Este documento presenta varios métodos para calcular la energía de deformación en materiales sometidos a diferentes tipos de cargas, incluidas cargas normales, de flexión y de impacto. Explica cómo calcular la energía de deformación integrando la densidad de energía sobre el volumen del material, o determinando el trabajo realizado por las cargas aplicadas. También cubre el diseño para resistir cargas de impacto y proporciona ejemplos numéricos para ilustrar los diferentes métodos.

1. Libro guía:
Beer F., et al., Mecánica de Materiales, Mc Graw Hill, 6ta Edición, 2012.
Notas de clase realizadas por:
J. Walt Oler
Texas Tech University
Traducidas y modificadas por:
M. Ing. Jónatan Pozo Palacios
Universidad Politécnica Salesiana
Métodos de energía

2. Métodos de energía
11 - 2
- Energía de deformación.
- Densidad de energía de deformación.
- Energía elástica de deformación para esfuerzos normales.
- Carga de impacto.
- Diseño para carga de impacto.
- Trabajo y energía bajo una carga única.
- Deflexión bajo una carga única por el método de trabajo energía.
- Trabajo y energía bajo varias cargas.
- Teorema de Castigliano.
- Deflexión por el teorema de Castigliano.

3. Ejemplos de aplicación de métodos de
energía
11 - 3
Atenuador de impactos para un formula SAE

4. Ejemplos de aplicación de métodos de
energía
11 - 4
Atenuador de impactos para un formula SAE

5. Ejemplos de aplicación de métodos de
energía
11 - 5
Impacto frontal de un vehículo contra un poste

6. Energía de deformación
11 - 6
• Una barra uniforme es sometida a una carga que
incrementa lentamente.
• El trabajo elemental realizado por la carga P mientras
la barra se estira una pequeña distancia dx es:
el cual es igual al área de ancho dx bajo el diagrama
esfuerzo deformación.
elementaldxPdU trabajo==
• El trabajo total hecho por una carga para una
deformación x1,
== ∫
1
0
x
dxPU
112
12
12
1
0
1
xPkxdxkxU
x
=== ∫
• En el caso de una deformación elástica,
trabajo total = energía de
deformación

7. Densidad de energía de deformación
11 - 7
• Para eliminar los efectos del tamaño, evaluar la
energía de deformación por unidad de volumen,
ndeformaciódeenergíadedensidaddu
L
dx
A
P
V
U
x
x
==
=
∫
∫
1
1
0
0
ε
εσ
• Cuando se deja de aplicar la carga en el material el
esfuerzo regresa a cero, pero existe una deformación
permanente. Sólo se recupera la energía de
deformación representada por el área triangular.
• El resto de la energía se disipa en el material en forma de
calor.
• La densidad de la energía de deformación, es igual al
área bajo la curva hasta el punto ε1.

8. Densidad de energía de deformación
11 - 8
• La energía de deformación resultado de
seleccionar ε1 = εR es el módulo de tenacidad.
• La energía por unidad de volumen requerida
para causar la ruptura de un material es
relacionada con su ductilidad y su resistencia
última.
• Si el esfuerzo se mantiene dentro del limite
proporcional,
E
E
dEu x
22
2
1
2
1
0
1
1
σε
εε
ε
=== ∫
• La densidad de la energía de deformación
que resulta de hacer σ1 = σY es el módulo de
resiliencia.
aresiliencidemodulo
E
u Y
Y ==
2
2
σ

9. Ejercicios
11 - 9
Determine el módulo de resiliencia para cada uno de los
siguientes metales:

10. Energía de deformación elástica para esfuerzos
normales
11 - 10
• En un elemento con una distribución de esfuerzos
no uniforme,
ndeformaciodetotalenergialim
0
===
∆
∆
= ∫→∆
dVuU
dV
dU
V
U
u
V
• Para valores de u < uY , i.e., debajo del limite
proporcional,
ndeformaciódeelásticaenergía
2
2
∫ == dV
E
U xσ
• Bajo carga axial, dxAdVAPx ==σ
∫=
L
dx
AE
P
U
0
2
2
AE
LP
U
2
2
=
• Para una barra de sección transversal uniforme,

11. Ejercicio
11 - 11

12. Ejercicio
11 - 12

13. Ejercicio
11 - 13
En la armadura que se muestra en la figura, todos los elementos
son del mismo material y tienen la sección transversal indicada.
Determine la energía de deformación de la armadura cuando se
aplica la carga P.

14. Energía de deformación elástica para esfuerzos
normales
11 - 14
I
yM
x =σ
• Para una viga sometida a una carga de
flexión,
∫∫ == dV
EI
yM
dV
E
U x
2
222
22
σ
• Haciendo dV = dAdx,
dx
EI
M
dxdAy
EI
M
dxdA
EI
yM
U
L
L
A
L
A
∫
∫ ∫∫ ∫
=








==
0
2
0
2
2
2
0
2
22
2
22
• Para una viga en voladizo con una carga
en el extremo,
EI
LP
dx
EI
xP
U
PxM
L
62
32
0
22
==
−=
∫

15. Problema de muestra 11.2
11 - 15
a) Tomando en cuenta únicamente
esfuerzos normales debidos a flexión,
determine la energía de deformación
de la viga para la carga mostrada.
b) Evalué la energía de deformación
conociendo que la viga es de un perfil
W10x45, P = 40 kips, L = 12 ft, a = 3
ft, b = 9 ft, y E = 29x106
psi.
SOLUCIÓN:
• Determine las reacciones en A y B
del diagrama de cuerpo libre de la
viga completa.
• Integrar sobre el volumen de la
viga para encontrar la energía de
deformación.
• Aplicar las condiciones particulares
para evaluar la energía de
deformación.
• Desarrolle un diagrama de la
distribución momento flector.

16. Problema de muestra 11.2
11 - 16
SOLUCIÓN:
• Determine las reacciones en A y B
del diagrama de cuerpo libre de la
viga completa.
L
Pa
R
L
Pb
R BA ==
• Desarrollar un diagrama de
distribución del momento
flexionante.
v
L
Pa
Mx
L
Pb
M == 21

17. Problema de muestra 11.2
11 - 17
v
L
Pa
M
x
L
Pb
M
=
=
2
1
BD,Tramo
AD,Tramo
43
in248ksi1029
in.108in.36a
in.144kips45
=×=
==
==
IE
b
LP
• Integrar sobre el volumen de la viga para
encontrar la energía de deformación.
( )ba
EIL
baPbaab
L
P
EI
dxx
L
Pa
EI
dxx
L
Pb
EI
dv
EI
M
dx
EI
M
U
ba
ba
+=








+=






+





=
+=
∫∫
∫∫
2
2223232
2
2
0
2
0
2
0
2
2
0
2
1
6332
1
2
1
2
1
22
EIL
baP
U
6
222
=
( ) ( ) ( )
( )( )( )in144in248ksi10296
in108in36kips40
43
222
×
=U
kipsin89.3 ⋅=U

18. Carga de impacto
11 - 18
• Considerar una barra que es
golpeada en su extremo con un
cuerpo de masa m que se mueve
con una velocidad v0.
• La barra se deforma por la carga de
impacto. Los esfuerzos llegan a un
valor máximo σm y luego
desaparecen.
• Para determinar el esfuerzo máximo
σm
- Asumir que la energía cinética se
transfiere completamente a la
estructura, 2
02
1 mvUm =
- Asumir que el diagrama esfuerzo
deformación obtenido de un
ensayo quasi - estático también es
válido para una carga de impacto.
∫= dV
E
U m
m
2
2
σ
• El valor máximo de la energía de
deformación,
• Para el caso de una barra uniforme,
V
Emv
V
EUm
m
2
02
==σ

19. Ejemplo 11.06
11 - 19
Un cuerpo de masa m y velocidad v0
golpea el extremo de la barra no
uniforme BCD. Sabiendo que el
diámetro de la porción BC es dos
veces el diámetro de la porción CD,
Determine el valor máximo del
esfuerzo normal en la barra.
SOLUCIÓN:
• Debido al cambio en diámetro, la
distribución de esfuerzos normales no es
uniforme.
• Encontrar la carga estática Pm que
produce la misma energía de
deformación que el impacto.
• Evaluar el máximo esfuerzo
resultante de la carga estática Pm.

20. Ejemplo 11.06
11 - 20
SOLUCIÓN:
• Debido al cambio de diámetro, la
distribución de esfuerzos
normales no es uniforme.
E
V
dV
E
mvU
mm
m
22
22
2
02
1
σσ
≠=
=
∫
• Encontrar la carga estática Pm que
produce la misma energía de
deformación que el impacto.
( ) ( )
L
AEU
P
AE
LP
AE
LP
AE
LP
U
m
m
mmm
m
5
16
16
5
8
2
2
2 222
=
=+=
• Evaluar el esfuerzo máximo resultante
de la carga estática Pm
AL
Emv
AL
EU
A
P
m
m
m
2
0
5
8
5
16
=
=
=σ

21. Ejemplo 11.07
11 - 21
Un bloque de peso W se deja caer de
una altura h en el extremo libre de una
viga en voladizo. Determinar el valor
máximo del esfuerzo en la viga.
SOLUCIÓN:
• El esfuerzo normal varía linealmente a
lo largo de la viga, también varía
linealmente a lo largo de la sección
transversal.
• Encontrar la carga estática Pm que
produce la misma energía de
deformación que el impacto.
• Evaluar el esfuerzo máximo
resultante de la carga estática Pm

22. Ejemplo 11.07
11 - 22
SOLUCIÓN:
• Los esfuerzos normales varían
linealmente a lo largo de la viga,
también varían a lo largo de la
sección transversal.
E
V
dV
E
WhU
mm
m
22
22
σσ
≠=
=
∫
• Encontrar la carga estática Pm que
produce la misma enegía de
deformación que la carga de impacto.
Para una viga en voladizo,
3
32
6
6
L
EIU
P
EI
LP
U
m
m
m
m
=
=
• Evaluar el esfuerzo máximo
resultante de la carga estática Pm
( ) ( )22
66
cIL
WhE
cIL
EU
I
LcP
I
cM
m
mm
m
==
==σ

23. Ejercicio
11 - 23

24. Diseño para cargas de impacto
11 - 24
• Para el caso de una barra uniforme,
V
EUm
m
2
=σ
( )
( ) ( ) ( )
V
EU
VLcccLcIL
cIL
EU
m
m
m
m
24
//
6
4
12
4
124
4
12
2
=
===
=
σ
ππ
σ
• Para el caso de una viga en voladizo,
El esfuerzo máximo se
reduce por:
• uniformidad de esfuerzos
• bajo módulo de elasticidad con
alta resistencia a la cedencia.
• gran volumen
• Para el caso de una barra no uniforme,
( ) ( )
V
EU
ALLALAV
AL
EU
m
m
m
m
8
2/52/2/4
5
16
=
=+=
=
σ
σ

25. Trabajo y energía para una carga única
11 - 25
• Previamente se encontró la
energía de deformación al
integrar la densidad de energía
sobre el volumen.
Para una barra uniforme,
( )
AE
LP
dxA
E
AP
dV
E
dVuU
L
22
2
2
1
0
2
1
2
==
==
∫
∫ ∫
σ
• La energía de deformación puede ser
determinada por el trabajo de una carga
P1,
∫=
1
0
x
dxPU
• Para una deformación elástica,
112
12
12
1
00
11
xPxkdxkxdxPU
xx
==== ∫∫
• Conociendo la relación entre fuerza y
desplazamiento,
AE
LP
AE
LP
PU
AE
LP
x
2
2
11
12
1
1
1
=





=
=

26. Trabajo y energía para una carga única
11 - 26
• La energía de deformación puede ser encontrada del trabajo de otro tipo de
cargas individuales,
EI
LP
EI
LP
P
yPdyPU
y
63
32
1
3
1
12
1
112
1
0
1
=








=
== ∫
• Carga transversal en una
viga
EI
LM
EI
LM
M
MdMU
2
2
11
12
1
112
1
0
1
=





=
== ∫ θθ
θ
• Momento flexionante

27. Ejercicio
11 - 27
El collar D es liberado de la posición de reposo con la ubicación mostrada
en la figura y es detenido por una pequeña placa colocada en la barra
ABC en el extremo C. Determine la masa del collar para el cual los
esfuerzos máximos en la porción BC son de 125MPa.

28. Trabajo y energía bajo varias cargas
11 - 28
• La deflexión de una viga elástica sometida a
dos cargas concentradas,
22212122212
21211112111
PPxxx
PPxxx
αα
αα
+=+=
+=+=
• Aplicando las cargas en diferente orden se
tiene
( )2
1111221
2
2222
1 2 PPPPU ααα ++=
• Las expresiones de la energía de deformación
deben ser equivalentes. Se tiene que
α12=α21 (Teorema reciproco de Maxwell).
( )2
2222112
2
1112
1 2 PPPPU ααα ++=
• Calcular la energía de deformación en la viga
al evaluar el trabajo realizado al aplicar
lentamente la carga P1 y a continuación la
carga P2,

29. Teorema de Castigliano
11 - 29
( )2
2222112
2
1112
1 2 PPPPU ααα ++=
• La energía de deformación para una
estructura elástica sometida a dos cargas
concentradas,
• Derivando con respecto a las cargas,
2222112
2
1212111
1
xPP
P
U
xPP
P
U
=+=
∂
∂
=+=
∂
∂
αα
αα
• Teorema de Castigliano: Para una estructura
elástica sometida a n cargas, la deflexión xj
del punto de aplicación de Pj puede ser
expresado como
and
j
j
j
j
M
U
P
U
x
∂
∂
=
∂
∂
= θ

30. Deflexión por el teorema de
Castigliano
11 - 30
• La aplicación del teorema de Castigliano se
simplifica si la diferenciación con respecto a la
carga Pj se realiza antes de la integración para
obtener la energía de deformación U.
• En el caso de una viga,
∫∫ ∂
∂
=
∂
∂
==
L
jj
j
L
dx
P
M
EI
M
P
U
xdx
EI
M
U
00
2
2

31. Ejercicio
11 - 31