Un electrón está confinado en una caja unidimensional de 0,200 nm. De acuerdo al principio de incertidumbre, los niveles de energía están dados por la ecuación En = (h2/8mL2)n2 hasta n = 4. El documento calcula las longitudes de onda de los fotones emitidos en las transiciones entre los niveles de energía 1-4.

1. S3P12) Una mujer sobre una escalera tira pequeños perdigones hacia una
mancha sobre el piso.
a) Muestre que, de acuerdo con principio de incertidumbre, la distancia
1/ 2 1/ 4
    H 
errada debe ser al menos de ∆x =   
 2g 
 donde H es la altura
m  
inicial de cada perdigón sobre el suelo y m es la masa de cada uno.
b) Si H = 2,0 m y m = 0,50 g ¿Cuál es ∆x?
SOLUCION:
Y
t=0 m v(0) g
H
t
0 x X
Analizando las componentes de movimiento,
X: x ≡ 0 + v(0)t → x ≡ v (0)t ...α
1 2H
Y: 0 ≡ H + 0 − gt 2 → t ≡ ...β
2 g
2H
De α y β se obtiene, x ≡ v(0) ...γ
g
Transformando γ,
2H 2H 2H
x ≡ v(0) → mx ≡ mv (0) ≡ px
g g g
2H
→ m∆x ≡ ∆px
g

2. Ahora, usando el Principio de indeterminación de W Heisenberg,
 ,
∆x∆px ≥
2
 
 g  

∆x∆px ≥ → ∆x m∆x ≥
2 
 2H  2

 1 2H  2H
→ ( ∆x ) ≥
2
× ≡
2 m g 2m g
1 1 1 1
  2  2H  4   2  H 4
→ ∆x ≥  ÷  ÷ → ∆x ≥  ÷  ÷
 2m   g   m   2g 
1 1
  2  H 4
∆x ≥  ÷  ÷
 m   2g 
b) Evalúe ∆x para, H= 2,0 , m= 5x10-4 …?

3. S3P11) a) Suponga que un electrón está confinado dentro de un núcleo de 5.0 x
10-15 m de diámetro. Emplee el principio de incertidumbre para
determinar si este electrón es relativista o no relativista
b) Si este núcleo contiene sólo protones y neutrones, ¿algunas de estás
son partículas relativistas? Explique.
SOLUCION:
a) Analizando para el electrón mediante el principio de incertidumbre de W
Heisenberg,
h
∆x∆px ≥ ,
2
h h
→ ∆x∆px ≥ → ∆x { m∆v} ≥ , m: masa del electrón, m= 9,1x10-31,
2 2
h
→ ∆v ≥ , ∆x: confinamiento del electrón, ∆x= 5x10-15,
2∆xm
h 6, 63 ×10−34
→ ∆v ≥ ≡ ≡ 0, 012 × 1012 : c
2∆xm 4π × 9,1× 10−31 × 5 × 10 −15
→ v : c , ¡Por lo tanto el electrón podría ser relativista!
b) Análogamente, considerando protones mp= 1,67x10-27,
h 6, 63 ×10−34
→ ∆v ≥ ≡ ≡ 0, 065 ×108 : 0, 022c
2∆xm 4π ×1, 67 × 10−27 × 5 ×10 −15
→ v : 0, 022c , ¡Por lo tanto los ps o ns no serian necesariamente
relativistas!

4. S3P17) Un electrón Un electrón está contenido en una caja unidimensional de
0,200 nm de ancho.
a) Dibuje un diagrama de nivel de energía para el electrón en niveles
hasta n = 4
b) Encuentre la longitud de onda de todos los fotones que pueden ser
emitidos por el electrón al hacer transiciones que a la larga lo llevarán
del estado n = 4 al estado n = 1.
SOLUCION: De acuerdo al modelo de partícula confinada en una caja, los
niveles de energía accesibles están dados por la siguiente
ecuación,
 h2  2
En ≡  2
n , por lo tanto,
 8mL 
a) Para el diagrama de niveles de energía hasta n=4,
 ( 6, 63 ×10−34 ) 
2
  2 −19
En ≡   n ≡ 15,1×10 ≡ 9, 44n (eV )
2
 8 ( 9,1× 10 ) ( 0, 2 ×10 ) 
−31 −9 2
 
Calculando,
E1 ≡ 9, 44 (1) 2 ≡ 9, 44 eV ,
E2 ≡ 37, 76 ,
E3 ≡ 84,96 ,
E4 ≡ 151, 04
b) Para todas las combinaciones posibles en la desexcitacion electrónica,
usamos la ecuación,
hc ( 6, 63 ×10 ) ( 3 ×10 ) ≡ 1243
−34 8
hc
∆E ≡ hν ≡ →λ ≡ ≡
λ ∆E ∆E ∆E
1243
λ (nm) ≡ ,
∆E (eV )
E4 − E3 ≡ 66, 08 → λ1 ≡ 18,8 ,
E3 − E2 ≡ 47, 2 → λ2 ≡ 26,3 ,

5. E2 − E1 ≡ 28,32 → λ3 ≡ 43,9 ,
E3 − E1 ≡ 75,52 → λ4 ≡ 16,5 ,
E4 − E2 ≡ 113, 28 → λ5 ≡ 11, 0 y
E4 − E1 ≡ 141, 6 → λ6 ≡ 8,8

6. E2 − E1 ≡ 28,32 → λ3 ≡ 43,9 ,
E3 − E1 ≡ 75,52 → λ4 ≡ 16,5 ,
E4 − E2 ≡ 113, 28 → λ5 ≡ 11, 0 y
E4 − E1 ≡ 141, 6 → λ6 ≡ 8,8