Este documento presenta 10 ejercicios de cálculo diferencial e integral con instrucciones para su entrega. Los ejercicios incluyen derivar funciones como x3 - 2x, encontrar puntos tangentes en elipses, y aplicar reglas como la de l'Hôpital y derivación logarítmica. También incluye gráficar funciones y resolver problemas de física sobre el movimiento de una pelota lanzada hacia arriba.

1. Segunda tarea sorpresa del segundo periodo.
10 ejercicios. Valor un punto (extra).
Maestro Leopoldo Pantale´n Mart´nez
o ı
Instrucciones: Esta tarea se entregar´ de acuerdo a la fecha establecida
a
en el sal´n de clases.
o
d|x| |x|
1. Demuestre que dx = x , x = 0.
d 1
2. Demuestre que dx (ln |x|) = x , x = 0.
Sugerencia: use la f´rmula del ejercicio 1 y la regla de la cadena.
o
3. Calcule la derivada de h(x) = x3 − 2x . ¿ D´nde no es derivable esta funci´n?
o o
Bosqueje la gr´fica de h.
a
Sugerencia: para derivar use el ejercicio 1 y la regla de la cadena.
√ √
d x x 2+ln x
4. Use derivaci´n logar´
o ıtmica para mostrar que dx x =x √
2 x
.
√
x
Sugerencia: Inicie escribiendo y = x luego tome logaritmo natural y a conti-
nuaci´n derive impl´
o ıcitamente.
5. Encuentre los puntos sobre la elipse x2 + 2y 2 = 1 donde la recta tangente
tiene pendiente 1. Sugerencia use derivaci´n impl´
o ıcita.
6. Use la regla de l’hˆpital para calcular el l´
o ımite
as3 − a2 s2 − a3 s + a4
l´
ım , a = 0.
s→a s2 − a2
7. Encuentre el ´ngulo entre las curvas y = x2 y y = (x − 2)2 . R: 53◦ 7 48 .
a
8. Para la funci´n f (x) = x3 − x graficar en un s´lo sistema de ejes coorde-
o o
nados las funciones f, f y f considerando cortes con los ejes de coordenadas
y los valores cr´
ıticos de cada una de las funciones. En el bosquejo use un color
distinto para cada curva.
9. El producto de dos n´meros positivos es 54. Halle los n´meros si la suma del
u u
cuadrado de uno de ellos m´s el otro es m´
a ınima. R: 3 y 18.
10. Desde el techo de un edificio se lanza una pelota hacia arriba. Si la ecuaci´n
o
de su altura en metros respecto al suelo es s(t) = −et +e2 ·t + 6, (t en segundos):
a) ¿ Cu´l es la altura del edificio? R: 5 m,
a
b) ¿Con qu´ velocidad inicial es lanzada la pelota? R: e2 − 1 ≈ 6,39 m/s
e
c) Calcule la altura m´xima del edificio. R: (e2 + 6) ≈ 13,39 m.
a
d) Calcule la aceleraci´n en cualquier instante t. La aceleraci´n se define como
o o
la derivada de la velocidad, o bien como la segunda derivada de la funci´n s(t)
o
(la funci´n que da la posici´n del m´vil). R: a(t) = s (t) = −et .
o o o