Teoría de colas o líneas de espera para la simulación de procesos

1. 1
Docente : Javier Romero
Investigación de Operaciones
Teoría de colas/Líneas de espera
Semana 11 S-1

2. Líneas de espera
2
• En general, a nadie le gusta esperar
• Cuando la paciencia llega a su límite, la gente se va a otro lugar
• Sin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado
• Es necesario encontrar un balance adecuado

3. Esquema Líneas de Espera

4. Se forman debido a un desequilibrio temporal entre la demanda del
servicio y la capacidad del sistema para suministrarlo.
Una cola de espera está compuesta de tres elementos:
1. Arribos o ingresos al sistema
2. Disciplina en la cola
3. Servicio
Estos tres componentes tienen ciertas características que deben
ser examinadas antes de desarrollar el aspecto matemático de
los modelos de cola.
Características de una COLA DE ESPERA

5. 5
Entradas y salidas
• Los modelos de colas proporcionan una poderosa herramienta
para el diseño y la evaluación de sistemas de colas.
• Parámetros de entrada son la tasa de arribos, la tasa de servicio, y
el número y disposición de los servidores.
• Medidas típicas de salida son: utilización del servidor, tamaño de
la línea de espera, y demora de los clientes.

6. Estructuras típicas de colas:

7. 7
Los Administradores desean que las colas sean lo suficientemente cortas
con la finalidad de que los clientes no se irriten e incluso se retiren sin
llegar a utilizar el servicio o lo usen pero no retornen más.
Sin embargo los Administradores contemplan tener una longitud de cola
razonable en espera, que sea balanceada, para obtener ahorros
significativos en el COSTO DEL SERVICIO
Equilibrio servicio-costo
Los Administradores reconocen el equilibrio que debe haber entre el COSTO
DE proporcionar buen SERVICIO y el COSTO del tiempo DE ESPERA del
cliente o de la máquina que deben ser atendidos.

8. Notación de los Modelos de Colas
Reconociendo la diversidad de los sistemas de colas, Kendall (1953)
propuso un sistema de notación para sistemas de servidores paralelos que
ha sido adoptado universalmente.
Una versión resumida de esta convención está basada en el formato
A/B/c/N/K. Estas letras representan las siguientes características del
sistema:
A = Distribución de tiempo entre arribos.
B = Distribución del tiempo de servicio.
c = número de servidores paralelos
N = Capacidad del sistema
K = Tamaño de la población
Los siguientes son símbolos comunes para A y B:
M = exponencial o Markov
D = constante o determinística
8

9. Notación de los Modelos de Colas
• Por ejemplo: M/M/1// significa un solo servidor,
capacidad de cola ilimitada y población infinita de
arribos potenciales.
• Los tiempos entre arribos y los tiempos de servicio son
distribuídos exponencialmente.
• Cuando N y K son infinitos, pueden ser descartados de
la notación. M/M/1// es reducido a M/M/1.
9

10. DISTRIBUCION DE POISSON:
P(x) = Probabilidad de x arribos
x = número de arribos por unidad de tiempo
 = ratio promedio de arribo
e = 2.71828
10
  ,...
4
,
3
,
2
,
1
,
0
_
!



x
para
x
e
x
P
x


Frecuentemente en problemas de colas, el número de arribos por
unidad de tiempo pueden ser estimados por medio de la
Distribución de Poisson que es una distribución discreta de
probabilidad.

11. Modelo A: M/M/1
Asumimos que existen las siguientes condiciones:
1. Los clientes son servidos con una política PEPS y cada arribo espera
a ser servido sin importar la longitud de la línea o cola.
2. Los arribos son descritos mediante la distribución de probabilidad de
Poisson y proceden de una población muy grande o infinita.
3. Los tiempos de servicio varían de cliente a cliente y son
independientes entre sí, pero su ratio promedio es conocida.
5. Los tiempos de servicio se representan mediante la distribución de
probabilidad exponencial negativa.
6. El ratio de servicio es más rápida que el ratio de arribo.
11

12. SISTEMA M/M/1
12
 
 
 
 
1
2
sistema
el
en
estén
unidades
k"
"
de
más
que
de
ad
Probabilid
1
1
vacía)
está
servicio
de
unidad
(la
sistema
el
en
unidades
cero
de
ad
Probabilid
1
1
sistema
el
en
estén
clientes
"
n
"
que
de
ad
Probabilid
cola
la
en
espera
unidad
una
que
promedio
Tiempo
cola
la
en
unidades
de
promedio
Número






















































k
k
n
k
n
o
o
n
n
n
n
S
q
S
q
P
P
P
P
P
P
W
W
L
L






















13. Medidas del desempeño del sistema de colas:
Suponga una estación de servicios de PERUPETRO- grifo a la cual llegan en promedio 45
clientes por hora.
Se tiene capacidad para atender en promedio a 60 clientes por hora.
Calcule las medidas básicas de desempeño del sistema.
13
Ejemplo 1

14. 14
Ejemplo 2
La cochera de un Centro Comercial de la ciudad, está pensando en abrir un
servicio para que los clientes paguen desde su vehículo.
La gerencia estima que los vehículos llegarán a un ritmo de 15 unidades por hora.
El trabajador que atenderá en la ventanilla puede servir a los conductores a un
ritmo de uno cada tres minutos.
Suponiendo que las llegadas son de Poisson y el servicio es exponencial,
encuentre:
1. La utilización de la ventanilla de servicio.
2. El número promedio de vehículos en el sistema
3. El número promedio de vehículos en la línea de espera.
4. El tiempo promedio de espera de un vehículos en el sistema, incluyendo el
servicio.
5. El tiempo promedio que un vehículos de espera en la línea

15. • Los indicadores de líneas de espera ayudan a la toma de
decisiones sobre el equilibrio entre el costo que asume la
empresa por la implementación de una buena atención al
cliente y el pago de planilla a los colaboradores.
• Las líneas de espera pueden presentar diversas
características que son insumos para identificar estos
indicadores (Según Notación de Kendall – Lee)
SINTESIS:

16. 1. A un local de PLAZA VEA llegan en promedio 16 clientes por hora que son por una caja (de 5 cajas que
hay). Cada caja puede atender en promedio a un cliente cada 3 minutos. Obtenga las medidas de
desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1, para una de las cajas.
Además:
a. La probabilidad de tener 2 clientes en el sistema.
b. La probabilidad de tener 4 clientes en el sistema.
c. La probabilidad de tener más de 3 clientes en el sistema.
d. La probabilidad de que el número de clientes en el sistema sea mayor de 5.

17. 1. GACELA una estación de cambio de aceite puede atender un auto cada 5 minutos y la tasa media de llegadas es de 9
autos por hora. Obtenga las medidas de desempeño de acuerdo con el modelo M/M/1, además:
a. La probabilidad que haya 3 autos en el sistema
b. La probabilidad que haya 5 autos en el sistema
c. La probabilidad de tener más de 2 clientes en el sistema.
d. La probabilidad de que el número de clientes en el sistema sea mayor de 4.

19. TROSPER TIRE Company decidió contratar a un nuevo mecánico para que se encargue de todos los cambios para clientes que piden un nuevo
juego de llantas. Dos mecánicos solicitaron el trabajo. Uno tiene experiencia limitada y puede ser contratado a $14 por hora y puede atender a
un promedio de tres clientes por hora. El otro tiene varios años de experiencia y puede atender a un promedio de cuatro clientes por hora,
pero debe ser contratado a $20 por hora. Suponga que los clientes llegan a Trosper a razón de dos por hora.
a. ¿Cuáles son las características de operación con cada mecánico, suponiendo llegadas Poisson y tiempos de servicio exponenciales?
b. Si la empresa asigna un costo de $30 por hora a un cliente que espera, ¿cuál mecánico ofrece el menor costo de operación?

20. FERREYROS CORP SA. debe tomar una decisión con respecto a su política de contratar un mecánico para reparar un mecanismo que se
descompone con una tasa promedio de 4 por hora de acuerdo con una distribución Poisson; el tiempo improductivo de cualquiera de los
mecanismos está costando S/. 50.00 por hora a la empresa. La empresa puede contratar dos mecánicos: uno lento, pero poco costoso a S/.
25 por hora y el otro rápido, pero más costoso a S/. 40.00 por hora; el mecánico lento puede reparar exponencialmente los mecanismos a
una tasa promedio de 6 por hora, mientras que el mecánico rápido repara exponencialmente a razón de 8 por hora. Basándose en los
datos anteriores determine, ¿Cuál mecánico debe contratarse?

21. Los mecánicos de SANDVIK SA. deben sacar herramientas de un almacén. Llega un promedio de diez mecánicos por
hora buscando partes. En la actualidad el almacén está a cargo de un empleado a quien se le paga 6 dólares/h y
demora un promedio de 5 minutos para entregar las herramientas de cada solicitud. A los mecánicos se paga 10
dólares/h. SANDVIK SA. ha de decidir si vale la pena contratar, a 4 dólares/h, un ayudante del almacenista. Si se
contrata al ayudante, el almacenista sólo tardará un promedio de 4 min. para atender las solicitudes de herramientas.
Suponga que son exponenciales tanto los tiempos de servicio como el tiempo entre llegadas. ¿Se debe de contratar
al ayudante?

22. Usted es el gerente de un banco local que cuenta con tres cajeros para atender a los clientes. En promedio, cada cajero tarda tres minutos en atender a un
cliente. Estos últimos llegan, en promedio, a razón de 40 por hora. Recientemente, su jefe ha recibido quejas de algunos clientes porque tienen que esperar
mucho tiempo para que los atiendan; por eso, le ha pedido que evalúe el sistema de servicio. Específicamente, usted deberá responder las siguientes
preguntas:
a. ¿Cuál es la utilización promedio del sistema de servicio con tres cajeros?
b. ¿Qué probabilidad hay de que no haya ningún cliente que esté siendo atendido por un cajero o formado en la fila de espera?
c. ¿Cuál es el número promedio de clientes que esperan en la fila?
d. En promedio, ¿cuánto tiene que esperar un cliente formado en la fila para ser atendido?
e. En promedio, ¿cuántos clientes estarían siendo atendidos en alguna caja y esperando en la fila?

24. En el BBVA funcionan 2 cajeros para cobrar la pensión de los estudiantes de la UC. de acuerdo a los datos recopilados, los
estudiantes llegan al Banco siguiendo una distribución de Poisson con una media de 20 estudiantes cada hora. El tiempo que
emplea cada cajero en atender a un estudiante es en promedio de 2.4 minutos, es igual en los dos cajeros y sigue una
distribución exponencial.
Hallar las medidas básicas de desempeño del sistema.

25. En el BBVA funcionan 2 cajeros para cobrar la pensión de los estudiantes de la UC. de acuerdo a los datos recopilados, los
estudiantes llegan al Banco siguiendo una distribución de Poisson con una media de 12 estudiantes cada hora. El tiempo que
emplea cada cajero en atender a un estudiante es en promedio de 3 minutos, es igual en los dos cajeros y sigue una
distribución exponencial.
Hallar las medidas básicas de desempeño del sistema.