UNA DE LAS OPERACIONES ARITMÉTICAS FUE LA SUMA; QUE FUE UTILIZADA PARA RESOLVER PROBLEMAS CONCRETOS,PUESTO QUE NO HABÍA LLEGADO A UN GRADO SUFICIENTE DE ABSTRACCIÓN MATEMÁTICA.

1. NORMALISTA:
FERNANDO EMMANUEL MARTÍNEZ MARTINEZ.
CATEDRÁTICO(A):
PROFA. JOSÉ ALEJANDRO SALINAS ORTA.
MATERIA:
LOS NUMEROS Y SUS RELACIONES.

2. Clasificación
 Operaciones de composición o directas:
 Suma
 Multiplicación
 Potenciación
 Operaciones de descomposición o inversas:
 Resta
 División
 Radicación
 Logaritmación

3.  Suma de conjuntos:
 “ sumar dos o mas conjuntos, que no tienen elementos
comunes, es reunir En un solo conjunto todos los
elementos que integran los conjuntos dados y solo
ellos”.
 Ejemplo:
 AB, CDE, EF = ABCDEF
 Suma de números naturales:
 “suma de varios números naturales es el numero
cardinal del conjunto suma de los conjuntos cuyos
números cardinales son los números dados”.
 Ejemplos:
 2+4+3=9

4.  Sumando unidad
 veamos el siguiente ejemplo:
 1 silla + 1 silla + 1 silla = 3 sillas
 1 pera + 1 pera + 1 pera = 3
peras
 Sumando nulo. Modulo de adición.
 un ejemplo de ello es:
 n + 0= n

5.  Ley de la uniformidad
 Ley conmutativa
 Ley asociativa
 Ley disocositiva

6.  Ley de uniformidad
 Esta puede enunciarse de tres modos que son equivalentes:
 1)La suma de varios números dados tiene un valor único siempre es
igual.
 ejemplo:
 3 monedas + 2 monedas = 5 monedas
 3mangos + 2 mangos =5 mangos
 2)Las sumas de los números respectivamente iguales son iguales.
 Ejemplo: si en cada ala de un colegio cada asiento seta ocupado por
un alumno de tal modo que ningún alumno queda sin
asiento, tenemos que el numero de asientos es igual a la cantidad
de alumnos.
 3)Suma de iguales. Sumando miembro a miembro varias
igualdades, resulta una igualdad.
 Ejemplo:
 a=b
c=d
m=n
 Resulta a+c+m=b+d+n

7.  Si en la suma
 2 libros+ libros+ 4 libros = 9 libros
 Cambiando el orden de los conjuntos
sumandos, el conjunto suma no varia, por que
contiene el mismo número de elementos y así
tenemos:
 3 libros + 2 libros + 4 libros = 9 libros
 4libros + 3libros + 2 libros = 9 libros
 Por lo tanto podemos decir que:
 2 + 3 + 4 = 3 + 2 + 4 = 4 + 3 + 2 , etc.

8.  La suma de varias números no se alterna
descomponiendo uno o varios en dos o
mas sumandos.
 Esta ley es reciproca a la ley asociativa.
 Ejemplo:
 En la suma 10 3, puesto que 10 = 8 +
2, tendremos que:
 10 +3=8+2+3

9.  Su uso como signos de agrupación:
 Los paréntesis son signos de asociación o
agrupación, pues se usan para asociar o agrupar los
números indicados una operación. Cuando una operación
se encierra en un paréntesis, ello indica que dicha
operación debe efectuarse primero, y en el resultado de
ella se verifica la otra operación indicada.
 ( ) llamados paréntesis ordinarios
 { } ¨ ¨ llaves
 __ vinculo o barra.
 [] ¨ ¨ corchetes

10.  La suma de varios miembros no baria sustituyendo
varios súmanos por su suma.
 Si A tiene 5 años, B 6 años y C 8 años, sumando
edades tenemos:
 5 años+6años+8años=19años
 Sera el mismo resultado si primeros sumamos las dos
primeras edades y después la tercera lo cual seria de
la siguiente manera:

 (5 años + 6 año) + 8 años=19 años
 11 años

11.  Ley de monotonía:
 Sumando miembro a miembro desiguales del
mismo sentido con igualdades resulta una
desigualdad del mismo sentido.
 Sumando miembro a miembro varias
desigualdades del mismo sentido, resulta otra
desigualdad del mismo sentido.
 Nota: si se suman desigualdades de sentido
contrario, el resultado no puede
anticiparse, pudiendo ser una desigualdad o una
igualdad.

12.  *por la ley conmutativa
 *por la ley asociativa
 *por la prueba del 9
 Alteraciones de los sumandos
• Si un numero aumenta o disminuye un numero
cualquiera, la suma aumenta o disminuye el mismo
numero.
• Si un sumando aumenta un numero cualquiera y el otro
sumando disminuye el mismo numero, la suma no varia.

13.  Objetivo:
 Dada la suma de dos sumandos
(minuendo) y uno de ellos
(sustraendo), hallar el otro sumando
(resta, exceso o diferencia).

14.  1)Sumando el sustraendo con la
diferencia, debiendo dar el minuendo.
93,254 58,076
58,076 35,178
35, 178 93,254
2) Restando la diferencia del
minuendo, debiendo ser el sustraendo.
15,200 15,200
13,896 1,304
1,304 13,896

15.  Representar gráficamente la diferencia de
7 – 4.
 Representación grafica.

16.  Ley de uniformidad: La diferencia de dos
números tiene un valor único o siempre es igual.
 11 – 3 = 8 únicamente por que 8 es el único número
que sumado con 3 da 11.
 Restando miembro a miembro dos igualdades
resulta otra igualdad.
a=3
___5=b__
a-5=3-b

17.  Ley de monotonía: consta de tres
partes.
 1)
Si una desigualdad (minuendo) se resta
una igualdad (sustraendo), siempre que la
resta se pueda efectuar resulta una
desigualdad del mismo sentido que la
desigualdad minuendo.
8>5
____2=2____
8-2>5-2
6>3

18.  2) Si una desigualdad (minuendo) se resta una
igualdad (sustraendo), siempre que la resta se
pueda efectuar resulta una desigualdad de
sentido contrario que la desigualdad
sustraendo.
9=9
____5>3___
_
9-5<9-3
4<6

19.  3)
Si una desigualdad se resta otra
desigualdad de sentido contrario, siempre
que la resta sea posible, resulta una
desigualdad del mismo sentido que la
desigualdad del minuendo.
7>4
___2<3___
7-2>4-3
5>1

20.  1)
Si el minuendo aumenta o disminuye un
número cualquiera y el sustraendo no
varía, la diferencia queda aumentada o
disminuida en el mismo número.
9-7=2
(9+3)-7=2 + 3
12-7= 5

21.  2)
Si el sustraendo aumenta o disminuye
un número cualquiera y el minuendo no
varía, la diferencia disminuye en el primer
caso y aumenta en el segundo el mismo
número.
10-3=7
10-(3+5)= 7 – 5
10-8= 2

22.  3)
Si el minuendo y el sustraendo
aumenta o disminuyen a la vez un
mismo número, la diferencia no varía.
15-6=9
(15+2)-(6+2)=9
17-8=9

23.  Se verán las operaciones indicadas de suma y resta primero desde un
punto de vista practico y luego bajo un aspecto teórico.
 operaciones indicadas de suma y resta en que no hay
signo de agrupación
 Estas operaciones se efectúan en el orden que se hallan
 Asi que diremos que :

 5+4-3+2 =
 5+4= 9; 9-3= 6; 6+2= 8

24. Operaciones en que hay signos de agrupación..
 Las operaciones cerradas dentro de los paréntesis, hasta
convertirlas en un solo numero y luego efectuar las
operaciones que queden indicadas.
 Se efectúan primero las operaciones encerradas entre los
paréntesis.
 (7-2) + (5+4) –(3-2) = 13

25. Teoría …
 Estudiaremos ahora el método de efectuar las
operaciones indicadas de suma y resta, fundado
en las propiedades de la suma y la resta. Es
necesario conocer este método porque si las
cantidades están representadas por letras no
podemos efectuar las operaciones encerradas en
los paréntesis y por tanto no se puede aplicar el
método explicado anteriormente.

26.  Para sumar un numero con una suma indicada el
numero con uno cualquiera de los sumandos de la
suma.
 Sea la operación (2+3+4)+5, decimos que :

 (2+3+4 )+5=2+(3+5)+4=14
 En efecto: al sumar el numero 5 con el sumando 3, la
suma
 (2+3+4) queda aumentada en unidades porque si un
sumando se aumenta en un numero cualquiera la
suma queda aumentada en dicho numero.

27.  Para sumar dos sumas indicadas se suman
todos los sumandos que la forman .
 Sea la operación (5+6) +(7+8), decimos que:
 (5+6)+(7+8)= 5+6+7+8=26
 En efecto: al añadir la suma 7+8 al sumando
6 de la primera, esta suma queda
aumentada en 7 +8 unidades por la misma
razón del caso anterior.

28.  Para sumar un numero con una diferencia indicada, se
suma el numero con el minuendo y de esta suma se
resta el sustraendo.
 Sea la operación (7-5)+4, decimos que:
 (7-5)+4=(7+4)-5=11-5=6
 En efecto: al sumar el numero 4 al minuendo, la
diferencia 7-5 queda aumentada en 4 porque hemos
visto que si el minuendo se aumenta en un numero
cualquiera, la diferencia que aumentada en ese
numero.

29.  Para sumar dos o mas diferencias indicadas, se suman los
minuendos y de esta suma se resta la suma de los sustraendos.
 Sea la operación (8-5)+(6-4), decimos que:
 (8-5)+(6-4)= (8+6)-(5+4) = 14-9=5
 En efecto: al sumar el minuendo 8 el minuendo6, la diferencia
 (8-5) que da aumentada en 8 unidades, pero al restar el sustraendo
6 queda disminuida en 6 unidades, luego si la suma (4+5) aumenta 8
y disminuye 6 aumenta 2 que es la diferencia
 8-6

30.  Para restar de un numero una suma
indicada, se restan del numero, uno a
uno, todos los sumandos de la suma.
 Sea la operación 25-(2+3+4)= 25-2-3-4= 16
 En efecto: si 25 se disminuye primero en
2, después en 3 y luego en 4, queda
disminuido en 9 unidades que es la suma
2+3+4.

31.  Para resta de una suma indicada y un
numero, se resta el numero de cualquier
sumando de la suma.
 Sea la operación (4+5+6)-3, probar que:
 (4+5+6)-3=(4-3)+5+6=12
 en efecto: al restar el 3 de uno de los
sumandos de la suma, esta queda disminuida
en 3 unidades.

32.  Para restar de un numero una diferencia indicada, se
suma el sustraendo con el numero y de esta suma se resta
el minuendo
 Sea l a operación 50-(8-5), que decimos que :
 50-(8-5)= (50+5)-8=47
 En efecto: sabemos que si al minuendo y al sustraendo de
una diferencia se sum a un mismo numero, la diferencia
no varia. Añadiendo 5 al minuendo y al sustraendo de la
diferencia 50-(8-5), tenemos.
 50-(8-5)= (50+5)-(8-5+5) = (50+5)-8
 por que si al 8 restamos 5 y le sumamos 5 queda 8

33.  Para restar de una diferencia indicada un
numero, se resta del minuendo la suma del
sustraendo y el numero.
 Sea la operación (15-7) -6, decimos que:
 (15-7) -6=15-(7+6)=15-13= 2
 En efecto: al sumar 6 con el sustraendo 7, la
diferencia 15-7 queda disminuida en 6 unidades
porque si al sustraendo se suma un numero
cualquiera. La diferencia queda disminuida en
este numero.

34.  Para restar dos sumas indicadas se restan de
la primera suma, uno a uno, todos los
sumandos de la segunda suma.
 Sea la operación (4+5)-82+3)= 4+5-2-3=4
 Enefecto: si de la suma (4+5) restamos
primero 2 y después 3, esta suma queda
disminuida en 5 unidades que es la suma
2+3.

35.  Para restar dos diferencias indicadas, se suma el minuendo de la
primera con el sustraendo de la segunda y de esta suma se resta
del sustraendo de la primera con el minuendo de la segunda.
 Sea la operación (8-1) –(5-3)=(8+3)-(5+1)= 11 -6=5
 En efecto: al sumar el sustraendo 3 con el minuendo 8 la
diferencia (8-1) queda aumentada en 3 unidades, pero al sumar el
minuendo 5 con el sustraendo 1 la diferencia (8-1) queda
aumentada en 3 unidades, pero al sumar el minuendo 5 con el
sustraendo 1 la diferencia (8-1) queda disminuida en 5 unidades;
luego si (8-1) aumenta 3 disminuye 5, en definitiva disminuye
2, que es la diferencia 5-3

36.  Para restar de una suma una diferencia indica, se
suma el sustraendo con la suma indicada u de
esta suma se resta el minuendo.
 Sea la operación (8+4)-(3-2), probar que:
 (8+4)-(3-2)=(8+4+2)-3= 14-3=11
 En efecto: al sumar el sustraendo 2 con la suma
(8+4) esta suma queda aumentada en 2
unidades, pero al restar el minuendo 3 disminuye
3 unidades, luego si aumenta 2 disminuye 3
, disminuye 1 unidad que es la diferencia (3-2)

37. Sean los números 8y 5, decimos que :
 (8+5 )+(8-5)=2x8= 16
 En efecto : sabemos que para sumar una
suma con una diferencia, se suma el
minuendo de la diferencia con uno de los
sumandos de la suma y de esta suma se
resta el sustraendo, luego :
 (8+5)+(8-5)=8+5+8-5=8+8+5-
5=8+8= 2x8

38.  Sean los números 8 y 5, decimos que:
 (8+5)+(8-5)= 2x5=10
 Enefecto: sabemos que para restar de una
suma una diferencia se suma el sustraendo
con la suma y de esta suma se resta el
minuendo, luego :
 (8+5)-(8-5)=8+5-5+8= 5+5+8-8= 5+5= 2x5

39. El complemento aritmético de un número es la
diferencia entre dicho número y una unidad de un
orden superior a su cifra de mayor a menor.
1) El complemento aritmético de 98
es 100-98 = 2
2) El complemento aritmético de 356
es 1000-356 = 644
3) El complemento aritmético de 1,250
es 10,000-1,250 = 8,750
4) El complemento aritmético de 14,200
es 100,000-14,200 = 85,800

40. REGLA PRÁCTICA PARA HALLAR EL
COMPLEMENTO DE UN NÚMERO
Se resta de 9 todas las cifras del número, empezando por la
izquierda, menos la última cifra significativa, que se resta de 10.
si el número termina en ceros, a la derecha de la última resta se
escriben estos ceros.

41. EJEMPLOS:
1) Hallar el complemento aritmético de 346.
diremos: de 3 a 9 = 6; de 4 a 9 = 5; de 6 a 10 = 4,
luego el complemento aritmético de 346 es 654.
2) Hallar el complemento aritmético de 578, 900.
diremos: de 5 a 9 = 4; de 7 a 9 = 2; de 8 a 9 = 1; de
9 a 10 = 1,
luego el complemento aritmético es 421,100

42. APLICACIÓN DEL COMPLEMENTO ARITMÉTICO
PARA EFECTUAR LA RESTA
Para efectuar la resta por medio del
complemento aritmético se suma el minuendo
con el complemento aritmético del
sustraendo, poniéndole a este delante una
unidad son signo menos, que se tendrá al
efectuar la suma.
1) Efectuar 1,034 – 615 por medio del
complemento aritmético.

43. Es el complemento aritmético con una unidad
con signo menos adelante, y tendremos:
1, 034
+ 1, 385
0, 419
La diferencia entre 1,034 y 615 es 419, que se
puede comprobar efectuando la resta:
1, 034
- 615
0, 419

44. APLICACIÓN DEL COMPLEMENTO
ARITMÉTICO PARA EFECTUAR VARIAS
SUMAS Y RESTAS COMBINADAS
Para efectuar sumas y restas combinadas
por medio del complemento aritmético se
suman todos los sumandos con los
complementos aritméticos de los
sustraendos , poniendo delante de cada
complemento una unidad con signo
menos, que se tomara en cuenta al efectuar
la suma.

45. 1) Efectuar por los componentes 56 – 41 + 83 – 12.
_56
Comp.. Aritmético de 41…
159
+ _83
Comp.. Aritmético de 12..
188
86

46.  Es una operación de composición que tiene por
objeto, dados números llamados multiplicando y
multiplicador, hallar un numero llamado producto que
sea respecto del multiplicando lo que el multiplicador
es respecto de la unidad.

47. El producto de dos números se indica con el signo
X o con punto colocado entre los factores, que es
el nombre que se le da al multiplicando y
multiplicador.
Así, el producto de 6 por 5 se indica 6 x 5 o 6 ·
5

48. 1) Si el multiplicador es cero, el producto es cero.
2) Si el multiplicador es 1, el producto es igual al
multiplicando.
3) Si el multiplicador es >1, el producto es > el
multiplicando.
4) Si el multiplicador es < 1, el producto es < el
multiplicando.

49. Cuando el multiplicador es un numero
natural, la multiplicación es una suma
abreviada que consta de tantos
sumandos iguales al multiplicando
como unidades tenga el multiplicador
4x3= 4+4+4+4=12

50. Para multiplicar un entero por la unidad
seguida de ceros se añaden al entero
tantos ceros como ceros acompañen a la
unidad.
54 x 100 = 5400, por que el valor relativo de
cada cifra se ha hecho 100 veces mayor

51. Se multiplican los números como si no tuvieran
ceros y a la derecha de este producto se añaden
tantos ceros como haya en el multiplicando y
multiplicador.
4300 x 2500 = 107 500 000

52. En el producto hay siempre tantas cifras
como haya en el multiplicando y
multiplicador juntos o una menos.
Así, el producto 345 x 23 > 345 x 10, y como
345 x 23 ha de este ultimo producto 345 x 10
= 3450 tiene cuatro cifras, el
tener cuatro producto 345 x 23, que es
cifras o cinco. mayor que el, no puede tener
menos de cuatro cifras.
7935

53. Representar gráficamente 3x2
2 C
B
3 2
A 3 D
Se construye un rectángulo cuya base sea el segmento
que representa el 3 y cuya altura sea el segmento que
representa el 2. El rectángulo ABCD que consta de dos
filas horizontales de 3 cuadrados cada una es la
representación grafica del producto 3 x 2 = 6

54. Para hallar el producto de mas de dos números como
2x3x4x
5
1. Se halla el producto de dos de ellos.
2. Luego se multiplica este producto por el tercero.
3. Luego este segundo producto por el factor
siguiente y así hasta el ultimo factor.
2x3=6
Así, en este 6 x 4 = 24
caso, tendremos:
24 x 5 =
120

55. Pueden realizarse de tres modos:
1. Cambiando el
orden de los 3. Por la
factores, lo cual prueba del 9
2. Dividiendo el
debe darnos el producto entre
mismo producto. uno de los
factores, lo cual
debe darnos el
otro factor.

56. Son 6:
Ley de uniformidad Ley disociativa
Ley conmutativa Ley monotonía
Ley asociativa Ley distributiva

57. Enunciarse de tres modos:
3. Productos de
1. El producto 2. Los
dos igualdades.
de dos números productos de
Multiplicando
tiene un valor números
miembro a
único o siempre respectivament
miembro varias
igual. e iguales son
igualdades resulta
iguales.
5 sillas x 2 = 10 otra igualdad.
sillas
5 días x 2 = 10
días a=b
c=d
5 x 2 = 10 ac = bd

58. El orden de los factores no altera el
producto
1. Que se trate 2. Que se trate de
de dos mas de dos
factores factores
Vamos a demostrar
Sea el producto 5 x 4 x 3 x 2
que 6 x 4 = 4 x 6.
Se puede considerar
6x 4 = 6 + 6+ 6+ 6+ 6= 24 descompuesto en dos
4 x 6= 4+ 4+ 4+ 4+ 4 +4= 24 factores: 5 . 4 y 3 . 2

59. El producto de varios números no varia
sustituyendo dos o mas factores por su
producto
2 x 3 x 4 x 5 = 120 En general:
(2 x 3) x 4 x 5 = 120
6 abcd = (ab)cd = a(bcd)
(2 x 3) x (4 x 5) = 120
6 20

60. El producto
de varios
números no Sea el producto 8 x 5;
puesto que 8 = 4 x
varia
2, tendremos:
descomponi
endo uno o 8x5=4x2x5
mas
factores en
dos o mas
factores

61.  Multiplicando miembro a miembro
desigualdades del mismo sentido e
igualdades, resulta una desigualdad del
mismo sentido que las dadas.
 Siendo
 8>3
 4=4
 8x4>3x4 resulta
 32>12.

63.  Para comenzar, deben efectuarse en este
orden: primero, los productos indicados
y luego las sumas o restas.
 Ejemplo: efectuar, 5+3x4-2x7
 Efectuamos primero los productos
3x4=12 y 2x=14 y tendremos:
 5+3x4-2x7 =5+12-14= 3.

64.  PRIMERO: Las operaciones encerradas en los
paréntesis y luego las operaciones que queden
indicadas.
 Ejemplo: (5+3)2+3(6-1).
 En la practica, se suele suprimir el signo x entre
un numero y un paréntesis o entre dos paréntesis.
 A si pues, en este ejemplo, (5+3) 2 equivale a
(5+3) x 2 y 3(6-1) equivale a 3 x (6-1).
 Entonces efectuamos primero los
paréntesis, (5+3) = 8 y (6-1)= 5, y tendremos:
(5+3) 2 + 3(6-1)= 8 x 2 + 3 x 5= 16 + 15= 31.

65.  Para multiplicar una suma indicada por un
numero se multiplica cada sumando por
este numero y se suman los productos
parciales.
 Ejemplo: (5+4)2.
 Decimos que, (5+4)2= 5x2+4x2=10+8=18
 Entonces: (5+4)2 = (5+4) + (5+4) =
5+4+5+4= 5+5+4+4= (5+5) + (4+4) =
5x2+4x2.

66.  Para multiplicar una resta indicada por un numero
se multiplican el minuendo y el sustraendo por
este numero y se restan los productos parciales.
 Ejemplo: (8-5) 3.
 Asi que decimos:
(8 – 5) 3 = 8 x 3 – 5 x 3 =24 – 15 = 9
Entonces multiplicar (8 – 5) 3 equivale a tomar (8 –
5) como sumando tres veces, o sea:
(8 – 5) 3 = (8 – 5)+ (8 – 5) + (8 – 5)
o también realizar lo siguiente: = (8+8+8) – (5+5+5)
= 8 x 3 – 5 x 3.

67.  Una expresión como 7 – 2 + 9 – 3 que
contiene varios signos + o – es una suma
algebraica. En esta suma algebraica, 7, 2, 9 y
3 son los términos de la suma. Los términos
que van precedidos del signo + o que no
llevan signo delante son positivos. Asi que
en este caso, -2 y -3 son negativos.
 En la suma algebraica a + b – c – d + e, los
términos positivos son a,b y e, y los
negativos, -c y –d.

68.  Para multiplicar una suma por un numero se
multiplica un termino de la suma por dicho
numero, poniendo delante de cada producto
parcial el signo + si el termino que se
multiplica es positivo y el signo – si es
negativo.
 Ejemplo: (8 – 2 + 6 – 3) 5.
 Asi que decimos:
 (8-2+6-3)5 = 8 x 5 – 2 x 5 + 6 x 5 – 3 x 5
 = 40 – 10 + 30 – 15 =45
 En general: (a – b + c –d )n = an – bn + cn –
dn.

69.  En la suma algebraica x 5 + 3 x 2 – 4 x 2
los términos son los productos 2x5, 3x2 y
4x2. en cada uno de estos productos
aparece el factor 2; 2 es un factor común.
 Igualmente en la suma algebraica 9 x 3 –
3 x 5 -3 x 2 +8 x 3 el 3 es un factor común;
en la suma ab + bc – bd el factor común
es b; en la suma 5 ay + 5ax – 5an el factor
común es 5 a.

70.  1) sabemos que por ley distributiva, que: (8+6)5=8x5+6x5.
 Invirtiendo los miembros de esta igualdad, tenemos:
8x5+6x5=5(8+6)
 Aquí vemos que en el primer miembro tenemos el factor
común 5 y en el segundo miembro aparece el factor común 5
multiplicando a un paréntesis dentro del cual hemos escrito
8+6 que es lo que queda en el primer miembro dividiendo
cada termino entre 5.
 Hemos sacado el factor común 5.
 2) sabemos, por la ley distributiva, que: (9-7)2=9x2 – 7x2.
invirtiendo tenemos: 9x2-7x2=2(9-7). En el primer miembro
tenemos el factor común 2 y en el segundo miembro aparece
el 2 multiplicando a un paréntesis dentro del cual hemos
puesto lo que queda en el primer miembro dividiendo cada
termino entre el factor común 2. hemos sacado el factor
común 2.
 3) sacar el factor común en 9x8 +8x3-8.
 Asi que 9x8+8x3-8=8(9+3-1).

71.  Para multiplicar dos sumas indicadas se
multiplican todos los términos de la primera por
cada uno de los términos de la segunda y se
suman los productos parciales.
 Entonteces efectuamos (6+5)(3+2) y decimos que:
(6+5)(3+2)=6x3+5x3+6x2+5x2 =18+15+12+10
=55.
 En efecto: el producto (6+5) (3+2) se compondrá
de tres veces (6+5) mas dos veces (6+5), luego:
(6+5)(3+2)=(6+5)3+(6+5)2 =6x3+5x3+6x2+5x2.

72.  Para multiplicar una suma por una diferencia se
suman los productos de cada termino de la suma
por el minuendo y de esta suma se restan los
productos de cada termino de la suma por el
sustraendo.
 Efectuar: (9+7)(5-4)=9x5+7x5-9x4-7x4 = 45+35-
36-28=16.
 En efecto: el producto (9+5)(5-4) se compondrá de
cinco veces (9+7) menos cuatro veces
(9+7),luego: (9+7)(5-4)=(9+5)-5(9+7)4 =(9x5+7x5)-
(9x4+7x4)=9x5+7x5-9x4-7x4.
 En general (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd.

73.  El producto de la suma de dos números
por su diferencia es igual a la diferencia de
los cuadrados de los nuemros .
 Ejemplo: efectuar (6+5)(6-5)= 62 – 52 = 36-
25=9
 En efecto: aplicando la regla explicada en
el numero anterior, tenemos: (6+5)(6-5)=
6x6 +5x6-6x5-5x5 = 6x6-5x5= 62 – 52 .

74.  Para multiplicar dos diferencias indicadas se
suma el producto de los minuendos con el
producto de los sustraendos y de esta suma
se restan los productos de cada minuendo
por el otro sustraendo.
 Efectuar: (7-4)(3-2). Decimos que: (7-4)(3-
2)=7x3+4x2-7x2-4x3 = 21+8-14-12=3
 En efecto: el producto (7-4)(3-2)= (7-4)3-(7-
4)2
 = (7x3-4x3)-(7x2-4x2)
 =(7x3+4x2)-(7x2+4x3) (126)
 =7x3+4x2-7x2-4x3 (125)

75.  De acuerdo con las reglas aplicadas en los
números anteriores, tenemos que:
 (a+b)(c+d) = ab+bc+ad+bd
 (a+b)(c-d)=ac+bc-ad-bd
 (a-c)(c-d) = ac-bc - ad+bd.
 Observando esto lo que hemos hecho es
multiplicar términos del primer paréntesis por
cada termino del segundo paréntesis
poniendo delante de cada producto el signo +
cuando los factores que se multiplican tienen
signos iguales (los dos + o los dos -) y el
signo – cuando tienen signos distintos.

76.  Para multiplicar dos sumas algebraicas se multiplica cada termino
de la primera suma por cada termino de la segunda suma, poniendo
delante de cada producto el signo + cuando los dos términos que se
multiplican tienen signos iguales, y el signo – cuando tienen signos
distintos.
 Entonces daremos un ejemplo:
 Efectuar (8-6)(5+4) por la regla general.
 (8-6)(5+4)=8x5 – 6x5 +8x4 – 6x4
 = 40 – 30 + 32 – 24 = 18
 Hemos multiplicado 8 por 5 y como 8 y 5 tienen signos iguales (al no
llevar signo delante llevan +) delante del producto 8x5 va un + (que
no se escribe por ser el primer termino, pero va sobreentendido).
Después multiplicamos – 6 por 5 poniendo delante de este producto
el signo – porque 6y5 tienen signos distintos ; luego 8 por
4, poniendo + delante del producto porque 8y4 tienen signos iguales
y por ultimo -6 por 4 poniendo delante del producto – porque tienen
signos distintos.

77.  Para multiplicar un producto indicado por
un numero se multiplica uno de los
factores del producto por dicho numero.
 Vamos a multiplicar el producto 4 x 5 por
6.
 Decimos que basta multiplicar uno solo de
los factores, bien el 4 o el 5, por el
multiplicador 6.
 Multiplicando el factor 5, tenemos:
 (4x5)6 = 4(5x6)=4(30)=120.

78.  Para multiplicar dos productos indicados
se forma un solo producto con todos los
factores.
 Vamos a multiplicar el producto 2x3 por el
producto 4x5x6. Decimos que:
 (2x3)(4x5x6)=2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720.
 Entonces al multiplicar el factor 3 del
producto 2x3 queda multiplicado por el
producto 4x5x6, según el caso anterior.

79.  INVERSA DE LA MULTIPLICACIÓN
 SU ODJETO DADO EL PRODUCTO DE 2
FACTORES (DIVIDIENDO) Y UNO DE
LOS FACTORES (DIVISOR), HALLAR EL
OTRO FACTOR (COCIENTE)

80. El signo de la division es o una rayita
horizontal o inclinada colocada entre el
dividendo y el divisor.
Asi la division de D (dividendo) entre d
(divisor) y siendo c el cociente, se indica
de los tres modos siguientes:
D÷d=c
_ D_ =c
d
D/d=c

81.  Entonces podemos decir que dividir un
número (dividendo) entre otro ( divisor) es
hallar un número (cociente) que
multiplicado por el divisor de el dividendo.
 ejemplo 20/4 es allar el número que
multiplicado por 4 de 20
 4x5=20
 Del propio modo: 8÷4 = 2 por que 2x4 =8
15 =5
3

82. TODO NÚMERO QUE DIVIDE A OTROS
VARIOS, DIVIDE A SU SUMA
SEA EL NÚMERO 5 , QUE DIVIDE AL
10, 15, 20=45, O SEA QUE 10+25+20 ES
M. 5
EN EFECTO: 10=5x2; 15= 5x3; 20= 5x4

83.  Sacando el valor común 5 en el
segundo miembro de la ultima
igualdad, tenemos:
10+15+20= 5 (2+3+4)
o sea 10+15+20= 5x9
10+15+20= 45, contiene al 5, 9 veces y 5
divide a la suma 10+5+20

84.  Todo número que no divide a otro vario
divide a u suma, si la suma de los
residuos que resultan de dividir estos
entre el número que no los divide, es
divisible entre este número.