Este documento proporciona información sobre una lección sobre matrices. La lección cubre definiciones de matrices, operaciones con matrices como suma, resta, multiplicación y aplicaciones de matrices. El estudiante aprenderá a resolver problemas relacionados con su carrera usando sistemas de ecuaciones lineales y matrices.

1. MATRICES
Complemento de
Matemática para Ingeniería
semana
#01

2. Al finalizar la unidad, el estudiante resuelve problemas vinculados a
su carrera sobre sistemas de ecuaciones lineales, haciendo uso
pertinente de la formulación matemática y los métodos de Gauss y
Cramer
Logro de
la unidad
Logro de
la sesión
Al finalizar la sesión el estudiante resuelve ejercicios y problemas
de contexto real, haciendo uso de la teoría de matrices de forma
correcta, mostrando orden, coherencia lógica y exactitud en sus
cálculos.

3. Contenidos de la videoconferencia
Matrices. Definición Aplicaciones
Matrices especiales Conclusiones
Operaciones con matrices. Aviso o anuncio

4. EVALUACIÓN DE MATERIAL
ASINCRÓNICO

5. Evaluación de material asincrónico
1.1
En cada proposición, escribe Verdadero (V) o Falso (F) según corresponda. Luego, selecciona
la alternativa correcta.
Toda matriz simétrica es igual a su transpuesta. ( )
Dos matrices siempre se pueden multiplicar ( )
Si dos matrices tienen el mismo orden, entonces se pueden sumar. ( )
Para poder multiplicar dos matrices: la primera ha de tener tantas columnas como filas tiene
la segunda. ( )

6. DESARROLLO DE CONTENIDOS

7. 2.1 MATRIZ - DEFINICIÓN
Fila 1
Fila 2
Fila 3
Fila m
Columna
1
Columna
2
Columna
3
Columna
n
Por ejemplo
Una matriz de orden m x n es un arreglo rectangular de elementos distribuidos en m filas y n columnas
- El elemento a13 está ubicado en la fila 1 y la columna 3
- El elemento a32 está ubicado en la fila 3 y la columna 2

8. 2.1 MATRIZ - EJEMPLOS
12
2
5
0 0
10
La matriz
3 7 12
2 9 5
A es de orden 2 x 3
La matriz
5 1 9 0
2 0 4 6
7 1 10 3
C es de orden 3 x 4

9. 2.1 MATRIZ - EJEMPLOS
Un ingeniero industrial quiere presentar la información de la producción de muebles durante el
primer trimestre del año de la empresa que tiene a su cargo. La información es la siguiente:
▪ Carpetas, 30 unidades en enero, 20 unidades en febrero y 50 unidades en marzo;
▪ mesas, 250 en enero, 110 en febrero y 80 en marzo;
▪ armarios, 35 en enero, 20 en febrero y 15 en marzo;
▪ sillas, 60 en enero, 40 en febrero y 30 en marzo.
Representa esta información en una matriz de orden 3x4.
Solución
• La matriz 3x4, tiene 3 filas y 4 columnas
Enero
Carpeta Armarios
Mesas
Febrero
Marzo
Sillas
30 250 35 60
20 110 20 40
50 80 15 30

10. 2.2 MATRICES ESPECIALES
EJEMPLOS:
2.1. MATRIZ FILA (VECTOR FILA)
Es una matriz que tiene una sola fila.
2.2. MATRIZ COLUMNA (VECTOR COLUMNA)
Es una matriz que tiene una sola columna.
EJEMPLOS:
1
2
1
2
A= 2 6 8
1x3
B= 7 5 1x2
A=
4
8 2x1
B=
8
0
3 3x1

11. 2.2 MATRICES ESPECIALES
2.3. MATRIZ NULA
Es una matriz que tiene todos sus elementos igual a cero.
2.4. MATRIZ TRANSPUESTA
EJEMPLO:
1 2
A=
0
0 2x1
B=
0
0
0 3x1
La matriz transpuesta de A es la matriz 𝐴𝑇 que se obtiene al intercambiar las filas por las columnas
Sea la matriz La matriz transpuesta de A, es la matriz 𝐴𝑇
EJEMPLO:
A=
1 2 3
5 6 7
=
1 5
2 6
3 7

12. 2.2 MATRICES ESPECIALES
EJEMPLOS:
2.5. MATRIZ CUADRADA
Es una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas.
NOTA:
Una matriz cuadrada se representa en forma general de la siguiente manera:
Diagonal
principal
B=
5 4
1 2
C=
5 8 4
3 2 5
4 2 1

13. 2.2 MATRICES ESPECIALES
EJEMPLOS:
2.6. MATRIZ DIAGONAL
Es una matriz cuadrada en la que todos los elementos que se encuentran
fuera de la diagonal principal son ceros.
2.7. MATRIZ ESCALAR
Es una matriz diagonal en la que todos los elementos que se encuentran en la
diagonal principal son iguales.
EJEMPLOS:
1 2
1 2
A=
3 0
0 1
B=
2 0 0
0 1 0
0 0 7
A=
4 0
0 4
B=
2 0 0
0 2 0
0 0 2

14. 2.2 MATRICES ESPECIALES
EJEMPLOS:
2.8. MATRIZ IDENTIDAD
Es una matriz escalar en la que todos los elementos que se encuentran en la diagonal principal son
iguales a 1.
Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran
debajo de la diagonal principal son ceros.
2.9. MATRIZ TRIANGULAR SUPERIOR
EJEMPLOS:
A=
1 0
0 1
B=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 2
A=
5 8 4
0 2 5
0 0 1
B=
5 7 2
0 8 5
0 0 1
1 2

15. 2.2 MATRICES ESPECIALES
2.10. MATRIZ TRIANGULAR INFERIOR
Es una matriz cuadrada donde todos los elementos que se encuentran encima
de la diagonal principal son ceros.
EJEMPLOS:
2.11. MATRIZ SIMÉTRICA
EJEMPLOS:
A=
5 0 0
7 2 0
4 6 1
B=
7 0 0
3 8 0
5 8 1
1 2
1 2
A=
5 4
4 2
B=
2 4 1
4 −1 −2
1 −2 5
La matriz A es simétrica si se cumple que A =𝐴𝑇

16. 2.2 MATRICES ESPECIALES
EJEMPLOS:
2.12. MATRIZ ANTISIMÉTRICA
Una matriz A es antisimétrica si se cumple que A = − 𝐴𝑇
1 2
A=
0 4
−4 0
B=
0 −4 1
4 0 −2
−1 2 0

17. 2.3 OPERACIONES CON MATRICES
Adición o sustracción de matrices:
Para sumar o restar dos matrices, estas han de tener las mismas dimensiones
y se suman o restan elemento a elemento (posición a posición).
Es decir: Si Amxn y Bmxn, entonces:
Ejemplo
:
=
=

18. 2.3 OPERACIONES CON MATRICES
Producto de un número (escalar) por una matriz:
Para multiplicar un número por una matriz, se multiplica el número por
cada elemento de la matriz.
Ejemplo: Determine el valor de 2A
A =
1 5
2 6
3 7
2A =
2 10
4 12
6 14

19. 2.3 OPERACIONES CON MATRICES
Ejemplos:
Producto de una matriz fila por una matriz columna
Para multiplicar una matriz fila por una matriz columna, se multiplican
elemento a elemento y se suman los productos obtenidos.
1)
2)
Solución
Solución:

20. 2.3 OPERACIONES CON MATRICES
Producto de dos matrices
Para poder multiplicar dos matrices, se debe verificar:
1°
2° Luego se multiplican las filas de la primera matriz por las columnas
de la segunda matriz. Ese producto consiste en multiplicar un
elemento de la fila por el correspondiente de la columna y sumar el
resultado al resto de productos de elementos de esa fila por esa
columna.
3°
La matriz producto será de la forma:
Cada elemento de la matriz producto nos indica que se
está multiplicando la fila i de la matriz A con la columna j
de la matriz B.

21. 2.3 OPERACIONES CON MATRICES
Ejemplo:
Solución:
Si A=
1 −2 −1
2 3 1
y halle A.B
B =
2 −1
−1 2
3 1

22. 2.4 APLICACIÓN DE MATRICES
Halla la matriz correspondiente a las ventas de enero (E) y febrero(F).
▪ En el mes de febrero,
▪ En el mes de enero (E)
A B C A B C
Solución:
Las ventas en los meses de enero y febrero de una fábrica que produce tres tipos de
Productos A, B y C distribuidas en cuatro tiendas T1 T2 T3 T4
9 5 2
3 8 0
0 0 0
6 7 1
18 10 4
6 16 0
4 4 4
0 0 0
=
9 5 2
3 8 0
0 0 0
6 7 1
+
18 10 4
6 16 0
4 4 4
0 0 0
=
27 15 6
9 24 0
4 4 4
6 7 1

23. 2.4 APLICACIÓN DE MATRICES
Una fábrica de muebles hace mesas, sillas y armarios, y cada uno de ellos
en tres modelos: económico (E), normal (N) y lujo (L). Cada mes produce:
Mesas
Sillas
Armarios
E N L
Calcule la matriz que da la producción de un año.
50 40 30
200 150 100
40 30 20
12 X
50 40 30
200 150 100
40 30 20

24. 2.4 APLICACIÓN DE MATRICES
Determine el costo (en dólares) de la compra.
Los precios (en dólares por unidad) para tres tipos de libros de texto están
representados por la matriz fila:
Una librería universitaria hace un pedido de estos tres tipos de libros en las
cantidades dadas por la matriz columna respectivamente:
Solución:
Multiplicando fila por columna:
= [26(250) + ]
35(320) + 42(180) = [25260]
P= 26 35 42
Q=
250
320
180

25. 2.4 APLICACIÓN DE MATRICES
a) Calcule AxB
Lima
K W
R
Cajamarca
Trujillo
Una empresa produce zapatos en su fábrica de Lima, Cajamarca y Trujillo, en cada
una de ellas produce 3 modelos: K, R y W, con una producción diaria (en pares)
como se describe en la matriz.
La ganancia, en soles, por pares y por modelos se ve en la matriz:
b) Interprete el resultado e indique, ¿Cuál fue la ganancia del
mes de enero en la planta de Trujillo?
K
Enero Febrero
R
W
A =
50 60 40
70 30 20
20 60 10
B =
12 20
20 10
15 118

26. 2.4 APLICACIÓN DE MATRICES
a) Calcule AxB
b) Interprete el resultado e indique, ¿Cuál fue la ganancia del mes de enero en la planta
de Trujillo?
Multiplicando fila por columna:
50(12) + 60(20) + 40(15) = 2400
70(12) + 30(20) + 20(15) = 1740
50(20) + 60(10) + 40(18) = 2320
70(20) + 30(10) + 20(18) = 2060
20(12) + 60(20) + 10(15)
20(20) + 60(10) + 10(18)
= 1590
= 1180
20(12) + 60(20) + 10(15) = 1590
Trujillo
Enero
Respuesta: La ganancia del mes de enero en la planta de Trujillo fue de 1590.

27. TRABAJO COLABORATIVO

28. 3.1 Trabajo colaborativo
Instrucciones
1. Ingrese a la sala de grupos reducidos asignada.
2. Desarrolle las actividades asignadas
3. Presente su desarrollo en el Padlet del curso.

29. Receso
15 minutos

30. EVALUACIÓN DE LA SESIÓN

31. 4.1 Metacognición
¿Qué hemos aprendido
en esta sesión?
¿Qué dificultades
se presentaron?
¿Cómo se absolvieron las
dificultades encontradas?
¿Qué tipos de problemas se
pueden resolver utilizando matrices?

32. CONCLUSIONES

33. 5.1 Conclusiones
• Las matrices son importantes por …………….
• Para sumar o restar matrices se debe cumplir…………….
• Para multiplicar las matrices se debe cumplir………………

34. AVISO

35. Aviso
6.1
Estimados estudiantes recordar que antes de la próxima clase deben revisar los materiales del
aula virtual
Video de Explicación
Videos de Ejercicios
Revisar las hojas del taller
Recordar que la próxima semana tendremos nuestro TPCC 1

36. REFERENCIAS

37. Referencias Bibliograficas
6.1
▪ Ayres Jr., F. (2012). Matrices: Teoría y Problemas. Mc Graw Hill.
▪ Grossman, S., & Flores, J. (1992). Álgebra lineal con
aplicaciones. Mc Graw Hill.
▪ Stewart, J., Watson, S., & Redlin, L. (2001). Precálculo:
matemáticas para el cálculo. Thomson.