18178875.ppt

MECHANICS OF
MATERIALS
Seventh Edition
Ferdinand P. Beer
E. Russell Johnston, Jr.
John T. DeWolf
David F. Mazurek
Lecture Notes:
Brock E. Barry
U.S. Military Academy
CHAPTER
Copyright © 2015 McGraw-Hill Education. Permission required for reproduction or display.
2 Esfuerzo y
Deformación –
Carga Axial

MECHANICS OF MATERIALS
Seventh
Edition
Beer • Johnston • DeWolf • Mazurek
Contents
Stress & Strain: Axial Loading
Normal Strain
Stress-Strain Test
Stress-Strain Diagram: Ductile Materials
Stress-Strain Diagram: Brittle Materials
Hooke’s Law: Modulus of Elasticity
Elastic vs. Plastic Behavior
Fatigue
Deformations Under Axial Loading
Concept Application 2.1
Sample Problem 2.1
Static Indeterminate Problems
Problems Involving Temperature Change
Poisson’s Ratio
Multiaxial Loading: Generalized
Hooke’s Law
Dilatation: Bulk Modulus
Shearing Strain
Relation Among E, n, and G
Composite Materials
Sample Problem 2.5
Saint-Venant’s Principle
Stress Concentration: Hole
Stress Concentration: Fillet
Elastoplastic Materials
Plastic Deformations
Residual Stresses
Concept Applications 2.14, 2.15, 2.16
2 - 2

Seventh
Edition
Esfuerzo y Deformación: Carga Axial
2 - 3
• La idoneidad de una estructura o máquina puede depender de las
deformaciones en la estructura, así como de las tensiones inducidas bajo
la carga. Los análisis estáticos por sí solos no son suficientes.
• Considerar las estructuras como deformables permite determinar las
fuerzas y reacciones de los miembros que son estáticamente
indeterminadas.
• La determinación de la distribución de esfuerzos dentro de un miembro
también requiere la consideración de deformaciones en el miembro.
• El Capítulo 2 se ocupa de la deformación de un miembro estructural bajo
carga axial. Los capítulos posteriores se ocuparán de las cargas de torsión
y de flexión pura.

Seventh
Edition
Esfuerzo Normal
2 - 4
strain
normal
stress




L
A
P



Fig. 2.1 Varilla
cargada axialmente
sin deformar y
deformada.
L
A
P
A
P






2
2
Fig. 2.3 Se requiere el
doble de carga para obtener
la misma deformación 
cuando se duplica el área de
la sección transversal..
L
L
A
P







2
2
Fig. 2.4 La deformación se
duplica cuando se duplica la
longitud de la varilla
manteniendo la carga P y el
área de la sección
transversal A.

Seventh
Edition
Ensayo Esfuerzo-Deformación
2 - 5
Photo2.2 Máquina de ensayo universal utilizada
para ensayar probetas de tracción.
Photo 2.3 Probeta de ensayo de
tracción alargada con carga P y longitud
deformada L > L0.

Seventh
Edition
Diagrama Esfuerzo-Deformación: Material Ductil
2 - 6
Photo 2.4 Ductile material tested
specimens: (a) with cross-section
necking, (b) ruptured.
Fig. 2.6 Stress-strain diagrams of two typical ductile materials.

Seventh
Edition
Diagrama Esfuerzo-deformación: materiales frágiles
2 - 7
Fig 2.7 Stress-strain diagram for a typical brittle material.
Photo 2.5 Ruptured brittle materials specimen.

Seventh
Edition
Hooke’s Ley: Modulo de Elasticidad
2 - 8
• Por debajo del límite elástico
Elasticity
of
Modulus
or
Modulus
Youngs


E
E

• La resistencia se ve afectada por la
aleación, el tratamiento térmico y el
proceso de fabricación, pero la
rigidez (módulo de elasticidad) no.
Fig 2.11 Stress-strain diagrams for iron and
different grades of steel.

Seventh
Edition
Elastico vs. Plastico Comportamiento
2 - 9
• Si la deformación desaparece
cuando se elimina la tensión, se
dice que el material se comporta
elásticamente.
• Cuando la deformación no
vuelve a cero después de
eliminar la tensión, se ha
producido una deformación
plástica del material..
• El mayor esfuerzo para el que
esto ocurre se llama límite
elástico..
Fig. 2.13 Stress-strain response of ductile
material load beyond yield and unloaded.

Seventh
Edition
Fatiga
2 - 10
• Las propiedades de fatiga se
muestran en -N diagramas.
• Cuando el esfuerzo se reduce por
debajo del límite de resistencia,
las fallas por fatiga no ocurren
durante ningún número de ciclos
• Un elemento puede fallar debido
a la fatiga a niveles de tensión
significativamente inferiores a la
resistencia última si se somete a
muchos ciclos de carga.
Fig. 2.16 Typical -n curves.

Seventh
Edition
CONSIDERACIONES DE DISEÑO

Seventh
Edition
Deformations Under Axial Loading
2 - 12
AE
P
E
E 






• De Hooke’s Ley:
• De la definición de Esfuerzo:
L

 
• Resolviendo para deformación,
AE
PL


• Con variación en la carga, sección
transversal o propiedades de los materiales,


i i
i
i
i
E
A
L
P

Fig. 2.17 Undeformed and
deformed axially-loaded rod.

Seventh
Edition
Ejemplo
2 - 13
Determine la deformación de
la varilla de acero que se
muestra bajo las cargas dadas.
psi
10
29 6



E
SOLUCION:
• Divida la varilla en componentes en
los puntos de aplicación de carga.
• Aplicar un análisis de cuerpo libre
en cada componente para
determinar la fuerza interna
• Evalúe el total de las defermaciones
de los componentes.

Seventh
Edition
2 - 14
SOLUTION:
• Divide la varilla en tres
componentes:
2
2
1
2
1
in
9
.
0
in.
12




A
A
L
L
2
3
3
in
3
.
0
in.
16


A
L
• Aplique el análisis de cuerpo libre a cada
componente para determinar las fuerzas
internas,
lb
10
30
lb
10
15
lb
10
60
3
3
3
2
3
1







P
P
P
• Evaluar la deformación total,
     
in.
10
9
.
75
3
.
0
16
10
30
9
.
0
12
10
15
9
.
0
12
10
60
10
29
1
1
3
3
3
3
6
3
3
3
2
2
2
1
1
1










 




















A
L
P
A
L
P
A
L
P
E
E
A
L
P
i i
i
i
i

in.
10
9
.
75 3




Ejemplo:

Seventh
Edition
Ejemplo:
2 - 15
La barra rígida BDE está soportada por
dos eslabones AB y CD.
El eslabón AB está hecho de aluminio (E =
70 GPa) y tiene un área de sección
transversal de 500 mm2. El enlace CD está
hecho de acero (E = 200 GPa) y tiene un
área de sección transversal de (600 mm2).
Para la fuerza de 30 kN que se muestra,
determine la deformación (a) de B, (b) de
D y (c) de E.
SOLUCION:
• Aplique un análisis de cuerpo libre a
la barra BDE para encontrar las
fuerzas ejercidas por los vínculos
AB y DC.
• Evalúe la deformación de los
elementos AB y DC o los
desplazamientos de B y D.
• Calcule la geometría para encontrar
la deflexión en E dadas las
deflexiones en B y D.

Seventh
Edition
2 - 16
Free body: Bar BDE
 
 
n
compressio
F
F
F
tension
F
F
F
M
AB
AB
AB
CD
CD
CD
B
kN
60
kN
60
m
2
.
0
m
4
.
0
kN
30
0
0
M
kN
90
kN
90
m)
2
.
0
(
m
6
.
0
(
kN)
30
0
0
D


















SOLUTION: Displacement of B:
  
  
m
10
514
Pa
10
70
m
10
500
m
3
.
0
N
10
60
6
9
2
6
-
3










AE
PL
B


 mm
514
.
0
B

Displacement of D:
  
  
m
10
300
Pa
10
200
m
10
600
m
4
.
0
N
10
90
6
9
2
6
-
3








AE
PL
D


 mm
300
.
0
D

Ejemplo

Seventh
Edition
2 - 17
Displacement of D:
 
mm
7
.
73
mm
200
mm
0.300
mm
514
.
0






x
x
x
HD
BH
D
D
B
B

 mm
928
.
1
E

 
mm
928
.
1
mm
7
.
73
mm
7
.
73
400
mm
300
.
0






E
E
HD
HE
D
D
E
E


Ejemplo

Seventh
Edition
Problemas estaticamente indeterminados
2 - 18
• Las estructuras para las que las fuerzas y
reacciones internas no pueden determinarse solo a
partir de la estática se dice que son estáticamente
indeterminadas.
0


 R
L 


• Las deformaciones debidas a cargas reales y
reacciones redundantes se determinan por separado
y luego se suman.
• Las reacciones redundantes se reemplazan con
cargas desconocidas que, junto con las otras
cargas, deben producir deformaciones
compatibles.
• Una estructura será estáticamente
indeterminada siempre que esté sostenida por
más soportes de los necesarios para mantener
su equilibrio.
Fig. 2.23

Seventh
Edition
Ejemplo:
2 - 19
Determine las reacciones en A y B para la barra
de acero y la carga que se muestran, suponiendo
un ajuste perfecto en ambos soportes antes de
aplicar las cargas.
• Resuelva la reacción en RA debido a las cargas
aplicadas y la reacción encontrada en RB
• Exigir que los desplazamientos debidos a las
cargas y debido a la reacción redundante sean
compatibles, es decir, exigir que su suma sea
cero.
• Resuelva el desplazamiento en B debido a la
reacción redundante en RB.
SOLUCION:
• Considere la reacción en B como redundante,
suelte la barra de ese soporte y resuelva el
desplazamiento en B debido a las cargas
aplicadas.

Seventh
Edition
2 - 20
SOLUTION:
• Resuelva el desplazamiento en B debido a las cargas
aplicadas con la restricción redundante liberada
E
E
A
L
P
L
L
L
L
A
A
A
A
P
P
P
P
i i
i
i
i
9
L
4
3
2
1
2
6
4
3
2
6
2
1
3
4
3
3
2
1
10
125
.
1
m
150
.
0
m
10
250
m
10
400
N
10
900
N
10
600
0























• Resuelva el desplazamiento en B debido a la
restricción redundante,
 
















i
B
i
i
i
i
R
B
E
R
E
A
L
P
δ
L
L
A
A
R
P
P
3
2
1
2
6
2
2
6
1
2
1
10
95
.
1
m
300
.
0
m
10
250
m
10
400

Seventh
Edition
2 - 21
• Requerir que los desplazamientos debidos a las cargas y
debidos a la reacción redundante sean compatibles,
 
kN
577
N
10
577
0
10
95
.
1
10
125
.
1
0
3
3
9











B
B
R
L
R
E
R
E




• Encuentre la reacción en A debido a las cargas y la reacción
en B
kN
323
kN
577
kN
600
kN
300
0

 




A
A
y
R
R
F
kN
577
kN
323


B
A
R
R

Seventh
Edition
Problems Involving Temperature Change
2 - 22
• Un cambio de temperatura da como resultado un
cambio en la longitud o esfuerzo térmico. No hay
esfuerzo asociado con la deformación térmica a
menos que los apoyos restrinjan el alargamiento.
 
expansion
thermal
of
t
coefficien








AE
PL
L
T P
T
• Trate el soporte adicional como redundante y
aplique el principio de superposición.
0


 P
T 


• La deformación térmica y la deformación del
soporte redundante deben ser compatibles.
 
 
 
T
E
A
P
T
AE
P
AE
PL
L
T













 0
Fig. 2.26 (partial)
Fig. 2.27 Método de superposición para encontrar la fuerza en el
punto B de la barra restringida AB que experimenta expansión
térmica. (a) Longitud inicial de la varilla; (b) longitud de la barra
expandida térmicamente; (c) la fuerza P empuja el punto B de vuelta
a la deformación cero.

Seventh
Edition
Ejemplo

Seventh
Edition
Ejemplo
• Problema estáticamente indeterminado, se
desprende la barra de su soporte en B y se
deja pasar por el cambio de temperatura.
• La deformación correspondiente es:
• Se aplica la Fuerza desconocida RB

Seventh
Edition
Ejemplo
• Al imponer las condiciones de Frontera:

Seventh
Edition
Ejemplo
• Obtenemos los valores de esfuerzos:

Seventh
Edition
EJEMPLO

Seventh
Edition
EJEMPLO
• Por equilibrio estático:
• Después de la aplicación de la Carga de los 10kips la posición de la barra
es A’BC’D’, :
por triángulos semejantes tenemos

Seventh
Edition
EJEMPLO
De la ecuación de deformación Sabemos que:
Por sustitución tenemos:

Seventh
Edition
EJEMPLO
Sustituimos FCE en la ecuación por equilibrio estático:
Hallamos la deflexión en el punto D:

Seventh
Edition
EJEMPLO
Hallamos la deflexión en el punto A:

Seventh
Edition
EJEMPLO
Se utiliza el método de superposición considerando a RB como redundante:

Seventh
Edition
Debido al incremento de Temperatura de 50 deg – 20 deg=
30 deg, la longitud del cilindro del latón aumenta en :

Seventh
Edition
EJEMPLO
Hallamos la deflexión:
De la primera ecuación por estática tenemos que:

Seventh
Edition
EJEMPLO
Pero;
Podemos calcular el esfuerzo en el cilindro:

Seventh
Edition
RELACION DE POISSON (n)
Para un material homogéneo e isotrópico se pueden relacionar la deformación
lateral con la axial mediante la relación de poisson.

Seventh
Edition
RELACION DE POISSON (n)

Seventh
Edition
DEFORMACION ANGULAR g
G

Seventh
Edition
Relación entre G,E y n

Seventh
Edition
Ejercicios:
150kN
50kN 60kN
60kN
50kN
150kN

Seventh
Edition
Ejercicios:

Seventh
Edition

Seventh
Edition
A B C

Seventh
Edition
1200 kip
800 kip
400 kip

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