Este documento introduce conceptos básicos de vectores en el espacio tridimensional como puntos, coordenadas, distancias entre puntos, ecuaciones de esferas y representación de vectores. Explica cómo representar puntos en el espacio usando coordenadas cartesianas y calcular distancias entre ellos, y cómo definir una esfera mediante su ecuación en función del radio y la posición de su centro.

1. Puntos – Vectores en r3
Profesor: Pedro Beltrán Alumno: Yarold Alfonzo
CI : 26256199
Bna, Mayo 2016

2.  Los vectores son un auxiliar utilísimo para la geometría del espacio. En esta
unidad partiendo de lo que ya se sabe de vectores en el plano, se contemplan
las herramientas necesarias para la geometría tridimensional. Hacemos primero
unos ejercicios de introducción para recordar ciertos conceptos necesarios para
trabajar en este tema.
 Primero se estudian los vectores geométricamente, y a través de sus operaciones,
también de forma geométrica, se llegan a conceptos fundamentales del Álgebra
como son los de dependencia lineal y combinación lineal.

3. Punto :
Tiene posición en el espacio. Su representación más cercana es el orificio que
deja un alfiler en una hoja de papel o un granito de arena, pero debemos tener en
cuenta que no tiene grosor.
Espacio:
Es el conjunto universo de la geometría. En él se encuentran todos los demás
elementos. Dentro de él determinamos cuerpos geométricos como cajas, planetas,
esferas, etcétera.
Ejemplo:

4. Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas,
rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen distintas
direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan ambas;
y poligonales, si están formadas solamente por trozos de rectas.
A se lee A. x M se lee M.

5. Los puntos del espacio los representaremos con letras rnayúsculas ; Con
igual letra , pero afectados de los subíndices 1 y 2 señalaremos a sus proyecciones
horizontal y vertical respectivamente.

6. Consideremos tres rectas “x”, “y”, “z”, que son mutuamente perpendiculares y se
intersecan en un mismo punto “O“. Éste punto se denominará origen de coordenadas y
divide a cada eje en dos semiejes (positivo y negativo). Para cada punto “M” del espacio
podemos encontrar las correspondientes coordenadas “P“, “Q“, “R“, de la siguiente
forma.
El punto “P” es la intersección del eje “OX” con un eje paralelo al plano
“yz” que pasa por “M“. De modo análogo se obtienen los puntos “Q” y “R” como
resultado de la proyección del punto “M” en sus respectivos ejes coordenados.
La longitud de los segmentos es:
OP = x.
OQ = y.
OR = z.
de modo que a cada punto del espacio le asignaremos la terna ordenada de
números (x, y, z). Denotaremos por “i“, “j“, “k“, a los vectores unitarios
coordenados cuya dirección y sentido es el positivo de estos ejes. Dado un punto
arbitrario “M“, se cumple que su vector de posición satisface.

7. Dados los puntos : A = (a1,a2,a3) y B = (b1,b2,b3) se define la distancia
entre ellos de la siguiente manera:
La distancia entre los puntos A y B es el módulo del vector AB
d(A,B)=|AB|= √(b1−a1)2+(b2−a2)2+(b3−a3)2
Esta distancia cumple las propiedades siguientes:
1) d(A,B)⩾0 y d(A,B)=0⇔ A=B (Definida positiva)
2) d(A,B)=d(B,A) (Simétrica)
3) d(A,B)⩽d(A,C)+d(C,B) (Desigualdad triangular)

8. Ejemplos:
1)
2) Calcula la distancia entre los puntos A = (0,2,0) y B = (7,2,−1)
Podemos calcular directamente :

9. Como su nombre lo indica es el punto que divide al segmento en 2 partes iguales
para calcular las coordenadas del punto medio en cualquier segmento se promedian
las coordenadas de los extremos.
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son: A(x1,y1), B(x2,y2)
Las coordenadas del punto medio de un segmento coinciden con la semisuma de
las coordenadas de los puntos extremos.
Ejemplos:

10.  La esfera puede definirse como el conjunto de puntos del espacio que
equidista de un punto dado (que denominamos centro de la esfera). A la distancia r
que separa a los puntos de la esfera del centro se le llama radio de la esfera.
 Cuando el centro es el origen de coordenadas la ecuación que deben satisfacer
los puntos X(x,y,z) para pertenecer a la esfera es: x2 + y2 + z2 = r2 . Se le llama
ecuación reducida.
 Si el centro fuese el punto C(a,b,c) la ecuación sería: (x-a)2 + (y-b)2 +(z-
c)2 = r2
 También podemos considerar las ecuaciones para métricas de la esfera, pero
las anteriores son bastante sencillas y las consideramos suficientes para este
estudio.

11. La ecuación de la esfera (centrada en el origen O): x2 + y2 + z2 = R2
siendo R el radio de la esfera centrada en el origen.
Ecuación de la esfera centrada en un punto P(a,b,c) : (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2

12. Un Vector en el espacio es cualquier segmento orientado que tiene su origen en
un punto y su extremo en el otro.
El conjunto de todos los temas ordenados de números reales recibe el nombre de
espacio numérico tridimensional, y se denota por R3 . Cada tema
ordenada ( x, y, z ) se denomina junto del espacio numérico tridimensional.
Componentes de un vector en el espacio:

13. Si las coordenadas de A y B son: A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) Las coordenadas o
componentes del vector AB son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del
origen.
Ejemplo:
Determinar la componentes de los
Vectores que se pueden trazar en el
triángulo de vértices
A(−3, 4, 0)
B(3, 6, 3)
C(−1, 2, 1)

14. Primer Esquema :
 En el primero el índice del segundo
esquema representa al eje x, el pulgar
al eje X y el anular al eje Y (en posición
de la mano propia enfrentada al observa-
dor ).
 El sentido de rotación X Y Z es anti-horario como el empleado para
medir ángulos.

15. Segundo esquema:
 En el segundo se considera el mismo esquema
pero con la mano izquierda .
 El sentido de rotación X Y Z es hora-
rio, ósea contrario utilizado para medir ángulos.

16.  Sirven para representar Magnitudes que no quedan bien definidas sino además de
conocer su valor numérico, se desea conocer su dirección y sentido Ejemplo
Velocidad, Fuerza.
 Creemos que dado el hecho que hemos analizado la mayor parte de vectores
espaciales, hemos completado aún más nuestros conocimientos sobre vectores,
dado a que ahora no solo podemos realizar ejercicios acerca de vector en un plano,
sino que ya podemos realizar otro tipo de ejercicios como lo son los vectores en el
espacio.

17.  http://www.ehu.eus/juancarlos.gorostizaga/apoyo/geometr2.htm
 http://www.vitutor.com/geo/vec/a_8.html
 http://www.icarito.cl/2010/03/102-8675-9-espacio-punto-recta-y-plano.shtml/
 https://estudiarfisica.com/2009/04/02/metodos-matematicos-iii-2-geometria-
analitica-en-el-espacio-representacion-de-puntos-distancia-entre-puntos-
transformacion-de-coordenadas-coordenadas-cilindricas-coordenadas-
esfericas-ecuacio/