Este documento trata sobre la respuesta transitoria de circuitos eléctricos de primer y segundo orden. En la unidad V se analizan los circuitos RC y RL sin fuentes, encontrando funciones exponenciales para la evolución de la tensión y corriente. En la unidad VI se estudian circuitos RLC, pudiendo ser la respuesta sobre amortiguada, subamortiguada o con amortiguamiento crítico. Finalmente, se describen elementos de maniobra como interruptores de diferentes configuraciones.

1. Circuitos Eléctricos I
Unidad V.
RESPUESTA TRANSITORIA DE LOS CIRCUITOS RL Y RC.
9 Circuito RC sin fuentes.
9 Circuito RL sin fuentes.
9 Función excitatriz escalón unidad. Funciones. Excitatrices
Función excitatriz escalón unidad. Funciones. Excitatrices
escalón de tensión y de corriente. Pulsos rectangulares de
tensión y de corriente.
9 Circuitos RC con fuentes.
9 Circuitos RL con fuentes.
Circuitos RL con fuentes.
9 Respuesta completa, forzada y natural

2. Circuitos Eléctricos I
Unidad VI.
RESPUESTA TRANSITORIA DE LOS CIRCUITOS RLC.
9 Circuito RC sin fuentes.
9 Circuito RLC en paralelo sin fuentes. Respuesta sobre
amortiguada. Sub – amortiguada. Con amortiguamiento critico.
amortiguada. Sub amortiguada. Con amortiguamiento critico.
9 Circuito RLC en serie sin fuentes.
9 Circuito RLC con fuentes.

3. Circuitos Eléctricos I

4. Circuitos Eléctricos I
Elementos de maniobra. Interruptores.
Son usados para realizar operaciones de apertura o cierre de un circuito eléctrico.
A i i i d t d l i t t ti l i i i i
Aunque su apariencia es muy variada, todos los interruptores tienen el mismo principio
de funcionamiento: consisten en un mecanismo de dos partes conductoras (polos) y
una pieza móvil de material conductor (contacto) que, al ser accionada, cambia de
posición
Interruptor ideal: cortocircuito cuando esta cerrado;
circuito abierto cuando esta abierto
circuito abierto cuando esta abierto
Cambio de posición: pasar de abierto a cerrado, o
de cerrado a abierto

5. Circuitos Eléctricos I
SPST
SPDT
DPST C
DPDT
R
L

6. Circuitos Eléctricos I
Planteamiento del estudio
Interruptor
ideal
Abierto
Circuito Abierto
Una o
más
excita
Otros
eleme
ntos
Cerrado
Cortocircuito
Circuito
Excitaciones
continuas iniciales
Excitaciones
continuas finales
ciones
t = t0
+
= 0
t
t
−
= 0
t
t
continuas iniciales continuas finales
Régimen
permanente
continuo final
Régimen
permanente
continuo inicial
−∞
=
t ∞
=
t
Régimen
transitorio
T
t
t =
Respuesta
continua
Respuesta
continua
Respuesta
variable con el
Objeto del estudio
¾ Obtener los valores representativos de las respuestas inicial (condiciones iníciales)
y final (condiciones finales)
variable con el
tiempo
¾ Obtener las expresiones matemáticas (expresiones temporales) correspondientes
al régimen transitorio

7. Circuitos Eléctricos I

8. Circuitos Eléctricos I
Transitorio: Evolución debida a cambios topológicos en el circuito. Transición entre un
régimen permanente y otro, tras un cambio en las condiciones del estado del circuito.
V(t)
t 0
t=0
Los transitorios son debidos a
elementos que almacenan energía:
Bobinas y condensadores
Bobinas y condensadores.

9. Circuitos Eléctricos I
El circuito de la figura, en el que la fuente es continua, ha
Ejemplo de cálculo de condiciones iniciales y finales
permanecido mucho tiempo sin cambios antes del cambio de
posición del interruptor.
Una vez producido éste, ya no experimenta más cambios. Se
desea hallar los valores de las corrientes y las tensiones en la
inductancia y la capacidad en t = 0-, t = 0+ y t = ∞.
La figura muestra la situación del circuito para todo t tal que
- ∞ ≤ t ≤ 0, y, en particular, para t = 0-.
El circuito se halla en régimen permanente continuo, ya que la
fuente es continua.
La capacitancia es un circuito abierto en continua (corriente nula)
La capacitancia es un circuito abierto en continua (corriente nula).
La corriente de la fuente circula por la resistencia en paralelo con el
condensador, ya que éste es un circuito abierto.
Las tensiones en ambos elementos son iguales por estar en paralelo.
La inductancia es un cortocircuito en continua (tensión nula).
No hay corriente en la inductancia porque no está conectada a la excitación.
No hay corriente en la inductancia porque no está conectada a la excitación.

10. Circuitos Eléctricos I
La figura muestra la situación del circuito para todo t tal que
0 < t < ∞ y en particular para t = 0+
0 < t < ∞, y, en particular, para t = 0+.
El circuito entra en transitorio porque han cambiado las
condiciones de excitación en algunos elementos.
La tensión en la capacitancia y la corriente en la inductancia no
pueden variar bruscamente.
Ecuación de nudo.
Ecuación de malla.

11. Circuitos Eléctricos I
La figura muestra la situación del circuito para todo t tal
0 ≤ t ≤ ti l t
que 0 ≤ t ≤ ∞, y, en particular, para t = ∞.
La capacitancia es un circuito abierto en continua (corriente
nula).
La inductancia es un cortocircuito en continua (tensión
nula).

12. Circuitos Eléctricos I
ORDEN DEL CIRCUITO: número de elementos almacenadores de energía (Leq o Ceq) que
tenga el circuito.
Circuitos de primer orden Circuitos de segundo orden
Circuitos de primer orden Circuitos de segundo orden

13. Circuitos Eléctricos I
Circuito RC sin fuentes
t=0
Aplicando LCK en el nodo superior:
0
v
dv
C
0
=
+ R
C i
i
∫
∫ −
=
t
t
v
v
dt
RC
v
dv
0
0
1
0
=
+
R
dt
C
RC
v
dt
dv
−
=
)
(
1
)
0
(
)
( 0
t
t
RC
Lnv
t
Lnv −
−
=
−
)
(
1
)
( 0
t
t
RC
t
v −
−
RC
dt
dt
RC
v
dv 1
−
=
)
(
)
(
0
RC
t
t
e
v
=
)
(
1
)
0
(
)
(
0
t
t
RC
t e
v
v
−
−
=

14. Circuitos Eléctricos I
Transitorios de primer orden. Respuesta natural (Respuesta en ausencia de fuentes)
Circuito RC sin fuentes
Resistencias
C
VC(t)
Req vista desde el
condensador
Respuesta natural
1
VC(t)
e
R q C
τ = ⋅
)
(
1
)
0
(
)
(
0
t
t
t e
v
v
−
−
= τ
eq
Cte de tiempo
El condensador se descarga sobre la resistencia siguiendo una
evolución exponencial desde el valor inicial V0 hasta 0=V∞
Para un t=τ se alcanza un
63% del ΔV=V0-V∞
τ

15. Circuitos Eléctricos I
τ
2τ
3τ
4τ
5τ

16. Circuitos Eléctricos I
La clave para trabajar con un circuito sin fuente RC es encontrar la tensión
inicial v(0) = V0 a lo largo del capacitor y la constante de tiempo τ del
Circuito sin fuente RC
Ejemplo
inicial v(0) V0 a lo largo del capacitor y la constante de tiempo τ del
circuito.
El interruptor de la figura ha estado cerrado durante mucho tiempo y ha
sido abierto en t=0. Encontrar v(t) para t>0

17. Circuitos Eléctricos I
Circuito RL sin fuentes
t=0
0
=
+ Ri
dt
di
L
0
=
+ R
L v
v
∫
∫ −
=
t
t
i
i
dt
L
R
i
di
0
0
R
0
=
− i
L
R
dt
di
)
(
)
0
(
)
( 0
t
t
L
R
Lni
t
Lni −
−
=
−
)
( 0
)
(
)
( t
t
L
R
e
t
i
t
i −
−
=
dt
L
R
i
di
−
=
0 )
(t
i
)
(
1
0
0
)
(
t
t
RC
e
I
t
i
−
−
=

18. Circuitos Eléctricos I
Circuito RL sin fuentes
L
iL(t)
Geq
Respuesta natural
)
(
1
0
0
)
(
t
t
L e
I
t
i
−
−
= τ
0
(0)
L
i I
= eq
R
L
=
τ
Condiciones iniciales
L b bi d b l i t i
La bobina se descarga sobre la resistencia
siguiendo una evolución exponencial desde el
valor inicial I0 hasta 0
Para un t=τ se alcanza un
63% del ΔI=I0-I∞
τ

19. Circuitos Eléctricos I
Circuito sin fuente RL
La clave para trabajar con un circuito sin fuente RL es encontrar la
corriente inicial i(0) = I0 a través del inductor y la constante de tiempo τ
Circuito sin fuente RL
del circuito
Ejemplo
El interruptor de la figura ha estado cerrado durante mucho tiempo y ha
p g p y
sido abierto en t=0. Encontrar i(t) para t>0 y calcular la energía inicial
almacenada en el inductor.

20. Circuitos Eléctricos I
0
t
t =
Respuesta al escalón de un circuito RC. (Circuito RC con fuentes)
C
R
F i
i
i +
= R
v
i C
R =
dt
dv
C
i C
C =
0
I
If = R
0
t
t =
C v 0
V
dt
dv
C
R
v
i C
C
F +
= Ecuación diferencial
de primer orden
dt
de p e o de
C
I
RC
v
dt
dv F
=
+ ∫
∫ −
=
−
t
t
F
t
v
v
dt
RC
RI
v
dv
0
0
1
)
(
)
(
RC
v
C
I
dt
dv F
−
=
)
(
1
F
RI
v
dv
−
−
=
)
(
1
)
(
)
)
(
(
0
0
t
t
RC
RI
v
RI
t
v
Ln
F
F
−
−
=
−
−
)
( F
RI
v
RC
dt
)
(
1
F
RI
v
RC
dt
dv
−
−
=
dv 1
)
(
1
0
0
)
(
)
)
(
( t
t
RC
F
F
e
RI
v
RI
t
v −
−
=
−
−
t
t
RC
RI
RI
t +
−
− )
(
1
0
)
(
)
(
dt
RC
RI
v
dv
F
1
)
(
−
=
−
F
RC
F RI
e
RI
v
t
v +
−
= 0 )
(
)
(

21. Circuitos Eléctricos I
Thévenin visto desde el
condensador
( ) 1 1
( )
c
c
dv t
v t V∞
+ =
Transitorios de primer orden. Respuesta en continua
∞
Circuito
Activo
C
VC(t)
condensador
Resistencias
e e
( )
R R
c
q q
dt C C
∞
⋅ ⋅
/
0
( ) ( ) t
c
v t V V V e τ
−
∞ ∞
= + − ⋅
Y Fuentes
0
(0)
c
v V
=
e
R q C
τ = ⋅ Cte de tiempo
( )
c
v V∞
∞ = Respuesta forzada=permanente
Respuesta natural=transitorio
Única para el circuito
/ /
( ) (1 )
t t
V V
τ τ
− −
El condensador evoluciona desde su valor inicial
hasta el nuevo régimen permanente siguiendo una
exponencial
/ /
0
( ) (1 )
t t
c
v t V e V e
τ τ
− −
∞
= ⋅ + −
Respuesta a entrada cero
Respuesta a estado cero
Cualquier otra variable del circuito tiene
una evolución temporal de la misma forma
que la de la tensión del condensador.
/
0
( ) ( ) t
X t X X X e τ
−
∞ ∞
= + − ⋅ Para un t=τ se alcanza un
63% del salto (ΔV=V∞-V0)
Respuesta forzada=permanente
Respuesta natural=transitorio
τ

22. Circuitos Eléctricos I
Respuesta al escalón de un circuito RL. (Circuito RL con fuentes)
R 0
t
t =
L
R
F v
v
v +
=
iR
vR =
dt
di
L
vL L
=
0
V
vf =
R
L 0
I
0
t
t
0
t
t =
dt
di
L
Ri
VF +
=
Ecuación diferencial
de primer orden
L
V
i
L
R
dt
di F
=
+ ∫
∫ −
=
−
t
t
t
i
i F
dt
L
R
R
V
i
di
0
0
)
(
)
(
dt
R
V
i
L
R
di F
)
( −
−
=
)
(
)
/
(
)
/
(
)
(
0
0
t
t
L
R
R
V
i
R
V
t
i
Ln
F
F
−
−
=
−
−
)
/
(
)
( R
R
V
i
dt
L
R
R
V
i
di
F
−
=
− )
(
)
(
0
0
)
/
(
)
/
(
)
( t
t
L
R
F
F
e
R
V
i
R
V
t
i −
−
=
−
−
( ) )
(
0
0
)
/
(
)
(
t
t
L
R
F
F
e
R
V
i
V
t
i
−
−
−
+
= ( )
0 )
/
(
)
( F e
R
V
i
R
t
i +

23. Circuitos Eléctricos I
Norton visto desde la
bobina e e
( ) 1 1
( )
L
c
q q
di t
v t I
dt G L G L
∞
+ =
Circuito
Activo
L
R i t i
iL(t)
∞
e e
q q
/
0
( ) ( ) t
L
i t I I I e τ
−
∞ ∞
= + − ⋅
Respuesta forzada=permanente
Respuesta natural=transitorio
Resistencias
Y Fuentes
0
(0)
L
i I
=
Cte de tiempo
Respuesta forzada=permanente
Respuesta natural=transitorio
( )
L
i I
∞ = ∞
/ /
( ) (1 )
t t
i t I e I e
τ τ
− −
+
Única para el circuito eq
G L
τ =
iL(t) I∞
La bobina evoluciona desde su valor inicial hasta
el nuevo régimen permanente siguiendo una
exponencial
0
( ) (1 )
l
i t I e I e
∞
= ⋅ + −
Respuesta a entrada cero
Respuesta a estado cero
I Para un t=τ se alcanza un
Cualquier otra variable del circuito tiene
una evolución temporal de la misma forma
que la de la intensidad de la bobina.
/
0
( ) ( ) t
X t X X X e τ
−
∞ ∞
= + − ⋅
I0
Respuesta forzada=permanente
Respuesta natural=transitorio
Para un t=τ se alcanza un
63% del valor salto
Respuesta forzada=permanente
Respuesta natural=transitorio

24. Circuitos Eléctricos I
Respuesta al escalón de un circuito RC Ó RL. (Circuito RC Ó RL con fuentes)
V
R
L I
0
t
t =
0
t
t =
I
i = R
0
t
t =
0
t
t =
C v V
p ( )
0
V
vf = L 0
I
0
I
if = R C v 0
V
0
=
+ I
i
i 0
0=
−
+ V
v
v R
L
0
0=
−
+ I
R
v
dt
dv
C 0
0=
−
+ V
Ri
dt
di
L
0
0=
−
+ I
i
i R
C
0
0
+ V
v
v R
L
C
I
RC
v
dt
dv 0
=
+ L
V
L
Ri
dt
di 0
=
+
K
x
dt
dx
=
+
τ

25. Circuitos Eléctricos I
SOLUCION GENERAL PARA LA RESPUESTA NATURAL Y LA RESPUESTA AL ESCALON
SOLUCION GENERAL PARA LA RESPUESTA NATURAL Y LA RESPUESTA AL ESCALON
Las ecuaciones diferenciales que rigen la respuesta natural y la respuesta a un
escalón de un circuito de primer orden (bien RC, bien RL) son análogas y tienen
la forma:
la forma:
Donde:
K: constante que puede ser 0
τ: constante de tiempo
K
x
dt
dx
=
+
τ
K
x
dt
dx
+
−
=
τ
)
(
)
( x
x
K
d
]
[ τ
)
(
0
0
)
(
)
(
t
t
f
f e
x
t
x
x
t
x
−
−
−
+
=
τ
τ
τ )
(
)
( f
x
x
K
x
dt
dx −
−
=
−
−
=
dt
dx 1
= dt
x
x f τ
)
(
−
=
−
∫
∫ −
=
t
t
x
dt
dx 1
)
(
∫
∫ −
=
t
x f
dt
x
x
t 0
)
( τ

26. Circuitos Eléctricos I
Resolución sistemática de circuitos en régimen transitorio
En resumen el proceso de cálculo de transitorios en un circuito de primer orden sigue los
siguientes pasos:
1. Dibujar el circuito para t<0 y calcular el valor de régimen permanente de la corriente en la
b bi ( t ió t i l d l d d ) t i it D t i t
bobina (o tensión en terminales del condensador) en este circuito. Determinar entonces
este valor en t = 0. Se obtiene así iL(0-) o vC(0-)
2. Aplicar el principio de continuidad y determinar los valores iL(0+) = iL(0-) o vC(0+) = vC(0-).
3. Dibujar el circuito para t > 0 y calcular la resistencia de Thevenin (RTH) vista desde los
terminales de la bobina o el condensador. Con ello se determina la constante de tiempo
de la respuesta natural: τ = L/RTH o τ = RTHC.
4. Calcular la respuesta en régimen permanente (corriente en la bobina o tensión en el
condensador) en el circuito para t > 0.
) p
Sustituir antes la bobina por un cortocircuito y el condensador por un circuito abierto.
5. Escribir la solución completa para t > 0 aplicando la ecuación:
]
[ τ
)
( 0
)
(
t
t
e
f
f
f
t
f
−
−
+
6. Utilizando la respuesta calculada en el apartado anterior, determinar otras variables de
interés en el circuito.
]
[ τ
)
(
)
0
(
)
(
)
( e
f
f
f
t
f ∞
∞ −
+
= +

27. Circuitos Eléctricos I
¾ Hay un juego de expresiones temporales para cada intervalo ti – ti+1
y j g p p p i i+1
¾ En cada intervalo, las expresiones temporales se obtienen como anteriormente, con
las siguientes salvedades:
9 Se aplican las condiciones de continuidad en cada cambio de intervalo
p
9 El instante final de cada intervalo es siempre t=∞.
9 Las expresiones del tipo et se sustituyen por expresiones del tipo et-ti