Este documento describe la potencia de un punto respecto a una circunferencia y su aplicación a tangencias. También explica cómo encontrar el eje radical de dos circunferencias, que es perpendicular a la línea de centros y pasa a través del punto de tangencia común o el punto medio del segmento de la recta tangente común. Además, proporciona métodos gráficos para determinar el eje radical en casos directos y generales, así como el centro radical, que es el punto con igual potencia respecto a tres circunferencias.

1. S.B.A.
POTENCIA (de un punto respecto de una circunferencia)
Denominamos así al valor constante de la razón entre las distancias de un punto dado a dos puntos de una circunferen-
cia alineados con él.
Su valor radica en la aplicación a tangencias,
ya que si como se demostró en clase K es constante,
la distancia del punto P a los pies de las
tangentes trazadas desde el P a la circunferencia
tendrán la misma medida, como se aprecia en el dibujo.
EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
(OJO: el punto lo consideraremos una circunferencia de r=0,
y la recta una circunferencia de r infinito)
r=
PA.PA´=PT1
.PT2
= K
PT1
=PT2
PT2
=K
PT=
El eje radical es siempre perpendicular a la línea de
centros de las circunferencias y pasa por el punto medio
de el segmento T1
T2.,
de la recta tangente común a ambas
circunferencias.
Además cumple la misma característica, como K es cons-
tante la distancia del punto P a los pies de las tangentes
trazadas desde el P a las dos circunferencias
tendrán la misma medida, como se aprecia en el dibujo.
Atención a...
(OJO: el punto lo consideraremos una circunferencia de
r=0, y la recta una circunferencia de r infinito, tanto para
hallar el eje radical como para hallar el centro radical)

2. S.B.A.
MÉTODO GRÁFICO PARA DETERMINAR EL EJE RADICAL DE DOS CIRCUNFERENCIAS
CASOS DIRECTOS:
1-. El eje radical de dos circunferencias exteriores
es perpendicular a la linea de centros y pasa por el
punto de tangencia común a ambas.
2-. El eje radical de dos circunferencias interiores
es perpendicular a la linea de centros y para por el
punto de tangencia común a ambas.
3-. El eje radical de dos circunferencias secantes es
el perpendicular a la linea de centros resultante de
unir los puntos donde ambas circunferencias son
secantes.
MÉTODO GENERAL
Trazado del eje radical de dos circunferencias
cualquiera.
Basándonos en los ejes radicales que podemos obtener de for-
ma directa, trataremos de encontrar un punto del eje radical,
que tenga igual potencia de las dos circunferencias. Si traza-
mos una circunferencia auxiliar cualquiera que sea secante
con ambas dos, dadas, podremos obtener por la interseccion
de los ejes radicales con la auxiliar un punto que tiene igual
potencia para las tres, luego también para las dos dadas. Si
además sabemos que el eje radical es perpendicular a la linea
de centros, trazando la perpendicular por el punto de intersec-
ción de los dos ejes radicales, x, ya habremos hallado el eje
radical de dos circunferencias cualquiera.
CASOS ESPECIALES:
1-. El eje radical de una circunferencia y
una recta, entendida esta como una circun-
ferencia de r infinito, es la misma recta.
2-. El eje radical de una circunferencia y un
punto será el resultado de aplicar el método
general, teniendo en cuenta que el punto P
es una circunferencia de radio 0, luego en
vez de secante la auxiliar será otra circunfe-
rencia que pase por P y secante con c.
CENTRO RADICAL
Es el lugar geométrico del plano que tiene igual
potencia respecto de tres circunferencias, y es
definido con un único punto, resultante de la
intersección de los ejes radicales de las circunfe-
rencias dos a dos. (Fig. 4).
El arco de CR a T nos da todos los puntos de tan-
gencia de las rectas tangentes trazadas desde CR
a las circunferencias, ya que tiene igual potencia,
luego es una distancia constante, .
e
A B
A B
e
A B
e
A
C
x
e(ac)
e(bc)e(ab)
B
A
C
A
C
A
C
e(ac)
e(bc)e(ab)
B
T
T
T
T
CR