟏𝟏.𝟗
𝟏𝟐
= −𝟏.16

24. Paso 5: Decisión y conclusión
La decisión es No rechazar la H0, -1.16 > -1.79. La
prueba resultó no significativa. Se concluye que el
número promedio de kilowatts/hora que gastan al año
las aspiradoras domésticas no es significativamente
menor que 46.

25. Ejemplo 2
El peso medio de una muestra aleatoria de 81
personas de una determinada población es de
63,6 kg. De la muestra se obtuvo que la
desviación estándar fue de 5.45 kg. Con un nivel
de significancia del 0,05, ¿hay suficiente evidencia
para rechazar la afirmación de que el peso medio
poblacional es menor de 65 kg?

26. Ejemplo 2
1. El peso medio de una muestra aleatoria de 81 personas de una determinada
población es de 63,6 kg. De la muestra se obtuvo que la desviación estándar fue
de 5.45 kg. Con un nivel de significancia del 0,05, ¿hay suficientes evidencias
para rechazar la afirmación de que el peso medio poblacional es menor de 65
kg?
Etapas
Paso 1: Formular las hipótesis
H0: µ = 65
H1: µ < 65
Paso 2: Fijar el nivel de significación
 Nivel de significación (α) =5%

27. Paso 3: Formular la regla de decisión
La Prueba es unilateral de cola inferior. Las regiones de rechazo
Distribución t (g.l= n-1 81-1 = 80)
La decisión es: rechazar la hipótesis nula sí el valor calculado de la estadística de prueba
resulta mayor que el valor 0.95 de la distribución t de student con 80 grados de libertad.
Es decir, rechazar H0 sí tcalc < t(80) 0.05 = -1.66

28. Paso 4: Calcular la estadística de prueba
=
𝟔𝟑.𝟔−𝟔𝟓
𝟓.𝟒𝟓
𝟖𝟏
= −2.31

29. Paso 5: Decisión y conclusión
La decisión es rechazar la H0, -2.31< -1.66. La
prueba resultó significativa. Se concluye que el peso
promedio poblacional es menor a 65Kg, con un nivel
de significancia del 5%.