Paolo Ruffini fue un matemático y médico italiano del siglo XVIII. Estudió en la Universidad de Módena y luego se convirtió en profesor allí. En 1799 publicó un libro donde demostró que las ecuaciones de quinto grado no pueden resolverse mediante raíces, anticipándose a su época. Aunque su trabajo fue ignorado inicialmente, hoy se le reconoce como pionero en el uso de la teoría de grupos y la demostración de la irresolubilidad de las ecuaciones de quinto grado.

1. Paolo Ruffini
Matemático y médico (1765 Valentano, 1822 Módena, actualmente Italia)
Paolo Ruffini nació el 22 de septiembre de 1765 en Valentano, Estados Papales y murió el
10 de mayo de 1822 en Módena, actual Italia. Su padre, Basilio Ruffini, era médico en
Valentano. De niño parecía destinado a la carrera religiosa. Su familia se mudó a Reggio,
en el ducado de Módena, en el norte de la actual Italia y Paolo entró en la universidad de
Módena en 1783 para estudiar matemáticas, medicina filosofía y literatura.
Entre sus profesores estaba Luigi Fantini, que le enseñó geometria y Paolo Cassiani que le
enseñó calculo. En aquel entonces, la familia Este gobernaba Módena y en 1787, Cassiani
fue elegido concejal, teniendo que dejar la universidad. Así fue como el curso de Cassiani
sobre los fundamentos del análisis fue impartido por Ruffini durante el curso 1787-88
cuando todavía era estudiante. Finalmente, el 9 junio de 1788 Ruffini se graduó en
filosopia, medicina y cirugía. Poco después consiguió su grado en matematicas.
El 15 de octubre de 1788, fue nombrado profesor de fundamentos de análisis. Después,
Fantini, que le había enseñado geometría perdió poco a poco la vista y tuvo que renunciar a
su puesto. Ruffini fue elegido como catedrático de Elementos de Matemáticas en 1791. Sin
embargo, Ruffini no era sólo matemático. También, en 1791, obtuvo la licencia para ejercer
la medicina en Módena.
Después de la revolución francesa, era tiempo de guerra. A principios de 1795 Francia
obtenía victorias en todos los frentes. En el norte de Italia las tropas francesa amenazaban
las posiciones austro-sardas. En marzo de 1796 Napoleon Bonaparte tomó el mando de la
campaña. Derrotó a asas tropas y marchó sobre Turin. El rey de Cerdeña pidió un
armisticio y como resultado Niza y la Saboya fueron anexionadas a Francia. Bonaparte
continuó la guerra contra los austríacos y ocupó Milán pero fue retenido en Mantua. Firmó
armisticios con los duques de Parma y de Módena. Después ocupó Módena y, contra sus
deseos, Ruffini se encontró en medio de todo este trastorno político.
Napoleon estableció la república Cisalpina consistente de la Lombardía, Emilia, Módena y
Bolonía. Ruffini tuvo que formar parte como representante en el Consejo de la nueva

2. República. Pronto renunció para volver a la enseñanza en la universidaden 1798. Cuando
fue requerido para prestar juramento de lealtad a la nueva república se negó por razones
religiosas y tuvo que renuciar a su cátedra.
Ruffini como hombre tranquilo se tomó su nueva situación de forma positiva. Si no podía
enseñar matemáticas, tenía mas tiempo para dedicarse a la medicina y a sus pacientes. Por
otro lado, le dió oportunidad para dedicarse a uno de sus mas originales proyectos, intentar
probar la irresolubilidad de la quíntica por radicales.
Las ecuaciones cuadráticas se sabían resolver desde el tiempo de los babilonios. La
ecuación cúbica había sido resuelta por Ferro y Tartaglia. Ferrari había resuelto la cuártica
por radicales en 1540 y habían pasado 250 años sin que nadie fuera capaz de resolver la
quítica. Después de intentos de matemáticos de la talla de Tschirnhaus, Euler, Bézout,
Vandermonde, Waring y Lagrange.
Parece que antes de Ruffini, todo el mundo creía que la quíntica podría resolverse también
por radicales. Incluso Lagrange en su célebre artículo Reflexiones sobre la resolución de
ecuaciones algebraicas decía que volvería a trabajar en su resolución. En 1799, Ruffini
publicó un libro sobre Teoría de ecuaciones con la afirmación de que las quínticas no
pueden ser resueltas por radicales. Ruffini usó teoría de grupos siguiendo y superando a
Lagrange en el uso de permutaciones. Ruffini fue el primero en definir el concepto de orden
de un elemento, conjugación, descomposición en ciclos disjuntos y también en considerar
subgrupos primitivos e imprimitivos de permutaciones.
Demostró el teorema de que el orden de una permutación es el mínimo común múltiplos de
las longitudes de sus ciclos disjuntos. También que una permutación de cinco elementos
que tenga orden cinco es necesariamente un ciclo de longitud cinco. Si G < S_5 tiene orden
divisible por 5 tiene un elemento de orden 5. También, que S_5 no contiene subgrupupos
de órdenes 3, 4 o 8. Salvo por un salto lógico que invalida el resultado final, este trabajo es
excelente.
Ruffini escribió a Lagrange pero no recibió ninguna respuesta. El mundo matemático
ignoró a Ruffini, que publicó una segunda demostración en 1803 y otras en 1808 y 1813.
De esta última escribió Ayoub ¿Puede ser algo más elegante?. Esta demostración es
esencialmente la modificación de Wentzel de la demostración de Abel que fue publicada en
1845.
Parece que Ruffini se adelantó a su tiempo con una demostración para la que no estaban
preparados muchos de los matemáticos de su tiempo, incluido Lagrange. Curiosamente
Cauchy si reconoció la importancia de la demostración de Ruffini. De hecho Ruffini
generalizó muchas de las ideas de Ruffini en sus trabajos sobre grupos de permutaciones.
Ruffini estuvo 7 años dedicado a la medicina hasta la caida de Napoleón. Entonces, se
convirtió en rector de la Universidad de Módena en 1814.Fue titular de una cátedra de
matemáticas aplicadas, otra de medicina práctica y otra de medicina clínica en esa
universidad. En 1817, hubo una epidemia de tifus y Ruffini continuó tratando a sus
enfermos hasta que el mismo enfermó. Aunque parcialmente se recuperó tuvo que renuciar
a su cátedra de medicina clínica en 1819. No renunció a su trabajo científico y en 1820
publicó un artículo sobre el tifus basado en su propia experiencia.
Ruffini escribió también sobre filosofía polemizando con las ideas de Laplace. También
escribió sobre probabilidad. Aunque sin duda la gran aportación de Ruffini fue la
demostración de la irresolubilidad de la quíntica. Aunque esta no fue totalmente
comprendida y aceptada hasta que Abel no demostró que el grupo alternado A_5 es no
resoluble.