Este documento describe la propagación de ondas electromagnéticas en una guía de ondas cilíndrica. Explica que los campos electromagnéticos en una guía cilíndrica pueden dividirse en modos transversales magnéticos (TM) y eléctricos (TE). Analiza las ecuaciones de Maxwell para derivar las ecuaciones que gobiernan cada modo y obtener sus soluciones en términos de funciones de Bessel. También define las frecuencias de corte para cada modo TM y TE, más allá de las cuales

1. PROPAGACION Y RADIACION
ELECTROMAGNETICA II
Miguel Delgado Le´on
28 de Julio del 2005

2. Cap´ıtulo 1
Gu´ıa de ondas cilindrica
1.1 Campos electromagn´eticos en la G.O.
cilindrica
La gu´ıa de ondas cilindrica es una de las l´ıneas de transmisi´on m´as
ampliamente utilizadas, esta constituido por un conductor hueco, que
se rellena de un material diel´ectrico con µ y ε o del espacio libre. La
secci´on transversal es circular de radio a y altura d. Los campos elec-
tromagn´eticos en una GO cilindrica pueden expresarse como:
E(ρ, φ, z) = Eρ(ρ, φ, z) ˆρ + Eφ(ρ, φ, z) ˆφ + Ez(ρ, φ, z) ˆz (1.1)
y
H(ρ, φ, z) = Hρ(ρ, φ, z) ˆρ + Hφ(ρ, φ, z) ˆφ + Hz(ρ, φ, z) ˆz (1.2)
Si se considera una propagaci´on neta en la direcci´on del eje z, tenemos
que cada componente de los campos puede expresarse como:
Eρ = Eρ(ρ, φ)e−jβz
, Eφ = Eφ(ρ, φ)e−jβz
, Ez = Ez(ρ, φ)e−jβz
(1.3)
aqui β es la constante de fase neta o constante de fase de la guia.
Tambien:
Hρ = Hρ(ρ, φ)e−jβz
, Hφ = Hφ(ρ, φ)e−jβz
, Hz = Hz(ρ, φ)e−jβz
(1.4)
Aplicando las ecuaciones de Maxwell (ley de Gauss) · E(r) = 0, en
coordenadas cilindricas, tenemos:
1
ρ
∂(ρEρ)
∂ρ
+
1
ρ
∂(Eφ)
∂φ
− jβEz = 0 (1.5)
1

3. 2 CAP´ITULO 1. GU´IA DE ONDAS CILINDRICA
y para la ley de Gauss magn´etico · H(r) = 0:
1
ρ
∂(ρHρ)
∂ρ
+
1
ρ
∂(Hφ)
∂φ
− jβHz = 0 (1.6)
Aplicando las otras ecuaciones de Maxwell, ley de Faraday y Ampere-
Maxwell:
× E(r) = −j ω µ H(r) × H(r) = j ω ε E(r) (1.7)
en coordenadas cilindricas, obtenemos un total de 6 ecuaciones (queda
como tarea), combinando estas seis ecuaciones obtenemos:
k2
c Eρ = −jβ
∂Ez
∂ρ
− j
ωµ
ρ
∂Hz
∂φ
(1.8)
k2
c Eφ = −j
β
ρ
∂Ez
∂φ
+ jωµ
∂Hz
∂ρ
(1.9)
k2
c Hρ = j
ωε
ρ
∂Ez
∂φ
− jβ
∂Hz
∂ρ
(1.10)
k2
c Hφ = −jωε
∂Ez
∂ρ
− j
β
ρ
∂Hz
∂φ
(1.11)
donde:
k2
c = ω2
µε − β2
(1.12)
es la relaci´on de dispersi´on. Se observa que las componentes transver-
sales Eρ, Eφ, Hρ y Hφ, dependen de las componentes longitudinales Ez
y Hz, por lo tanto, es posible dividir la soluci´on en dos grupos: modos
TM cuando Hz = 0 y Ez = 0 y los modos TE cuando Ez = 0 y Hz = 0
1.2 Estudio de los Modos TM Ez = 0
Reemplazando (1.8) y (1.9) en (1.5) y simplificando, tenemos la sigu-
iente ecuaci´on diferencial:
1
ρ
∂
∂ρ
ρ
∂ Ez
∂ρ
+
1
ρ2
∂2
Ez
∂φ2
+ k2
c Ez = 0 (1.13)
Utlizando la t´ecnica de separaci´on de variables, es decir Ez(ρ, φ) es un
producto de dos funciones R(ρ) y Φ(φ):
Ez(ρ, φ) = R(ρ)Φ(φ) (1.14)

4. 1.2. ESTUDIO DE LOS MODOS TM EZ = 0 3
Reemplazando en (1.13) y simplificando, obtenemos:
ρ
R
d
d ρ
ρ
d R
d ρ
+
1
Φ
d2
Φ
d φ2
+ k2
c ρ2
= 0 (1.15)
La ´unica soluci´on es que los t´erminos que dependen solamente de ρ sea
igual a una constante, as´ı como el t´ermino que depende de φ, es decir:
1
Φ
d2
Φ
d φ2
= −m2 ρ
R
d
d ρ
ρ
d R
d ρ
+ k2
c ρ2
= m2
(1.16)
De las ecuaciones anteriores, la primera es f´acil de resolver cuya soluci´on
es:
Φ(φ) = b1 cos(m φ) + b2 sen(m φ) m = 0, 1, 2, · · · (1.17)
Reordenando la segunda ecuaci´on se llega a:
ρ
d
d ρ
ρ
d R
d ρ
+ R(k2
c ρ2
− m2
) = 0 (1.18)
que es la ecuaci´on diferencial de Bessel cuya soluci´on es:
R(ρ) = a1Jm(kc ρ) + a2Ym(kc ρ) m = 0, 1, 2, · · · (1.19)
donde Jm(kc ρ) es la funci´on de Bessel de primera clase y orden m y
Ym(kc ρ) es la funci´on Bessel de segunda clase, tambi´en es conocida
como la funci´on de Neumann, La funci´on Ym(kc ρ) es indeterminado
cuando ρ → 0. La soluci´on para la gu´ıa de onda cilindrica de radio a
es:
Ez(ρ, φ) = E0Jm(kc ρ)
cos(mφ)
sen(mφ)
m = 0, 1, 2, · · · (1.20)
La componente del campo el´ectrico en la direcci´on del eje z es:
Ez(ρ, φ, z) = E0Jm(kc ρ)
cos(mφ)
sen(mφ)
e−jβ z
m = 0, 1, 2, · · · (1.21)
Reemplazando (1.20) en (1.8) hasta (1.11) se obtienen las otras com-
ponentes de los campos electromagn´eticos. La condici´on de frontera es
de Dirichlet en ρ = a:
Ez(ρ = a, φ, z) = 0 =⇒ Jm(kc a) = 0 (1.22)

5. 4 CAP´ITULO 1. GU´IA DE ONDAS CILINDRICA
A continuaci´on se proporciona los argumentos que hacen que Jm(kc a)
sea cero.
Valores de kc a = pmn tal que Jm(pmn) = 0
m n 1 2 3 4
0 2.405 5.520 8.654 11.792
1 3.832 7.016 10.173 13.324
2 5.136 8.417 11.620 14.796
3 6.380 9.761 13.015 16.223
Tabla 1 los argumentos que hacen cero a Jm(pmn)
1.2.1 Frecuencia de Corte modo TM
En la secci´on anterior se ha visto que se tienen muchas soluciones que
satisfecen las ecuaciones de Maxwell, a cada soluci´on se llama modo,
por ejemplo, para m = 0 y n = 1 se tiene el modo TM01, en general se
puede decir TMmn. existen tambi´en muchos valores de kc, para cada
modo existe un kc:
kc a = pmn =⇒ kc mn =
pmn
a
(1.23)
De (1.7), la relaci´on de dispersi´on se transforma en:
k2
c mn = ω2
µε − β2
o β2
= ω2
µε − k2
c mn (1.24)
Puesto que la propagaci´on neta de la onda es en la direcci´on del eje z,
entonces seg´un (1.12) β debe ser positivo, sin embargo, seg´un la tabla
1, kc mn es variable y crece, por tanto, k2
c mn puede sobrepasar el valor
de ω2
µε y seg´un (1.15) β ya no seria positivo. Entonces, llegamos a la
siguiente conclusi´on:
Si ω2
µε > k2
c mn =⇒ se propaga hasta el modo TMmn (1.25)
Si ω2
µε < k2
c mn =⇒ no se propaga el modo TMmn (1.26)
Definimos la frecuencia de corte angular ωc mn de siguiente manera:
k2
c mn = ω2
c mnµε donde ωc mn = 2π fc mn (1.27)
aqui fc mn es la frecuencia de corte en Hz y es f´acil de calcular:
fc mn =
kc mn
2π
√
µε
=
pmn
2π
√
µε a
en Hz (1.28)

6. 1.3. ESTUDIO DE LOS MODOS TE HZ = 0 5
La misma f´ormula se puede expresar en forma m´as simple:
fc mn =
15 pmn
π
√
µrεr a
en GHz y a en cm. (1.29)
De (1.15) obtenemos la constante de fase de la gu´ıa:
β = ω
√
µε 1 −
k2
c mn
ω2µε
= ω
√
µε 1 −
fc mn
f
2
rad/m. (1.30)
Dividiendo Eρ entre Hφ obtenemos la impedancia intrinseca del modo
ηTM . As´ı
ηTM =
Eρ
Hφ
= −
Eφ
Hρ
=
µ
ε
1 −
fc mn
f
2
(1.31)
1.3 Estudio de los Modos TE Hz = 0
Precediendo en forma similar que para los modos TM, esta vez reem-
plazamos (1.5) y (1.6) en (1.2), tratando de simplificar y utilizando la
t´ecnica de separaci´on de variables,llegamos esta vez a la soluci´on:
Hz(ρ, φ) = H0Jm(kc ρ)
cos(mφ)
sen(mφ)
m = 0, 1, 2, · · · (1.32)
La componente del campo magn´etico en la direcci´on del eje z es:
Hz(ρ, φ, z) = H0Jm(kc ρ)
cos(mφ)
sen(mφ)
e−jβ z
m = 0, 1, 2, · · · (1.33)
Reemplazando (1.24) en (1.9) hasta (1.11) se obtienen las otras com-
ponentes de los campos electromagn´eticos. La condici´on de frontera es
de Neumann en ρ = a
∂Hz(ρ, φ, z)
∂ρ
|ρ=a= 0 =⇒
∂ Jm(kc ρ)
∂ ρ
|ρ=a= 0 (1.34)
A continuaci´on se proporciona los argumentos que hacen que la derivada
de Jm(kc a) sea cero.
Valores de kc a = pmn tal que la derivada de Jm(pmn) = 0
m n 1 2 3 4
0 3.832 7.016 10.173 13.324
1 1.841 5.331 8.536 11.706
2 3.054 6.706 9.969 13.170
3 4.201 8.015 11.346
Tabla 1 los argumentos que hacen cero a Jm(pmn)

7. 6 CAP´ITULO 1. GU´IA DE ONDAS CILINDRICA
1.4 Frecuencia de Corte modo TE
El anal´ısis es similar al caso TM:
fc mn =
15 pmn
π
√
µrεr a
en GHz y a en cm. (1.35)
La constante de fase de la gu´ıa es la misma que para el caso TM
β = ω
√
µε 1 −
k2
c mn
ω2µε
= ω
√
µε 1 −
fc mn
f
2
rad/m. (1.36)
La impedancia intr´ınseca del modo cambia
ηTE =
Eρ
Hφ
= −
Eφ
Hρ
=
µ
ε
1 − fc mn
f
2
(1.37)
1.5 Longitud de la onda λ, de la gu´ıa λg y
de la de corte λc
La longitud de la onda se conoce como:
λ =
2π
K
=
2π
ω
√
µ ε
(1.38)
De manera similar, la longitud de la onda de la gu´ı a se define como:
λg =
2π
β
=
2π
ω
√
µε 1 − fc mn
f
2
(1.39)
y la longitud de onda de corte como:
λc =
2π
kcmn
=
2
m
a
2
+ n
b
2
(1.40)
1.6 Atenuaci´on en una gu´ıa de onda cilin-
drica
Como hemos estudiado, en gu´ıa de ondas rectangular, el an´alisis es
similar, la atenuaci´on definimos como:
α =
PL
2 Pprom
(1.41)

8. 1.6. ATENUACI ´ON EN UNA GU´IA DE ONDA CILINDRICA 7
donde:
Pprom =
1
2 ηTM
β
kc mn
2
S
| Ez |2
dS caso TM (1.42)
y
Pprom =
ηTE
2
β
kc mn
2
S
| Hz |2
dS caso TE (1.43)
Las p´erdidas por unidad de longitud es:
PL =
Rs
2
| Htang. |2
dr (1.44)
Ejemplo Una gu´ıa de ondas cilindrica rellena de aire, de radio a = 2 cm
trabaja a una frecuencia de 7 GHz a) Determine los posibles modos TE
y TM que pueden propagarse b) Si las paredes de la gu´ıa son de cobre,
determine la atenuaci´on para el modo TM01 c) Para el modo TE11
Soluci´on a) La frecuencia de corte en GHz para los modos TM es-
tadado por (1.17):
fc mn =
15 pmn
π
√
µrεra
=
15pmn
3.1415 × 1 × 2
= 2.3873pmn ≤ 7 =⇒ pmn ≤ 2.932
(1.45)
Seg´un la tabla 1 el ´unico modo TM que se propaga es TM01. La
expresi´on es parecida para el caso TE. Para el modo TE solo se propaga
el modo TE11
b) Atenuaci´on para el modo TM01, aqui m = 0 y n = 1. Seg´un (1.12),
El campo el´ectrico en direcci´on del eje z es:
Ez = E0 J0(kc 01 ρ) e−jβ z
con condici´on J0(kc 01 a) = 0 (1.46)
De (1.11) obtenemos:
Hφ = −
j ω ε
k2
c 01
E0
d
d ρ
J0(kc 01 ρ) e−jβ z
= −
j ω ε
kc 01
E0 J0(x) e−jβ z
; x = kc 01 ρ
(1.47)
La potencia promedio de (1.39):
Pprom =
1
2 ηTM
β
kc01
2 a
0
2π
0
E2
0 J2
0 ρ dρ dφ =
π
ηTM
β
kc01
2
E2
0
a
0
ρ J2
0 dρ
(1.48)
La ´ultima integral es conocida (Nikolski):
a
0
ρ J2
m(kc mn ρ)dρ =
a2
2
1 −
m2
x2
J2
m(x) + J 2
m(x) ; x = kcmn a
(1.49)

9. 8 CAP´ITULO 1. GU´IA DE ONDAS CILINDRICA
Para nuestro caso, m = 0, y por condiciones de frontera J0(kc 01 a) = 0
Pprom =
π
ηTM
β
kc01
2
E2
0
a2
2
J 2
m(x) (1.50)
Las p´erdidas por unidad de longitud ser´a:
PL =
1
2
Rs | Htang |2
dr =⇒ PL =
1
2
Rs | Hφ |2
dr (1.51)
El valor de Hφ ya esta calculado al inicio de esta pagina. Resultado
PL =
1
2
Rs
ω2
ε2
k2
c01
E2
0 J 2
m(kc01 a) a 2π (1.52)
Entonces:
α =
PL
2 Pprom
=
Rsω2
ε2
ηTM
β2 a
(1.53)
La expresi´on anterior puede simplificarse a´un m´as si reemplazamos el
valor de ηTM dado por (1.31) y de β dado por (1.30) en (1.50):
α =
Rs
a ηTM
(1.54)
siendo
Rs =
πfµc
gc
=
π × 7 × 109 × 4π × 10−7
5.8 × 107
=
π
50
7
58
= 0.0218
(1.55)
y la frecuencia de corte
fc01 =
15 p01
π
√
µrεr a
=
15 × 2.405
π ×
√
1 × 1 × 2
= 5.741 GHz (1.56)
ahora
ηTM =
µ0
ε0
1 −
fc01
f
2
= 120π 1 −
5.741
7
2
= 215.6591 (1.57)
Reemplazando en (1.2) obtenemos la respuesta:
α =
Rs
a ηTM
=
0.0218
0.02 × 215.6591
= 0.0051 (1.58)
c) Atenuaci´on para el modo TE11, aqui m = 1 y n = 1. Seg´un (1.32),
El campo magn´etico en direcci´on del eje z es:
Hz = H0 J1(kc 11 ρ) cos(φ)e−jβ z
con condici´on J1(kc 11 a) = 0 (1.59)

10. 1.6. ATENUACI ´ON EN UNA GU´IA DE ONDA CILINDRICA 9
De (1.11) obtenemos:
Hφ = −
j β
ρ k2
c 11
d
d φ
Hz =
j β
ρ kc 11
H0 J1(kc 11ρ) sen(φ)e−jβ z
(1.60)
La potencia promedio se obtiene de (1.40):
Pprom =
ηTE
2
β
kc11
2 a
0
2π
0
H2
0 J2
1 cos2
(φ) ρ dρ dφ (1.61)
Procediendo en forma similar que el caso b). Llegamos a:
Pprom =
ηTE
2
β
kc11
2
H2
0 π
a2
2
1 −
1
k2
c11a2
J2
1 (kc11a) (1.62)
Las p´erdidas por unidad de longitud ser´a:
PL =
Rs
2
| Htang |2
dr ⇒ PL =
Rs
2
| Hz |2
+ | Hφ |2
dr (1.63)
reemplazando (1.56) y (1.57) en (1.60) se llega a
PL =
Rs
2
π a H2
0 J2
1 (kc11a) 1 +
β2
k4
c11a2
(1.64)
Entonces:
α =
PL
2 Pprom
=
Rs (k4
c11a2
+ β2
)
a ηTE β2 (k2
c11a2 − 1)
(1.65)
Rs = 0.0218 se calculo en b). y de la tabla 2 kc11 = p11/a = 1.841/0.02 =
92.05. La frecuencia de corte e impedancia intrinseca
fc11 =
15 p11
π
√
µrεr a
=
15 × 1.841
π ×
√
1 × 1 × 2
= 4.3951 GHz
ηTE =
µ
ε
1 − fc mn
f
2
=
120π
1 − 4.3951
7
2
= 484.3644
y
β = ω
√
µε 1 −
fc mn
f
2
=
2π × 7 × 109
3 × 108
1 −
4.3951
7
2
= 114.1072
reemplazando todos estos valores en (1.62) obtenemos:
α = 0.0030

11. 10 CAP´ITULO 1. GU´IA DE ONDAS CILINDRICA

12. Contenido
1 Gu´ıa de ondas cilindrica 1
1.1 Campos electromagn´eticos en la G.O. cilindrica . . . . . 1
1.2 Estudio de los Modos TM Ez = 0 . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Frecuencia de Corte modo TM . . . . . . . . . . 4
1.3 Estudio de los Modos TE Hz = 0 . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Frecuencia de Corte modo TE . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Atenuaci´on en una gu´ıa de onda cilindrica . . . . . . . . 6
11