El documento describe diferentes métodos para resolver empalmes entre curvas. Explica cómo determinar el centro y los puntos de empalme para unir: 1) dos rectas con un arco, 2) una recta y un arco con un arco, 3) dos arcos con un arco. También presenta construcciones geométricas útiles como trazar mediatrices, bisectrices de ángulos, tangentes y más.

1. SISTEMAS DE
REPRESENTACIÓN
U.D. 7 – EMPALMES

2. ¿Qué es un empalme?
Es un enlace de líneas, en donde al
menos una de ellas es curva.

3. Condiciones que debe reunir un
empalme
Las curvas en el punto de empalme deben
coincidir, como así también sus tangentes
(queremos que las curvas sean continuas y
derivables, es decir que haya un paso
“suave” de una curva a otra).

4. ¿En qué consiste resolver el
empalme?
• Hallar el centro de la circunferencia de
empalme
• Determinar los puntos de empalme

5. Casos y solución general
1. Dos rectas
2. Un arco y una recta
3. Otros dos arcos
Se pueden empalmar entre sí con un arco:

6. Antes de plantear los distintos
casos, veremos algunas
construcciones geométricas que
nos servirán

7. Trazado de mediatriz

8. Trazado de mediatriz

9. Trazado de mediatriz

10. Trazado de mediatriz

11. Trazado de mediatriz

12. Trazado de bisectriz de un ángulo

13. Trazado de bisectriz de un ángulo

14. Trazado de bisectriz de un ángulo

15. Trazado de bisectriz de un ángulo

16. Trazado de bisectriz de un ángulo

17. Teorema
El ángulo inscripto en una circunferencia, es la
mitad del ángulo central que barre el mismo
arco

18. Corolario del teorema anterior
El ángulo inscripto
en una
semicircunferencia,
es recto

19. Recta tangente a una
circunferencia
La recta tangente a una circunferencia es
perpendicular a la recta que une el centro con el
punto de tangencia (radio).
Podemos utilizar este procedimiento o recurrir al
siguiente:

20. Recta tangente a una
circunferencia
Datos:
- Centro
- Radio de la
circunferencia
- Posición del punto

21. Recta tangente a una
circunferencia
Con centro en el
punto de tangencia T
y radio igual a CT
trazo una
circunferencia

22. Recta tangente a una
circunferencia
En la intersección de
los 2 círculos, punto P,
hacer centro con igual
radio y trazar un
nuevo círculo que
pasará por los puntos
C y T.
P

23. Recta tangente a una
circunferencia
La recta CP, define
al punto R y CR es el
diámetro de la
circunferencia de
centro P

24. Recta tangente a una
circunferencia
R unido con T, da la
tg buscada, ya que el
ángulo CTR es recto

25. Circunferencia de radio conocido
tangente exterior en P a otra
Datos: centro y radio de una
circunferencia, punto de tangencia y radio
de la circunferencia exterior
http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=document
_general_info&cPath=304_388&products_id=283

26. Circunferencia de radio conocido
tangente exterior en P a otra
Datos:
- Centro O
- Radio de la
circunferencia,
- Posición del punto de
tangencia
- Radio de la otra
circunferencia

27. Circunferencia de radio conocido
tangente exterior en P a otra
Datos:
- Centro y radio
de la
circunferencia,
- Posición del
punto de tgcia.
- Radio de la otra
circunferencia

28. Circunferencia de radio conocido
tangente exterior en P a otra
Datos:
- Centro y radio de
la circunferencia,
- Posición del punto
de tgcia. y
- Radio de la otra
circunferencia

29. Tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior
Datos:
- Centro y
- Radio de la
circunferencia
- Posición del punto

30. Tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior
Se determina el punto medio del segmento OP = M

31. Tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior
Se traza la circunferencia de centro M y radio MP,
que define los puntos A y B

32. Tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior
Uniendo P con A y con B, se obtienen las
tangentes buscadas

33. Tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior

34. Tangentes interiores a dos
circunferencias
Datos:
- Posiciones de los centros y
- Radios de las circunferencias

35. Tangentes interiores a dos
circunferencias

36. Construyo una circunferencia de R = R1 + R2 y centro en
O2 (circunferencia de R mayor)
Tangentes interiores a dos
circunferencias

37. Determino el punto medio del segmento O1 O2
Tangentes interiores a dos
circunferencias

38. Con centro en M, trazo una circunferencia de R = MO1
Tangentes interiores a dos
circunferencias

39. La intersección de las dos circunferencias trazadas define A.
Dibujo los segmentos AO1 y AO2
Tangentes interiores a dos
circunferencias

40. Por P1 trazo una paralela a AO2 definiendo tg1.
Por P2 trazo una paralela a AO1 definiendo tg2
Tangentes interiores a dos
circunferencias

41. Tangentes interiores a dos
circunferencias

42. Tangentes interiores a dos circunferencias
Paso 1. Trazar las circunferencias de R1 y R2 separadas la distancia O1-O2
Paso 2. Por el punto medio M (entre O1 y O2), trazar la circunferencia de radio O1-M.
Paso 3. Con centro O1, trazar la circunferencia de radio = R1+R2; quedan definidos los
puntos A y B.
Paso 4. Uniendo O1 con A y B, se determinan los puntos de empalme E1 y E3.
Paso 5. Por O2 se traza una paralela a O1-A; queda determinado el punto de empalme E2
Por O2 se traza una paralela a O1-B; queda determinado el punto de empalme E4
Paso 6. Se une E1 con E2: tangente interna buscada
Se une E3 con E4: tangente interna buscada

43. Tangentes exteriores a dos
circunferencias
Datos: centros y radios de las
circunferencias
http://www.rena.edu.ve/TerceraEtapa/dibujoTecnico/swf/Tan
gentesDosCircunfRadiosDiferentes.swf
http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=document_
general_info&cPath=304_388&products_id=280

44. Tangentes exteriores a dos
circunferencias

45. Tangentes exteriores a dos
circunferencias

46. Tangentes exteriores a dos
circunferencias

47. Tangentes exteriores a dos
circunferencias

48. Tangentes exteriores a dos
circunferencias

49. Tangentes exteriores a dos
circunferencias

50. Tangentes exteriores a dos
circunferencias

51. Tangentes exteriores a dos
circunferencias

52. Ahora planteamos los tres
casos de empalmes, que pueden
reducirse al tercero si
consideramos a una recta como
una circunferencia de radio
infinito

53. 1. Circunferencia de radio
conocido tangente a dos rectas
http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=documen
t_general_info&cPath=304_388&products_id=279
Datos:
- Las posiciones de las dos rectas y
- El radio de la circunferencia de
empalme

54. EMPALME DE DOS RECTAS MEDIANTE
UN ARCO DE CIRCUNFERENCIA
DATOS:
Dos rectas
Radio del empalme Re
PASO 1
Trazar dos rectas paralelas a las originales a una
distancia Re de cada una de ellas.
El punto de intersección de estas dos rectas es el
centro de la curva de empalme
Re
Re
PASO 2
Trazar una perpendicular a cada una de las rectas,
desde Oe y hasta cortar las rectas originales. Las
intersecciones indican el inicio y el fin de la curva de
empalme.
Oe
I
FF
PASO 3
Trazar un arco de circunferencia de radio
Re y con centro en Oe, desde I hasta F.

55. 2. Circunferencia de radio conocido
tangente a recta y circunferencia
Datos:
- Centro y radio de una circunferencia,
- Recta y
- Radio de la circunferencia de empalme
http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=docume
nt_general_info&cPath=304_388&products_id=286

56. EMPALME DE UNA RECTA CON UN ARCO
DE CIRCUNFERENCIA
O2
R2
DATOS:
Recta
Arco de circunferencia (O2, R2)
Radio del empalme (Re)
Condición: Re < R2
PASO 1: Determinar el centro de la curva de
empalme
Trazar una paralela a la recta a una
distancia Re y un arco de dircunferencia con
centro en Oe y radio igual a R2-Re
R2-Re
Oe
PASO 2: Determinar el inicio de la curva de
empalme
Trazar una perpendicular a la recta desde
Oe. La intersección con la recta indica el
inicio de la curva de empalme (I)
I
PASO 3: Determinar el fin de la curva de empalme
Trazar la recta que une O2 con Oe. La intersección de
ésta con el arco de circunferencia es el fin de la curva
de empalme.
F
Re
PASO 4: Trazar el empalme
Trazar un arco de circunferencia de radio Re y con
centro en Oe, desde I hasta F

57. 3. Circunferencia de radio
conocido tangente a otras dos
Datos:
- Centros y
- Radios de dos de las circunferencias
- Radio de la circunferencia de empalme
http://www.tododibujo.com/index.php?main_page=document
_general_info&cPath=304_388&products_id=285

58. DATOS
Centro y radio de cada uno de los arcos de circunferencia iniciales (O1, R1, O2, R2) Radio del empalme (Re)
R1
O1
R2 + Re
R1 + Re
Oe
I
F
EMPALME DE DOS ARCOS DE CIRCUNFERENCIA MEDIANTE UN TERCERO
R2
PASO 1: Determinar el centro de la curva de empalme
Trazar dos arcos de circunferencia con centros en O1 y O2 y radios R1+Re y R2+Re respectivamente.
El punto donde se cortan estas dos curvas es el centro de la curva de emplame Oe.
PASO 2: Determinar inicio y fin de la curva de empalme
Unir O1 con Oe y O 2 con Oe. Los puntos donde estas rectas cortan a los arcos determinan el inicio y el
fin del empalme.
PASO 3: Trazar la curva de empalme
Con centro en Oe y radio Re, trazar un arco de circunferencia que une I con F.

59. Rectas paralelas unidas por dos
arcos con punto de arranque

60. Rectas paralelas unidas por dos
arcos con punto de arranque

61. Rectas paralelas unidas por dos
arcos con punto de arranque

62. Rectas paralelas unidas por dos
arcos con punto de arranque

63. Rectas paralelas unidas por dos
arcos con punto de arranque

64. Rectas paralelas unidas por dos
arcos con punto de arranque

65. Rectas paralelas unidas por dos
arcos con punto de arranque

66. Rectas paralelas unidas por dos
arcos con punto de arranque

67. Rectas paralelas unidas por dos
arcos con punto de arranque

68. ¡Cuidados al construir los empalmes!
• Como toda construcción debe hacerse primero
en trazado previo.
• Ajustar el compás antes del trazado, y afilar la
mina del mismo.
• Orden de trazado, en el trazado definitivo:
– Si hay curvas y rectas, primero se trazan las curvas,
ya que las rectas las podemos “acomodar”
– En los empalmes de tres curvas, primero se traza la
del centro, ya que al no tener extremos libres, no
hay posibilidad de “juego”

69. Aplicación del Teorema de Thales
a la división de un segmento

70. Aplicación del Teorema de Thales

71. Aplicación del Teorema de Thales

72. Aplicación del Teorema de Thales

73. Aplicación del Teorema de Thales

74. Aplicación del Teorema de Thales

75. Empalmar dos circunferencias, O y O’, mediante un arco de radio conocido r.
Emplear centro interior.
PROCEDIMIENTO:
1. Con centro en O y una abertura igual a la diferencia entre r y el radio de
la circunferencia O, trazamos un arco, el cual se cortará en el punto C al trazar otro
arco desde O’, con abertura igual a la diferencia entre r y el radio de la
circunferencia O’.
2. Unimos el punto C con los centros de las circunferencias mediante líneas, que al
prolongarse, determinan los puntos de tangencia T y T’.
3. Con centro en C y radio r, trazamos el arco de empalme que une los puntos T y T’.

76. Empalmar dos circunferencias, O y O’, mediante un arco de
radio conocido r. Emplear centro exterior y centro interior
PROCEDIMIENTO:
1. Con centro en O y una abertura igual a la diferencia entre r y el
radio de la circunferencia O, trazamos un arco, el cual se cortará en
el punto C al trazar otro arco desde O’, con abertura igual a la suma
de r mas el radio de la circunferencia O’.
2. 2. Unimos el punto C con los centros de las circunferencias mediante
líneas para determinar los puntos de tangencia.