áLgebra árabe

APORTES
• El álgebra, como teoría unificadora de los
números racionales, irracionales, etc. Que
fuesen tratados como “objetos algebraicos”
• Sistema (actual) de numeración. Posicional,
de base 10 o decimal, incluido un digito nulo
el cero.
• Ecuaciones lineal, cuadráticas y cubicas.
• Los términos: ÁLGEBRA, ALGORITMO
• Que la incógnita “cosa” se la llame X

Principales exponentes
Al – Khawarizmi (780-850) Fibonacci (1170 - 1250)

Al - Khawarizmi
• Nació en Khawarism,
situada en la ruta de la
seda.
• En 820 fue llamado por el
califa Al Mamun, a quien le
dedicó sus tratados de
álgebra y astronomía.
• Matemático, astrónomo y
geógrafo musulmán
• Se educó y trabajó en la
Casa de la Sabiduría de
Bagdad, en un ambiente
científico y multicultural
• Difundió en el mundo
árabe, las cifras hindúes y el
uso del cero.
Sus obras más importantes
• Álgebra: “El arte de
resolver ecuaciones”
• Aritmética: “Libro de la
suma y de la resta según el
calculo indio”
• Astronomía
• Geografía: revisó y corrigió
a Ptolomeo (referente a
África y al Oriente)

DATOS CURIOSOS
• El origen del término
algoritmo se encuentra en
su nombre Al-Khwarizmi
• El término álgebra proviene
del titulo del libro
“Al-jabr w´al-muqabalah”,
que significa ciencia de la
trasposición y de la
simplificación.
Primer hoja del libro
de “ÁLGEBRA”

Leonardo de Pisa (Fibonacci)
• Nació en Pisa
• Educado en Argelia, donde aprendió el sistema de numeración árabe.
• Reunió material, al cual le dio un orden, método y claridad.
• Fue huésped del emperador Federico II, en 1240, le conceden un
salario permanente
• 1220 - “Liber abaci”
• 1228 – Ampliación del anterior
• “Práctica de la geometría”
• “Ramillete de soluciones de ciertas cuestiones relativas al
número y a la geometría”
• Carta a Teodoro (resolución de dos problemas)
• “El libro de los Números Cuadrados”

DATOS CURIOSOS
• El apodo de su padre era
Bonacci (simple o bien
intencionado)
• Leonardo recibe el apodo
de FIBONACCI (por filius
Bonacci, hijo de Bonacci)
A él se lo relaciona más con la
sucesión y series, pero fue
quien difundió el sistema de
numeración indo - arábigo en
Europa
La serie de Fibonacci se acerca al
número F

Omar Khayyám
• Nació en Nishapur. Allí y en
la ciudad de Balj recibió una
sólida educación en los
temas de las ciencias
y filosofía.
• En 1070, se trasladó
a Samarcanda, donde
completó su ”Tesis sobre
Demostraciones de Álgebra
y Comparación”.
• Construyó el observatorio
astronómico situado en
Marv (Turkmenistán).

• Compilación de tablas astronómicas y particularmente, la
corrección del antiguo calendario zaratustrano.
• Primer procedimiento de solución de las ecuaciones
cuadráticas y cúbicas a partir de las secciones cónicas
• Usó la trigonometría y la teoría de la aproximación para la
resolución de ecuaciones algebraicas por medios
geométricos.
• Fue el primero que describió el desarrollo de la potencia de
un binomio con exponente natural.
DATOS CURIOSOS
• La incógnita X se debe a la traducción de la palabra shay o xay (cosa)
• A un asteroide, descubierto en 1980, se le dio el nombre de "(3095)
Omar Khayyam".
• En su honor se puso su nombre a un importante cráter de la Luna

Los progresos del álgebra
-incluyen la resolución, de
Las ecuaciones cúbica y cuártica e innovaciones en
el simbolismo
-El estudio y resolución de las ecuaciones de
tercero y de
cuarto grados se llevan a cabo en la primera mitad
del sigloXVI en el seno de algebristas italianos

Niccolò Fontana Tartaglia(1499-1557)
apodado Tartaglia ( tartamudo),
debido a que en su niñez recibió una herida cuando las tropas
de Gastón de Foix tomaban BrescIA, su ciudad natal.
- Llegó a ser uno de los principales matemátICOS del SIGLO XVI
-Enseñó y explicó esta ciencia sucesivamente
en Verona, Vicenza, Brescia y finalmente VenecIa, ciudad en la que
FALLECIO
_ Tartaglia desarrolla la fórmula general PARA RESOLVER las
ecuaciones de tercer grado

OTROS APORTES
• Otras aportaciones destacables de Tartaglia fueron los
primeros estudios de aplicación de las matemáticas a
la artillería en el cálculo de la trayectorias de los
proyectiles (trabajos confirmados posteriormente por
los estudios acerca de la caída de los cuerpos realizados
por Galileo), así como por la expresión matemática para
el cálculo del volumen de un tetraedro cualquiera en
función de las longitudes de sus lados, la llamada
fórmula de Tartaglia, una generalización de la fórmula
de Herón (usada para el cálculo del área del triángulo):
• Además de sus trabajos matemáticos, Tartaglia publicó
las primeras traducciones al italiano de las obras
de Arquímedes yEuclides entrdonded ij es la distancia e los vértices i y j.

- en 1535 su colega del Fiore discípulo de Scipione del Ferro de quien
había recibido la fórmula para resolver las ecuaciones cúbicas, le
propone un duelo matemático que Tartaglia acepta.
- A partir de este duelo y en su afán de ganarlo Tartaglia desarrolla
la fórmula general para resolver las ecuaciones de tercer grado.
- consigue resolver todas las cuestiones que le plantea su
contrincante, sin que éste logre resolver ninguna de las propuestas
por Tartaglia.
-El éxito de Tartaglia en el duelo mencionado llega a oídos
de Gerolamo Cardano que le ruega que le comunique su fórmula
a lo que accede pero exigiéndole a Cardano jurar que no la publicará.

Gerolamo Cardano (1501-1576)
• Girolamo Cardano fue iniciado en las matemáticas por su padre pero estudió
medicina en Pavía, aunque por razones de la guerra, tuvo que terminar sus
estudios en Padua.
- En 1539 publicó su libro de aritmética Practica arithmetica et mensurandi
singulares. Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado
- en su Ars magna datado en 1545 La solución a un caso particular de ecuación
cúbica (en notación moderna).
- Una ecuación de cuarto grado fue resuelta por un discípulo de Cardano
llamado Lodovico Ferrari. En su exposición, puso de manifiesto lo que hoy se conoce
como números imaginarios.

Método de Cardano
En el Ars Magna aparece además el genial descubrimiento de que un
polinomio es divisible por los factores del tipo (x-a) donde a es raíz del
polinomio, aunque no se da ninguna demostración.
-Una de las consecuencias más importantes tras la publicación del Ars
magna fue que la solución de la ecuación cúbica condujo a las primeras
consideraciones significativas acerca de un nuevo tipo de número.
-Tuvieron que aceptar la existencia de los número irracionales y de los
números negativos, pero estos últimos presentaban más dificultades ya que
no se les podía aproximar por números positivos a diferencia de los
irracionales que podían ser aproximados fácilmente por números
racionales.
-Cardano se encontraba a menudo con el problema de que la
fórmula para resolver ecuaciones cúbicas le conducía a raíces cuadradas de números negativos.
-en su obra tambien aparece la regla de determinantes

ARTIS MAGNE
• -En 1539 publicó su libro de aritmética Practica arithmetica et mensurandi
singulares.
- Publicó las soluciones a las ecuaciones de tercer y cuarto grado en su Ars
magna datado en 1545. -La solución a un caso particular de ecuación cúbica
• (en notación moderna).
- Una ecuación de cuarto grado fue resuelta por un discípulo de Cardano
llamado Lodovico Ferrari En su exposición, puso de manifiesto lo que hoy se conoce
como números imaginarios.
- Su libro sobre juegos de azar, Liber de ludo aleae, escrito en la década de 1560 pero
publicado póstumamente en 1663, constituye el primer tratado serio
de probabilidad abordando métodos de cierta efectividad.

OTROS APORTES
-Hizo contribuciones a la hidrodinámica, apoyándose en esquemas del siglo XV, y mantuvo
que el movimiento perpetuo es imposible excepto en los cuerpos celestes.
-Publicó dos enciclopedias de ciencias naturales, Sobre la sutileza de las cosas, Sobre la
variedad de las cosas, que contienen una amplia variedad de invenciones, hechos y
conocimientos que hoy consideramos mágicos o supersticiosos. --_También introdujo la
rejilla de Cardano, una herramienta criptográfica, en 1550. Asimismo desarrolló un
dispositivo que permite conservar la horizontalidad mediante dos ejes que giran en
ángulo, dispositivo que actualmente se usa en millones de vehículos, conocido hoy
como junta o suspensión de cardano y otro para el asentamiento de las brújulas en las
naves llamado gimbal.
- Sus dos libros biográficos, Mi vida, y Mis libros (su autobibliografía) son dos obras
maestras, que hacen además un retrato excelente de lo que pudo ser un sabio, como era,
del siglo XVI, y la valoración de sus libros.

François Viète(1540-1557)
• Hijo de un procurador, Viète estudia derecho en Poitiers. En 1560, se convierte en
abogado en Fontenay-le-Comte.
• Se le confían de golpe importantes asuntos, en particular la liquidación de las
tierras en la región de Poitou de la viuda de Francisco I y los intereses de María
Estuardo, reina de Escocia.
• En 1571, pasa a ser abogado en el Parlamento de París, y se le nombra consejero en
el Parlamento de Rennes en 1573. En 1576, entra al servicio del rey Enrique III de
Francia, quien le encomienda una misión especial.
• En 1580, pasa al servicio exclusivo del rey en el Parlamento de París, Tras la
muerte de Enrique III, Viète pasa a formar parte del consejo privado de Enrique
IV, y partir de 1594, se encarga exclusivamente de descifrar los códigos secretos
enemigos.

APORTE AL ALGEBRA
-Fue conocedor de Diofanto y Cardano, _ _estableció las reglas para la
extracción de raíces y dio a la trigonometría su forma definitiva
en Canon mathematicus (1570).
_ Se lo considera uno de los principales precursores del álgebra, puesto
que se dedicó así mismo al estudio de los fundamentos del álgebra, con
la publicación, en 1591, de In
artem analyticam isagoge
_ introdujo un sistema de notación que hacía uso de letras en las
fórmulas algebraicas.
_ Se ocupó finalmente de diversas cuestiones geométricas, como la
trigonometría plana y esférica

_En el periodo que va de 1564 a 1568 escribió dos obras, una de astronomía titulada
Harmonicon coeleste que no llegó a publicarse y su gran Canon mathematicus seu ad
triangula, cuya impresión duró más de ocho años y se publicó en 1579.
_ Las aportaciones de esta obra fueron, entre otras, la utilización sistemática de los
números decimales, con empleo de la coma; la aplicación sistemática del álgebra a la
trigonometría descubriendo de nuevo la mayor parte de las identidades elementales con
fórmulas generales para las expresiones de las funciones; la obtención de fórmulas
trigonométricas de conversión del producto de funciones en una suma o una diferencia, o
la obtención de lo que hoy se conoce como teorema del coseno.
_En su obra Variorum de rebus mathematicis, de 1593, formuló un enunciado equivalente
al teorema de la tangente.
_Pero su fama le vendría por su contribución al álgebra, con su obra In artem analyticam
isagoge, que se publicó por primera vez en Tours en 1591. Sirvió para la generalización del
álgebra simbólica, muy parecida a la que después Descartes culminó. Viète utilizaba las
vocales para identificar a las incógnitas y las consonantes para nombrar los parámetros
conocidos (al contrario que ahora), pero aún utilizaba abreviaturas para
identificar operaciones.

Arthur Cayley (1821-1895)
• Nació en Surrey, Inglaterra, y
estudió en la Universidad de
Cambridge. Ejerció la abogacía y
al mismo tiempo escribía
aportaciones en matemáticas.
Pocos años después de encontrar
a su colega Sylvester, otro
licenciado y matemático, dejó la
abogacía y se dedicó de tiempo
completo a las matemáticas

Sus obras
• La Geometría del "hiperespacio" (espacio de
n dimensiones)
• Es considerado como uno de los padres del
álgebra lineal, introdujo el concepto de matriz
y estudió sus diversas propiedades.
• La obra sobre la que reposa su máxima fama
es la teoría de invariantes, que se desarrolló
de un modo natural de aquella vasta teoría de
la que él, fue el creador y el elaborador nunca
superado.

James Joseph Sylvester (1814-1897)
• nació en Londres, de padres judíos.
Entró en la Universidad de
Cambridge, pero por su religión no
pudo obtener un diploma, sino
hasta varios años después de haber
terminado sus estudios. También
ejerció la abogacía y al mismo
tiempo hacía investigaciones en el
campo de las matemáticas. Él y
Cayley tuvieron una larga y
fructífera colaboración en la teoría
de los invariantes, campo
relacionado con el Álgebra Lineal.

SUS OBRAS
• . hizo importantes contribuciones en el campo de las
matrices (acuñó los términos matriz, invariante,
discriminante y totient, entre otros),
• teoría de las invariantes algebraicas (en colaboración
con su colega A. Cayley)
• determinantes, teoría de números, particiones y
combinatoria. Utilizando determinantes descubrió el
método dialítico para eliminar una incógnita entre dos
ecuaciones polinomiales)
• creó un importante vocabulario matemático.

Cayley es uno de los fundadores de
la teoría de las matrices, aunque su
amigo Sylvester fue quien acuñó el
término matriz (1850),. De hecho, la
intención era que el término matriz
tuviera el significado de “madre de
los determinantes”.
Tanto Sylvester como Cayley son
considerados entre los mejores
matemáticos de su tiempo.

A continuación veamos un ejemplo de lo que ocupaba a
Cayley. Tres sistemas coordenados (x , y), (x’ , y’) y (x’’ , y’’)
están conectados mediante las siguientes transformaciones:
La relación entre (x , y) y (x’’ , y’’) se describe con la
sustitución:

Esta transformación también puede escribirse
como sigue: si abreviamos los tres cambios de
coordenadas mediante las matrices de los
coeficientes, tenemos:
Ahora es posible calcular C directamente de A y
B, mediante la multiplicación matricial: C = A · B.

Sistema de m ecuaciones
lineales con n incógnitas:
 incógnitas:
 coeficientes:
 términos independientes:

La teoría de matrices ofrece la posibilidad de
trabajar cómodamente con modelos de gran
dimensión, tanto en número de variables, como
de ecuaciones o datos, ya que brinda una
notación simple y compacta para designar
amplios conjuntos de información. Esto redunda
a su vez en una mayor facilidad a la hora de
trabajar con estos conjuntos de datos desde un
punto de vista computacional.
La teoría de matrices no sólo debe su
importancia a la bondad de sus cualidades
operativas, sino que además tiene gran
relevancia teórica, ya que una matriz es la
representación de determinadas
transformaciones vectoriales.

Teoria de grupo
• No obstante lo corto de sus vidas, a los
matemáticos Niels Henrik Abel y Evariste Galois
se debe la fundamentación del importante
concepto de Grupo en Matemáticas. Para tener
una idea de lo que se entiende por Grupo sin
intentar una definición rigurosa:
• En Matemáticas un conjunto de elementos, por
ejemplo de números, constituyen un Grupo
asociado a una operación matemática , por ejemplo
la suma, si la suma de dos de esos elementos da un
elemento de ese mismo conjunto. El Grupo
constituye una Estructura Matemática.

Sin lo dramáticamente peculiar de sus vidas, habrían pasado a la historia de la
ciencia, los nombres de Niels Henrik Abel y Evariste Galois, dos ilustres matemáticos,
por su talento y por la importancia de sus obras.
Niels Henrik Abel. • Niels Henrik Abel desarrolló su
obra en los primeros años del siglo
XlX. En su natal Noruega, pronto
se destacó en el campo de las
Matemáticas a las cuales hizo
aportes que sólo después de su
muerte fueron altamente
valorados. Sus trabajos se
concentraron en la resolución de
ecuaciones algebraicas y en la
teoría de los grupos, fundamental
concepto de la Matemática
Moderna. Tal es la importancia de
su contribución, que un tipo de
Grupos Matemáticos se denominan
Abelianos. Con motivo de
conmemorarse en el 2002 el
bicentenario de su nacimiento, se
instituyó el Premio Abel de
Matemáticas en honor a él.

Pero de tanta gloria ni siquiera sospechó
Abel por la indiferencia o por la ignorancia
de sus contemporáneos que no lo
reconocieron al menos en su inmediato
entorno, cosa muy común. No obstante sus
trabajos llegaron a Berlín y su universidad
acordó nombrarlo profesor de su claustro,
distinción inmensa, pero la notificación
llegó adonde hubiera podido recibirla
Abel, dos días después de morir víctima de
la tuberculosis. Tenía tan solo 27 años.

Análoga a la de Abel es la historia del
francés Evariste Galois. Vivieron en la
misma época y se dedicaron también
dentro de las Matemáticas al estudio de
los Grupos, pero no tenemos noticias de
que se conocieran. Al igual que Abel,
sus trabajos sólo fueron reconocidos, y
de que manera, después de su muerte
pero de tal forma que en cualquier
texto de Álgebra Moderna su nombre
como el de Abel es citado alrededor de
veinte veces.

Evariste Galios. • La aportación de Evariste
Galois a las matemáticas no
es sencilla de entender por
la complejidad, incluso para
los tiempos actuales, que
encierra en su interior. No
fue completamente
comprendida por los
matemáticos de su época,
algunos sencillamente la
ignoraron, y hasta finales
del siglo XIX no se
descubrió su profundidad y
alcance. Se centra
fundamentalmente en el
campo del álgebra, rama a la
que dió un impulso casi
definitivo. Sus
investigaciones dieron lugar
a la llamada Teoría de
Grupos y Cuerpos de Galois.

• Galois trabajó durante mucho tiempo
en la obtención de una fórmula
general válida para ecuaciones de
grado 5 y superiores. Normalmente
sus esfuerzos concluían en
ecuaciones erróneas y más
complicadas de resolver que la
ecuación original . Evariste Galois
• Finalmente demostró, casi
simultáneamente con Niels Henrik
Abel, la imposibilidad de encontrar
una solución general a estas
ecuaciones utilizando únicamente la
suma, la resta, la multiplicación, la
división, la exponenciación y la
radicación de los coeficientes (es
decir, mediante radicales). Llegó a la
conclusión de que dichas ecuaciones
sólo pueden resolverse de forma
aproximada utilizando técnicas de
cálculo numérico. Sin embargo,
existen muchas ecuaciones de grado
5 y superiores perfectamente
resolubles mediante radicales.

La aportación más importante que Evariste Galois
hizo a las matemáticas de su tiempo fue el
concepto de Grupo. El concepto no es en absoluto
sencillo y Galois llegó a enunciar una condición
para que una ecuación polinómica cualquiera
pueda ser resoluble mediante radicales. De forma
resumida Galois afirmó que si los coeficientes de
una ecuación conforman una estructura de Grupo
de Galois respecto de una determinada operación
definida por él y el tal grupo verifica una serie de
condiciones también concretadas, entonces la
ecuación es resoluble mediante radicales’.

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