El documento explica los pasos para racionalizar fracciones con raíces en el denominador. Describe cómo racionalizar monomios, binomios y trinomios dependiendo del tipo de radical o expresión en el denominador. Para monomios se multiplica numerador y denominador por la misma raíz o su conjugada. Para binomios se multiplica por el conjugado del denominador, y para trinomios se juntan raíces y se multiplica por el conjugado resultante.

1. RACIONALIZACIÓN DE NÚMEROS REALES
Cuando tenemos fracciones con radicales en el denominador conviene obtener
fracciones equivalentes pero que no tengan radicales en el denominador. A este
proceso es a lo que se llama racionalización de radicales de los denominadores.
Según el tipo de radical o la forma de la expresión que aparece en el denominador, el
proceso es diferente.
Se pueden dar varios casos:
Racionalización de un Monomio
1. Si el denominador contiene un solo término formado por una sola raíz
cuadrada. En este caso basta multiplicar numerador y denominador por la
misma raíz cuadrada.
Por ejemplo, si queremos racionalizar el denominador de la fracción
,
multiplicaremos numerador y denominador por
Otro ejemplo. Racionalizar
Si antes de racionalizar extraemos los factores que se puedan en el radical del
denominador, tenemos:
Ahora basta multiplicar numerador y denominador por
denominador:
para eliminar la raíz del
También se puede directamente multiplicar numerador y denominador por

2. Y ahora extraemos factores de la raíz del numerador y simplificamos.
, como vemos da el mismo resultado.
Racionalización de un Binomio
2. Si el denominador de la fracción contiene dos términos en uno de los cuales o
en los dos hay una raíz cuadrada, se multiplica numerador y denominador por
el conjugado del denominador. O sea si es una suma se multiplica por la resta,
y viceversa.
Por ejemplo
, multiplicamos numerador y denominador por
En el denominador siempre va a aparecer un producto de una suma por una diferencia, o
sea una expresión del tipo
Otro ejemplo:
, ahora multiplicamos numerador y denominador por
Racionalización de un Monomio con Grado mayor que 2
3. Si el denominador sólo tiene un término con una raíz de índice cualquiera, n,
se multiplica numerador y denominador por otra raíz de índice n que complete
una potencia de exponente n.
Por ejemplo:

3. Factorizamos el radicando del denominador:
multiplicar numerador y denominador por
, y como
, vamos a
para completar la potencia de 5
Otro ejemplo:
Para que se elimine la raíz cuarta, la potencia tiene que estar elevada a 4, luego basta
multiplicar por
Otro ejemplo más
Racionalizar el denominador de la fracción:
Multiplicamos numerador y denominador por
Por tanto podemos escribir que

4. Racionalización de Monomios con índices mayores que 2
Ejemplo:
Primero, todas las cantidades subradicales (si son números enteros elevados que no
tienen exponente) se les debe obtener la raíz enésima.
=
Ahora, la cantidad que deberá ser multiplicada al numerador y denominador de la
fracción sigue un procedimiento diferente a las anteriores.
Las cantidades exponenciales de los subradicales del radical para multiplicar al
numerador y denominador de la fracción será el número del exponente que falta para
acercarse al índice del radical. En caso de que el exponente sea mayor que el índice de
la raíz, la cantidad de aquel exponente será la que falte para llegar al múltiplo más
cercano de la raíz.
=
En este ejemplo, es
, ya que éste es el radical que al ser multiplicado por el
denominador los exponentes de las cantidades subradicales serán iguales al índice de la
raíz.
Ahora, se procede a multiplicar el numerador y el denominador:
·
=
Ahora, se procede al despeje de las raíces, en el ejemplo de índice 5:
=
Ahora, se procede a la simplificación, que sería el último paso de la operación:

5. =
Racionalización de binomios con índices mayores que 2
Cuando se tienen binomios con radical de índice 3, es preciso utilizar productos
notables, en este caso la adición y sustracción de cubos, según sea el caso.
Adición de cubos:
Sustracción de cubos:
Ejemplo:
Se multiplica el numerador y el denominador de la fracción por el resultado que dé el
producto notable del denominador.
=
... para este caso se aplica
sustración de cubos como se muestra arriba.
Este es el resultado del producto notable, que irá en el denominador, que multiplicará
tanto al numerador como al denominador:
·
=
Ahora, se resuelven las potencias que están fuera del paréntesis:
Ahora, el denominador se transforma el resultado a producto notable:

6. =
Ya que los exponentes de las cantidades subradicales del denominador son iguales o
múltiplos de 3, puede procederse al despeje del radical del denominador, que es el
último paso de la racionalización:
=
Racionalización de Trinomios.
Cuando tengamos una fracción en la cual el denominador que esté formado por un
trinomio procedemos a realizar los siguientes pasos:
Ejemplo:
Racionalizar:
Respuesta:
1º Juntamos dos raíces del denominador. Tomamos las dos primeras en un paréntesis:
y a continuación escribimos el término que nos queda con su signo:
.
En realidad es lo mismo que:
pero nos facilita para saber cual es el conjugado del denominador:

7. .
Cuidado ahora que el primer término está compuesto de dos sumandos –los que se
encuentran entre paréntesis –.
2º Multiplicamos al numerador y denominador por el conjugado del denominador.
Cuidado con los paréntesis:
Tenemos que tener en cuenta que el primer término del denominador está compuesto de
dos sumandos y al multiplicar la suma de dos números por su diferencia obtenemos la
diferencia de sus cuadrados por eso el cuadrado del primer término lo escribimos como
una suma indicada elevada al cuadrado:
.
Desarrollamos el cuadrado del primer término del denominador:
3º Tenemos que volver a multiplicar a los dos miembros de la fracción por el conjugado
del denominador:

8. Simplificamos al numerador y denominador por 2:
Para simplificar un producto de varios factores por un número, basta simplificar UN
solo factor.
Podemos seguir simplificando al numerador y denominador, para ello, debo sacar factor
común a 2 en
: