Este documento presenta información sobre el criterio de la segunda derivada para determinar extremos locales de funciones. Explica cómo usar la segunda derivada para identificar máximos y mínimos locales, e intervalos de concavidad. También incluye ejemplos resueltos de cálculo de extremos y puntos de inflexión.

1. Matemática para los
Negocios II
Criterio de la segunda derivada.
Concavidad.
1

2. 2
https://www.admagazine.com/articulos/donde-colocar-los-espejos-en-casa
Imagina cómo
sería un mundo
sin espejos.
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opinión.

3. Datos/Observaciones
3
¿Cómo se forman las imágenes virtuales?
Extraído de
https://www.freepik.es/
Observa el video:
https://www.youtube.com/watch?v=_NOsg_IS7Vs&ab_channel=CienciasTV

4. Logro de la sesión
Al finalizar la sesión, el estudiante
calcula los máximos y mínimos
relativos de una función, así como sus
intervalos de crecimiento y
decrecimiento utilizando el criterio de
la primera derivada.

5. Concavidad de una curva
Teorema de concavidad:
Sea 𝑓(𝑥) una función dos veces derivable sobre un intervalo abierto 𝐼. Entonces:
1.- Si 𝑓´´(𝑥) > 0, para todo 𝑥 ∈ 𝐼 entonces 𝑓 es cóncava hacia arriba en 𝐼.
2.- Si 𝑓´´(𝑥) < 0, para todo 𝑥 ∈ 𝐼 entonces 𝑓 es cóncava hacia abajo en 𝐼
Punto de inflexión:
Un punto de inflexión de una curva es un punto en donde la curva cambia de cóncava
hacia arriba a cóncava hacia abajo o viceversa.
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6. Concavidad de una curva
Nota importante:
Si 𝑥 = 𝑥1 es un punto de inflexión de la gráfica de 𝑦 = 𝑓(𝑥), entonces, a un lado de 𝑥1 la
gráfica es cóncava hacia arriba, esto es Si 𝑓´´(𝑥) > 0; y del otro lado de 𝑥1, la gráfica es
cóncava hacia abajo, es decir 𝑓´´(𝑥) < 0. Así que al pasar de un lado a otro de 𝑥 = 𝑥1,
𝑓´´(𝑥) cambia de signo. En 𝑥 = 𝑥1 mismo, es necesario que 𝑓´´ 𝑥1 = 0 o que 𝑓´´ 𝑥1 no
exista.
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7. Sea 𝑓(𝑥) una función dos veces derivable en el punto crítico 𝑥 = 𝑐. Entonces:
a) 𝑥 = 𝑐 es un máximo local de 𝑓(𝑥) siempre que 𝑓´ 𝑐 = 0 y 𝑓´´ 𝑥 < 0.
b) 𝑥 = 𝑐 es un mínimo local de 𝑓(𝑥) siempre que 𝑓´ 𝑐 = 0 y 𝑓´´ 𝑥 > 0.
Criterio de la segunda derivada
7

8. Calcule, usando el criterio de la 2da derivada, los extremos locales de la función
𝑓 𝑥 = 𝑥3 + 2𝑥2 − 4𝑥 − 8.
𝑓´ 𝑥 = 3𝑥2 + 4𝑥 − 4 → 𝑓´ 𝑥 = (3𝑥 − 2)(𝑥 + 2)
Los puntos críticos están dados por 𝑓´ 𝑥 = 0, es decir en 𝑥 =
2
3
o 𝑥 = −2
𝑓´´ 𝑥 = 6𝑥 + 4
𝑓´´
2
3
= 6
2
3
+ 4 = 8 > 0
Existe un mínimo local en 𝑥 =
2
3
Mínimo:
2
3
;
−256
27
8
Solución
Ejemplo:

9. 𝑓´´ −2 = 6 −2 + 4 = −8 < 0
Existe un máximo local en 𝑥 = −2
Máximo: −2; 0
Punto de inflexión
𝑓´´ 𝑥 = 6𝑥 + 4 = 0 en 𝑥 = −
2
3
En el intervalo (−∞, −
2
3
) se tiene que 𝑓´´ 𝑥 < 0,
por tanto 𝑓 𝑥 es cóncava hacia abajo.
En el intervalo (−
2
3
, +∞) se tiene que 𝑓´´ 𝑥 > 0,
por tanto 𝑓 𝑥 es cóncava hacia arriba.
9

10. Calcule los extremos locales de la función 𝑓 𝑥 =
𝐿𝑛𝑥
𝑥
𝑓´ 𝑥 =
1 − 𝐿𝑛𝑥
𝑥2
Los puntos críticos están dados por 𝑓´ 𝑥 = 0, es decir
1−𝐿𝑛𝑥
𝑥2 = 0 . La ecuación se verifica
para 𝑥 = 𝑒
10
Solución
Ejemplo:

11. 𝑓´´ 𝑥 =
2𝐿𝑛𝑥 − 3
𝑥3
Existe un mínimo local en 𝑥 = 𝑒
𝑓´´ 𝑒 =
2𝐿𝑛𝑒 − 3
𝑥3
=
−1
𝑒3
< 0
Punto de inflexión
𝑓´´ 𝑥 =
2𝐿𝑛𝑥−3
𝑥3 = 0 en 𝑥 = 𝑒3/2
En el intervalo (−∞, 𝑒3/2) se tiene que 𝑓´´ 𝑥 < 0,
por tanto 𝑓 𝑥 es cóncava hacia abajo.
En el intervalo (𝑒3/2
, +∞) se tiene que 𝑓´´ 𝑥 > 0,
por tanto 𝑓 𝑥 es cóncava hacia arriba.
11

12. Espacio de
Preguntas
¡Comparte tus dudas de la sesión o de
los ejercicios y problemas que acaban
de trabajar!

13. LISTO PARA MIS EJERCICIOS RETOS

14. Experiencia Grupal
Desarrollar los ejercicios en equipos
Equipos de 4 estudiantes
Tiempo : 30 min

15. Práctica
15
Calcule, usando el criterio de la 2da derivada, los extremos relativos e intervalos de
concavidad de las funciones:
a) 𝑓 𝑥 = 2(𝑥 − 3)3−6𝑥 + 13
b) 𝑔 𝑥 =
𝑥2
𝑥−1

16. 16
Imagen extraída de www.freepik.es
Luego de haber finalizado los ejercicios:
- Elegir un representante del equipo para que salga
a la pizarra.
- Compartir una de las resoluciones obtenidas.
- Detallar el proceso y las dudas que surgieron
durante el mismo.
Finalmente, recibirán feedback de sus compañeros
y el docente.

17. Conclusiones:
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Resumen para la determinación de extremos locales por medio de la prueba de la segunda
derivada.
1.- Determine 𝑓´(𝑥) y calcule los puntos críticos. Sea 𝑥 = 𝑐 un punto crítico en el que 𝑓´ 𝑐 = 0.
La prueba de la 2da derivada no puede utilizarse para un punto en donde 𝑓´ 𝑥 = 0 no exista.
2.- Determinar 𝑓´´(𝑥) y evaluarla en 𝑥 = 𝑐.
3.- Si 𝑓´´(𝑥) es negativa, entonces 𝑓 tiene un máximo local. Si 𝑓´´(𝑥) es positiva, entonces 𝑓
tiene un mínimo local. Si 𝑓´´ 𝑐 = 0 o 𝑓´´(𝑐) no está definida, entonces la prueba falla.

18. Datos/Observaciones
FINALMENTE
¡Excelente
participación!
Recuerda que
esta sesión quedará
grabada para tus
consultas.

PARA TÍ
Recuerda que tienes un
foro para consultas en la
plataforma educativa.
Además, te recomiendo
seguir practicando.