Este documento presenta el uso del círculo de Mohr para analizar estados de esfuerzo en un punto. Explica los pasos para trazar el círculo de Mohr a partir de los esfuerzos normales y cortantes dados, y cómo usarlo para determinar los esfuerzos principales, esfuerzo cortante máximo, y ángulos de orientación. Luego, presenta una serie de ejercicios que ilustran cómo aplicar el método del círculo de Mohr para resolver problemas de resistencia de materiales.

1. TÉCNICO SUPERIOR UNIVERSITARIO EN MECÁNICA
ASIGNATURA:
RESISTENCIA DE MATERIALES.
CATEDRATICO:
ING. FRANCISCO JAVIER ESCOBAR HERNÁNDEZ.
NOMBRE DEL TRABAJO:
PROBLEMARIO CORRESPONDIENTE AL TERCER PARCIAL.
NOMBRE:
RICARDO SAN JUAN TOMAS
GRUPO:
3º F
HUEJUTLA DE REYES, HGO. Julio del 2015.

2. I. Círculo de Mohr
El uso del círculo de Mohr permite entender mejor el caso general de esfuerzo en un
punto.
Este método fue presentado por primera vez por Otto Mohr en 1895, el círculo permite un
cálculo rápido y exacto de:
1. Los esfuerzos principales máximo y mínimo ( ).
2. El esfuerzo cortante máximo. √* ( )+
3. Los ángulos de orientación del elemento sometido al esfuerzo principal y del
elemento sometido al esfuerzo cortante máximo. [
( )
],
[
( )
]
4. El esfuerzo normal que existe junto con el esfuerzo cortante máximo que actúan
en el elemento sometido al esfuerzo cortante máximo.
5. La condición de esfuerzo a cualquier orientación angular del elemento sometido a
esfuerzo.

3. 1.1 Convenciones de signos:
1. Los esfuerzos normales positivos (de tensión) actúan hacia la derecha.
2. Los esfuerzos normales negativos (de compresión) actúan hacia la izquierda.
3. Los esfuerzos cortantes que tienden a girar el elemento sometido a esfuerzo en
sentido de las manecillas del reloj se marcan hacia arriba en el eje .
4. Los esfuerzos cortantes que tienden a girar el elemento sometido a esfuerzo en
sentido contrario al de las manecillas del reloj se marcan hacia abajo.
1.2 Procedimiento para trazar el círculo de Mohr.
1. Identifique la condición de esfuerzo en el punto de interés y represéntelo como el
elemento sometido a esfuerzo inicial.
2. La combinación de y se marca como punto 1 en el plano .
3. La combinación de y se marca entonces como punto 2. Observe que
siempre actúan en direcciones opuestas. Por consiguiente, un punto se
marca arriba del eje y el otro debajo.
4. Trace una línea recta entre los dos puntos.
5. Esta línea corta el eje en el centro del circulo de Mohr, el cual también es el
valor del esfuerzo normal promedio aplicado al elemento sometido a esfuerzo
inicial. El centro se localiza con los datos utilizados para marcar los puntos o se
calcula con la ecuación:
( )
Por comodidad, designe el centro como O.

4. 6. Identifique la línea que parte del punto O y pasa por el punto 1 ( ) como eje
x.
Esta línea corresponde al eje x original y es esencial para correlacionar los datos
del circulo de Mohr con las direcciones originales x y y.
7. Los puntos y el punto 1 forman un triángulo rectángulo importante porque
las distancia del punto O al punto 1, la hipotenusa del triángulo, es igual al radio
del círculo, R. si llamamos a y b a los otros dos lados, se pueden hacer los calculo
siguientes.
( )
√ √[ ( )]
La longitud del radio del círculo de Mohr es igual a la magnitud del esfuerzo
cortante máximo.
8. Trace el circulo completo con el centro en O y el radio R.
9. Trace el diámetro vertical del círculo. Las coordenadas del punto situado en la
parte superior del círculo son ( ) donde el esfuerzo cortante actúa en
sentido de las manecillas del reloj. El punto situado en la parte inferior del circulo
representa ( ) donde el esfuerzo cortante actúa en sentido contrario a
las manecillas del reloj.

5. 10. Identifique los puntos en el eje s en los extremos del diámetro horizontal como
a la derecha (el esfuerzo principal máximo) y a la izquierda (el esfuerzo
principal mínimo). Obsérvese que el esfuerzo cortante es cero es estos puntos.
11. Determine los valores de con:
Donde “O” representa la coordenada del centro del círculo, y r es su
radio.
Los pasos siguientes determinen los ángulos de orientación del elemento sometido
al esfuerzo principal y del elemento sometido al esfuerzo cortante máximo un
concepto importante a recordar es que los ángulos obtenidos con el circulo de
Mohr son el doble de los ángulos verdaderos. La razón de esto es que las
ecuaciones en las que ésta basado, las ecuaciones son funciones de .
12. La orientación del elemento sometido a esfuerzo principal se determina
calculando el ángulo que forma el eje x y con el eje designa con los datos
que contiene el circulo se puede ver que:
( )
El argumento de esta función tangente inversa corresponde al valor absoluto del
argumento mostrado en la ecuación. Los problema que provocan los signos del

6. ángulo resultante se evitan considerando la dirección del eje x al eje en el
círculo, en el sentido de las manecillas del reloj.
13. Trace el elemento sometido a esfuerzo principal en su orientación apropiada
determinada con el paso 12, con los esfuerzos principales y mostrados.
14. La orientación del elemento sometido a esfuerzo cortante máximo se determina
con el ángulo del eje x al eje designado
15. Trace el elemento sometido a esfuerzo cortante máximo en su orientación
apropiada, determinada con el paso 14, con los esfuerzos cortantes y el esfuerzo
normal promedio en las cuatro caras.

7. 1.3 Ejercicio: 1
Se determinó que en un punto de un miembro de carga se encuentra la siguiente
conducción de esfuerzo, los esfuerzos en un plano sobre una sección oblicua cortadas según un
ángulo de 60° con respecto al eje mostrado en la figura. Determine:
a) Esfuerzos principales y direcciones.
b) Esfuerzo cortante máximo y su dirección y el esfuerzo normal que actúa ahí.
c) Represente los resultados en el elemento y proporcionalmente orientados.
Datos:
( )
( )
( )
( )( )
𝑃 𝑙𝑏
𝑇 𝑙𝑏 𝑓𝑡

8. √( )
√( ) ( )
[
( )
]
[
( )
]
√( )
[
( )
]

9. 1.4 Círculo de Mohr 1
Esfuerzo inicial: Esfuerzo principal:
Esfuerzo cortante máximo

10. 1.5 Ejercicio: 2
Determine el estado de esfuerzo equivalente sobre un elemento en el mismo punto que
representa el esfuerzo cortante máximo en el plano en ese punto.
Datos:
( ) √[ ( )]
( ) √[ ( )] ( )

11. [
( )
]
[
( )
]
√[ ( )]
√[ ( )] ( )
[
( )
]
[
( )
]

12. 1.6 Circulo de Mohr: 2
Esfuerzo inicial: Esfuerzo principal:
Esfuerzo cortante máximo

13. 1.7 Ejercicio: 3
Determine el estado de esfuerzo equivalente sobre un elemento en el mismo punto
orientado a 45° en sentido horario con respecto al elemento mostrado en la figura.
Datos:
( ) ( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
( ) ( )

14. ( ) √[ ( )]
( ) √[ ( )] ( )
[
( )
]
[
( )
]
√[ ( )]
√[ ( )] ( )
[
( )
]
[
( )
]

15. 1.7 Circulo de Mohr: 3
Esfuerzo inicial: Esfuerzo principal:
Esfuerzo cortante máximo

16. 1.8 Ejercicio: 4
Determine los esfuerzos principales, el esfuerzo cortante máximo en el plano y el
esfuerzo promedio especifique la orientación del elemento en cada cao y dibuje el círculo de
Mohr con todos los puntos críticos.
Datos:
( ) √[ ( )]
( ) √[ ( )] ( )
[
( )
]
[
( )
]
5 ksi
15 ksi

17. √[ ( )]
√[ ( )] ( )
[
( )
]
[
( )
]

18. 1.9 Círculo de Mohr 4
Esfuerzo inicial: Esfuerzo principal:
Esfuerzo cortante máximo

19. 1.10 Ejercicio: 5
El eje propulsor AB del helicóptero, con 2 pulg. de diámetro, se somete a una tensión
axial de 10 000 lb y a un par de torsión de 300 lb ⋅ pie. Determine los esfuerzos principales y el
esfuerzo cortante máximo en el plano que actúan en un punto sobre la superficie del eje.
Datos:
( )
( )( )

20. ( ) √[ ( )]
( ) √[ ( )] ( )
[
( )
]
[
( )
]
√[ ( )]
√[ ( )] ( )
[
( )
]
[
( )
]

21. 1.11 Circulo de Mohr 5
Esfuerzo inicial: Esfuerzo principal:
Esfuerzo cortante máximo

22. 1.12 Ejercicio 6
El eje propulsor del remolcador está sometido a la fuerza de compresión y al par
mostrados. Si el eje tiene un diámetro interior de 100 mm y un diámetro exterior de 150 mm,
determine los esfuerzos principales en un punto A ubicado sobre la superficie externa.
Datos:
( )
( )( )
( )
( )

23. ( ) √[ ( )]
( ) √[ ( )] ( )
[
( )
]
[
( )
]
√[ ( )]
√[ ( )] ( )
[
( )
]
[
( )
]

24. 1.13 Circulo de Mohr 6
Esfuerzo inicial: Esfuerzo principal:
Esfuerzo cortante máximo