Este documento describe la propagación de ondas electromagnéticas a través de interfaces entre medios. Explica las leyes de la óptica geométrica de Snell y la reflexión total interna. También presenta las ecuaciones para calcular los coeficientes de reflexión y transmisión para ondas transversales eléctricas (TE) y magnéticas (TM) en función de los índices de refracción de los medios. Por último, propone algunos ejemplos de aplicación.

1. Incidencia oblicua
EE-524 Propagación y
Radiación Electromagnética II
Miguel Delgado León
MSc. Ing. Miguel Delgado León

2. Incidencia oblicua, Ley de Snell
Miguel Delgado León
Consideremos la propagación de una OEM plana
de frecuencia angular ω propagandose en el
semiespacio caracterizado por ε1 y µ1, región 1.
La OEM incide sobre sobre la interfaz (plano YZ
frontera) que separa la región 1 del semiespacio
región 2, caracterizado por ε2 , µ2 como se
muestra en la figura.
Sea la amplitud del campo eléctrico (onda), incidente, reflejado y transmitido y los
vectores de onda correspondientes:
( )
( ) (1)
( )
i
r
t
jK r
i i
jK r
r r
jK r
t t
E r E e
E r E e
E r E e
− ×
− ×
− ×
=
=
=
r r
r r
r r
r rr
r rr
r rr
Aplicando las condiciones de frontera
en x=0:
1tan . 2tan .g gE E=
r r
tan . tan .
(0 , , ) (0 , , ) (0 , , ) (2)i r tg g
E y z E y z E y z+ + −
   + =   
r r r
Que implica:
tan . tan .
(3)iy iz iy iz ty t zjK y jK z jK y jK z jK y jK z
i r t
g g
E e E e E e
− − − − − −
   + =   
r r r
Esta ecuación debe satisfacer todos los
puntos del plano y, z. Obviamente podemos
obtener más ecuaciones que incógnitas. La
única solución no trivial que satisface todos
los puntos es:
(4)
iy ry ty y
iz rz tz z
K K K K
K K K K
= = =
= = =

3. Incidencia oblicua, Ley de Snell
Miguel Delgado León
Los vectores número de onda incidente,
reflejado y transmitido están en el
mismo plano. Sin pérdida de
generalidades hacemos Ky=0. La onda
esta en el plano xz.
ˆ ˆ
ˆ ˆ (5)
ˆ ˆ
i ix iz
r r x r z
t t x t z
K xK zK
K xK zK
K xK zK
= − +
= + +
= − +
r
r
r
Donde:
1 1
1 1
2 2
cos
cos (6)
cos
i x i i z i
r x r r z r
t x t t z t
K K K K sen
K K K K sen
K K K K sen
θ θ
θ θ
θ θ
= =
= =
= =
y
1 1 1 2 2 2 (7)K Kω µ ε ω µ ε= =
Según la relación (4) Kiz=Krz=Ktz=Kz
que reemplazando en (6) obtenemos:
(8)i r i rsen senθ θ θ θ= ⇒ =
Que es la primera ley de la óptica
geométrica. También:
1 2 1 1 2 2 (9)i t i tK sen K sen sen senθ θ µ ε θ µ ε θ= ⇒ =
Que es la segunda ley de la óptica
geométrica o ley de Snell.

4. Reflexión total interna RTI
Miguel Delgado León
Las leyes de la óptica geométrica
pueden visualizarse de manera grafica.
La relación de dispersión es:
2 2 2 2 2 2
1 2 (10)i x z t x zK K K K K K+ = + =
Si el medio 1 es menos denso que el
medio 2, es decir 1 2K K<
Es decir siempre existirá transmisión.
Si el medio 1 es más denso que el medio
2, es decir 1 2K K>
En la figura puede observarse que existirá
transmisión cuando el ángulo incidente es
pequeño. Existirá un ángulo incidente critico
para el cual la onda transmitida pasa por la
frontera.
2 2
1 1 2 2
1 1
( / 2)ic icsen sen sen
µ ε
µ ε θ µ ε π θ
µ ε
= ⇒ =
Es decir para un ángulo no habrá
‘‘transmisión’’, ósea se tiene RTI
i icθ θ>

5. Reflexión total interna RTI
Miguel Delgado León
1 2 (13)icK sen Kθ =
La relación del los vectores número de
onda y el ángulo crítico es:
Para examinar la forma del vector
número de onda transmitido cuando
θi>θic. Tenemos:
2 2
2t x zK K K= −
Sabemos que 1z iK K senθ= (11) queda:
2 2 2
2 1 (14)t x iK K K sen θ= −
Notamos que el
argumento de la raíz cuadrada es
negativa. Para θi>θic, (14) es
imaginario:
1 2iK sen Kθ >
2 2 2
1 2 (15)t x i t xK j K sen K jθ α= − − = −
La onda transmitida queda como:
( ) t xt z
jK xjK r jK z
t t tE r E e E e e− × −
= =
r rr r rr
( )
( ) t x t xz z
j j x xjK z jK z
t t tE r E e e E e e
α α− − −
= =
r r rr
Que es una onda evanescente o una
onda atenuada
La gran mayoría de materiales ópticos
son no magnéticos, es decir
µ1=µ2=µο. Entonces la ley de Snell queda
como:
1 2 (11)i tsen senε θ ε θ=
Se define el índice de refracción
entonces (11) queda como:
rn ε=
1 2 (12)i tn sen n senθ θ=

6. Coeficientes de reflexión y transmisión caso TE
Miguel Delgado León
Tenemos el primer caso cuando la
dirección del campo eléctrico es
perpendicular al plano de incidencia.
La onda incidente reflejada y transmitida
puede expresarse como:
ˆ( )
ˆ( )
ˆ( )
i x
r x z
r x
jK
i
jK j K zTE
r
jKTE
t
E r ye
E r yR e e
E r yT e
− −
=

= 

= 
r r
r r
r r
El campo H es obtenido de las ecuaciones
de Maxwell como:
1
H K E
ωµ
= ×
r r r
( )
( )
( )
1
1
2
1
ˆˆ( )
ˆˆ( )
ˆˆ( )
i x
r x z
t x
jK
i i x z
TE
jK j K z
r r x z
TE
jK
t t x z
H r zK xK e
R
H r zK xK e e
T
H r zK xK e
ωµ
ωµ
ωµ
− −

= − − 


= − 


= − −

r r
r r
r r
Para el campo H incidente, reflejado y
transmitido tenemos:
Aplicando condiciones de frontera llegamos:
1
2
1 1
t xTE TE TE TE
i x
K
R T y R T
K
µ
µ
+ = − =
1
2
1 1
2 2
1
2
(16)
1 1
t x
i xTE TE
t x t x
i x i x
K
K
R T
K K
K K
µ
µ
µ µ
µ µ
−
= =
+ +
Resolviendo

7. Coeficientes de reflexión y transmisión caso TM
Miguel Delgado León
Tenemos el segundo caso cuando la
dirección del campo eléctrico es paralelo al
plano de incidencia.
No es necesario aplicar todo el
procedimiento anterior para determinar
los coeficientes de reflexión y
transmisión. Basta aplicar dualidad es
decir, reemplazar µ por -ε en (16):
µ ε→ −
1
2
1 1
2 2
1
2
(17)
1 1
t x
i xTM TM
t x t x
i x ix
K
K
R T
K K
K K
ε
ε
ε ε
ε ε
−
= =
+ +
Ejemplo: Demostrar lo siguiente:
2 1 1 2
2 1 1 2
2 1
2 1 1 2
cos cos cos cos
cos cos cos cos
2 cos 2 cos
(17)
cos cos cos cos
TE i t i t
i t i t
TE i i
i t i t
n n
R
n n
n
T
n n
η θ η θ θ θ
η θ η θ θ θ
η θ θ
η θ η θ θ θ
− −
= =
+ +
= =
+ +
2 1 1 2
2 1 1 2
2 1
2 1 1 2
cos cos cos cos
cos cos cos cos
2 cos 2 cos
(18)
cos cos cos cos
TM t i t i
t i t i
TM i i
t i t i
n n
R
n n
n
T
n n
η θ η θ θ θ
η θ η θ θ θ
η θ θ
η θ η θ θ θ
− −
= =
+ +
= =
+ +

8. Coeficiente de reflexión para RTI
Miguel Delgado León
Hemos visto que cuando θi >θic,
(según (15):
2 2 2
1 2t x i t xK j K sen K jθ α= − − = −
Si esta expresión reemplazamos en
(16) tenemos:
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
1 1
TE
t x t x
i x i xTE TE j
t x t x
i x i x
K
j
K K
R R e
K
j
K K
φ
αµ µ
µ µ
αµ µ
µ µ
− +
= = =
+ −
1 1
2 2
1 1
2 2
1 1
1 1
TM
t x t x
i x i xTM TM j
t x t x
i x i x
K
j
K K
R R e
K
j
K K
φ
αε ε
ε ε
αε ε
ε ε
− +
= = =
+ −
Es fácil demostrar que:
1TE TM
R R= =
1
11
2
2tan
2tan
t xTE
i ic
i x
t xTM
ix
K
K
α
φ θ θ
ε α
φ
ε
−
−
 
= > ÷ ÷
 
 
=  ÷ ÷
 
Donde:
( )2
2 1
1
/
cos
it x
ix
sen
K
θ ε εα
θ
−
=
y

9. Ejemplos
Miguel Delgado León
Problema 01
Una OEM plana incide desde el medio 1,
aire (z<0) hacia el medio 2 (z>0), no
magnético de permitividad desconocida. Si
la onda incidente está dada por:
•Encontrar la permitividad del medio tal que
la onda reflejada tenga polarización lineal (3
p.)
•Obtener la expresión del campo eléctrico
transmitido. (3 p.)
( )
( )
9
0
9
0
3 1
ˆ ˆ cos 6 10 10 3
2 2
ˆ 6 10 10 3
iE E x z t x z
E ysen t x z
π π
π π
 
 = − × − + ÷ ÷  
 
 + × − +
 
r

10. Ejemplos
Miguel Delgado León
Problema 01
Una OEM plana incide desde el medio 1,
aire (z<0) hacia el medio 2 (z>0), no
magnético de permitividad desconocida. Si
la onda incidente está dada por:
•Encontrar la permitividad del medio tal que
la onda reflejada tenga polarización lineal (3
p.)
•Obtener la expresión del campo eléctrico
transmitido. (3 p.)
( )
( )
9
0
9
0
3 1
ˆ ˆ cos 6 10 10 3
2 2
ˆ 6 10 10 3
iE E x z t x z
E ysen t x z
π π
π π
 
 = − × − + ÷ ÷  
 
 + × − +
 
r