Este documento presenta un resumen de las propiedades y conceptos básicos de las operaciones matemáticas de suma, multiplicación, potencias y factorización. Explica las propiedades conmutativa, asociativa e identidad de la suma y la multiplicación, así como las reglas de los signos y la prioridad de operaciones. También introduce conceptos como números primos, descomposición en factores, potencias y binomios elevados al cuadrado.

1. PRUEBA DE NIVEL MathCoach
EL JUEGO
Casilla de salida
ienvenid@ a MathCoach©, tu entrenador de matemáticas.
Para comenzar a jugar, revisa las pistas de este primer nivel y cuando estés
preparad@ haz clic en el botón de Comienzo.
BLOQUE 1 - PROPIEDADES DE LA SUMA
 Conmutativa
 Asociativa
 Identidad
PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA
Cambiar el orden de los sumandos no altera la suma.
Fórmulas: a + b = b + a
¿Qué propiedad de la suma cumplen las siguientes expresiones?
2 + 3 = 3 + 2 = 5
Se trata de la propiedad conmutativa el orden de los sumandos no altera el
resultado.
2 + (3 + 5) = (2 + 3) + 5 = 10
Se trata de la propiedad asociativa de la suma, da igual de que forma se agrupen
los sumandos, el resultado final es el mismo.
6 + 0 = 6
Se trata de la propiedad identidad o elemento neutro de la suma. Cualquier
número al que sumamos 0 da como resultado el mismo número.
¿Qué propiedad de la suma cumple la siguiente expresión? (1 + 2) + 4 = 1 + (2 +
4)
Conmutativa
Identidad
Asociativa
¡EXCELENTE! Es la respuesta correcta
En la expresión dada se está usando la propiedad asociativa de la suma, que dice
que, cuando existen tres o más cifras en estas operaciones, el resultado no
depende de la manera en la que se agrupan los términos.
BLOQUE 2 - PROPIEDADES DE LA MULTIPLICACIÓN
PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN
Cambiar el orden de los factores no altera el producto final.
Fórmulas: a * b = b * a
PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA MULTIPLICACIÓN
Cambiar la forma de agrupar los factores no cambia el producto final
Fórmulas: (a * b) * c = a * (b * c)
.
PROPIEDAD DE LA IDENTIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN
El producto de cualquier número por 1 da como resultado el mismo número.

2. Fórmulas: a * 1 = a
¿Qué propiedad de la multiplicación cumple la siguiente expresión?
2 * 3 = 3 * 2
Se trata de la propiedad conmutativa de la multiplicación donde el orden de los
factores no altera el producto.
(5 * 3) * 2 = 5 * (3 * 2)
Se trata de la propiedad asociativa de la multiplicación, da igual de qué forma se
agrupen los términos, el resultado final es el mismo.
6 * 1 = 6
¿Qué propiedad de la multiplicación cumple la siguiente expresión?
+ 2 * 3 = 3 * 2
+ (5 * 3) * 2 = 5 * (3 * 2)
- 6 * 1 = 6
Se trata de la propiedad identidad o elemento neutro de la multiplicación.
Cualquier número al que multipliquemos 1 da como resultado el mismo número.
¿Qué propiedad de la multiplicación cumple la siguiente expresión? 1 * 2 = 2
Conmutativa
Identidad
Asociativa
Esta expresión está usando la propiedad de identidad o elemento neutro del
producto. El uno es llamado el elemento identidad del producto, cualquier número
al que multipliquemos por 1 nos dará como resultado el mismo número.
BLOQUE 3 - REGLAS DE LOS SIGNOS
REGLA 1
El producto de un número positivo y uno negativo es un número negativo.
Fórmulas: +* - = * = -
- + -
REGLA 2
Dos negaciones equivalen a una afirmación, por ese motivo en matemáticas
decimos que un número negativo por un número negativo da como resultado un
número positivo.
Fórmulas: -* - = +
REGLA 3
Un signo menos delante de un paréntesis cambia de signo a todo lo que haya
dentro del paréntesis.
Fórmulas: - (a - b) = - a + b
Recuerda las 3 reglas básicas sobre los signos
+ - 2 * 3 = ¿?
+ - 2* - 3 = ¿?
+ 2-(3*1-5) = 2 – 3 – 1 + 5 = ¿?

3. Si tu respuesta es 3 entonces ha realizado de forma correcta las operaciones,
puesto que hay un signo menos delante de un paréntesis y este cambia de signo a
todo lo de dentro.
¿Cuál es el resultado de la operación siguiente? -1 - (4 + 5-6) = ¿?
4
-4
6
-6
El resultado es -4.
El signo menos delante de un paréntesis cambia de signo a todo lo que hay dentro
del paréntesis.
-1 - (4 + 5-6) = - 1-4-5 + 6 = -4
BLOQUE 4 - PRIORIDAD EN LAS OPERACIONES
 Multiplicación o división
 Los paréntesis
 Paréntesis innecesarios
 Acertijos
PRIORIDAD DE LA MULTIPLICACIÓN O DIVISIÓN
Cuando en una expresión matemática tenemos operaciones de distintas clases,
por ejemplo, sumas o restas mezcladas con multiplicaciones o divisiones, primero
hay que resolver las multiplicaciones o divisiones y luego las sumas y restas.
Ejemplo: a + b * c Primero deber realizar el producto b * cy luego sumar a
PRIORIDAD DE LOS PARÉNTESIS
Los paréntesis tienen mayor prioridad ante cualquier operación.
Cuando tenemos una suma o resta dentro de un paréntesis, primero debemos
resolver dicha operación y luego el resto de operaciones.
Ejemplo: a * (b + c) Primero debes realizar la operación del paréntesis y luego la
multiplicación
EVITA LOS PARÉNTESIS INNECESARIOS
Si tenemos una operación de multiplicación o división junto con sumas o restas, no
es necesario incluir paréntesis en la multiplicación o división, puesto que estas
operaciones por sí solas ya implican prioridad.
Ejemplo: a + (b * c)El paréntesis no es necesario porque el producto es prioritario
ante una suma

4. El resultado es 12
 Primer paso, realizamos las operaciones que tienen prioridad es decir la
multiplicación
1 * 0 = 0
 Segundo paso, realizamos el resto de operaciones que en este caso son
sumas obteniendo como resultado final 12.

5. Comprende
Recuerda las reglas de prioridad y reflexiona sobre los siguientes ejemplos
2 + 4 * 3 = ¿?
Si tu respuesta es 14 estás en lo cierto. Primero debes resolver el producto 4 * 3
ya continuación sumar 2.
(2 + 5) * 3 = ¿?
(3 * 5) + 2 = ¿?
Practica
Resuelve el siguiente ejercicio atendiendo al orden de prioridad: 2 + (6 + 7) * 5 =
¿?
43
75
67
La solución es 67. Tenemos un paréntesis con una suma que es prioritario ante el
resto de operaciones, así que primero resolvió el paréntesis.
2 + 13 * 5 = ¿?

6. A continuación tenemos una suma y un producto. El producto es más prioritario,
luego primero realizamos el producto.
2 + 65 = ¿?
Finalmente realizamos la suma.
2 + 65 = 67
BLOQUE 5 – FACTORIZAR
 Concepto de factor
 Descomposición en factores
 Números primos
CONCEPTO DE FACTOR
El concepto de factor está relacionado con la divisibilidad de los números. En
general, dos números enteros que se multiplican para obtener otro número entero
se consideran factores de ese número. A su vez, podemos decir que un número
es divisible entre otro si el resultado de la división es un número entero.
DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES
Es importante comprender que para obtener la descomposición factorial de
un número debemos expresarlo en números primos que son aquellos que
solo son divisibles por 1 y por sí mismos
Números Primos
¿RECUERDAS SON LOS 25 PRIMEROS NÚMEROS PRIMOS?
Los 25 primeros números primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37,
41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 y 97, que son todos los primos
menores que 100.
Descomponer en factores
¡TRUCO!
− El número 24
El número 24 lo podemos dividir varias veces entre 2 (dos es el número primo más
pequeño), luego para descomponerlo en factores dividiremos entre 2 tantas veces
como sea posible y continuación probaremos con el siguiente número primo.
24 2
12 2
6 2
3 3
1
- La descomposición de 24 es 24 = 2 * 2 * 2 * 3
+ El número 15
El número primo más pequeño por el que podemos dividir el número 15 es 3.
A continuación y obtenemos como resultado 5 y el número 5 es un número
primo que solo puede dividirse por el mismo.
15 3
5 5
1
La descomposición de 15 es 15 = 3 * 5

7. La descomposición en factores de 30 corresponde a 30 = 2 * 3 * 5
Verdadero
Falso
La afirmación es verdadera, la descomposición en factores de 30 es:
30 2
15 3
5 5
1
La descomposición en factores de 30 corresponde a 30 = 2 * 3 * 5
Verdadero
Falso
¿QUÉ ES UNA POTENCIA?
Las potencias es una forma de expresar una multiplicación formada por varios
números iguales, pero de una forma abreviada. Por ejemplo 2x2 es lo mismo que
2 2 .
PARTES DE LA POTENCIA
 Base: para expresar un producto de varios números iguales, primero
tenemos que pensar qué número se está multiplicando. Ese número lo
denominaremos base.
 Exponente: a continuación nos preguntamos, ¿cuántas veces se está
multiplicando el número? La cantidad de veces que se multiplica el mismo
número se denomina exponente.
SIGNOS EN LAS POTENCIAS
Una base negativa elevada a un exponente par siempre da un resultado positivo.
Ejemplo: (-3) 4 = 81
Una base negativa elevada a un exponente impar siempre dará un resultado
negativo.
Ejemplo: (-3) 3 = -27
Reflexiona sobre las siguientes cuestiones:

8. Reflexiona sobre las siguientes cuestiones:
¿Cuál es el resultado de la potencia siguiente?(-8) 3?
Si consideras que el resultado es (-8) 3 = - 512 entonces estás en lo cierto. En este
caso, la base o número que se multiplica varias veces es -8 y el exponente o
número de veces que se multiplica es 3. Por otro lado, una base negativa elevada
a un exponente impar siempre dará un resultado negativo.
¿Cuál es el resultado de la potencia siguiente?(-2) 4?
Si consideras que el resultado es -2 4 = 16 entonces estás en lo cierto. En este
caso la base o número que se multiplica varias veces es -2 y el exponente o
número de veces que se multiplica es 4. Por otro lado, una base negativa elevada
a un exponente par siempre dará un resultado positivo.
¿Cuál es el resultado de la siguiente expresión20 - 2 4?
¿Crees que el resultado es 4 o por el contrario sería 36?
En este caso el resultado es 4, ya que el signo menos no se incluye en la potencia
y por tanto, la base de la potencia es 2.
20 - 2 4 = 20 - 16 = 4
Si el signo menos formara parte de la base deberíamos que tener unos paréntesis
que nos lo indiquen. Por ejemplo:
20 + (- 2 4 ) = 20 + 16 = 36
Siguiente ¿Cuál es el resultado de la potencia? -6 3 = ¿?
216
-216
Ninguna de las opciones es correcta
La base es -6 y el exponente es 3. Por otro lado, tenemos una base negativa y un
exponente impar con lo cual el resultado debe ser negativo.
-6 3 = -6 * -6 * -6 =
= 36 * -6 = -216
¿QUÉ ES UN BINOMIO AL CUADRADO?
Un binomio al cuadrado es una expresión algebraica de la siguiente forma.
Fórmulas: (a + b) 2
(a - b) 2Como puedes observar, un binomio consta de dos términos que se suman
o restan encerrados en un paréntesis ya su vez el paréntesis está elevado al
cuadrado.
¿QUÉ ES UN BINOMIO AL CUADRADO?
Un binomio al cuadrado es una expresión algebraica de la siguiente forma.
Fórmulas: (a + b) 2
(a - b) 2Como puedes observar, un binomio consta de dos términos que se suman
o restan encerrados en un paréntesis ya su vez el paréntesis está elevado al
cuadrado.
Como se resuelve un binomio

9. Vamos a resolver el siguiente ejemplo: (4 + x) 2
En la mayoría de los problemas de matemáticas vas a tener que despejar
incógnitas, pero esto es una operación muy sencilla si te aprendes las siguientes
reglas básicas para despejar:
 Regla 1
 Regla 2
 Regla 3
REGLA 1
 Los números que están sumando a un lado del igual (=) pasan restando al
otro lado del igual (=).
 Los números que están restando a un lado del igual (=) pasan sumando al
otro lado del igual (=).
REGLA 2
 Los números que están multiplicando a un lado del igual (=) pasan
dividiendo al otro lado del igual (=).
 Los números que están dividiendo a un lado del igual (=) pasan
multiplicando al otro lado del igual (=).
Recuerda las 3 reglas básicas para despejar y reflexiona sobre los siguientos
ejemplos:
3x -5 = 1

10. Primero observamos la parte izquierda que tiene un 5 restando, luego lo pasamos
sumando a la parte derecha.
3x = 1 + 5 luego 3x = 6
Ahora vemos que 3 está multiplicando ax, con lo cual pasa dividiendo al otro lado
del igual.
x = 6/3 luego x = 2
Cuál es el valor de x?
35
x - 1 = 2
x = 1
x = 5
x = 2
Para hacer los ejercicios
https://www.mathway.com/es/Algebra
LA REGLA DE 3
La regla de tres es una de las herramientas básicas de la aritmética, que sirve
para resolver problemas de proporcionalidad con tres o más valores conocidos y
una incógnita.
Regla de Tres
La regla de tres es una de las herramientas básicas de la aritmética
elemental.
Esta regla se conoció en Occidente a través de los árabes. Varios autores
árabes – entre ellos, al-Jwarizmi en su Álgebra – dan ejemplos que resuelven con
este procedimiento, pero es al-Biruni quien dedica una obra completa a este tema.
Al-Biruni (973-1050) es uno de los científicos más notables de su época. Escribió
un gran número de obras, se estima que más de 130, sobre muchos campos de
conocimiento: matemáticas, astronomía, astrología, filosofía, cartografía y la India.
Sus viajes a este país y su conocimiento del sánscrito le permietieron escribir

11. acerca de su religión, su cultura, su geografía, su historia, su literatura y algunas
cuestiones matemáticas.
Ejercicios de Regla de Tres …
Una de sus obras está dedicada a la regla de tres en la India. En esta obra señala
que en la India se había generalizado este procedimiento tiempo atrás y que
ellos conocían la regla de tres simple, directa, inversa y también la regla de tres
compuesta.
No sabemos con seguridad desde qué momento se manejó
sistemáticamente la regla de tres en la India. Uno de los documentos antiguos
más interesantes que contienen esta regla es el Manuscrito Bakhshali. El
nombre hace referencia a la ciudad, situada en la parte noroeste de la India, en
cuyos alrededores se descubrió este texto en 1881. No se conoce el autor de la
obra ni tampoco la fecha de redacción del original, sobre la que han existido
hipótesis muy diversas. En la actualidad existe un cierto consenso sobre que
podría ser una obra de principios de nuestra era.
El manuscrito, que en la actualidad se encuentra en Oxford, es un manual de
reglas y ejemplos con sus soluciones. Contiene principalmente reglas y ejercicios
de aritmética y álgebra, aunque tiene también problemas de mediciones.
P F I
Al tratar la regla de tres aconseja que se escriban las tres cantidades que
intervienen una detrás de la otra, siendo la primera y la tercera de la misma
naturaleza y la segunda de naturaleza diferente, y da como regla que se debe
multiplicar F por I y dividir por P. Si P (argumento o premana) produce F (fruto),
¿qué producirá I, lo pedido? Muchos de los problemas que incluye son
elementales, del tipo: si ocho frutas cuestan 12 dinares, ¿cuánto costarán 11
frutas?
Un problema contenido en este manuscrito es el siguiente:
Dos pajes están al servicio del rey. Por sus servicios uno de ellos gana 13/6
dinares al día y el otro 3/2 dinares al día. El primero le debe al segundo 10
dinares. Calcula y dime cuándo tendrán las mismas cantidades.
Este problema no responde al modelo típico de la regla de tres. Sin embargo, el
autor hace uso del esquema de la regla para calcular el dinero de cada paje una
vez que ha obtenido que deben pasar 30 días. El m.c.m. de 6, 2 y 10 es 30.

12. Resultado para el primer paje: F · I/P = 65 dinares. Resultado para el segundo
paje: F · I/P = 45 dinares. Si el primer paso da 10 dinares al segundo, ambos
quedan en 55 dinares.
Sabemos que en la India habían sistematizado la regla de tres pero, según
algunos autores, quizás fuese China el primer lugar donde se resolvió este tipo de
problemas empleando la proporcionalidad. El segundo y el tercer capítulo de uno
de los textos matemáticos chinos más antiguos, el Chiu Chang o Los nueve
capítulos, contiene problemas del tipo:
Dos piculs y medio de arroz se compran por 3/7 de un taiel de plata. ¿Cuántos
piculs de arroz se pueden comprar con 9 taiels de plata? El piculs es una medida
de peso de arroz que era un saco de arroz que un hombre llevaba sobre sus
hombros.
En el antiguo Egipto también se plateaban problemas de regla de tres. Una prueba
de ello es el problema número 72 del papiro de Ahmes o papiro Rhind. El
enunciado del problema es el siguiente:
Si tenemos que intercambiar 100 panes de pesu 10 por un determinado número
de panes de pesu 45, ¿cuál es este número determinado?
La solución egipcia es enrevesada:
1. Halla en cuánto excede 45 de 10. Excede en 35. Divide 35 entre 10 y da como
resultado 1/2 · 3.
2. Se multiplica el número anterior por 100 y da como resultado 350.
3. Suma 100 a 350 y da como resultado 450.
En todas las aritméticas mercantiles europeas medievales y renacentistas hay un
cpítulo dedicado, total o parcialmente, a la regla de tres, que era conocida como
la “regla de oro”.
Muchos de los problemas que se abordaban en estos textos trataban de cambios
de monedas y de unidades de medida. Un ejemplo de este tipo lo extraemos del
Liber Abacci, de Leonardo de Pisa.
Si un sueldo imperial, que vale 12 dinares imperiales, se vende por 31 dinares
pisanos, ¿cuántos dinares pisanos se obtendrán por 11 dinares imperiales?
El autor da la solución en forma de número mixto 5/12 · 28, cologando la parte
fracionaría delante de la parte entera, al contrario de lo que hacemos en la
actualidad.
Bibliografía:
María Victoria Veguín Casas. “Historia de las Matemáticas en la Península Ibérica.
Desde la prehistoria al siglo XV” Editorial REVERTÉ ISBN:978-84-291-5173-2
¿CÓMO SE RESUELVE UNA REGLA DE 3?
Como ya hemos comentado una regla de 3 trata de resolver un problema de
proporcionalidad. Supongamos que tenemos 6 objetos que cuestan 5 €, y
queremos saber el precio que nos costaría comprar 3 en vez de 6.

13. Sara quiere comprar un coche y está interesada en el nuevo modelo de Seat Ibiza,
pero todavía no ha decidido el tipo de motor, diesel o gasolina. El comercial del
concesionario le comenta que si hace más d 35.000 km al año, es preferible
comprar un motor diesel. Sara revisa su cuentakilómetros y sabe que en los
últimos 5 meses ha recorrido 6.500 km
La empresa Carvajal Design SA quiere ampliar su platilla de trabajadores, lo que
implica alquilar una oficina más grande. Cristina sabe que en 48m 2 entran 16
puestos para sus trabajadores pero necesitan ampliar 7 puestos más.
¿Cuántos m 2 debe disponer la nueva oficina de Carvajal Design SA? Debes tener
en cuenta que si amplían 7 puestos más, su plantilla de trabajadores será ahora
de 23 personas.
69m 2
58m 2
Ninguna de las opciones es correcta
Nivel 2
BLOQUE 1 - CONCEPTOS ALGEBRAICOS
¿QUÉ ES UN VECTOR?

14. Un vector es una línea que tiene un sentido y una dirección y que representa una magnitud
física. En geometría su representación gráfica viene establecida por una fecha. Los vectores
se encuentran definidos en un sistema de referencia (sistema de coordenadas) y en
matemáticas forman parte de los espacios vectoriales.
¿QUÉ ES UNA MATRIZ?
Una: matriz es una tabla de doble entrada en la que se ordenan los vectores escalares
a ij que la componen. Es de la forma
COMPONENTES DE UNA MATRIZ
Las matrices se componen de:
SABÍAS QUE…
¿Sabías que en cualquier área académica en la que tengamos un conjunto de datos ordenados,
usamos matrices?
Las matrices se utilizan para la presentación de datos de un problema en forma de tabla de doble
entrada. Por ejemplo en economía se aplican en los modelos Input-Output de problemas
macroeconómicos. En Administración y finanzas se aplican en el cálculo de costos y gastos,
cuando estos dependen de varias variables. Veamos algún ejemplo más.

15. APLICACIÓN DE LAS MATRICES EN LA VIDA DIARIA
¿Cuál es el origen del álgebra?
En el siguiente vídeo podrás comprender cuál fue el origen del álgebra.
Haz click en el icono para ver el video
Al – Jabr

16. Restaurar
¿Por qué es importante el álgebra?
En el siguiente vídeo podrás reflexionar sobre la importancia del álgebra.
Haz click en el icono para ver el video
Traduciendo el álgebra a la vida cotidiana
¿Alguna vez te has planteado cómo se revela el álgebra en la vida cotidiana?
Haz click en el icono para ver el video