Un rectángulo áureo es aquel cuyos lados están en proporción áurea, aproximadamente 1.618. Los griegos lo consideraban particularmente bello y lo usaron en su arquitectura. Se puede construir un rectángulo áureo a partir de un segmento, trazando su mediatriz y formando un cuadrado y una circunferencia. Repitiendo el proceso se obtiene una espiral áurea.

1. RECTÁNGULO ÁUREO
Un rectángulo especiales el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo
armonioso en sus dimensiones.
Dibujamos un cuadrado y marcamos el punto
medio de uno de sus lados. Lo unimos con uno de
los vértices del lado opuesto y llevamos esa
distancia sobre el lado inicial, de esta manera
obtenemos ellado mayor del rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro
que el lado mayor del rectángulo vale por lo
que la proporciónentre los dos lados es:
A este número se le llama número de oro, se
representapor el símbolo Ø y su valor es 1,61803...,lo obtuvieron los griegos al hallar
la relación entre la diagonal de un pentágono y el lado. El nombre de "número de oro"
se debe a Leonardo da Vinci.
En "el hombre ideal" de Leonardo, el cociente entre el
lado del cuadrado y el radio de la circunferencia que
tiene por centro el ombligo,es el número de oro.
Otra propiedad de este rectángulo es que si se colocan
dos iguales como en la figura de la derecha, se forma otro
rectángulo áureo más grande.

2. .
Los egipcios ya conocíanesta proporcióny la usaron en la arquitectura de la
pirámide de Keops (2600 años a.C.).
Aparece en pinturas de Dalí, en la Venus de Boticelli. Esta razón también la
usaron en sus producciones artistas del Renacimiento. En España, en la
Alhambra, en edificios renacentistas como El Escorial... y en la propia
Naturaleza en las espirales de las conchas de ciertos moluscos.
Los griegos también la usaron en sus construcciones,
especialmente El Partenón, cuyas proporciones están
relacionadas entre sí por medio de la razón áurea.
El símboloØ para la relación áurea fue elegido por el matemático americano Mark Barr.
La letra fue elegidaporque era la primera del nombre de Phidias que solía usar la
relación áurea en sus esculturas.
También se ha usado en el diseño del DNI, en la construcciónde muebles,marcos
para ventanas, camas, etc.

3. Un rectángulo cuyos lados están en una proporciónigual a la razón áurea es llamado
un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especialcomo veremos.Los griegos lo
considerabande particular belleza y lo utilizaron asiduamente en su arquitectura. Al
parecer a la mayoría de las personas también les parece más agradable a la vista un
rectángulo con esas proporcionesentre sus lados, inconscientemente se diseñan
infinidad de cosas que resultan tener la forma de un rectángulo áureo: las hojas de
papel tamaño carta miden 11 x 8 pulgadas, por ejemplo;esto nos da la proporción1.37
que se parece a la razón aurea. Sólo por curiosidad,invitamos al lector a que mida y
obtenga las proporciones de las ventanas de su casa, de su cuadro preferido,del
mueble que más le agrada, muy probablemente serán rectángulos áureos.
Es fácil construir un rectángulo áureo a partir de un segmento de recta inicial como se
puede ver en la animación.
El rectángulo áureo tiene una propiedad muy interesante. A partir de él podemos
obtener una infinidad de nuevos rectángulos áureos. El proceso es iterativo (recursivo
diría alguien dedicado a la computación) y consiste en quitar a cada rectángulo áureo
un cuadrado, la superficie que queda luego de hacer esto es un nuevo rectángulo
áureo. Este procesose ilustra en la animación que aparece a continuación.
La proporciónáurea se basa en una médida o número llamado también áureo, de oro,
y representado porla letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula). Es una
proporciónde más o menos: 2 + 1,6 , es decir, que una medida a=2 más otra medida
b=1,618….formanuna medidaque sumaría c= 3,618….Aunque esta es la forma que
yo me he inventado para acabar de comprenderrápidamente esta proporcióny para
detectar que en una composiciónsi que existe esta proporciónáurea entre unas
medidas a, b y c. Y que, por lo tanto, tienen este equilibrio mágico donde una medida
contiene a otra más un poquito extra.
Medidas de la proporciónáurea:
Dicen que el número áureo es un número irracional, que no encaja en las medidas
exactas. Y efectivamente,porque la medida b es como un pequeño infinito, que nunca
se acaba pero hacia más pequeño.

4. Fórmula del número áureo:
Esquemas visuales con la proporciónáurea rectangular:
¿Cómo se dibuja la proporciónáurea?
Paso a paso sencillo para dibujar esta proporción“divina” que aparece en multitud de
formas naturales:
1. Se dibuja un cuadrado con una medida a.
2. Desde la base inferior y en el centro de este cuadrado se crea un círculo que
debe tener de radio hasta las esquinas del propio cuadrado.
3. Al hacer este círculo se sobrepasala medida de a. Al continuar la recta inferior
del cuadrado y alcanzar el círculo, obtenemosla medida b. Ya tenemos el
fragmento a + b.
4. Se traza el rectángulo vertical al lado de nuestro cuadrado. La unión de ambos es
el rectángulo áureo primero.
5. Dentro del rectángulo y desde su esquina superior derechapodemoscrear otro
cuadrado, que tiene de medidas la sección b. Y a partir de este cuadrado

5. segundo se inician otra vez todos los pasos, pues ahora debemoshayar la
secciónáurea de este nuevo cuadrado.
La espiral que construimos se llama Espiral áurea o de Fibonacci.
Dibujo con el sistema de dibujo de una proporciónáurea rectangular. Formato SVG
vectorial y ampliable.
Esquemas visuales con la proporciónáurea triangular:
Llamado también el triángulo de Aristóteles o Logarítmico,contiene las dons medidas a
y b. Para crear el triángulo se usan dos medidas a más una b. Dentro se desarrolla la
espiral de Fibonacciigual que en los rectángulos.
Proporciónáurea dentro de un triángulo. Formato SVG vectorial y ampliable.
Otras formas geométricas:
El decágono,que contiene 10 triángulos áureos. Formato SVG vectorial y ampliable.
Como yo no soy matemática y se me dan muy mal, si alguien quiere aportar
información sobre la proporciónáurea, genial, porque aún tengo mis dificultades para
verla rápidamente en las proporciones.
Este tema continúa en Espirales áureas en las flores y plantas

6. RECTÁNGULO ÁUREO
Un rectángulo cuyos lados están en una proporciónigual a la razón áurea es
llamado un rectángulo áureo. Este es un rectángulo muy especialcomo
veremos.Los griegos lo consideraban de particular belleza y lo utilizaron
asiduamente en su arquitectura. Al parecera la mayoría de las personas
también les parece más agradable a la vista un rectángulo con esas
proporcionesentre sus lados, inconscientemente se diseñan infinidad de cosas
que resultan tener la forma de un rectángulo áureo. (PresentaciónPower point)
Es fácil construir un rectángulo áureo a partir de un segmento de recta inicial,
trazarle la mediatriz, formar un cuadrado a partir del segmento y luego hacer
una circunferencia con radio el tramo que va desde el punto medio del
segmento hasta el vértice superior derecho.

7. La ProporciónAurea, también conocidacomo Razón Aurea, ProporciónDivina,
Número Dorado,etc. es aquella que cumple que la relación entre el sector
mayor y el sectormenor es igual a la relación entre la suma de las partes y la
mayor de ellas.
O sea:
Vale aproximadamente ocho quintos.
· Esta relación numérica posee importantes propiedadesmatemáticas, fue
estudiada por Leonardo da Vinci, Luca Paccioli, Robin Cook, Johannes Keplery
Pitágoras entre otros.
· Se dice que esta proporciónes la esenciade la belleza, que aquellas figuras
que poseenla proporciónaurea nos resultan las más bellas de todas las
formas,podemosapreciarla en la naturaleza por ej. en los caparazones de
ciertos moluscos:Tambiénse encuentra en el cuerpo humano, en las personas
de mayor atractivo.
Se dibuja un cuadrado, desde el punto medio de una de sus aristas se gira el
vértice opuesto hasta la prolongación de la arista inicial.

8. Y=ab=ad. Siendo e=punto
medio de ab
Existen muchos mitos acerca de que objetos de uso diario contienen las
medidas de un triángulo áurea como el carnet de identidad, una tarjeta de
crédito o una cajetilla de tabaco, por eso nosotros en el siguiente espacio lo
comprobaremospara así desmentiro afirmar un mito:
CARNET DE IDENTIDAD
Para esta prueba usaremos un carnet de identidad de los antiguos y que aún
tienen validez, tal como este:

9. Sus medidas son de 4.5cm de ancho y 7.84cm de largo y en una representación
informática como la siguiente podemosobservarque sus medidas no coinciden
con un rectángulo aurea.
Pincha sobre la imagen para agrandar
También lo podemos demostrarde forma analítica con los siguientes cálculos,
la división entre el largo y el ancho es, 7.84/4.5=1,7422222,portanto no cumple
con un rectángulo áureo.
CAJETILLA DE TABACO
También supuestamente una cajetilla de tabaco posee las medidas de un
rectángulo áureo

10. Podemosobservaren la siguiente fotografíaque esto no es verdad pero sí que
es cierto que se parece bastante:
Pincha sobre la imagen para agrandar
TARJETADE CRÉDITO.DNI ELECTRÓNICO
Otro ejemplo es una tarjeta de crédito de circulación legal por España. Sus
dimensiones coincidenconlas del DNI electrónico ¿podríacumplir las medidas,
o No?
Como en los casos anteriores en este tampoco se cumple un rectángulo áureo
en su forma. Sus medidas son de 5.1cm de ancho y 8.25cm de largo.
8.25/5.1 =1,61764

11. Pincha sobre la imagen para agrandar
Por último podemoscomprobarque las figuras que más se parecen son la de la
tarjeta y una cajetilla de tabaco, además es necesario decirque los cálculos
están afectados conun margen de error, pues las longitudes fueron medidas
con un calibre de precisiónde ±o.o2cm

12. Un rectángulo se puede dividir en dos piezas: un cuadrado sobre el lado más corto y
otro rectángulo.
Para una determinada proporciónde los lados del rectángulo inicial, usando este
procedimieto obtenemos un rectángulo similar al inicial.
Entonces tenemos un rectánguloáureo.

13. La proporción áurea
A partir de la definiciónde Euclides de la división de un segmento en su razón media y
extrema introducimos una propiedad de los rectángulos áureos y deducimosla
ecuación y el valor de la proporciónáurea.
Si partimos de un rectángulo áureo el procedimiento se puede repetir indefinidamente.
La proporciónáurea puede expresarse de esta manera: Un segmento se dice que está
dividido en su razón extrema y media cuando el total del segmento es a la parte mayor
como la parte mayor a la menor. (Euclides)
Así podemosobtenerel número áureo

14. El hecho de que el proceso deobtenciónde rectángulos áureos es infinito sugiere que
el número áureo es inconmensurable, es decir,que el número áureo es irracional.
Puesto que el lado de un pentágono regular y su diagonal están en proporciónáurea y
el pentágono y el pentagrama fueron los símbolosde los pitagóricos cabe la posibilidad
de que se conocieraque la diagonal de un pentágono y su lado son inconmensurables.
Siendo éstos los primeros inconmensurables conocidos.Sin embargo, la primera
demostraciónde la inconmensurabilidad de dos segmentosde la que tenemos
constancia correspondeal lado y diagonal de un cuadrado (Euclides).
La diagonalde un pentágono regulary la razón áurea
La diagonal y el lado de un pentágono regular están en proporciónáurea. El punto de
intersecciónde dos diagonales de un pentágono regular divide a ambas en la razón
áurea o 'en razón extrema y media'.
Podemosver que el rectángulo ABDF y el rectángulo CDFH son semejantes y que
CDFH se ha rotado un cuarto de vuelta.

15. Entonces
Llamaremos O al punto de intersección.
Ahora podemosconsiderarla recta OC:

16. Puesto que
Entonces OC bisecael ángulo recto BOD
Análogamente
O está en la recta CG. Lo mismo para AE y entonces

17. Estas cuatro rectas, perpendiculares a pares, contienen todos los vértices de todos los
infinitos rectángulos áureos. Cada pareja es la bisectriz de la otra pareja de rectas