Este documento describe varias distribuciones de probabilidad discretas, incluyendo la binomial, geométrica, Poisson y hipergeométrica. Explica que la distribución binomial modela experimentos con dos resultados posibles que ocurren independientemente, mientras que la geométrica modela el número de intentos hasta el primer éxito. La distribución de Poisson modela el número de eventos que ocurren en un intervalo de tiempo o espacio, y la hipergeométrica se usa para muestreo sin reemplazo. Proporciona ejemplos y fórmulas para cada

2. Distribuciones de
probabilidad Discretas
Prof. Claudia Retamoso Llamas

3. La distribución de probabilidad
discreta describe el comportamiento
de una variable aleatoria,
independientemente de si se
representa de forma gráfica o
mediante un histograma, en forma
tabular o con una fórmula.

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Distribución Binomial
Con frecuencia un experimento consta de pruebas repetidas, cada una con dos
resultados posibles que se pueden denominar éxito o fracaso. La aplicación
más evidente tiene que ver con la prueba de artículos a medida que salen de
una línea de ensamble, donde cada prueba o experimento puede indicar si un
artículo está o no defectuoso. Podemos elegir definir cualquiera de los
resultados como éxito. El proceso se conoce como proceso de Bernoulli y cada
ensayo se denomina experimento de Bernoulli.

5. En términos estrictos el proceso de Bernoulli se caracteriza por lo
siguiente:
1. El experimento consta de ensayos repetidos.
2. Cada ensayo produce un resultado que se puede clasificar
como éxito o fracaso.
3. La probabilidad de éxito, que se denota con p, permanece
constante de un ensayo a otro.
4. Los ensayos repetidos son independientes.
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6. Ejemplo 1
Considere el conjunto de experimentos de Bernoulli en el que e seleccionan tres
artículos al azar de un proceso de producción, luego se inspeccionan y se clasifican
como defectuosos o no defectuosos. Un artículo defectuoso se designa como un éxito.
El número de éxitos es una variable aleatoria X que toma valores integrales de cero a 3.
los ocho resultados posibles y los valores correspondientes de X son:
El porcentaje de que un objeto sea defectuoso (D) es 25%. Determine la función de
probabilidades para este proceso de Bernoulli.

7. x f(x)
0 27/64
1 27/64
2 9/64
3 1/64
La anterior es la función de
probabilidades de encontrar
algún elemento defectuoso de
entre los tres escogidos en el
experimento de Bernoulli
Generalizando, un experimento de Bernoulli puede tener como
resultado un éxito con probabilidad p y un fracaso con
probabilidad q = 1 – p. Entonces, la distribución de probabilidad
de la variable aleatoria binomial X, el número de éxitos en n
ensayos independientes, es:

8. Ejemplo 2
La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara
enfermedad sanguínea es de 0.4. Si se sabe que 15 personas
contrajeron la enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que a)
sobrevivan al menos 10, b) sobrevivan de 3 a 8, y c) sobrevivan
exactamente 5?
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9. a) Sobrevivan al menos 10
P
b) Sobrevivan de 3 a 8
c) Sobrevivan exactamente 5

10. x f(x) F(x)
0 0.000470 0.0004702
1 0.004702 0.0051720
2 0.021942 0.0271140
3 0.063388 0.0905019
4 0.126776 0.2172777
5 0.185938 0.4032156
6 0.206598 0.6098132
7 0.177084 0.7868968
8 0.118056 0.9049526
9 0.061214 0.9661667
10 0.024486 0.9906523
11 0.007420 0.9980722
12 0.001649 0.9997211
13 0.000254 0.9999748
14 0.000024 0.9999989
15 0.000001 1
1
En Microsoft Excel ®
Donde:
f(x) distribución de
probabilidad
F(x) distribución de
probabilidad acumulada

11. Ejemplo 3
Se conjetura que hay impurezas en 30% del total de pozos de agua
potable de cierta comunidad rural. Para obtener información
sobre la verdadera magnitud del problema se determina que debe
realizarse algún tipo de prueba. Como es muy costoso probar
todos los pozos del área, se eligen 10 al azar para someterlos a la
prueba.
a) Si se utiliza la distribución binomial ¿Cuál es la probabilidad de
que exactamente 3 pozos tengan impurezas, considerando que
la conjetura es correcta?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que más de 3 pozos tengan
impurezas?

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13. x f(x) F(x)
0 0.028248 0.0282475
1 0.121061 0.1493083
2 0.233474 0.3827828
3 0.266828 0.6496107
4 0.200121 0.8497317
5 0.102919 0.9526510
6 0.036757 0.9894079
7 0.009002 0.9984096
8 0.001447 0.9998563
9 0.000138 0.9999941
10 0.000006 1.0000000
1.000000
a) Se requiere
b) En este caso

14. Distribución Geométrica
Si pruebas independientes repetidas pueden tener como resultado un éxito
con probabilidad p y n fracaso con probabilidad q = 1 – p, entonces la
distribución de probabilidad de la variable aleatoria X, el número de la prueba
en el que ocurre el primer éxito, es
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15. Ejemplo 3
En “momentos ajetreados” un conmutador telefónico está muy
cerca de su límite de capacidad, por lo que los usuarios tienen
dificultad para hacer sus llamadas. Sería interesante saber cuántos
intentos serían necesarios para conseguir un enlace telefónico.
Suponga que la probabilidad de conseguir un enlace durante un
momento ajetreado es p = 0.05. Interesa conocer la probabilidad
de que se necesiten 5 intentos para enlazar con éxito la llamada.

16. Distribución Poisson
Los experimentos que producen valores numéricos de una variable aleatoria X,
dependiendo del número de resultados que ocurren durante un intervalo de
tiempo determinado o en una región específica, se denominan experimentos
de Poisson.
Propiedades
1. El número de resultados que ocurren en un intervalo o región específica
es independiente del número que ocurre en cualquier otro intervalo de
tiempo o región del espacio disjunto. De esta forma vemos que el proceso
de Poisson no tiene memoria.
2. La probabilidad de que ocurra un solo resultado durante un intervalo de
tiempo corto o en una región pequeña es proporcional a la longitud del
intervalo o al tamaño de la región, y no depende del número de
resultados que ocurren fuera de este intervalo de tiempo o región.
3. La probabilidad de que ocurra más de un resultado en tal intervalo de
tiempo corto o que caiga en tal región pequeña es insignificante

17. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria de Poisson
X, la cual representa el número de resultados que ocurren en un
intervalo de tiempo dado o región específicos y se denota con t, es
Donde lt es el número promedio de resultados por unidad de
tiempo, distancia, área o volumen y e = 2.71828… el número de
Euler.

18. Ejemplo 4
Durante un experimento de laboratorio el número promedio de
partículas radioactivas que pasan a través de un contador en un
milisegundo es 4. ¿Cuál es la probabilidad de que entren 6
partículas al contador en un milisegundo dado?
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19. Distribución Hipergeométrica
Para diferenciar la distribución binomial de la hipergeométrica se
debe observar la forma en que se realiza el muestreo. Los tipos
de aplicaciones de la distribución hipergeométrica son muy
similares a los de la distribución binomial. En la binomial se
requiere que los ensayos sean INDEPENDIENTES en la
hipergeométrica no. La distribución hipergeométrica se basa en
el muestreo que se realiza sin reemplazo.
Propiedades
1. De un lote de N artículos se selecciona una muestra aleatoria
de tamaño n sin reemplazo.
2. k de los N artículos se pueden clasificar como éxitos y N-k se
clasifican como fracasos.

20. La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica X, el
número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño n que se selecciona de N
artículos, en los que k se denomina éxito y N-k fracaso, es
La media y la varianza de la distribución de probabilidad hipergeométrica son

21. Ejemplo 5
Lotes con 40 componentes cada uno que contenga 3 o más
defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para
obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes
al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente
defectuoso. ¿Cuál es la probabilidad de, que en la muestra se
encuentre exactamente 1 componente defectuoso, si en todo el
lote hay 3 defectuosos?
www.istock.com =DISTR.HIPERGEOM.N(x muestra =
1;n muestra = 5;éxitos población =
3;población = 40;Verdadero
acumulado FALSO no acumulado)

22. Ejercicios Libro Walpole et al (2012)
Binomial e
Hipergeométrica

25. Poisson y Geométrica

29. Distribuciones de
probabilidad Discretas
Prof. Claudia Retamoso Llamas