Este documento introduce conceptos básicos de puntos y vectores en el espacio tridimensional. Explica qué son puntos, rectas, planos y esferas en el espacio y cómo representarlos. También cubre temas como distancias entre puntos, puntos medios, ecuaciones de esferas y planos tangentes. Finalmente, define vectores y sus características de magnitud, dirección y sentido.

1. Puntos –Vectores en el Espacio
Profesor:
Pedro Beltrán
Bachiller:
Rafael Brito
C.I: 25.286.285
Barcelona, Mayo/2016

2. La ubicación en el espacio es un concepto que nos sirve para
aprender si las cosas están arriba, abajo, a la derecha, a la
izquierda. Reconocer estas ubicaciones nos ayudara en muchas
cosas de la vida diaria como por ejemplo si estamos arriba o
debajo del tobogán, o si escribimos con la mano derecha o
izquierda. Esto es una rama de la matemática que se aplica en la
vida diaria y eso es lo que estudiaremos ahora.
Introducción

3. Puntos en el espacio:
Para entender la ubicación de un punto en el espacio, matemáticamente
hablando, es necesario saber que hay puntos y detalles a examinar para
hallar un punto especifico en el espacio. Por ejemplo saber que es un
vector; segmento de la recta, contado a partir de un punto del espacio…
Este se compone de un punto a otro.
El punto tiene posición en el espacio. Su representación mas cercana es el
orificio que deja un alfiler en una hoja de papel o un granito de arena, pero
debemos tener en cuenta que no tiene grosor, en el espacio hay infinitos
puntos.
El espacio es el conjunto universo de la geometría. En el se encuentran todos
los demás elementos. Dentro de el determinamos cuerpos geométricos
como cajas, planetas, esferas, entre otros.. Su símbolo es:

4. Si unimos diferentes puntos, obtendremos líneas que pueden ser curvas,
rectas, mixtas o poligonales. Son curvas si, al unirse los puntos, siguen
distintas direcciones; rectas, si llevan la misma dirección; mixtas, si mezclan
ambas; y poligonales, si están formadas solamente por trozos de rectas.
La representación más cercana de la recta es un hilo tenso o la marca que
deja un lápiz en un papel. Es infinita, porque sus extremos son ilimitados y
en ella hay infinitos puntos.
La identificaremos con el dibujo:

5. Las rectas se nombran con dos letras mayúsculas y sobre ellas se anota su
símbolo.
Por ejemplo:
También se usa una L ó una R, especialmente en los casos en que deban
distinguirse varias rectas.
Veamos:
L es una recta vertical.
El plano es una superficie infinita, formada por infinitos puntos que siguen
una misma dirección, es decir, hay rectas que quedan totalmente incluidas
en ella.
Lo mas parecido a este elemento del espacio es una hoja de papel, pero lo
diferencia con esta, el hecho que es ilimitado y no tiene grosor.

6. Puntos alineados
Tres o más puntos están alineados si están en una misma recta, y por tanto
el rango de los vectores determinados por ellos es 1.
 Comprobar si los puntos A(2, 3, 1), B(5, 4, 3) y C(2, 1, 2) están alineados.

7. Puntos coplanarios
Dos o más vectores son coplanarios si son linealmente dependientes, y por
tanto sus componentes son proporcionales y su rango es 2.
Dos o más puntos son coplanarios, si los vectores determinados por ellos
también son coplanarios.
• Comprobar si los puntos A(1, 2, 3), B(4, ,7, 8), C(3, 5, 5), D(−1, −2, −3) y E(2,
2, 2) son coplanarios.

8. Representación Grafica
• Una gráfica es la representación en unos ejes de coordenadas de los
pares ordenados de una tabla.
• Las gráficas describen relaciones entre dos variables.
• La variable que se representa en el eje horizontal se llama variable
independiente o variable x.
• La que se representa en el eje vertical se llama variable dependiente
o variable y.
• La variable y está en función de la variable x.
• Una vez realizada la gráfica podemos estudiarla, analizarla y extraer
conclusiones.
• Para interpretar una gráfica, hemos de observarla de izquierda a
derecha, analizando cómo varía la variable dependiente, y, al
aumentar la variable independiente, x.

9. Ejemplos:

10. Distancia entre puntos en el espacio
Distancia entre dos puntos es la longitud de un segmento que une estos
puntos.
 Ejemplo de como hallar la distancia entre dos puntos en espacio
Hallar la distancia entre los puntos A(-1, 3, 3) y B(6, 2, -2).
Solución.
AB = √(xb - xa)2 + (yb - ya)2 + (zb - za)2 =
= √(6 - (-1))2 + (2 - 3)2 + (-2 - 3)2 = √72 + 12 + 52 = √75 = 5√3
Resultado: AB = 5√3.
 Punto medio en el espacio
Punto medio de un espacio es un punto que está sobre el segmento y se
ubica a la distancia igual de los puntos extremos.

11. En los problemas geométricas son frecuentes los casos cuando es necesario
hallar el punto medio de un segmento dado expresado con dos puntos de
sus extremos, por ejemplo, en los problemas sobre la mediana, la línea
media, ...
Cada una de las coordenadas del punto medio de un segmento es igual a la
semisuma de las coordenadas respectivas de sus extremos.
 Ejemplo:
Hallar las coordenadas del punto C del punto medio del segmento AB con los
dados puntos A(-1, 3, 1) y B(6, 5, -3).

12. Ecuación de la esfera en el espacio.
Los puntos A (0,0,4) y A´(2,4,0) son los extremos de un diámetro de una
esfera
 Calcular las coordenadas del centro y el radio de la esfera.
 Obtener su ecuación cartesiana.
 Hallar la ecuación del plano tangente a la esfera en el punto P(2,4,4).

13. •Definición de Vectores
Un vector es la representación gráfica de una magnitud física llamada
magnitud vectorial, inscrito dentro de un formato de plano cartesiano. Las
magnitudes vectoriales tienen tres componentes: la cantidad, la dirección y
el sentido. Algunas de estas magnitudes, son el desplazamiento (recorrido o
distancia), la velocidad y la fuerza.

14.  Con vectores también se representa la interacción de dos o más
magnitudes vectoriales, para obtener y representar el resultado final de
esa interacción.
 Los vectores son usados en distintos ámbitos, como la ingeniería, la física
teórica y práctica, la arquitectura, en las mediciones astronómicas o en el
diseño de aparatos, así como en las matemáticas, siendo claves en temas
como el álgebra vectorial y la cinemática.
 Características
 Magnitud: La magnitud es el fenómeno físico medible que se representa
con el vector.
 Dirección: La dirección del vector es la dirección de la recta que contiene al
vector o de cualquier recta paralela a ella.
 Sentido. Como en la recta numérica, el sentido es determinado desde el
punto de origen indicando en qué dirección se está aplicando la magnitud
de que se trate. Cuando actúa en una sola dirección, (Eje X) el sentido se
expresa en sentido positivo o negativo. Cuando actúa en dos planos (ejes X
y Y), su sentido puede expresarse en forma de coordenadas de un plano
cartesiano (XY), o bien, como movimientos en un sistema de coordenadas
de puntos cardinales (norte, sur, nororiente), o bien, una combinación de
ambos.

15. Conclusión
En las conclusiones se expone una serie de aspectos entorno a la animaciones
y la doble representación que se han tenido en cuenta a lo largo del
proyecto y sobre los cuales sería necesario reflexionar en proyectos de este
tipo. También se ha intentado resumir en este punto una serie de pautas a
seguir en futuros trabajos de este tipo y de condicionantes técnicos que se
han encontrado durante la realización del proyecto.

16. Bibliografías
 http://www.ditutor.com/vectores/elementos_vector.html
 http://www.vitutor.com/analitica/recta/planos_rectas.html
 http://es.onlinemschool.com/math/library/analytic_geometry/points_cent
er/
 LARSON, HOSTETLER y EDWARDS, “Calculo de varias variables.
Matemáticas 3”, 1ra Edición, 2009, Editorial Mc Graw Hill 352 págs.
 Swokowski, Earl, “Calculo con geometría analítica”, 1989, Grupo Editorial
Iberoamericana, 2da Edición, Estados Unidos de América, 1097