1) Se describen conceptos geométricos relacionados con la tangencia como puntos de contacto, distancias constantes entre rectas paralelas, puntos equidistantes de dos rectas, y relaciones entre radios y centros de circunferencias. 2) Se explican diferentes casos de tangencia entre rectas, circunferencias y sus combinaciones, incluyendo propiedades y métodos para construirlas. 3) Se proporcionan detalles sobre cómo construir tangencias siguiendo diferentes condiciones como conocer radios, puntos o elementos geométricos.

1. epv3. curso 2009/2010
ies m. ballesteros (utiel)
josé m. latorre

2. Hablamos de tangencia como una relación entre dos o más elementos
que sólo tienen un punto de contacto, al que llamamos “punto de tangencia”…
T
T
T
… ¡ que siempre deberemos situar y marcar con exactitud !
t3. epv3. 09/10 2

3. Cualquier problema de tangencias se puede resolver a partir de unos pocos
conceptos geométricos elementales. Algunos de ellos ya los hemos trabajado
en clase y otros los descubriremos durante este tema.
1. Dos rectas paralelas siempre están a la misma distancia una de otra.
d
d2
d1 d1 P
d2
d
Cualquier punto que situemos entre ambas rectas definirá otra, separada de cada una de ellas por una distancia
constante. Si la recta pasa por un punto equidistante, la distancia respecto las dos rectas será la misma (d2).
Si lo que buscamos es un punto (P) que esté a la misma distancia (d) de dos rectas bastará con trazar sendas
paralelas a la distancia dada y obtener el punto de corte de ambas.
t3. epv3. 09/10 3

4. 2. Dos circunferencias no concéntricas, siempre Si son concéntricas, ambas circunferencias se
tendrán dos puntos de corte, que estarán encontrarán siempre separadas por la misma
situados a la misma distancia (el radio) de cada distancia. Dicha distancia será el resultado de la
uno de los centros. resta de sus radios.
P r1
d
r1 r2
r2
O
r1 r2
P´
t3. epv3. 09/10 4

5. 3. El conjunto de los puntos que forman cualquier arco de circunferencia se encuentran
siempre separados a la misma distancia del centro: el radio.
Por ello, cuando necesitemos trasladar medidas utilizaremos arcos de circunferencia.
d1
Por ejemplo, para situar un punto P que se
A P encuentra a una distancia determinada (d1)
del punto A y a otra distancia (d2) de B,
cruzamos dos arcos haciendo centro en los
B
respectivos puntos (A y B), aplicando en
P´ cada uno radio correspondiente.
d2
t3. epv3. 09/10 5

6. 4. La mediatriz de cualquier cuerda de una circunferencia pasará siempre por el centro de
dicha circunferencia.
A
Por lo tanto, el punto de corte de dos de esas
mediatrices determina el centro de la circunferencia.
B
O
t3. epv3. 09/10 6

7. TANGENCIA ENTRE RECTA Y CIRCUNFERENCIA
T
r
O
“la recta tangente es perpendicular al
radio que contiene el punto de tangencia”
t3. epv3. 09/10 7

8. TANGENCIA ENTRE DOS CIRCUNFERENCIAS.
En este caso pueden existir dos situaciones diferentes: que las circunferencias sean
exteriores o que una de ellas sea interior a la otra.
r1 O1
O1 r1 r2 O2 O2
r2
Un aspecto importante a considerar es la distancia entre los centros 01 y O2.
En el caso de que sean exteriores la distancia será igual a la suma de los radios (r1 + r2),
mientras que si son interiores la distancia será la resta del mayor menos el menor (r1-r2).
t3. epv3. 09/10 8

9. Sea cuál sea el caso, siempre se cumplirán dos propiedades:
T
T
“el punto de tangencia se encuentra sobre la línea que une los centros”
“la recta tangente a ambas circunferencias es perpendicular a la línea de centros”
t3. epv3. 09/10 9

10. RECTA TANGENTE A CIRCUNFERENCIA
T T
O O O
Trazar el radio que contiene Trazar la recta tangente al radio
el punto de tangencia T. pasando por el punto P
t3. epv3. 09/10 10

11. RECTAS TANGENTES A CIRCUNFERENCIA PASANDO POR UN PUNTO
O1 Para trazar las rectas tangentes, necesitamos situar los puntos de
O2 tangencia., que se encuentran en las intersecciones de la
circunferencia dada con otra que pasa por el punto P y el centro 01.
P
Trazar el segmento P01 y situar su punto medio: 02
T
T
O1
O2
O1
P
T’ P
T’
Trazar la circunferencia de centro 02 que pasa por 01 y por P y que Unir los puntos de tangencia con P.
corta a la dada en T y T’: puntos de tangencia.
t3. epv3. 09/10 11

12. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS RECTAS QUE SE CRUZAN CONOCIENDO EL RADIO
Se necesita situar un punto (el centro) que esté
a la misma distancia (el radio) de las dos rectas.
O
T Trazar sendas paralelas a cada una de las rectas, separadas
por una distancia igual al radio, hasta que se corten en 0.
O
T’
Trazar la circunferencia de radio dado y centro 0.
t3. epv3. 09/10 12

13. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A DOS RECTAS PARALELAS
Se necesita situar un punto (el centro) que esté
O a la misma distancia (la mitad) de las dos rectas.
Trazar una perpendicular y situar el punto medio 0.
T
O
Trazar la circunferencia de centro 0 y radio la mitad de la perpendicular
T’
t3. epv3. 09/10 13

14. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A UNA RECTA CONOCIDO UN PUNTO DE
PASO Y EL PUNTO DE TANGENCIA
Para trazar la circunferencia, sólo se necesita situar el centro,
ya que conocemos dos puntos de paso de la misma
T P
O T y P son puntos de paso (cuerda) de la circunferencia,
de manera que su mediatriz pasará por el centro.
T
P
La perpendicular a la tangente que pasa por T
es radio de la circunferencia.
t3. epv3. 09/10 14

15. RECTAS TANGENTES EXTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS
O1 O2
Trazar la circunferencia concéntrica a la mayor,
con un radio que sea igual a la resta de los dos.
P
P’
Trazar la circunferencia que pasa por los dos centros.
Corta a la circunferencia anterior en dos puntos P y P’.
t3. epv3. 09/10 15

16. T
P T
P’ T’
Unir 01 con P y con P’ hasta cortar la circunferencia en T y T’, puntos de tangencia.
Trasladar por paralelas directas a la otra circunferencia.
T’
T
T
T’
Unir los puntos de tangencia correspondientes en las dos circunferencias.
T’
t3. epv3. 09/10 16

17. RECTAS TANGENTES INTERIORES COMUNES A DOS CIRCUNFERENCIAS
O1 O2
Trazar la circunferencia concéntrica a la mayor,
P con un radio que sea igual a la suma de los dos.
O1 O2
Trazar la circunferencia que pasa por los dos centros.
Corta a la circunferencia anterior en dos puntos P y P’.
P’
t3. epv3. 09/10 17

18. T
T
T’
T’
Unir 01 con P y con P’ hasta cortar la circunferencia en T y T’, puntos de tangencia.
Trasladar por paralelas cruzadas a la otra circunferencia.
T
T
Unir los puntos de tangencia correspondientes en las dos circunferencias.
T’
T’
t3. epv3. 09/10 18

19. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA CONOCIDO EL RADIO
T
Trazar una semirrecta desde el centro 01 hacia el exterior de la circunferencia.
Desde el punto de corte T, medimos el radio sobre la recta.
O2’
O2
Trazar las circunferencias de radio dado y centros 02 y 02’.
t3. epv3. 09/10 19

20. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A OTRA CONOCIDO EL RADIO
Y UN PUNTO DE PASO
Hay que buscar los puntos que se encuentran a la misma
distancia (el radio) del punto P y de la circunferencia
r2
r1 O2
O1 P
O2’
r2
T O2
Trazar un arco de centro P y radio dado (r2). T’
Trazar otro arco de centro O1 y la suma del dado (r2) y el de la circunferencia (r1). O2’
Las intersecciones son los centros de las circunferencias buscadas.
Trazar las circunferencias de centro 02 y 02’ y radio r2.
t3. epv3. 09/10 20

21. CIRCUNFERENCIA TANGENTE A OTRA CONOCIDO EL PUNTO DE TANGENCIA
Y UN PUNTO DE PASO
T P
O1
Unir el centro 01 y T y prolongar (línea de centros)
T P
O1
O2
T P
Trazar la mediatriz del segmento TP, cuerda de la circunferencia
O1
El punto de corte de las 2 rectas anteriores es el centro de la circunferencia buscada.
t3. epv3. 09/10 21

22. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES COMUNES
A OTRAS DOS DADAS CONOCIENDO EL RADIO
Al ser exteriores, los centros de las circunferencias se
encuentran situados a una distancia igual a la suma de los radios
r3
r3
r1
r2
O3
Sumar los radios de las circunferencias (r1 y r2) y el dado (r3).
O1
O2
O3
T T O 3’
Trazar las circunferencias concéntricas de radio
igual a las sumas realizadas que se cortan en 03 y 03’.
T’ T’
O 3’
Trazar las circunferencias buscadas.
t3. epv3. 09/10 22

23. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES COMUNES
A OTRAS DOS DADAS CONOCIENDO EL RADIO
Al ser interiores, los centros de las circunferencias se
encuentran situados a una distancia igual a la resta de los radios
r3
O3 r3
r1 r2
Restar los radios de las circunferencias (r1 y r2) y el dado (r3).
O3
T
O3’ Trazar las circunferencias buscadas.
T
Trazar las circunferencias concéntricas de radio igual
a las restas realizadas que se cortan en 03 y 03’.
T’ T’
O3’
t3. epv3. 09/10 23

24. CIRCUNFERENCIAS TANGENTES A UNA RECTA Y A UNA CIRCUNFERENCIA
CONOCIENDO EL RADIO
O1
r2
r2
r1
Trazar la recta paralela separada a la distancia del radio.
O2 O2’
O1
T T’ Trazar la circunferencia concéntrica a la dada y de radio igual a la
O2 O2’ suma del dado r2 y el de la circunferencia r1. Cortará a la
paralela en 02 y 02’.
Trazar las circunferencias buscadas.
t3. epv3. 09/10 24